close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Использование метода функции размытия точки для анализа качества преобразования излучения при четырёхволновом взаимодействии на тепловой нелинейности (обзор).

код для вставкиСкачать
Компьютерная оптика, том 33, №1
2009
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА ФУНКЦИИ РАЗМЫТИЯ ТОЧКИ ДЛЯ АНАЛИЗА КАЧЕСТВА
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ ПРИ ЧЕТЫРЁХВОЛНОВОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ
НА ТЕПЛОВОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ (ОБЗОР)
В.В. Ивахник, Т.Г. Харская
Самарский государственный университет
Аннотация
Методом функции размытия точки изучено качество обращения волнового фронта четырёхволновым преобразователем излучения на тепловой нелинейности. Представлены результаты анализа зависимости ширины модуля функции размытия точки (ФРТ) от угла между волнами накачки, толщины нелинейного слоя, схемы четырёхволнового взаимодействия, частотного сдвига волн накачки и их пространственной структуры.
Ключевые слова: обращение волнового фронта, четырёхволновой преобразователь, тепловая нелинейность.
Введение
При использовании четырехволновых преобразователей излучения, обращающих в реальном масштабе времени волновой фронт, в системах коррекции фазовых искажений необходимо знать, насколько точно пространственно-временная структура
волны с обращенным волновым фронтом (ОВФ) соответствует пространственно-временной структуре,
падающей на четырехволновой преобразователь
волны. Знание такой связи позволяет определить как
характерный минимальный размер неоднородностей
искажающей среды, которые могут быть скомпенсированы при повторном прохождении волны с
ОВФ через эту среду, так и характерный минимальный временной масштаб изменения неоднородностей [1,2].
Вид этой связи существенным образом зависит от характеристик нелинейной среды, в которой осуществляется четырёхволновое взаимодействие.
Одним из распространённых методов анализа
качества преобразования излучения при многоволновых взаимодействиях является метод, основанный на нахождении и анализе функции размытия точки (ФРТ). Этим методом, к настоящему
моменту, достаточно подробно изучена точность
преобразования изображения при трехфотонных
параметрических взаимодействиях как с понижением, так и с повышением частоты [3-6], точность
обращения волнового фронта при четырёхволновом взаимодействии в средах с керровской нелинейностью [7-9].
При этом практически отсутствуют работы,
посвященные изучению качества обращения волнового фронта при четырёхволновом взаимодействии в средах с тепловым механизмом нелинейности [10-12]. До сих пор среды с тепловой нелинейностью являются наиболее перспективными
средами для обращения волнового фронта излучения среднего ИК-диапазона длин волн. Тепловая нелинейность присутствует и оказывает существенное влияние при четырехволновом взаимодействии и на других типах нелинейности [13-15].
1. Вырожденное четырехволновое
взаимодействие с плоскими волнами накачки [16]
Пусть в плоском слое с тепловой нелинейностью
толщиной ℓ распространяются две волны накачки с
комплексными амплитудами A1 и A2 , сигнальная
волна с амплитудой A3 . В результате вырожденного
четырехволнового взаимодействия ω + ω − ω = ω генерируется объектная волна с амплитудой A4 (рис.1).
а)
б)
Рис.1. Схемы четырёхволнового преобразователя
излучения с попутными волнами накачки (а); со
встречными волнами накачки (б)
Стационарное волновое уравнение, описывающее такое взаимодействие, имеет вид
 2  2 
   4


2 dn
δT  − 2ik α    ∑ Aj + к.с.  = 0 .(1)
∇ +  k  1 +
  n0 dT
   j =1



Здесь n0 – среднее значение показателя преломления, k – волновое число, α – коэффициент поглощения, δT – изменение температуры, обусловленное
выделением тепла при поглощении излучения.
Пространственное изменение температуры δT
описывается уравнением Пуассона
17
Использование метода функции размытия точки…
∇ 2 δT +
1
δq = 0 ,
Λc p ν
В.В. Ивахник, Т.Г. Харская
(2)
где Λ – коэффициент температуропроводности,
c p – удельная теплоемкость, ν – объемная плотность вещества. С учетом линейного по интенсивности поглощения излучения веществом
δq = αAA* .
(3)
Здесь α – коэффициент поглощения.
Будем рассматривать четырехволновое взаимодействие при следующих предположениях: 1) справедливо приближение заданного поля по волнам накачки
(A
2
1,2
вания мал
>> A3,4
(A
2
3
2
) ; 2) коэффициент преобразо-
>> A4
2
) ; 3) учитывается тепловая
решетка , образованная при интерференции первой
волны накачки с сигнальной волной (рассматривается случай, когда вторая волна накачки и сигнальная волна некогерентны).
Изменение температуры представим в виде суммы двух слагаемых:
δT = δT0 + δT31 + к.с. ,
(4)
одно из которых δT0 связано с распространением в
среде волн накачки, а другое δT31 – с интерференцией первой волны накачки с сигнальной волной.
Разложим составляющую изменения температуры δT31 по гармоническим решеткам
δT31 ( r ) =
∞
∫
δTɶ 31 (κ T , z ) exp(− iκ T ρ) d κT .
−∞
Здесь δTɶ31 – амплитуда спектра тепловой решет
ки, ρ ( x , y ) – поперечная составляющая радиус вектора r , κ T = κ1 − κ 3 = κ 4 − κ 2 – пространственный вектор гармонической решетки.
Пусть волны накачки являются плоскими волнами
A j ( r ) = Aj 0 ( z ) exp −i κ j ρ − ik jz z ,
j = 1, 2 .(5)
{
}
Сигнальную и объектную волны разложим по
плоским волнам
A3,4 (r ) =
∞
∫ Aɶ
3,4
−∞
(κ 3,4 , z ) exp {− iκ 3,4 ρ − ik3,4 z z} d κ 3,4 .
Здесь κ j и k jz – поперечная и продольная со
ставляющие волнового вектора k j .
Учитывая сделанные выше предположения, в приближении медленно меняющихся амплитуд волновое
уравнение (1) распадается на четыре уравнения вида
dAj 0
k
+i
dz
k jz
18
 k dn

δT0 − iα  Aj 0 = 0 , j = 1, 2 ,

 n0 dT

(6)

dAɶ 3 ( κ3 , z )
k  k dn
+i
δ T0 ( z ) − iα  ×

dz
k 3 z  n0 dT
(7)
 ,
× Aɶ3 (κ3 , z ) = 0
dAɶ 4 ( κ4 , z )
k  k dn

+i
δT0 ( z ) − iα  Aɶ 4 ( κ4 , z ) =

dz
k 4 z  n0 dT

=i
k 2 dn ɶ δT31 ( κT = κ4 − κ2 , z ) ×
k4 z n0 dT
(8)
× A 20 ( z ) exp {−i( k2 z − k 4 z ) z} .
При анализе уравнений (6-8) не будем учитывать
влияние изменения длины взаимодействия на амплитуды волн, распространяющихся в среде, т.е .
k / k jz ≈ 1 .
Уравнение Пуассона распадается на два уравнения
d 2 δT0
α
∗
+
A10 ( z ) A10∗ ( z ) + A20 ( z ) A20
( z) = 0
dz 2
Λc p ν
(
)
, (9)
d
2  ɶ
 2 − κT  δT31 ( κT , z ) =
 dz

α
=−
A10 ( z ) Aɶ 3∗ ( κ3 , z )exp{−i (k1 z − k 3 z ) z}.
Λc p ν
2
(10)
В предположении, что распространение волн не
меняет температуру на передней и задней гранях
нелинейной среды
δT ( z = 0) = δT ( z = ℓ ) = 0 ,
(11)
с учетом граничных условий
A10 ( z = 0) = A100 ,
Aɶ3 (κ3 , z = 0) = Aɶ30 ( κ3 ) ,
(12)
получим решения уравнений (6)-(7)
A10 ( z ) = A100 exp {−α z − iC ( z )} ,
Aɶ3 (κ3 , z ) = Aɶ30 ( κ3 )exp{−αz − iC ( z )} ,
(13)
k dn z
δT0 ( z1 ) dz1 .
n0 dT ∫0
С учетом изменения вдоль оси Z амплитуд волн
накачки и сигнальной волны уравнение (10) имеет
решение вида
fA0 Aɶ ∗
δTɶ31 ( κT , z ) = 2 10 302 ×
β − κT
где C ( z ) =
  1
× 
{exp( −κT z ) [exp( κT ℓ) − exp( −βℓ) ]} +

 2shκ T ℓ
(14)

1
+
exp( κT z ) [exp( −βℓ ) − exp( −κT ℓ) ]} −
{
2shκ T ℓ

− exp( −βz )
}
.
Здесь f = α Λ c p ν , κT = κT , β = 2α + i (k1z − k3 z ) .
Компьютерная оптика, том 33, №1
2009
Если четырёхволновое взаимодействие осуществляется в схеме с попутной геометрией и вторая
волна накачки – плоская A2 = A20 ( z )exp −ik 2 r , то
(
{
})
составляющая температуры δT0 имеет вид
δT0 =
{
1
I1  exp ( −2α z ) − 1 +
4αΛνc p
+ I 2 exp ( −2αℓ )  exp ( 2αz ) −1 +
(15)
z
+ 1 − exp ( −2αz )  ( I1 − I 2 ) ,
ℓ
( )
2
С учётом выражения (14) связь между амплитудой пространственного спектра объектной и амплитудой пространственного спектра сигнальной волны
на задней грани нелинейного слоя в схеме с попут
ными волнами накачки (рис.1 а) Aɶ 4 ( κ 4 , z = ℓ ) с точностью до постоянного множителя имеет вид
0 ɶ∗ fA100 A20
A30 ( κ3 )
ɶA ( κ
×
4
4 , z = ℓ) =
β2 − κT2
+
∞
1
×
2
β
−
κT2
−∞
0
G (ρ, z3 , z 4 ) = fA100 A20
∫
 exp ( −βℓ ) − exp ( κT ℓ ) 
 1
×
×
[ κT + ip]
 2shκT ℓ
×[exp ( κT ℓ − ipℓ ) − 1] +
+
0
где I j = Aj00 , A20
= A20 ( z = ℓ) .
 exp ( −βℓ ) − exp ( κT ℓ ) 
 1
×
×
[ κT + ip]
 2shκT ℓ
×[exp ( κT ℓ − ipℓ ) − 1] +
нейности в центре поля зрения ( ρ0 = 0 ) в параксиальном приближении примет вид
exp ( −βℓ ) − exp ( −κT ℓ )
1
×
2shκT ℓ
[ κT − ip ]
(17)
exp ( −2αℓ ) − 1 
×[exp ( −κT ℓ − ipℓ ) − 1] + 
×
2α

 κ2
 κ2
× exp i 4 z 4 − i 3 z3 − iκ 4ρ  d κ4 ,
2k
 2k

где κ3 = κ1 + κ 2 − κ4 . Выражение (17) полностью
описывает качество ОВФ четырехволновым преобразователем излучения. На рис.2 приведен характерный график зависимости нормированного на
максимальное ( Gmax ) значение модуля ФРТ
( Gɶ = G G ) от поперечной координаты.
max
(16)
exp ( −βℓ ) − exp ( −κT ℓ )
1
×
2shκT ℓ
[ κT − ip ]
exp ( −2αℓ ) − 1 
×[exp ( −κT ℓ − ipℓ ) − 1] + 
.
2α

Здесь p = ( k 4 z − k2 z ) .
В схеме со встречными волнами накачки (рис.1б)
выражение, связывающее амплитуду пространствен
ного спектра объектной волны Aɶ 4 ( κ 4 , z = 0) с амплитудой пространственного спектра сигнальной волны
на передней грани нелинейного слоя, совпадает с выражением (16) при замене параметра p на − p .
Пусть сигнальная волна распространяется от точечного источника, расположенного на расстоянии
z3 от передней грани нелинейного слоя (плоскость
фокусировки
сигнальной
волны):
A3 (ρ, z3 ) = δ (ρ − ρ0 ) . Будем рассматривать поле объектной волны на расстоянии z4 от задней грани нелинейного слоя (плоскость фокусировки объектной
волны) в схеме с попутными волнами накачки, на
расстоянии z4 от передней грани нелинейного слоя в
схеме со встречными волнами накачки.
ФРТ характеризует отклик линейной оптической
системы на точечный сигнал. С учетом (16) выражение для функции размытия точки четырехволнового преобразователя излучения, на тепловой нели-
Рис.2. Зависимость модуля ФРТ четырёхволнового
преобразователя излучения на тепловой нелинейности с
учётом одной тепловой решётки от поперечных
координат
Численный анализ выражения функции размытия точки проводился для излучения CO2 – лазера
(λ=10,6 мкм). В качестве нелинейной среды использовался сероуглерод (n0=1,6, α =1 см-1).
Количественной мерой качества ОВФ может служить ширина модуля ФРТ.
Направление координатных осей Х и Y выберем
таким образом, чтобы ось Х лежала в плоскости
волнового вектора первой волны накачки и точечного источника сигнальной волны, а ось Y была направлена перпендикулярно этой плоскости. Введем
понятие ширины модуля ФРТ в направлении осей X
19
Использование метода функции размытия точки…
В.В. Ивахник, Т.Г. Харская
и Y ( ∆x = x1 − x2 , ∆y = y1 − y 2 ), где x1,2 и y1,2 определяются из условий
G ( x = x1,2 , y = 0) =
1
Gmax ,
2
(18)
Ширина модуля ФРТ четырехволнового преобразователя излучения на тепловой нелинейности с
ростом толщины нелинейного слоя увеличивается
быстрее в схеме с попутными волнами накачки, чем
в схеме со встречными волнами накачки (рис.4).
1
G ( x = 0, y = y1,2 ) = Gmax .
(19)
2
Расчеты показывают, что при фиксированном
положении плоскости фокусировки сигнальной волны существует оптимальное положение плоскости
фокусировки объектной волны (плоскость оптимальной фокусировки), в пределах которой ширина
модуля ФРТ минимальна. Положения плоскостей
оптимальной фокусировки объектной волны при
рассмотрении ширины модуля ФРТ в направлениях,
задаваемых осями X z4 opt / / и Y z4opt ⊥ , различны.
(
)
(
)
На рис.3 приведены характерные графики зависимости ширины модуля ФРТ в направлении оси X
в плоскостях оптимальной фокусировки от направления распространения волн накачки как в схеме с
попутными (кривая 2), так и в схеме со встречными
(кривая 1) волнами накачки. Считалось, что волновой вектор второй волны накачки расположен в
плоскости XZ.
Рис.4. Зависимость ширины модуля ФРТ от толщины
нелинейного слоя: 1) схема со встречными волнами
накачки, κ1 / k = κ 2 / k = 0 ; 2) схема с попутными
волнами накачки, κ1 / k = −κ 2 / k = 0,017 рад
Как следует из выражения (17), при z3 ≠ 0 по
сравнению с z3 = 0 поворот волн накачки приводит к
смещению ФРТ в поперечном направлении на величи ну ( κ1 + κ 2 ) z3 / k , возникает постоянный фазовый на бег равный (κ1 + κ 2 ) 2 z3 / k . Смещение положения
максимума модуля ФРТ относительно положения ис
ходной точки ∆ζ , как и для четырехволнового пре-
( )
образователя в среде с керровской нелинейностью
[20], хорошо описывается выражением
( κ1 + κ2 ) 
ℓ 
∆ζ =
 z3 +
.
k
2n0 

Рис.3. Зависимость ширины модуля ФРТ от направления
распространения первой волны накачки при αℓ = 0, 3 :
1) схема со встречными волнами накачки, κ 2 / k = 0 рад ;
2) схема с попутными волнами накачки,
κ 2 / k = −0,017 рад
Минимальное значение ширины модуля ФРТ наблюдается при совпадении направлений распространения волн накачки в схеме с попутными волнами
накачки и при распространении строго навстречу
друг другу волн накачки в схеме со встречными волнами накачки. По мере отклонения направления распространения первой волны накачки от направления
распространения второй волны наблюдается монотонное увеличение ширины модуля ФРТ. Скорость
изменения ширины модуля ФРТ по мере отклонения
направления распространения первой волны накачки
от направления распространения второй волны в
схеме со встречными волнами накачки выше, чем в
схеме с попутными волнам накачки.
20
В схеме со встречными волнами накачки, распространяющимися строго вдоль оси Z, положение плоскости оптимальной фокусировки совпадает с положением плоскости фокусировки сигнальной волны.
2. Четырехволновое взаимодействие в схеме
с попутными волнами накачки, при учете двух
тепловых решеток [17,18]
Наряду с тепловой решеткой, образованной при
интерференции первой волны накачки и сигнальной
волны, существенную роль в характеристике четырехволнового преобразователя излучения может
сыграть учет еще одной тепловой решетки , возникающей при интерференции второй волны накачки
и сигнальной волны. Особенно это важно при рассмотрении четырехволнового взаимодействия в
схеме с попутными волнами накачки (рис.1а) при
условии, что как сигнальная, так и волны накачки –
это волны от одного и того же источника излучения.
В этом случае изменение температуры представим в виде суммы трёх слагаемых:
Компьютерная оптика, том 33, №1
2009
δТ = δТ 0 + δТ31 + δТ 32 + к.с.
(20)
Учитывая наличие в нелинейной среде двух тепловых решеток, представим объектную волну в виде
суммы двух волн A4 = A41 + A42 , каждую из которых
также разложим по плоским волнам
∞
A4 j ( r ) = ∫ Aɶ 4 j ( κ 4 j , z )exp{−iκ 4 j ρ − ik 4 jz z}d κ4 j , j = 1,2 .
качки). В качестве нелинейной среды возьмем ацетон ( α = 40см −1 , n0 = 1,36 ).
На рис .5 приведен характерный график зависимости от поперечных координат нормированного на
максимальное значение модуля функции размытия
точки, полученный методом численного анализа
выражения (22).
−∞
Проводя рассуждения, аналогичные рассуждениям, приведенным при наличии одной тепловой решетки, получим с точностью до постоянного множителя выражения для пространственных спектров
амплитуд объектной волны на задней грани нелинейного слоя
fA0 A0 Aɶ ∗ ( κ )
Aɶ 4 j ( κ4 j = κ j − κ3 , z = ℓ ) = 10 220 302 3 ×
β − κTj
(
)
 exp ( −βℓ ) − exp κTj ℓ 
 1

×
×
 κTj + ip
 2shκTj ℓ
(
)
×[exp κTj ℓ − ip j ℓ − 1] +
(21)
(
)
 exp ( −βℓ ) − exp −κTj ℓ 
1

×
+
2shκTj ℓ
 κTj − ip j 
 exp ( −2α ℓ ) − 1 
×[exp −κTj ℓ − ip j ℓ − 1] + 
,
2α

где
β j = 2α + i k jz − k3 z ,
κTj = κ j − κ3 ,
(
)
(
)
p1 = ( k 2 z − k 41z ) , p 2 = ( k1z − k 42 z ) . В параксиальном
приближении при условии, что волны накачки падают на нелинейную среду под одинаковыми угла
ми ( κ1 = −κ 2 ): p j = κ24 j − κ12 / 2k .
(
)
C учетом (14) получим с точностью до постоянного множителя выражение для функции размытия
точки четырехволнового преобразователя излучения
на тепловой нелинейности в схеме с попутными
волнами накачки в центре поля зрения в виде
exp ( −βℓ ) − exp ( κTj ℓ )
 1

×
G p (ρ, z3 , z4 ) = ∫ ∑ 
2
sh
κ
ℓ


Tj
−∞ j =1 

 κTj + ip 
∞
2
×[exp ( κ Tj ℓ − ip j ℓ ) − 1] +
+
exp ( −βℓ ) − exp ( −κTj ℓ )
1

×
2shκTj ℓ
κ Tj − ip j 
(22)
×[exp ( −κTj ℓ − ip j ℓ ) − 1] +
exp ( −2αℓ ) − 1 
+
×
2α

2
2
 κ4 j
κ
 × exp i
z4 − i 3 z3 − i κ 4 jρ  d κ4 j .
2
k
2
k


Будем считать, что волновые вектора волн накачки лежат в плоскости XZ (плоскость волн на-
Рис.5. Вид модуля функции размытия точки, угол между
волнами накачки 6º и αℓ = 1, 44
Из-за интерференции двух объектных волн A41 ,
A42 , генерируемых в нелинейной среде, вид модуля
функции размытия точки в плоскости волн накачки
имеет периодическую структуру с выраженным центральным максимумом. С увеличением угла между
волнами накачки увеличивается число максимумов.
Расстояние между максимумами и их ширина, в том
числе и ширина центрального максимума, уменьшаются.
Численный анализ выражения (22) показывает,
что при малых углах падения волн накачки на нелинейную среду κ j k << 1 и αℓ < 1 положение плоскостей z4opt ⊥ и z4 opt / / совпадает и определяется выражением вида
z4 opt ⊥ = z4 opt // = z 3 +
ℓ
.
n0
(23)
При фиксированном направлении распространения одной из плоских волн накачки, например, пер
вой (κ1 = const ) изменение направления распространения второй волны накачки приводит к изменению ширины модуля ФРТ в плоскостях
оптимальной фокусировки, изменению положений
плоскостей оптимальной фокусировки. При увеличении угла между волнами накачки наблюдается
резкое уменьшение ширины модуля ФРТ в плоскости волн накачки (кривые 1,2 на рис.6) и незначительное уменьшение ширины модуля ФРТ в плоскости перпендикулярной плоскости волн накачки
(кривые 3,4 на рис.6). При этом увеличивается и
расстояние между плоскостями оптимальной фокусировки z4 opt / / и z4opt ⊥ .
21
Использование метода функции размытия точки…
В.В. Ивахник, Т.Г. Харская
щенным волновым фронтом одновременно осуществлять перевод излучения с одной частоты на другую, что оказывается предпочтительно при решении
целого ряда задач. Первая волна накачки и сигнальная волна имеют частоты равные ω1 , а частоты объектной волны и второй волны накачки равны ω2 .
В схеме со встречными волнами накачки выражение для амплитуды пространственного спектра
объектной волны на передней грани нелинейного
слоя совпадает с выражением (16) при условии, что
(k1 − k3 ) z = ( κ 23 − κ12 ) / 2 k1 , p = (κ 24 − κ 22 ) / 2 k 2 в схеме
Рис.6. Зависимость ширины модуля ФРТ от угла, под
которым распространяется вторая волна накачки:
кривые 1,2 в плоскости волн накачки; кривые 3,4 в
плоскости перпендикулярной волнам накачки; κ1/k=0,017
рад; ℓ=400 мкм (2,4), 200 мкм (1,3)
Зависимость ширины модуля ФРТ в плоскости
волн накачки от угла между волнами накачки при
κ1,2 / k << 1 хорошо описывается параболической
функцией
2
 µ
∆x = ∆x0 1 − 2 [ κ1 − κ2 ]  ,
 k

(24)
где ∆x0 – ширина модуля ФРТ при совпадении на
правления распространения волн накачки ( κ1 = κ 2 ),
κ j = κ j , µ – параметр, характеризующий скорость
изменения ширины модуля ФРТ в зависимости от
угла между волнами накачки, возрастающий с увеличением толщины нелинейного слоя. При
ℓ = 400 мкм параметр µ = 179 .
С физической точки зрения, сужение модуля ФРТ в
плоскости волн накачки аналогично уменьшению ширины пятна при дифракции Фраунгофера на двух отверстиях с ростом расстояния между отверстиями.
Увеличение толщины нелинейного слоя приводит к относительному сдвигу положения плоскостей
оптимальной фокусировки к нелинейному слою.
При этом ширина модуля ФРТ в плоскостях оптимальной фокусировки z4 opt / / и z4opt ⊥ изменяется по
с попутными волнами накачки, p = − ( κ 24 − κ 22 ) / 2k 2 в
схеме
со
встречными
волнами
накачки,
k1 = ω1 n01 / c , k 2 = ω2 n02 / c , n01 и n02 – значения показателя преломления на частотах ω1 и ω2 .
Численный анализ выражения для ФРТ квазивырожденного четырехволнового преобразователя излучения проводился для излучения CO2 лазера
( λ = 10,6 мкм ) ,
которое записывает тепловую ре-
шётку и He − Ne лазера ( λ1 = 0, 63 мкм ) , который
генерировал вторую волну накачки. В качестве нелинейной среды использовался слой ацетона.
3.1.Схема со встречными волнами накачки
Пусть волны накачки распространяются вдоль
оси Z строго навстречу друг другу. В этом случае
ФРТ зависит от модуля поперечной координаты. На
рис.7 (кривая 1) приведен график зависимостей ширины модуля ФРТ в плоскости оптимальной фокусировки ( ∆ρ ) от отношения частот волн накачки.
закону прямо пропорциональному толщине нелинейного слоя в степени одна вторая
∆x = β1 ℓ , ∆y = β 2 ℓ .
(25)
Здесь β j – коэффициенты, β1 < β 2 . Величина ко-
Рис. 7. Зависимость ширины модуля ФРТ от отношения
частот волн накачки: 1) схема со встречными волнами
накачки, κ1 / k = κ 2 / k = 0 ; 2) схема с попутными
эффициента β1 уменьшается с увеличением угла
между волнами накачки.
волнами накачки, κ1 / k = −κ 2 / k = 0,017 рад ;
3. Квазивырожденное четырехволновое
взаимодействие [19]
Интерес к квазивырожденному четырехволновому взаимодействию ω1 + ω2 − ω1 = ω2 обусловлен
возможностью наряду с получением волны с обра-
Ширина модуля ФРТ в плоскости оптимальной
фокусировки минимальна при вырожденном четырехволновом взаимодействии. По мере отклонения
частоты второй волны накачки от частоты волн, записывающих тепловую решетку, ширина модуля
ФРТ монотонно возрастает.
22
α1ℓ = 1,6 ; k1ℓ = 322
Компьютерная оптика, том 33, №1
2009
При фиксированных параметрах волн накачки
увеличение толщины нелинейного слоя приводит к
монотонному росту ширины модуля ФРТ (рис.8.
кривая 1). Если нелинейная среда «тонкая» ( α ℓ < 1) ,
то, как и для вырожденного четырехволнового преобразователя излучения, ширина модуля ФРТ прямо
пропорциональна ℓ1 2 .
Пусть вторая волна накачки является плоской, а
амплитуда первой волны накачки меняется по гауссову закону
−
1


1
k  2
k 
1
− ikz  ,
A1 ( r ) =  2 + i
exp  −ρ2  2 + i


2
R
2
R
a

a


 (26)
A2 ( r ) = exp {ikz} .
Здесь 2a – диаметр волны накачки, R – радиус
кривизны волнового фронта. Выражение (26) может
быть использовано для оценки влияния на вид ФРТ
самовоздействия гауссовой волны накачки, приводящего к изменению кривизны волнового фронта.
При учете пространственной структуры волн накачки ФРТ четырехволнового преобразователя излучения есть когерентная сумма функций размытия
точки ( G (ρ, z3 , z4 , κ1 , κ 2 ) ), соответствующих плоским волнам накачки
∞
Gr (ρ, z3 , z4 ) =
∫ G(ρ, z , z , κ , κ
3
4
1
2
)d κ1d κ 2 .
(27)
−∞
С учетом (17), (26) выражение для ФРТ с точностью до постоянного множителя примет вид
Рис.8. Зависимость ширины модуля ФРТ от толщины
нелинейного слоя: 1) схема со встречными волнами
накачки; 2) схема с попутными волнами накачки; k2/k1=17
3.2. Схема с попутными волнами накачки
Пусть при распространении волн накачки вы полняется условие κ1 + κ 2 = 0 . В этой схеме изменение ФРТ четырехволнового преобразователя излучения зависит как от координаты x , так и от координаты y .
На рис.7 (кривая 2) для плоскости перпендикулярной плоскости волн накачки приведен график зависимости ширины модуля ФРТ в плоскости оптимальной фокусировки от отношения частот волн накачки. В плоскости волн накачки значение ширины
модуля ФРТ отличается от значения в плоскости
перпендикулярной плоскости волн накачки менее
чем на 1%. С увеличением частоты второй волны
накачки ширина модуля ФРТ в плоскости оптимальной фокусировки, монотонно убывая, выходит
на постоянное значение.
Как и в схеме со встречными волнами накачки ,
увеличение толщины нелинейного слоя приводит
к росту ширины модуля ФРТ ( рис .8. кривая 2).
При этом зависимости ∆x и ∆y от толщины нелинейного слоя с точностью 0,1% при k 2 k1 ≈ 17
совпадают .
4. Влияние пространственной структуры
волн накачки [16,17]
4.1. Одна тепловая решетка
Рассмотрим вырожденное четырехволновое
взаимодействие в схеме со встречными волнами накачки при условии записи в нелинейной среде тепловой решетки δT31 .
Gr (ρ , z 3 , z 4 ) =
∞ ∞
∫∫β
−∞ −∞
2
1
×
− κ T2
 exp ( −β ℓ ) − exp ( κ T ℓ ) 
 1
×
[exp ( κ T ℓ − ipℓ ) − 1] +
[κT + ip ]
 2shκ T ℓ
+
 exp ( −β ℓ ) − exp ( −κ T ℓ ) 
1
×
2 shκ T ℓ
[κT − ip ]
(28)
 exp ( − 2αℓ ) − 1 
×[exp ( −κ T ℓ − ipℓ ) − 1] + 
×
2α

−1
 κ2  1
k  
× exp  − 1  2 + i
×
2R  
 4  a
 κ2
κ2
 × exp  i 4 z 4 − i 3 z3 − i κ 4ρ  d κ1d κ 4.
2
k
2
k


На рис.9 (а, б) сплошными линиями приведены
характерные графики зависимости ширины модуля
ФРТ от радиуса волны накачки, кривизны волнового
фронта, полученные при численном анализе выражения (28). В качестве нелинейной среды рассматривался сероуглерод ( α = 1 см −1 , n0 = 1, 6 ).
Уменьшение радиуса волны накачки, увеличение
кривизны ее волнового фронта приводит к увеличению расходимости волны накачки и, как следствие ,
к увеличению ширины модуля ФРТ четырёхволнового преобразователя. По мере удаления плоскости
фокусировки объектной волны от передней грани
нелинейного слоя скорость изменения ширины модуля ФРТ с увеличением расходимости волны накачки возрастает .
Для качественного анализа влияния пространственной структуры волны накачки на качество ОВФ
заменим ФРТ четырехволнового преобразователя
излучения с плоскими волнами накачки в плоскости
оптимальной фокусировки гауссовой функцией
23
Использование метода функции размытия точки…

1
ℓ
 1  κ 
G1 (ρ, z3 , κ1 ) = exp − 2  ρ − 1  z3 +

b0
b
k 
2n0
 0 
В.В. Ивахник, Т.Г. Харская
Gs1 (ρ, z3 ) =
2

  +

(29)
κ2 
ℓ  
+i 1  z3 +
 .
2k 
2n0  
Здесь b0 – параметр, характеризующий ширину
модуля ФРТ в случае плоских волн накачки, распространяющихся строго навстречу друг другу. При записи выражения (29) учитывали, что для плоских
волн накачки при совпадении плоскостей фокусировки сигнальной и объектной волн ( z3 = z4 ) пово
рот первой волны накачки на угол κ1 / k приводит
к смещению изображения в поперечном направле
κ1 
ℓ 
нии на величину
 z3 +
 , возникает постоянk 
2n0 
κ2 
ℓ 
ный набег фазы равный 1  z3 +
.
2k 
2n0 

 2
 ρ
= exp  − 2
 b0


где Rd =


 1



+
η

tη

1 + ξ2

 ,


2
2 
1 −
  1 + tη  +  ξ + η  
 
 
2
  1 + ξ 2
  1+ ξ
  
(30)
R
z + ℓ 2n0
ka 2
kb 2
, Rg = 0 , ξ = d , t = 3
,
Rg
2
2
R
z3 + ℓ 2n0
.
Rd
Используя (30), найдём приближённые выражения для ширины модуля ФРТ в двух предельных
случаях: 1) опорная волна с плоским волновым
фронтом (R=∞), 2) опорная волна от точечного источника (а=0)
η=
∆ρ1 = 2b0

t η (1 + η) 

ln 2 1 −
2
 (1 + t η) + η2 
−
1
2
,
(31)
−1


R
∆ρ2 = 2b0 ln 2 1 +
 ×
 z 3 + ℓ 2n0 
(32)
12
2



R
2
×  1 +
 +t  .
 z3 + ℓ 2n0 

Из выражения (32) следует, что максимальное
увеличение ширины модуля ФРТ при изменении
кривизны волнового фронта волны накачки на блюдается при расположении точечного источни ка опорной волны на передней грани нелинейного
слоя
а)
б)
Рис.9. Зависимость ширины модуля ФРТ от а) радиуса
первой волны накачки, αℓ=0,3, z3/ℓ=0 (1), 7 (2,3); б)
кривизны волнового фронта волны накачки, αℓ=0,3, z3/ℓ=7
Подставив (29) в (27), получим приближенное
выражение для ФРТ. Модуль приближенного выражения для ФРТ c точностью до постоянного множителя имеет вид
24
{
∆ρ2 ( R = 0) = 1 + t 2
}
12
∆ρ2 ( R = ∞) .
(33)
Штриховыми линиями на рис.9 изображены графики зависимости ширины модуля ФРТ, полученные с использованием выражения (30). Наблюдается
качественное соответствие зависимостей ширины
модуля ФРТ, полученных как с использованием
точного, так и приближенного выражений для ФРТ.
Отличие значений ширины модуля ФРТ, полученных с использованием точного и приближенного
выражений, по-видимому, связано с наличием у
ФРТ, рассчитанной по формуле (17), широких «хвостов», которые не учитываются при аппроксимации
функции размытия точки гауссовой функцией.
4.2. Две тепловые решетки
Рассмотрим вырожденное четырехволновое
взаимодействие в схеме с попутными волнами накачки при условии записи в нелинейной среде тепловых решеток δT31 и δT32 .
Пусть одна из волн накачки, например, вторая
является плоской, а пространственный спектр амплитуды первой волны накачки меняется по гауссову закону
Компьютерная оптика, том 33, №1
2009
 a 2 ( κ1 − κ10 ) 2 
Aɶ1 ( κ1 , z = 0) = exp  −
,
4
(34)


Aɶ 2 ( κ2 , z = 0) = δ ( κ2 − κ20 ) .
Подставив в (27) выражение для ФРТ при условии плоских волн накачки (22) с учетом (34), получим выражение для функции размытия точки четырехволнового преобразователя излучения на тепловой нелинейности с попутными волнами накачки,
которое в центре поля зрения с точностью до постоянного множителя имеет вид
∞ ∞ 2 
 exp ( −βℓ ) − exp κ Tj ℓ 
 1

×
Gr 2 = ∫ ∫ ∑ 
2
sh
ℓ
κ
ip

κ
+

j
=
1
Tj

−∞ −∞

 Tj

(
G2 ( x ) =
4π
×
8πµx + a 2 a02
2
 x2
 2  8µx 2 −1  

2 a
× exp  − 2 − ( κ10 − κ20 )  + 1 + 2 2   
 4  a a0   
 a0


. (37)
)
×[exp ( κ Tj ℓ − ip j ℓ ) − 1] +
+
 exp ( −βℓ ) − exp ( −κTj ℓ ) 
1

×
2shκTj ℓ
 κTj − ip j 
×[exp ( −κTj ℓ − ip j ℓ ) − 1] +
(35)
exp ( −2αℓ ) − 1 
 κ 24 j
κ2

+
exp
z 4 − i 3 z 3 − i κ4 jρ  ×

i
2α
2
k
2
k



 a 2 ( κ1 − κ10 ) 2  × exp  −
 d κ4 j d κ1 .
4


Заметим, что при выводе выражений (28), (35) не
учитывалось изменение температуры (δT0) вследствие
распространения в нелинейной среде волн накачки.
В качестве нелинейной среды рассматривался
ацетон ( α = 40см −1 , n0 = 1,36 ).
Численный анализ выражения (35) показывает,
что увеличение расходимости волны накачки приводит к монотонному уменьшению ширины модуля
ФРТ. Такая зависимость перестаёт выполняться, начиная с определённого значения расходимости, при
котором величина центрального максимума модуля
ФРТ становится меньше, чем удвоенная величина
соседних максимумов. С увеличением расходимости
сближаются значения ширины модуля ФРТ в плоскости волн накачки и в плоскости перпендикулярной волнам накачки (рис. 10. кривые 1,2).
Для качественного анализа влияния расходимости
волны накачки на вид ФРТ в плоскости волн накачки
заменим ФРТ черырехволнового преобразователя с
плоскими волнами накачки гауссовой функцией


1

x2

′
G ( x, κ1 , κ 2 ) =
exp  −
, (36)
2 
2
∆x0
 a02 1 − µ ( κ1 − κ 2 )  

 

где a0 = 0,6 ∆x0 . При записи выражения (36) учитывали изменение ширины модуля ФРТ в зависимости
от угла между плоскими волнами накачки по параболическому закону (24).
Подставив (36) в (27) и проинтегрировав по d κ1
и d κ 2 , получим приближенное выражения для ФРТ
в виде
Рис.10. Зависимость ширины модуля ФРТ в плоскости
волн накачки (1,3), в плоскости перпендикулярной волнам
накачки (2) от расходимости второй волны накачки;
κ10 = −κ20 ; κ10/k=0,017 рад.; ℓ=400 мкм
На рис.10 (кривая 3) приведена зависимость ширины модуля ФРТ от расходимости волны накачки,
рассчитанная с использованием выражения (37).
Наблюдается качественное согласие полученных зависимостей как с использованием точного, так и
приближенного выражений для ФРТ. Однако с увеличением расходимости волны накачки отличие
между точным и приближенным значениями ширины модуля ФРТ возрастает, что связано, повидимому, с нарушением параболической зависимости ширины модуля ФРТ в случае плоских волн накачки с ростом угла между волнами накачки.
Заключение
Проведем сравнение полученных в работе численных результатов ширины модуля ФРТ, определяющей
разрешение четырехволнового преобразователя излучения, с имеющимися экспериментальными результатами.
В работе [11] представлены результаты эксперимента по восстановлению волнового фронта при вырожденном четырёхволновом взаимодействии на тепловой нелинейности. Запись тепловой решётки осуществлялась излучением CO2-лазера в схеме со
встречными волнами накачки, в качестве нелинейной
среды использовался CCℓ4. Удалось скомпенсировать
искажения, внесённые в сигнальную волну фазовой
пластинкой с характерным размером неоднородностей
около 400 мкм. Таким образом, экспериментально полученное разрешение четырёхволнового преобразователя излучения составило не менее 400 мкм. К сожалению, в работе не уточняется толщина нелинейного
слоя и положение плоскости фокусировки объектной
волны, которые использовались в эксперименте по
компенсации фазовых искажений. Авторы осуществ25
Использование метода функции размытия точки…
ляли четырехволновое взаимодействие в нелинейной
среде, толщина которой менялась от 100 мкм до 5 мм.
Ширина модуля ФРТ, рассчитанная с использованием выражения (17), в области оптимальной фокусировки при толщине слоя четыреххлористого углерода
ℓ=600 мкм (именно при такой толщине в работе [12]
коэффициент отражения достигал максимального значения) составляет 80 мкм. При увеличении толщины
нелинейной среды до 3 мм ширина модуля ФРТ в области оптимальной фокусировки увеличилась до 130
мкм, отстройка области фокусировки объектной волны
от области оптимальной фокусировки на 6 мм приводит к увеличению ширины модуля ФРТ до 440 мкм.
В работе [12] экспериментально исследовалось
преобразование изображения при квазивырожденном четырёхволновом взаимодействии на теплой
нелинейности в схеме со встречными волнами накачки. Тепловая решётка записывалась излучением
CO2 лазера, вторая волна накачки генерировалась
He–Ne лазером (λ1=0,63мкм). В качестве нелинейной
среды рассматривался слой ацетона. Экспериментально было зарегистрировано изображение одномерной сетки с диаметром проволоки 35 мкм. Изображение проволоки было размыто до 150 мкм.
Численный анализ выражения ФРТ квазивырожденного четырехволнового преобразователя излучения с учетом частот волн накачки, параметров нелинейной среды, взятых из работы [12], показывает,
что ширина модуля ФРТ в плоскости оптимальной
фокусировки в схеме с плоскими встречными волнами накачки равна 57 мкм. Отстройка плоскости
фокусировки сигнальной волны от плоскости оптимальной фокусировки на 3 мм приводит к увеличению ширины модуля ФРТ до 91 мкм.
Таким образом, сравнение экспериментальных и
численных значений разрешений четырехволновых
преобразователей излучения показывает их хорошее
качественное совпадение.
Литература
В.В. Ивахник, Т.Г. Харская
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
1. Воронин, Э.С. Использование вырожденных параметрических процессов для коррекции волновых
фронтов / Э.С. Воронин, В.М. Петникова, В.В. Шувалов // Квантовая электроника. -1981. – Т.8. №5. –
С.917-934.
2. Воронин, Э.С. Компенсация фазовых искажений при
вырожденном четырёхволновом взаимодействии / Э.С.
Воронин [и др.] // Квантовая электроника. -1979. – Т.6.
№9. – С.2009-2013.
3. Стрижевский, В.Л. Параметрическое преобразование
инфракрасного излучения с повышением частоты и
его применение / В.Л. Стрижевский, Э.С. Воронин //
УФН. -1989. – Т.127. -№1. – С.99-133.
4. Гайнер, А.В. Преобразование изображения из ИКобласти в видимую с большой угловой апертурой / А.В.
Гайнер, Г.В. Кривощеков, Р.И. Соколовский // Оптика и
спектроскопия. -1973. – Т.34. В.2. – С.401-407.
5. Корниенко, Н.Е. Визуализация инфракрасных изображений методами нелинейной оптики/ Н.Е. Корни-
18.
19.
20.
енко, В.С. Овечко, В.Л. Стрижевский // Квантовая
электроника. -1975. – В.9. –С.148-179.
Воронин, Э.С. Компенсация фазовых искажений при
трёхчастотном параметрическом взаимодействии /
Э.С. Воронин [и др.] // Квантовая электроника. -1979. Т.6. -№6. -С.1304-1309.
Ивахник, В.В. Точность обращения волнового фронта
(ОВФ) при четырехфотонном параметрическом взаимодействии / В.В. Ивахник, Г.Э. Некрасова, В.И. Никонов //
Оптика и спектроскопия. -1990. – Т.68. В.3. –С.620-624.
Ивахник, В.В. Качество обращения волнового фронта
при попутном четырёхфотонном взаимодействии /
В.В. Ивахник, Э.Г. Мартасова, В.И. Никонов // Оптика
и спектроскопия. -1991. – Т.70. В.1. – С.118-122.
Ивахник, В.В. Качество отражения падающей волны
четырехволновым «ОВФ-зеркалом» / В.В. Ивахник,
В.И. Никонов // Оптика и спектроскопия. -1991. -Т.71.
В.5. – С.847-851.
Ивахник, В.В. Функция размытия точки четырёхволнового “ОВФ-зеркала” на тепловой нелинейности /
В.В. Ивахник, В.И. Никонов // Оптика и спектроскопия, 1997. – Т.82. В.1. – С.55-59.
Бетин, А.А. Отражение излучения СО2-лазера при вырожденном четырёхволновом взаимодействии в жидкостях / А.А. Бетин, Е.А. Жуков, О.В. Митропольский //
Квантовая электроника. -1985. – Т.12. -№9. –С.1890-1894.
Бетин, А.А. Регистрация излучения среднего ИК диапазона при записи фазовых голограмм в поглощающих жидкостях / А.А. Бетин [и др.] // Журнал технической физики. -1987. – Т.57. -№5. – С.925-931.
Иванов, В.И. Динамические голограммы в микрогетерогенных жидкофазных средах / В.И. Иванов [и др.]
// Оптический журнал, 2004. – Т.71. №9. – С.26-27.
Иванов, В.И. Термодиффузный механизм записи амплитудных динамических голограмм в двухкомпонентных средах / В.И. Иванов, К.Н. Окишев // Письма
в ЖТФ. -2006. – Т.32. -№22. – С.66-68.
Betin, A.A. 200 W phase-conjugate mirror for CW radiation / A.A. Betin [and other] // Optics Comm. -2008. V.281. – P.3143-3148.
Ивахник, В.В. Пространственная селективность динамических голограмм на тепловой нелинейности / В.В.
Ивахник, В.И. Никонов, Т.Г. Харская // Физика волновых процессов и радиотехнические системы -2008. Т.11. -№4. -С.71-76.
Ивахник, В.В. Анализ пространственных характеристик четырёхволнового преобразователя излучения на
тепловой нелинейности в схеме с попутными волнами
накачки / В.В. Ивахник, В.И. Никонов, Т.Г. Харская //
Компьютерная оптика. -2006. – В.30. – С.4-6.
Ивахник, В.В. Влияние структуры волны накачки на пространственные характеристики четырёхволнового преобразователя излучения на тепловой нелинейности в схеме с
попутными волнами накачки / В.В. Ивахник, Т.Г. Харская
// Компьютерная оптика. -2007. – Т.31. -№4. – С.40-43.
Ивахник, В.В. Качество обращения волнового фронта
квазивырожденным четырёхволновым преобразователем
излучения на тепловой нелинейности / В.В. Ивахник,
В.И. Никонов, Т.Г. Харская // Известия Самарского научного центра РАН. -2007. – Т.9. -№3. – С.635-639.
Глушенкова О.П. Качество обращения волнового
фронта при четырёхфотонном параметрическом взаимодействии с поворотом / О.П. Глушенкова В.В.
Ивахник, В.И. Никонов // Квантовая электроника. 1985. – Т.12. -№5, – С.439-441.
В редакцию поступила 20.01.2009г.
26
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа