close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Электродинамический анализ собственных волн многопроводной полосковой линии передачи.

код для вставкиСкачать
Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т.4, №2, 2002
УДК 621.372.2
ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СОБСТВЕННЫХ ВОЛН
МНОГОПРОВОДНОЙ ПОЛОСКОВОЙ ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ
© 2002 А.С. Арефьев, В.А. Неганов
Поволжская государственная академия телекоммуникаций
и информатики, г. Самара
Проведено обобщение метода частичного обращения оператора на случай экранированной многопроводной полосковой линии передачи. Представлены результаты исследования фазовых и групповых скоростей, а также распределения полей собственных волн направляющей структуры.
Введение
Краевые задачи для ряда направляющих
структур СВЧ и КВЧ диапазонов могут быть
сформулированы в виде векторных интегральных уравнений первого рода. Элементы
ядер таких уравнений представляют собой
бесконечные ряды и содержат в неявном виде
логарифмические особенности и сингулярности Коши. Применение к такому уравнению
проекционной схемы требует усечения рядов
в ядре. Последнее означает замену сингулярного ядра ограниченной функцией. Но, как
известно, решение интегрального уравнения
первого рода с ограниченным ядром представляет собой некорректно поставленную
задачу [1]. В результате, приближённое решение приобретает неустойчивость и проявляет относительную сходимость [2].
Эффективный путь преодоления указанных трудностей заключается в переходе к
уравнению второго рода на основе процедуры частичного обращения исходного интегрального оператора. С помощью данной методики было решено большое количество краевых задач прикладной электродинамики,
допускающих формулировку в виде интегральных уравнений, определённых на единичных интервалах [3]. В [4] метод частичного обращения оператора был обобщён на
случай направляющей структуры с несколькими щелями.
Настоящая работа посвящена исследованию экранированной многопроводной полосковой линии передачи (ЭМПЛ), поперечное сечение которой изображено на рис.1. На
границу диэлектрических слоёв 1 и 2 нанесено произвольное количество бесконечно
тонких идеально проводящих полосок. Направляющая структура помещена в прямоугольный экран. Потери в экране и средах заполнения считаются пренебрежимо малыми.
Интегральное уравнение первого
рода
Задача о собственных волнах ЭМПЛ
может быть сформулирована в виде векторного интегрального уравнения первого рода [3]
r
t
~
(1)
K (x, x')J (x')dx' = 0, (x ∈ X ).
∫
X
Здесь X – совокупность интервалов оси
x, соответствующих металлизированным
участкам границы областей 1 и 2 (рис.1)
X =
L
UX j,
j =1
(
)
X j = x j1 , x j 2 .
r
Вектор J~ содержит искомые компоненты плотности поверхностного тока на полосках J z , J x
308
Рис.1. Поперечное сечение ЭМПЛ
Общая физика и электроника
T
r
a
~ 

J =  J z (x ),− J x′ (x ) .
π


K2 j
Штрих при J x означает производную по
аргументу. Элементы ядра представляют собой тригонометрические ряды:
K11
2
=
a
K12 =
K 21 =
m=1
∞
2
a
∑Z
1
X2 \
m12 sin β m x sin β m x ',
m 21 cos β m x sin β m x ',
(2)
∑mZ
m 22
cos β m x sin β m x',
lim (mZ m11 ) = r11 ,
lim Z m12 = r12 ,
m→∞
(
−1
)
lim m Z m 22 = r22 .
m→∞
ции K ij имеют особенности при x = x'. А
именно
K1 j
=
∞
∑
m =1
U X 2j
элементы ядра ограничены. По-

1,

I (x, x') = 

0,

L
U X 2j
j =1
L


 (x, x') ∈ X 2 ,
j 

1
j
=


L


 (x, x') ∈ X 2 \ X 2 .
j 

j =1


U
U
Введём функции:
Явный вид величин Z mij , rij приведён
в [3]. Подставляя в (2) вместо импедансов их
асимптотики, приходим к выводу, что функ-
2
~ r1 j
a
L
где I (x, x') – индикатор множества
Последовательности Z mij удовлетворяют следующим предельным соотношениям:
lim Z m 21 = r21 ,
множестве
( j = 1,2 ),
где β m = πm / a, Z mij – элементы тензора
импедансов, выражаемые через частоту колебаний, а также поперечные размеры и
проницаемости диэлектрических слоёв
1,2 (рис.1).
m→∞
на
sin β1 x'
1
K 2(Sj ) = I (x, x') r2 j
, (3)
a
cos β1 x − cos β1 x'
m =1
m→∞
что
sin (β1 (x'+ x ) / 2 )
1
K1(Sj ) = I (x, x') r1 j ln
,
a
sin (β1 (x'− x ) / 2)
x'
+
a
1
m =1
этому сингулярные части функций K ij можно представить в виде:
m =1
∞
m x sin β m x ' =
j =1
m =1
∞
K 22 = Z 022β1
∑ cos β
( j = 1,2 ).
m11 sin β m x sin β m x ',
∑mZ
∞
sin β1 x'
1
r2 j
,
a
cos β1 x − cos β1 x'
Очевидно,
2
a
2
+
a
=
∞
∑Z
2
~ r2 j
a
1
~
K1(Sj ) = − I (x, x') r1 j ln 2(cos β1 x'− cos β1 x ),
a
sin β1 x
1
~
K 2(Sj ) = I (x, x') r2 j
,
a
cos β1 x − cos β1 x'
( j = 1,2 ).
На основании соотношений:
2
x'+ x
~
K1(Sj ) − K1(Sj ) = I (x, x') r1 j ln 2 sin β1
,
a
2
1
x'+ x
~
,
K 2(Sj ) − K 2(Sj ) = I (x, x') r2 j ctg β1
a
2
( j = 1,2)
1
sin β m x sin β m x' =
m
sin (β1 (x'+ x ) / 2 )
1
,
r1 j ln
sin (β1 (x'− x ) / 2 )
a
309
Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т.4, №2, 2002
 θ(v') + θ(v ) 
+ 2r1 j ln sin
 +
2


можно сделать вывод, что элементы тензоt
t
~
ров K (S ) и K (S ) имеют идентичные особенности.
Запишем интегральное уравнение (1)
в виде
(
[∫ (Kt (x, x') − Kt ( )(x, x'))+
∞

m=1

) ∑ ∆~ m1 j u m−1 (v )u m−1 (v'),
~
+ 1 − I (v, v') 2
S
X
1
~
P2(Rj ) = −  Z 022 θ(v')δ 2 j + I (v, v')×

π

 ∞
× 2
m∆ m 2 j t m (v )u m−1 (v') +
 m=1
r2 j
θ(v') + θ(v )
ctg
+
+
2
2

1− v
t
r
t
~
~
+  K (S ) (x, x') − K (S ) (x, x') J (x')dx' =


t
r
~
~
(x ∈ X ).
= − K (S ) (x, x')J (x')dx',
∑
∫
X
Выполняя замену переменных
v = cos β1 x, v' = cos β1 x' ,
имеем
t
t
r
tr
P (R ) (v, v') j (v')dv' = − P (S ) (v, v')r j (v')dv',
∫
V
(
∫
(v ∈ V ).
(4)
Областью определения последнего уравнения служит совокупность интервалов
V=
L
UV j ,
j =1
( j = 1,2 ),
V
(
)

1,

~
I (v, v') = 

0,

v j1 = cos β1 x L +1− j , 2 , v j 2 = cos β1 x L +1− j ,1.
r
Искомый вектор j имеет вид
t
 ln v'−v
1~
P (S ) (v, v') = I (v, v')
π
 0

1 ~
P1(jR ) = −  I (v, v')r1 j ln 2 +
π

+2
∞
∑ ∆ m1 j u m−1 (v )u m−1 (v') +
m =1

m =1

где δ 2 j – символ Кронекера,
V j = v j1 , v j 2 ,

a

J
arccos
v



z
r
1 
π

 .
j (v ) =

a
2  a

1 − v  − J ′x  arccos v  

 π π
t
t
Сингулярная P (S ) и регулярная P (R ) части ядра задаются соотношениями:
∞
) ∑ m∆~ m2 j t m (v )um−1 (v'),
~
+ 1 − I (v, v') 2
L


 (v, v') ∈ V 2 ,
j 

j
1
=


L


 (v, v') ∈ V 2 \ V 2 
j 

j =1


U
U
L
– индикатор множества
t
1  mZ
~
∆ m =  m11
m  Z m 21
t  r11
r = 
 r21


−1 ,
(v'−v ) 
0
UV j2 ,
j =1
Z m12 
,
−1
m Z m 22 
r12 
,
r22 
t
t
t
~
∆ m = ∆ m − m −1r , θ(v ) = arccos v,
функции t m , u m выражаются через многочлены Чебышёва первого Tm и второго U m
рода:
310
Общая физика и электроника
t m (v ) =
1
1− v2
( j ) (v )Q(v ),
Умножая обе части (5) на U n−
1
Tm (v ), u m (v ) = 1 − v 2 U m (v ).
дим
Обращение интегралов
Рассмотрим интеграл
1 ~
ϕ(v')
I (v, v')
dv' = f (v ),
π
v'−v
∫
( j = 1, L; n = 1,2,K) и интегрируя по V , нахо-
(v ∈ V ),
(5)
V
π ( j)
ϕn =
2b j
внутри интервалов V j и допускает интегрируемую бесконечность на их концах. Введём
системы функций
(
) (v ∈ V j ),
(v ∈ V \ V j ),
(
) (
(
Tn a j + b j v ,
Tn( j ) (v ) = 
0,
)
ϕ (nj ) =
u j = a j + bjv
(
v j 2 + v j1
v j 2 − v j1
, bj =
( j = 1, L ).
ϕ(v ) =
−
2
,
v j 2 − v j1
j =1
j
n −1
n
1 L ( j) ( j)
ϕ T (v ) −
Q(v ) j =1 0 0
∑
(9)
1
Q(v')
~
I (v, v')
f (v')dv',
πQ(v )
v'−v
(v ∈ V ).
∫
Рассмотрим интеграл с логарифмической особенностью
(v ∈ V ). (10)
V
Продифференцировав (10), получаем
сингулярный интеграл вида
1 ~
ϕ(v')
I (v, v')
dv' = − g ' (v ).
π
v'−v
∫
V
На основании формулы обращения (9),
имеем
∑ b ∑U ( ) (v)T ( )(v'). (6)
j
(8)
V
(v ∈ V j ), ( j = 1, L ).
∞
L
∞
Подставляя (7) в (8) и вновь учитывая
соотношение (6), получаем следующую формулу обращения для интеграла f (v )
Ядро интеграла (5) допускает следующее
представление
1
~
I (v, v')
=2
v'−v
L
∫
совыми функциями Q −1 (v ) и Q(v ), соответственно, где
)
V
1 ~
I (v, v ')ln v '−v ϕ(v ')dv ' = g (v ),
π
U n( j ) (v ) ортогональны на множестве V с ве-
(
( j ) (v )dv
n
j =1 n =0
Очевидно, что системы Tn( j ) (v ) и
Q(v ) = 1 − a j + b j v 2 ,
π 1 + δ0 j
) ∫ ϕ(v )T
∑∑ ϕ(nj )Tn( j ) (v ).
переводило V j в интервал − 1 < u j < 1 :
aj = −
(
2b j
ϕ(v ) = Q −1 (v )
)
)
V
– коэффициент Фурье в разложении
U n a j + b j v , v ∈ V j ,
U n( j ) (v ) = 
v ∈V \ V j ,
0,
определяемые через многочлены Чебышёва.
Здесь величины a j и b j подобраны так, чтобы линейное преобразование
(7)
где
ядро которого содержит сингулярность Коши
(v'−v )−1. Будем предполагать, что функция
ϕ(v ) удовлетворяет условию Гёльдера [5]
( j)
∫ f (v )U n−1 (v )Q(v )dv,
j
n =1
311
1
ϕ(v ) =
Q(v )
L
∑ ϕ( )T ( )(v) +
0
j =1
j
0
j
1
Q(v')
~
+
I (v, v')
g ' (v')dv'.
πQ(v )
v'−v
∫
(11)
V
Определим коэффициенты ϕ (0j ). Умно-
Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т.4, №2, 2002
(
)
жим (10) на T0( j ) (v )Q −1 (v ), j = 1, L и проинтегрируем. С учётом соотношения
( )
ln 2b j
1 ~
dv
I (v, v')ln v'−v T0( j ) (v )
=−
π
Q(v )
bj
∫
V
находим
−
( )
π ln 2b j
b 2j
dv
ϕ (0j ) = g (v )T0( j ) (v )
.
Q(v )
∫
(12)
V
Подставляя (12) в (11), получаем формулу обращения для интеграла g (v )
1
ν
=
≈ 0,3162
(
1
c
ε ) µ (1)
1  ~
Q(v')
 I (v, v')
ϕ(v ) =
g ' (v')dv' −
πQ(v ) 
v'−v
V
∫
−
dv'  (13)
,
T0( j ) (v )T0( j ) (v')g (v')
ln 2b j
Q(v')
j =1

(v ∈ V ).
L
b 2j
∫∑ ( )
V
ры выбирались следующим образом: y1/a =
0,1; y2/a = 0,5; x11/a = 0,35; x12/a = 0,45; x21/a =
0,5; x22/a = 0,65; проницаемости диэлектрических слоёв: ε(1) = 10, ε(2) = µ(1) = µ(2) = 1.
На рис.2 представлены зависимости фазовых (кривые Р1, Р2) и групповых (кривые
G1, G2) скоростей основной и первой высшей волн ЭДПЛ от волнового числа свободного пространства k = ω/c. Как следует из графиков, с увеличением частоты колебаний
нормированные фазовые и групповые скорости обеих волн асимптотически приближаются к предельному значению
В результате применения формул обращения (9),(13) к интегралам с ядрами P (S ) ,
ij
равенство (4) преобразуется в интегральное
уравнение второго рода. Для решения последнего может быть использован проекционr
ный метод. При этом элементы вектора j
разлагаются в ряд по системе функций
T ( j ) (v )Q −1 (v ) :
соответствующему скорости распространения
идеальной поперечной волны в среде с проницаемостями ε(1), µ(1). Таким образом, предельные переходы νф → ν, νГР → ν можно рассматривать как следствие увеличение увеличения относительной части энергии волны
ЭДПЛ, сконцентрированной в области 1,
имеющий более высокую оптическую плотность.
Следует отметить, что на некоторой частоте групповые скорости волн равны между собой. Предположим, в двухпроводной
полосковой линии передачи возбуждается
амплитудно-модулированный сигнал. При
этом высокочастотное заполнение распрос-
n
L
∞
∑ ∑ j ( )T ( )(v ),
ji (v ) = Q −1 (v )
k
in
n
k
(i = 1,2). (14)
k =1 n =i −1
(k )
Равенство нулю коэффициентов j 20
(k = 1, L ) является следствием поведения по-
перечной составляющей плотности тока на
рёбрах проводящих полосок
(
)
Jx(xk1) = Jx(xk2) = 0, k = 1, L .
Результаты расчётов
В дальнейшем положим L = 2 рассматривая экранированную двухпроводную полосковую линию передачи (ЭДПЛ). Числовые
значения параметров направляющей структу-
312
Рис.2. Зависимости фазовых и групповых
скоростей волн ЭДПЛ от волнового числа
(P1 – vф,1; P2 – v ф,2 ; G1 – v гр,1 ; G2 – vгр,2 )
Общая физика и электроника
Рис.3. Распределение функции
(1) для основной волны ЭДПЛ
H z (x, y ) / j10
траняется с фазовой скоростью рабочей волны. Если сигнал узкополосный, то можно
приближённо считать, что огибающая переносится с групповой скоростью волны [6]. На
любой частоте волны 1 и 2 будут одновременно возбуждаться в ЭДПЛ. Вследствие различия их групповых скоростей, на выходе
Рис.4. Распределение функции
линии передачи огибающие сигналов, переносимых обеими волнами, окажутся сдвинутыми по фазе. Обусловленное этим искажение модулирующего сигнала можно исключить, выбрав частоту несущего заполнения
вблизи абсциссы точки пересечения кривых
G1 и G2.
(1) для первой высшей волны ЭДПЛ
H z (x, y ) / j10
313
Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т.4, №2, 2002
При построении графиков производилось усечение рядов (14) на слагаемых с индексами n = N , где N = 2. В каждом из элементов ядра интегрального уравнения второго рода учтено по M = 28 слагаемых. При
этом абсолютные погрешности определения
нормированных фазовых и групповых скоростей волн не превышали значения
∆v / c = 0,0004.
На рис.3 и рис.4 представлены распределения комплексных амплитуд продольных составляющих напряжённости магнитного поля волн 1 и 2 в поперечном сечении ЭДПЛ. В качестве нормировочного
множителя использован один из коэффициентов Фурье в разложениях (14). Предельные индексы суммирования выбирались равными N = 2, M = 500. Как видно, линии
уровня, соответствующие максимальным значениям H z , локализованы вблизи границы
областей 1 и 2 (рис.1).
Заключение
Модификация метода частичного обращения оператора, предложенная в настоящей
работе, может быть использована при решении задач дифракции волн на металлических
решётках в однородно заполненном прямоугольном волноводе, а также при анализе па-
дения плоской электромагнитной волны на
частично металлизированный диэлектрический стержень.
Работа выполнена при поддержке гранта ТОО – 2.4 – 2171 Министерства образования Российской Федерации.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные
уравнения: методы, алгоритмы, программы: Справ. пособие / АН УССР, Ин-т
пробл. моделирования в энергетике.
Киев: Наукова думка, 1986.
2. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов: Пер. с англ. / Под
ред. Г. В. Воскресенского. М.: Мир, 1974.
3. Неганов В.А., Нефедов Е.И., Яровой Г.П.
Полосково-щелевые структуры сверх- и
крайневысоких частот. М.: Наука. Физматлит, 1996.
4. Арефьев А.С., Коликов В.В., Неганов В.А.
Исследование собственных волн компланарной линии передачи с использованием метода частичного обращения оператора // Известия ВУЗов. Радиофизика.
2000. Т. 43. № 6.
5. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука,
1977.
6. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. М.: Радио и связь, 1988.
THE ELECTRODYNAMIC ANALYSIS OF EIGEN WAVES OF STRIP
TRANSMISSION LINE WITH SEVERAL CONDUCTORS
© 2002 A.S. Arefyev, V.A. Neganov
Volga State Academy of Telecommunications and Informatics, Samara
The extension of a partial inversion method on a strip transmission line with several conductors is
implemented. The results of investigation of phase and group velocities and field distributions of eigen
waves of that guiding structure are represented.
314
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
385 Кб
Теги
анализа, электродинамические, волна, линия, передача, полосковых, собственных, многопроводных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа