close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Математическое моделирование спиновых волн локализованных на дислокации в ферродиэлектрике (макроскопический подход)..pdf

код для вставкиСкачать
УДК 538.911
С.Г. Гестрин, Е.А. Сальникова
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СПИНОВЫХ ВОЛН,
ЛОКАЛИЗОВАННЫХ НА ДИСЛОКАЦИИ В ФЕРРОДИЭЛЕКТРИКЕ
(МАКРОСКОПИЧЕСКИЙ ПОДХОД)
На основе анализа уравнения движения магнитного момента
получено дисперсионное уравнение для спиновых волн, локализованных на
дислокации в ферродиэлектрическом кристалле. Рассмотрены
осесимметричные и винтовые возмущения. Иcследована зависимость
амплитуды локализованных волн от расстояния до линейного дефекта.
Изучена поляризация локализованных спиновых волн.
Дислокации, спиновые
момент, локализация волн.
волны,
ферродиэлектрики,
магнитный
S.G. Gestrin, E.A. Salnikova
MATHEMATICAL MODELLING OF THE SPIN WAVES LOCALIZED
ON THE DISLOCATION IN FERRODIELECTRIC
(THE MACROSCOPICAL APPROACH)
On the base of the analysis of the equation of the movement the
magnetic moment is received the dispersion equation for the spin waves,
localized on a dislocation in the ferrodielectric crystal. Axis-symmetric and
screw indignations are considered. Dependency of the amplitude of the
localized waves from distance before linear defect is researched. The
polarization of the localized spin waves is studied.
Dislocation, spin waves, ferrodielectric, magnetic moment, waves'
localization.
В ряде работ [1-8] было показано, что наличие в кристаллах дефектов структуры
приводит к локализации на них различных типов волн. Их амплитуда убывает с
удалением от одномерного дефекта (дислокации) в основном по экспоненциальному
−1 2
закону ~ (κr ) exp(− κr ) , где κ – поперечное волновое число, r – расстояние до
дислокации; а частота отделена конечным интервалом от спектра объемных колебаний. В
[1] подробно исследованы локализованные звуковые колебания. В работе [2] получены
дисперсионные уравнения для двух ветвей поляритонов, локализованных на дислокациях
в ионных кристаллах. Законы дисперсии осесимметричных и винтовых плазменных волн,
распространяющихся вдоль заряженных дислокаций в полупроводниках, найдены в [3, 4].
Влияние дефектов кристаллической структуры на экситоны Френкеля рассмотрено в [5].
Как известно, в ферромагнетиках существуют элементарные возбуждения спиновой
системы, имеющие характер волн и называемые спиновыми волнами (магнонами). Они
представляют собой колебания относительной ориентации спинов в решетке [6]. В [7, 8]
показано, что наличие одномерного дефекта в ферродиэлектрике (CrBr3, EuO, EuS)
приводит к возможности локализации на нем данного типа возмущений. Кристалл
представлялся в виде решетки, в узлах которой находятся атомы, все спины которых в
основном состоянии параллельны. Для энергии взаимодействия двух атомов, обладающих
r
rv
r
спинами S i и S j , использовалась модель Гейзенберга: U = − JSi S j , где J – обменный
интеграл (микроскопическое рассмотрение).
Ниже предполагается, что длина спиновой волны велика по сравнению с
r
постоянной решетки a. В этом случае закон дисперсии волн ω k будет выражен через
феноменологические
параметры
(материальные
константы),
входящие
в
макроскопические уравнения движения магнитных моментов [9].
Уравнение движения прецессирующего магнитного момента [10]:
r
r
ge r
∂M
(1)
=
H эф , M .
∂t
2mc
Здесь напряженность «эффективного поля»:
r
r
r
∂2M
+H ,
H эф = α ik
(2)
∂xi ∂xk
r
M – плотность магнитного момента (намагниченность), тензор αik определяется
симметрией кристалла. В одноосных кристаллах симметричный тензор второго ранга αik
имеет компоненты α xx = α yy ≡ α1 , α z ≡ α 2 (ось Z – ось симметрии кристалла); в
()
[
]
кубическом кристалле αik = αδik.
Если тело не находится во внешнем магнитном поле, то поле внутри него целиком
связано с распределением намагниченности и представляет собой, вообще говоря,
r
r
величину того же порядка, что и М . В этом смысле член Н в (2) представляет собой
релятивистский эффект. Поэтому если рассматривать чисто обменное приближение,
второй член в (2) следует опустить, так что уравнение движения приобретает вид:
r
r
⎡ ∂2M r ⎤
ge
∂М
,M ⎥ .
=
αik ⎢
(3)
2mc ⎣ ∂xi ∂xk
∂t
⎦
Если предположить, что в кристалле имеется дислокация, расположенная вдоль оси
Z, то уравнение (3) примет вид:
r
r
r
⎡ ∂2M r ⎤ 2 r g e ⎡ ∂2M r ⎤
ge
∂M
, M ⎥ − a δ(ρ)β
,M ⎥ .
=
αik ⎢
(4)
⎢
2mc ⎣ ∂xi ∂xk
2mc ⎣ ∂z 2
∂t
⎦
⎦
Здесь a – постоянная решетки, β – характеризует обменное взаимодействие атомов,
r
расположенных вдоль оси дислокации, δ(ρ ) – двумерная дельта-функция.
Применим полученное уравнение к распространению волн, в которых плотность
магнитного момента совершает малые колебания, прецессируя относительно своего
r
r
r
r
r
равновесного значения М 0 , направленного вдоль оси Z. Положим M = M 0 + m , где m –
r
малая величина, и линеаризуем уравнение, отбросив члены второго порядка по m .
r
r
Поскольку абсолютная величина M = M 0 , то в этом приближении m ⊥ M 0 . Будем в
r
дальнейшем рассматривать волны, распространяющиеся вдоль оси Z, m ∝ exp i (kz − ωt ) .
Из (4) для кристалла с кубической симметрией находим:
r
r g e ⎡⎛ 2 ∂ 2
∂2 ⎞ r r ⎤ 2 2 r g e r
⎜
− i ωm =
α ⎢⎜ − k + 2 + 2 ⎟⎟ m, M 0 ⎥ + a k δ(ρ)β
m(0), M 0 .
(5)
∂x ∂y ⎠
2mc ⎣⎝
2mc
⎦
Из (5) находим:
[
]
− iωmx =
ge
ge
⎛
r
∂2
∂2 ⎞
m y (0 ) ,
αM 0 ⎜⎜ − k 2 + 2 + 2 ⎟⎟ m y + a 2 k 2δ(ρ)βM 0
2mc
2mc
∂x ∂y ⎠
⎝
− iωm y = −
(6)
ge
ge
⎛
r
∂2
∂2 ⎞
mx (0) .
αM 0 ⎜⎜ − k 2 + 2 + 2 ⎟⎟ mx − a 2 k 2δ(ρ)β M 0
2mc
2mc
∂x ∂y ⎠
⎝
(7)
Согласно (6) и (7) находим:
m x = −im y ,
(8)
т.е. решение описывает волну, поляризованную по кругу.
Из (7) и (8) имеем уравнение для mx:
⎛
⎛ ∂2
r
β
2mc ⎞⎟
∂2 ⎞
⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ mx − ⎜ k 2 − ω
mx = − a 2 k 2δ(ρ)mx (0) .
⎟
⎜
g e αM 0 ⎠
α
⎝ ∂x ∂y ⎠
⎝
(9)
Переходя в (9) к цилиндрическим координатам, получим:
2mc ⎞⎟
β 2 2 r
∂ 2 mx 1 ∂mx 1 ∂ 2 mx ⎛⎜ 2
m
=
−
a k δ(ρ) mx (0) .
+
+ 2
−⎜k − ω
(10)
x
2
2
⎟
g
e
M
α
∂ρ
ρ ∂ρ ρ ∂ϕ
α
0
⎠
⎝
Будем предполагать далее, что зависимость mx и my от азимутального угла ϕ
определяется множителем exp inϕ , где n = 0, ± 1, ± 2,... , тогда из (10):
n 2 ⎞⎟
∂ 2 mx 1 ∂mx ⎛⎜ 2
2mc
1 β 2 2 δ(ρ)
k
m =−
ak
mx (0 ) .
+
−
−
ω
+
2
2 ⎟ x
⎜
g e αM 0 ρ ⎠
ρ
∂ρ
ρ ∂ρ ⎝
2π α
Решение уравнения (11) имеет вид:
mn , x (ρ ) =
⎛
⎞
1 β 2 2
2mc
a k mn , x (0)K n ⎜ k 2 − ω
ρ⎟ .
⎜
2π α
g e αM 0 ⎟⎠
⎝
(11)
(12)
Равенство (12) характеризует зависимость амплитуды волны от расстояния до
дислокации ( К n ( x ) – функция Макдональда). Как видно из (12), амплитуда волны с
удалением от дислокации убывает в основном по экспоненциальному закону (
K n ( x ) ≈ π 2 x exp( − x ) , при x〉〉1 ) [3].
Рассмотрим вначале осесимметричное возмущение (n = 0) и воспользуемся
интегральным представлением функции K0(x):
m0, x (ρ ) =
⎛
⎞
g e M0
1 β 2 2
2mc
a k m0, x (0 )K 0 ⎜ k 2 − ω
ρ ⎟ = −βa 2 k 2
m0, x (0) ×
⎜
2π α
g e αM 0 ⎟⎠
2mc
⎝
(13)
∞
κ dκ
cos(κρ cos ϕ) dϕ .
∫
g
e
M
α
0
2
2
0
k +κ
ω−
2mc
Заменим верхний бесконечный предел интегрирования в (13) на конечное значение
κ 0 ~ 1 a . То обстоятельство, что предел интегрирования в формуле (13) определяется
лишь по порядку величины и имеет характер некоторого параметра «обрезания», связано с
модельным предположением о δ-образной локализации возмущения на оси дислокации в
уравнении (4). Полагая в (13) ρ = 0, находим дисперсионное уравнение для
осесимметричных волн, локализованных на дислокации:
×
1
(2π)2
1+
∫
β 2 2 g e M0
ak
2π
2mc
(
)
κ0
κ dκ
=0.
g
e
M
α
0
2
2
0
k +κ
ω−
2mc
∫
(
)
(14)
Выполняя интегрирование в (14) и пренебрегая малыми членами порядка величины
g e αM 0 2
k −ω
2mc
(15)
<< 1 ,
g e αM 0 2
κ0
2mc
находим
g e αM 0 2 g e α M 0 2
⎛ 4πα ⎞
k −
κ0 exp⎜⎜ − 2 2 ⎟⎟ .
ω0 ≈
(16)
2mc
2mc
⎝ βa k ⎠
Первое слагаемое в правой части (16) задает закон дисперсии объемных спиновых
волн [10].
Рассмотрим теперь винтовые возмущения с n = 1. Из (12) находим:
m1, x (ρ ) =
⎛
⎞
1 β 2 2
2mc
a k m1, x (0) K1 ⎜ k 2 − ω
ρ⎟ .
⎜
2π α
g e α M 0 ⎟⎠
⎝
(17)
Воспользуемся известным интегральным представлением модифицированной
функции Бесселя второго рода:
μ+
1
∞
1
λ+
a λ − μu 2
К λ − μ (аu ) = ∫ t 2 (t 2 + a 2 ) − μ −1 J λ (ut ) ut dt .
μ
2 Г (μ + 1)
0
(18)
Полагая в (18) λ = 1, a = χ, t = χ′, u = ρ, μ = 0 , переходя к новой безразмерной
переменной интегрирования x = χ′ρ , а также заменяя верхний бесконечный предел
интегрирования на χ0ρ, находим:
1
K1 (χρ) =
χρ
χ 0ρ
∫
0
x2
J1 ( x) dx .
x 2 + χ 2ρ 2
(19)
Учитывая, что функция J1 ( x) ~ x 2 при x << 1 , а x 2 x 2 + χ 2ρ 2 ≈ 1 при x >> χρ ,
представим приближенно (14) в виде суммы двух интегралов, вычисление которых дает:
K1 (χа ) ≈
χа χ 0 − χ
χ
+
J1 (χ 0 а ) ≈ 0 J1 (χ 0 a ) , (χ << χ 0 ) .
8
χ
χ
(20)
Из (17) и (20) получим закон дисперсии спиновой волны при n = 1 :
2
g e α M 0 2 g e α M 0 2 ⎛ βa 2 k 2
⎞
ω1 ≈
k −
χ 0 ⎜⎜
J1 (χ 0 a )⎟⎟ .
2mc
2mc
⎝ α
⎠
(21)
Приведем также окончательное выражение, характеризующее колебания в
локализованных на дислокации волнах:
mn, x (ρ, z , ϕ; t ) =
⎛
⎞
1 β 2 2
2mc
a k mn, x (0 )K n ⎜ k 2 − ωn
ρ ⎟ exp i (kz + nϕ − ωt ) .
⎜
g e α M 0 ⎟⎠
2π α
⎝
(22)
Таким образом, нами проанализировано уравнение движения магнитного момента,
на основе чего в рамках макроскопического подхода получены дисперсионные уравнения
для осесимметричных (16) и винтовых (21) спиновых волн, локализованных на
дислокации в ферродиэлектрике. Показано, что найденные решения представляют собой
волны, поляризованные по кругу. Также исследована зависимость амплитуды
локализованных волн от расстояния до дефекта.
ЛИТЕРАТУРА
1. Косевич А.М. Основы механики кристаллической решетки / А.М. Косевич. М.:
Наука, 1972. 280 с.
2. Гестрин С.Г. Локализация поляритонов вблизи дислокаций в ионных
кристаллах / С.Г. Гестрин // Известия вузов. Физика. 1996. № 10. С. 45-50.
3. Гестрин С.Г. Локализация плазменных колебаний вблизи заряженных
дислокаций и дислокационных стенок в полупроводниках / С.Г. Гестрин // Известия вузов.
Физика. 1998. № 2. С. 92-95.
4. Гестрин С.Г. Винтовые колебания, локализованные на заряженных дислокациях
в полупроводниковых кристаллах / С.Г. Гестрин, А.Н. Сальников, Е.В. Щукина //
Известия вузов. Физика. 2006. № 10. С. 66-69.
5. Гестрин С.Г. Локализация экситонов Френкеля на дислокациях / С.Г. Гестрин,
А.Н. Сальников // Известия вузов. Физика. 2005. № 7. С. 23-25.
6. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела / Ч. Киттель. М.: Наука, 1978. 792 с.
7. Гестрин С.Г. Математическое моделирование взаимодействия спиновых волн с
дислокациями в ферромагнетиках / С.Г. Гестрин, Е.А. Сальникова // Вестник
Саратовского государственного технического университета. 2009. № 2(38). С. 17-23.
8. Гестрин С.Г. Локализация спиновых волн на дислокациях в ферромагнетиках
(микроскопическое рассмотрение) / С.Г. Гестрин, Е.А. Сальникова // Физика твердого
тела: материалы Российско-немецкой конф. Астрахань: АГУ, 2009.-С.69-71.
9. Гестрин С.Г. Локализация спиновых волн на дислокациях в ферромагнетиках
(макроскопическое рассмотрение) / С.Г. Гестрин, Е.А. Сальникова // Физика твердого
тела: материалы Российско-немецкой конф. Астрахань: АГУ, 2009. С. 67-69.
10. Ландау Л.Д. Теоретическая физика: в 12 т. Т. IX. Статистическая физика /
Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. М.: Наука, 1978. 447 с.
Гестрин Сергей Геннадьевич –
доктор физико-математических наук,
профессор кафедры «Прикладная физика»
Саратовского государственного
технического университета
Gestrin Sergey Gennadyevich –
Doctor of Technical Science,
Professor of the Department of «Applied Physics»
of Saratov State Technical University
Сальникова Екатерина Александровна –
студентка
Саратовского государственного
университета им. Н.Г. Чернышевского
Salnikova Yekaterina Aleksandrovna –
a student
of Saratov State University in the name
of N.G. Chernyshevskiy
Статья поступила в редакцию 05.02.10, принята к опубликованию 08.04.10
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа