close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Новое решение уравнении Эйнштейна допускающее Машину времени..pdf

код для вставкиСкачать
Математические
структуры и моделирование
УДК 530.12:531.51
2000, вып. 6, с. 128135
НОВОЕ ЕШЕНИЕ УАВНЕНИЙ ЭЙНШТЕЙНА,
ДОПУСКАЮЩЕЕ МАШИНУ ВЕМЕНИ
Е.В. Палешева
In this artile a new stationary solution of the Einstein's equations with osmologial
onstant and Time mahine is given. The garavitational field is reated by ideal liquid
with two massless salar fields or by ideal liquid with eletri-magneti field.
В статье приводится пример пространства-времени, являющегося решением
уравнений Эйнштейна с космологической постоянной и допускающего Машину времени, т.е. замкнутые гладкие времениподобные кривые. Тензор энергииимпульса имеет две различные интерпретации. Во-первых, если космологическая постоянная отрицательна, то гравитационное поле создается идеальной
жидкостью и парой безмассовых скалярных полей, и, во-вторых, если космологическая постоянная неотрицательна, идеальной жидкостью, находящейся
в электромагнитном поле. В обоих случаях космологическая постоянная имеет порядок 10 58 см 2 . Первое подобное решение было найдено ван Стокумом
[1? в 1937 году. Но о машине времени заговорили с 1949 года, когда космологическую модель, содержащую замкнутые гладкие времениподобные кривые,
нашел известный логик Курт едель [2?. Он был первым, кто интерпретировал
эти кривые как Машину времени.
1.
Метрика и тензор энергии-импульса
ассмотрим метрику
ds =
2
dx0 2
2
+ 2(x2 dx1
x1 dx2 )dx0 + (2x2 2
4
x1 x2 dx1 dx2
где берем
являются
0
01
2000
1)dx2 2
(1)
dx3 2 ;
= onst > 0. Ненулевыми компонентами символов Кристоеля
= 2x1 ;
1
02
1)dx1 2 + (2x1 2
=
0
02
1
;
= 2x2 ;
1
12
0
11
= 8x1 x2 ;
= 2x2 ;
1
22
= 4x1 ;
Е.В. Палешева
Омский государственный университет
0
12
= 4
(x2 2
x1 2 );
1
= ;
= 4x2 ;
2
01
2
11
0
22
= 8x1 x2 ;
2
12
= 2x1 ;
Математические структуры и моделирование. 2000. Вып. 6.
129
а ненулевыми компонентами тензора иччи 4x2
4x 1
2
;2 R01 =
; R02 =
; R11 = 4 + 8x2 2 ; R12 = 8x1 x2 ; R22 = 4 + 8x1 2
и скалярная кривизна R = 4=
.
R00 =
Используя уравнения Эйнштейна1
1
g R = Tik + gik ;
2 ik
Rik
находим следующий тензор:
2
6
6
6
6
Tik + gik = 6
6
6
6
6
4
3
6x1
6x2
22
6x
12x2 2 + 2 12x1 x2
1
6x
12x1 x2 12x1 2 + 2
0
0
0
0
0
0
2
3
7
7
7
7
7
7:
7
7
7
5
(2)
В цилиндрических координатах
8
>
>
<
x0 = x0
x1 = r os '
x2 = r sin '
>
>
: 3
x = x3
метрика будет выглядеть следующим образом:
ds2 =
2.
1 02
dx
2
2r2 dx0 d' dr2 + r2 2r2
1 d'2
x3 2 :
Первая интерпретация тензора энергии-импульса
Для начала запишем Tik в виде суммы
Tik = Tik(1) + Tik(2) + Tik(3) ;
где
2
6
6
6
6
Tik(1) + gik = 6
6
6
6
6
4
1 реческие
2x2
1
2x1
0
22
2x
4x2 2 + 2 4x1 x2 0
1
2x
4x1 x2 4x1 2 + 2 0
2
0
0
0
3
7
7
7
7
7
7;
7
7
7
5
индексы пробегают значения 1,2,3, а латинские 0,1,2,3.
(3)
130
Е.В. Палешева.
Новое решение уравнений Эйнштейна...
2
6
6
6
6
(2)
Tik = 6
6
6
6
6
4
2
6
6
6
6
(3)
Tik = 6
6
6
6
6
4
2x2
1
2x1
22
2x
4x2 2 + 2 4x1 x2
1
2x
4x1 x2 4x1 2 2
0
0
0
2x1
1
2x2
22
2x
4x2 2 2 4x1 x2
1
2x
4x1 x2 4x1 2 + 2
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
2
3
7
7
7
7
7
7;
7
7
7
5
(4)
3
7
7
7
7
7
7:
7
7
7
5
(5)
Теперь покажем, что Tik тензор энергии-импульса для идеальной жидкости,
т.е.
(1)
(
Tik(1) = (2 + p)ui uk
g ik ui uk = 1:
p gik ;
Из (3) имеем
Tik(1) + gik = (2 + p)uiuk + (
или
p)gik
1
1
= (2 + p)u0 2 + ( p)
2
2
2x2
= (2 + p)u0 u1 + x2 ( p)
1
2x
= (2 + p)u0 u2 x1 ( p)
4x1 x2 = (2 + p)u1 u2 2
x1 x2 ( p)
4x2 2 + 2 = (2 + p)u1 2 + (2x2 2 1)( p)
4x1 2 + 2 = (2 + p)u2 2 + (2x1 2 1)( p)
2
= (2 + p)u32 ( p)
0 = (2 + p)u0 u3 = (2 + p)u1 u3 = (2 + p)u2u3
g ik ui uk = 1:
Если при этом наложить изические ограничения
p 0;
p<
1 2
;
3
Математические структуры и моделирование. 2000. Вып. 6.
то получаем
8
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
:
131
1
2
<
2
p = +
2
2
=
p 2 p 1 1
ui = p ; 2
x ; 2
x ; 0 :
2
Вещественное скалярное поле описывается уравнением Клейна-Фока
1
p
g xi
p
g g ik
'
xk
m2 ' = 0:
(6)
Тензор энергии-импульса действительного скалярного поля определяется как
' ' 1
Tik = i k + gik m2 '2
x x
2
g mn
' '
;
xm xn
Предположим, что ' безмассовое поле и
'
'
'
= 2 = 3 = 0:
0
x
x
x
Сравнивая (4) и (7), а также учитывая уравнение (6), получаем:
1
' 2
=
2 4
2 x1 2x2
2 ' 2
=
x
2
x1
1 ' 2
2x1
=
x
2
x1 4x1 x2 = x1 x2
'
4x + 2 = x1
'
x1
2
22
4x
12
1
2 = (2x1 2
2 ' 2
2
=
2
x1
i1 ' = 0:
g
i
1
x
2
1
+ (2x2 2
2 '
1)
x1
x
Из этих соотношений находим:
2x1
' = p + onst:
2
'
1)
x1
2
(7)
132
Е.В. Палешева.
Новое решение уравнений Эйнштейна...
Осталось проинтерпретировать тензор Tik . Здесь, как и в предыдущем случае, можно говорить о вещественном безмассовом скалярном поле . Поступая,
как раньше, полагаем, что
(3)
= 1 = 3 = 0;
0
x
x
x
подставляя (5) в уравнения (6) и (7), имеем:
1
2
=
2 4
2 x2 2x2
2 2
=
x
2
x2
1
1 2
2x
=
x
2
x2 4x1 x2 = x1 x2
4x
22
1
2 = (2x2 2
2 2
x2 1)
x2
2
2
1
4x + 2 = + (2x1 2
2
x 2
2
2
=
2
x2
i2 g
= 0:
xi
x2
12
1)
x2
2
Этим уравнениям, как нетрудно проверить, удовлетворяет поле
2x2
= p + onst:
Если принять
= 2=
, то получим ѕпылевиднуюї материю, для которой
= 4=
; p = 0.
2
3.
Вторая интерпретация тензора энергии-импульса
ассмотрим электромагнитное поле и идеальную жидкость. Другими словами,
тензор энергии-импульса материи, создающей наше гравитационное поле, будет
определяться равенством
Tik = ( + p)uiuk
2
Имеем
Tik + gik = (2 + p)uiuk
1 1
Flm F lm gik
p gik +
4 4
Fil Fkl
n Fi l Fkl +
F F lm + 4
16 lm
:
o
p gik :
(8)
Математические структуры и моделирование. 2000. Вып. 6.
Пусть
133
p
p
1
ui = p ; 2
x2 ; 2
x1 ; 0 :
2
Тогда g ik ui uk = 1.
Примем, что только компонента F12 отлична от нуля. В результате:
Flm F lm =
(F12 )2 ;
2
16
8 F Fl=
4 1l 1
F Fl=
4 2l 2
(F )2 ;
4 12
(F )2 :
4 12
Подставляя эти выражения в (8) и используя (2), получим систему:
p
p
1
; 2
x2 ; 2
x1 ; 0)
2
o
3
2
1 n 2
=
(
+
p
)
+
(
F
)
+
p
2 2
2
n8 2 12
o
2
6x
2
= (2 + p)x2 + x2
(
F
)
+
p
8n
2 12
o
1
6x
2
= (2 + p)x1 x1
(
F
)
+
p
8 2 12 2
1 2
2
1 2
1 2
(F ) + p
12x x = 2( + p)
x x 2
x x
8 2 12
n o
2
2
22
2
22
22
12x + 2 = 2
( + p)x +
(F ) + (2x
1)
(F12 ) + p
2
4 12
8 2
2
2
12
12
12
12x + 2 = 2
( + p)x +
1)
(F ) + (2x
(F ) + p
4
12
8
2 12
n o
2
2
=
(
F
)
+
p
:
12
8 2
ui = ( p
ешение этой системы запишется в виде
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
= p
p 2 p 1 1
ui = p ; 2
x ; 2
x ; 0
2
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
16 (F12 )2 =
4
2
=
:
Откуда получаем ограничение на космологическую постоянную
4
0< :
134
Е.В. Палешева.
Новое решение уравнений Эйнштейна...
Нужно еще учесть уравнения Максвелла
8
>
>
>
<
Fik =
>
>
>
:
rk F ik =
Ai
xk
Ak
xi
4
j i;
где Ak 4-потенциал рассмотренного электро-магнитного поля, а rk ковариантная производная. В результате 4-вектор тока будет принимать значение
ji
=
F ; 0; 0; 0 =
4 12
p
4
; 0; 0; 0 :
Напряженность и индукция электрического и магнитного полей соответственно
равны [3, .331?
E = 0; D =
p2x
1
2x2
F
F12 ; 0 ;
12 ; p
3
3
2
2
1
1
F :
H = 0; 0; p 3 F12 ; B = 0; 0;
12
2
Если при этом взять = 0, то заполняющей пространство материей будет
"пыль" и электро-магнитное поле.
4.
Оценки
и
Оценим порядок величин и . Плотность материи во Вселенной считается
равной 3 10 31 г/см3 . В нашем решении в случае первой интерпретации тензора
энергии-импульса 1=2 , 1=
. Следовательно, 1058 см2 и 10 58 см 2 . Во второй интерпретации в силу малости имеем 1=2 1058 см2 .
5.
Машина времени
Покажем теперь, что метрика (1) допускает замкнутые времениподобные гладкие кривые. ассмотрим кривую
L = fx0 = onst; x1 = a sin t; x2 = a os t; x3 = onstg;
a = onst >
p1
2
:
В данной метрике она является времениподобной, т.е. gik dxi dxk > 0. Действительно,
gik dxi dxk = a2 g11 os t2 + g22 sin t2
p
т.к. a > 1=
2.
2g12 sin t os t = a2 (2a2
1) > 0;
135
Математические структуры и моделирование. 2000. Вып. 6.
асстояние, которое потребуется пройти Путешественнику в Прошлое или
Будущее, и его хронометрически инвариантное время вычисляются по следующим ормулам:
(L) =
l(L) =
I s
1
I
L
p
g0i dxi 2a2 2
pg = 00
g g
g + 0 0
g00
L
a 10
2
19
сек;
p
dx dx
dt = 2a a 1029 см:
dt dt
p
"Диаметр" области, содержащей Машину времени L, имеет порядок a l(L).
p
Из этих ормул видно, что, так как a > 1= 2, то для экскурсии в свое
прошлое путешественник затратит не менее 1019 сек или 1012 лет по часам .
Собственное время связано с часами соотношением
s(L) =
1
I r
L
gik
dxi
dxk
dt dt
dt =
1
I
L
s
1
dl
d
2
d:
Поэтому собственное время может быть сколь угодно малым, но при этом скорость Машины времени должна приближаться к скорости света. В любом случае необходимо преодолеть расстояния не менее 1029 см, что близко к радиусу
Вселенной.
Такие оценки справедливы в случае первой интерпретации тензора энергииимпульса.
В случае второй интерпретации дополнительно необходимо предполагать,
что наше решение является космологическим, т.е. описывает Вселенную. Если
рассматривается не космологическое решение, то можно брать сколь угодно
малым. Следовательно, (L) и l(L) можно сделать любыми. Правда, при этом
уменьшение влечет увеличение плотности .
Автор выражает благодарность А.К. уцу за рекомендованную тему и консультирование в процессе работы.
Литература
1. Van Stokum W.J. Gravitational field of a distribution of partiles rotating about an
axis of symmetry // Ro. R. So. Edin. 1937. V.57. P.135-154.
2. G
odel K. An example of a new type of osmologial solution of Einstein's field equation
of gravitation // Phys. Rev. mod. 1949. V.21. P.447-450.
3. Ландау Л.Д., Лишиц Е.М. Теория поля. М.: Наука, 1967.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
176 Кб
Теги
времени, решение, уравнения, эйнштейн, допускающих, pdf, новое, машина
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа