close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Анализ осевого распределения формируемого фраксиконом в параксиальном и непараксиальном случаях..pdf

код для вставкиСкачать
Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т. 15, №4, 2013
УДК 535.42
АНАЛИЗ ОСЕВОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, ФОРМИРУЕМОГО ФРАКСИКОНОМ
В ПАРАКСИАЛЬНОМ И НЕПАРАКСИАЛЬНОМ СЛУЧАЯХ
© 2013 А.В. Устинов1,2, С.Н. Хонина1,2, А.В. Карсаков2
1
2
Институт систем обработки изображений РАН, г. Самара
Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева
(национальный исследовательский университет)
Поступила в редакцию 23.04.2013
В работе аналитически и численно рассмотрено действие нового дифракционного оптического элемен
та с дробной степенью зависимости фазы от радиуса фраксикона, являющегося обобщением таких
классических элементов как аксикон и линза. На основе метода стационарной фазы получены анали
тические выражения для осевого распределения, формируемого фраксиконом в параксиальном при
ближении. Также выполнено численное моделирование действия фраксикона как в параксиальном,
так и непараксиальном случаях с использованием метода разложения по плоским волнам. Анализ
полученных результатов показал, что аналитические выражения обеспечивают высокую точность рас
чета для дробных степеней, близких к единице, даже при высоких значениях числовой апертуры.
Ключевые слова: фраксикон, метод стационарной фазы, метод разложения по плоским волнам,
числовая апертура.
ВВЕДЕНИЕ
ционным элементом (названным фраксиконом),
фаза которого имеет дробную степень зависимос
ти от радиальной координаты. В этой же работе
было показано, что за счет вариации параметров
можно получить аналог не только линзакона, но и
логарифмического аксикона, но без сингулярнос
ти в центральной части оптического элемента.
Рефракционные аналоги таких элементов ис
следовались в работе [9] в рамках геометроопти
ческой модели. Оптический элемент назван обоб
щенной линзой, так как при конкретных парамет
рах он сводится к классическим элементам, таким
как параболическая линза или аксикон. Однако
вариации параметров позволяют получать в од
ном элементе комбинированные свойства набора
из двух и более оптических элементов.
Исследование фокусирующих свойств обоб
щенной линзы по сравнению с классическими
оптическими элементами является актуальными
для многих приложений, так как позволит заме
нить набор оптических элементов одним дифрак
ционным элементом.
В данной работе на основе метода стацио
нарной фазы получены аналитические выраже
ния для осевого распределения, формируемого
фраксиконом в параксиальном приближении.
Также выполнено численное моделирование
действия фраксикона как в параксиальном, так
и непараксиальном случаях с использованием
метода разложения по плоским волнам. Опре
делены границы корректности полученных ана
литических выражений в зависимости от пара
метров оптического элемента, включая его чис
ловую апертуру.
Сочетание аксикона с линзой, называемое
иногда линзаконом [1], позволяет управлять как
продольным, так и поперечным распределением
лазерных пучков [15].
Под аксиконом [6] понимается любой опти
ческий элемент, обладающий осевой симметри
ей, который за счет отражения и/или преломле
ния преобразует свет от точечного источника,
расположенного на оптической оси, в осевой от
резок. В этом состоит отличие аксикона от лин
зы, которая изображает точечный источник в точ
ку, и его преимущество. К сожалению, это пре
имущество аксикона сопровождается низким
качеством изображения при использовании его
как отдельного изображающего элемента [7, 8].
Также другое преимущество аксикона изобра
жение точки с меньшим поперечным дифракци
онным пределом (меньшим расплыванием) –
имеет своим продолжением в качестве недостат
ка более высокий уровень боковых лепестков, что
также препятствует получению качественного
изображения.
В работе [4] было показано, что при использо
вании средств дифракционной оптики тандем
линза+аксикон можно заменить одним дифрак
Устинов Андрей Владимирович, ведущий программист,
аспирант СГАУ. E!mail: andr@smr.ru
Хонина Светлана Николаевна, доктор физико!матема!
тических наук, профессор, ведущий научный сотрудник.
E!mail: khonina@smr.ru
Карсаков Алексей Владиславович, студент.
E!mail: karsakv.aleksejj@rambler.ru
18
Физика и электроника
1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Имеем две стационарные точки:
r1 = 0,
Рассмотрим радиальносимметричный диф
ракционный оптический элемент, фаза которого
имеет дробную степень зависимости от радиаль
ной координаты – фраксикон:
γ
τ ( r ) = exp ⎡ −i ( kα 0 r ) ⎤ , r ≤ R ,
⎣
1
⎛ k 1−γ ⎞ γ −2
r2 = ⎜
.
γ ⎟
γ
z
α
0 ⎠
⎝
(1)
⎦
Точка перегиба:
где k = 2π / λ , α 0 – безразмерный коэффициент,,
связанный с числовой апертурой оптического эле
мента и определяющий степень фокусировки.
Дифракция плоской волны на оптическом
элементе (1) в параксиальном случае вычисля
ется по формуле:
1
⎛
⎞γ −2
k 1−γ
rp = ⎜
.
γ ⎟
⎝ γ (γ − 1) zα 0 ⎠
f (r1) = 0, f ′′(r1) = +∞;
2
⎛ k1−γ ⎞γ −2 k1−γ ⎛ 2 ⎞
(γ − 2)k1−γ
′
f (r2 ) = ⎜
1
,
f
(
r
)
. (7)
−
=
2
⎟
γ ⎟
γ ⎜
zα0γ
⎝ γ zα0 ⎠ 2zα0 ⎝ γ ⎠
R
⎡ ikr 2 ⎤ ⎛ kr ρ ⎞
×∫ τ ( r ) exp ⎢
⎥ J0 ⎜
⎟ rdr .
⎣ 2z ⎦ ⎝ z ⎠
0
Классический метод стационарной фазы в
данной ситуации применим только во второй ста
ционарной точке. Первая стационарная точка
(нуль) (даже если мы не подставим r = r0 = 0 в
нефазовый множитель, что дало бы в ответе
нуль) не может быть использована изза беско
нечности второй производной.
Поэтому нам придётся отказаться от приме
нения классического МСФ и действовать следу
ющим образом. Разделим отрезок интегрирова
ния в точке перегиба (6). Тогда общая амплитуда
равна сумме:
(2)
На оптической оси формула (2) примет вид:
R
2
⎡
k
γ ikr ⎤
U ( ρ = 0, z) = exp(ikz)∫ exp⎢−i ( kα0r) + ⎥ rdr . (3)
iz
2z ⎦
⎣
0
Для вычисления интеграла в формуле (3)
воспользуемся методом стационарной фазы
(МСФ) [10]. Этот метод основан на том, что при
быстро осциллирующей подынтегральной фун
кции главный вклад дают окрестности точек, в
которых частота (производная от фазы) равна
нулю. Поэтому выполним разложение фазовой
функции в (3) в ряд Тейлора и запишем прибли
жённое равенство:
U ( z ) = U1 ( z ) + U 2 ( z ) .
Естественно, что второй отрезок существует
только при R > rp .
Интеграл по первому интервалу ⎡⎣ 0, rp ⎤⎦ вы
числяется без разложения фазовой функции в ряд
Тейлора. Само использование ряда Тейлора сво
дится к обрыванию ряда на слагаемом второй сте
пени. Например, при γ > 2 в нулевой стационар
ной точке можно отбросить слагаемое r γ , имею
щее более высокий порядок малости. Здесь по
exp(if (r )) ≈ exp(i[ f (r0 ) + f ′′(r0 )(r − r0 )2 / 2]), (4а)
в котором точка r0 определяется из условия:
(4б)
Если стационарных точек несколько, то про
изводится разбиение отрезка интегрирования.
В классическом МСФ остальные множители
в подынтегральной функции заменяются значе
ниями при подстановке r = r0 , а пределы интегри
рования расширяются до бесконечных. Естествен
но, предполагается, что стационарная точка ле
жит внутри отрезка интегрирования и не очень
близко к его концу. Если она совпадает с концом
отрезка, то соответствующий ей предел интегри
рования заменяется нулём (а не бесконечностью).
В нашем случае надо проанализировать
функцию:
f (r ) = rγ −
(6)
Значения в стационарных точках:
⎡
k
ik ρ 2 ⎤
U ( ρ , z ) = exp ⎢ikz +
⎥×
iz
2z ⎦
⎣
f ′( r0 ) = 0 ,
(5)
аналогии мы могли бы отбросить слагаемое
k 1−γ r 2
.
2 zα 0γ
Такой способ имеет два недостатка. Один со
стоит в том, что результат выражается через спе
циальные функции, для которых нет легко дос
тупных таблиц. Второй заключается в том фак
те, что при некоторых значениях параметра g и
величины
k 1−γ 2
r
2 zα 0γ
k 1−γ
, пренебрежение слагаемым
2 zα 0γ
k 1−γ r 2
может стать некорректным. Воспользу
2 zα 0γ
в диапазоне 1 < γ < 2 .
19
Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т. 15, №4, 2013
много меньше. В частном примере r 3 / 2 − r 2 оно
становится меньше только в 1.8 ≈ 1.34 раза.
3) Взвешенный метод наименьших квадратов.
Так как осцилляции увеличиваются с ростом
r , нам важнее приблизить функцию вблизи нуля,
поэтому весовую функцию возьмём убывающей.
Если выбрать линейный вес, то находим мини
мум интеграла
емся эмпирическим приёмом, позволяющим из
бавиться от обеих проблем.
Обоснованием этого приема является вид
графика функции r 3 / 2 − r 2 (частный пример
общей формулы) на участке её неотрицательно
сти. Так как особенность у второй производной
(в отличие от особенности первой производной
и тем более самой функции) визуально никак не
проявляется, то на участке ⎡⎣ 0, rp ⎤⎦ функцию
1−γ
rp
⎛ γ k 1−γ r 2
2⎞
∫0 ⎜⎝ r − 2 zα 0γ − β r ⎟⎠
2
k r
r −
можно приблизить функцией β r 2 ,
γ
2 zα 0
γ
β=
U 1 ( ρ = 0, z ) =
k
≈
z
=
rp
⎡
γ
∫0 exp ⎢ −i ( kα 0 )
⎣
⎛ γ k 1− γ r 2 ⎞ ⎤
⎜r −
⎟ ⎥ rdr ≈
2 zα 0γ ⎠ ⎦
⎝
rp
γ
∫ exp ⎡⎣ −i ( kα ) β r
0
0
1− γ
2
⎤ rdr =
⎦
U1 ( ρ = 0, z) =
Далее оценим параметр β . Приближение
можно делать разными способами, приведём три
из них.
1) Метод коллокации.
Приравниваем значения функций на концах
отрезка.
Равенство на левом конце выполняется само
по себе, а на правом даёт уравнение
=
(
)
1
2−γ
(10)
⎤ ⎫⎪
1
.
−
⎥ ⎬
⎥⎦ ⎭⎪
i ⎛
k
⎡
⎤ ⎞
⎜ exp ⎢ − iμ R 2 ⎥ − 1⎟ . (10а)
μ⎝ ⎣
2z ⎦ ⎠
Но более точным (так как отрезок интегри
рования стал короче) будет применить (8) с дру
гим значением β , полученным тем же способом,
что и в (9), но на основе другого отрезка.
По методу коллокации получается
(9а)
β = Rγ −2 −
Выражение получается простым, но можно
доказать, что такое приближение будет с недо
статком на всём отрезке.
2) Метод наименьших квадратов.
Находим минимум интеграла
k1−γ
5 γ −2 k1−γ
R −
β
=
,
а
по
МНК
2 zα0γ
2zα 0γ
γ +3
(взвешенный МНК в таком виде не рассмотрен,
но вид будет аналогичным).
Отметим, что полученные выражения для β
имеют вид
2
⎛ γ k 1−γ r 2
2⎞
∫0 ⎜⎝ r − 2 zα 0γ − β r ⎟⎠ dr ,
β = μ ′R
γ −2
k 1−γ
.
−
2 zα 0γ
Подставив в (8) значение
R < rp :
который достигается при значении
k
β=
2 zα 0γ
i ⎧⎪ ⎡ 1
2
γ
2γ
⎨exp ⎢ − iμ α0 ( γ (γ − 1)) (kz )
μ ⎩⎪ ⎢⎣ 2
U1 ( ρ = 0, z ) =
решая которое, найдём:
⎛ 2
⎞
− 1⎟ .
⎜
⎝ γ (γ − 1) ⎠
i⎛
k ⎤ ⎞
⎡
exp ⎢−iμ rp2 ⎥ − 1⎟ =
⎜
μ⎝
2z ⎦ ⎠
⎣
Если окажется, что R < rp , то можно приме
нить (8)(10) с заменой верхнего предела:
⎛ γ k 1−γ r 2 ⎞
= β rp2 ,
⎜r −
γ ⎟
2 zα 0 ⎠ r = r
⎝
p
1−γ
⎛
⎞
60
− 1⎟ . (9в)
⎜
⎝ (γ + 4)(γ + 3)γ (γ − 1) ⎠
Тогда с учётом (6) равенство (8) примет вид
}
rp
k 1−γ
2 zα 0γ
k 1−γ
β=
μ.
2 zα 0γ
(8)
{
k 1−γ
2 zα 0γ
⎞
⎟⎟ dr ,
⎠
Во всех случаях имеет место равенство вида
ik
γ
exp ⎡ − i ( k α 0 ) β rp2 ⎤ − 1 .
⎣
⎦
2 zα 0γ β
β=
⎛
r
⎜⎜1 −
⎝ rp
который достигается при значении
после чего интеграл (3) легко вычисляется:
k
=
z
2
ik 1 − γ
U 1( ρ = 0, z) =
⎛
⎞
10
− 1 ⎟ (9б)
⎜
⎝ (γ + 3)γ (γ − 1) ⎠
β , получим, что при
γ
2 zα 0
⎛
k 1− γ ⎞
γ −2
−
⎜ μ ′R
⎟
2 z α 0γ ⎠
⎝
×
⎛
⎞
γ
⎡ k
⎤
R 2 ⎥ − 1⎟
× ⎜ ex p ⎡ − iμ ′ (kα 0 R ) ⎤ ex p ⎢i
⎣
⎦
z
2
⎣
⎦
⎝
⎠
Отметим для полноты, что среднеквадратич
ное отклонение не обязательно становится на
20
, (10б)
Физика и электроника
Амплитуда U 1 ( ρ = 0, z ) и первое слагаемое
в U 2 ( ρ = 0, z ) сравнительно невелики, и поэто
му играют малую роль в области с большими
значениями амплитуды, т.е. на значительном рас
стоянии от оптического элемента. Поэтому для
упрощения анализа распределения интенсивно
сти ограничимся только вторым слагаемым в
(11), причём предположим, что функции Френе
ля можно заменить их предельными значения
ми. То есть, мы находимся в условиях, когда для
интеграла по интервалу ⎡⎣ rp , R ⎤⎦ применим клас
сический МСФ.
Если требуемые условия выполнены, то ин
тенсивность равна:
⎧1, м етод коллокации;
⎪
где μ ′ = ⎨ 5
⎪ γ + 3 , М НК.
⎩
(
Так как r0 = γα0γ zk γ −1
)
1 /( 2−γ )
и rp = r0 (γ −1)
1 (2−γ )
увеличиваются с ростом z , то в какойто момент
U 2 ( ρ = 0 , z ) исчезнет, и поведение амплитуды
при большом z будет определяться только
предельным значением U 1 ( ρ = 0, z ) . Ограни
чиваясь первым порядком малости, получим,
что при использовании приближения (10а)
амплитуда убывает как
k 2
R , а при (10б)
2z
(
(
2π
γ
I (z) ≈
γ 2α 02γ ( kz )
2−γ
)
i
1
γ
⋅ γ γ −1 ⎡exp −i μ ′ ( kα 0 R ) − 1⎤ .
γ −2
⎦
2α 0 k z ⎣
μ ′R
≈
i
γ −2
R
⎡
k
γ
exp ⎢ −i ( kα 0 )
∫
z rp
⎣
zmax =
γ
exp ⎡ −i ( kα 0 ) f ( r0 ) ⎤ ×
⎣
⎦
(11)
⎡ ⎛ k
⎤
⎛ k
2⎞
2⎞
⎢C ⎜ 2 z (2 − γ )( R − r0 ) ⎟ + C ⎜ 2 z (2 − γ )( r0 − rp ) ⎟ + ⎥
⎝
⎠
⎝
⎠
⎥
×⎢
⎢
⎛ k
⎛ k
2⎞
2 ⎞⎥
+
−
−
+
−
−
(2
γ
)(
)
(2
γ
)(
)
iS
R
r
iS
r
r
⎢
⎜
⎟
⎜
⎟⎥
0
0
p
⎝ 2z
⎠
⎝ 2z
⎠⎦
⎣
Здесь
C ( x) =
и S (x) =
x
1
2π
1
2π
∫
cos ( t )
t
0
x
∫
0
sin ( t )
t
dt =
x
2
dt =
∫ cos ( t ) dt
2
π
2
π
0
x
∫ sin ( t ) dt
2
2πγ
γ
( kα 0 R ) .
2−γ
(13)
На самом деле, это значение с избытком: не
сколько меньшее значение, чем (13), достигается
при z < zmax . А в самой точке zmax интенсивность
будет в четыре раза меньше, чем по формуле (13).
Найдём теперь максимальную достижимую
интенсивность в этой точке. Хотя формулы по
хожи на выражения, полученные для аксикона
[11] (при подстановке γ = 1 они совпадут, то есть
имеет место непрерывный переход), сейчас ситу
ация больше напоминает линзу, так как тоже су
ществует максимальный радиус оптического эле
мента. Поэтому мы не можем одновременно уве
личивать α 0 и R .
Рассуждая как в случае с линзой [11], проана
лизируем функцию sin( kα 0 r ) γ и найдём, когда
мгновенный полупериод фазовой функции будет
не меньше половины длины волны. Полуперио
дом будем считать расстояние между соседними
нулями этой функции.
Нули находятся в точках:
⎛ γ k 1−γ r 2 ⎞ ⎤
⎜r −
⎟ ⎥ rdr ≈
2 zα 0γ ⎠ ⎦
⎝
γ
π γ 1/( 2−γ ) γ /(2 −γ )
γ
⋅α 0
⋅ exp ⎡ −i ( kα 0 ) f ( r0 ) ⎤ ⋅ ( kz ) 2( 2 −γ ) ×
⎣
⎦
2−γ
(12)
R 2− γ
,
γ k γ −1α 0γ
I ( z = zmax ) =
⎛
⎡ − ik
⎤
⎡ − ik
⎤⎞
(γ − 2)( R − r0 ) 2 ⎥ − exp ⎢
(γ − 2)( r0 − rp ) 2 ⎥ ⎟ +
× ⎜ exp ⎢
2
2
z
z
⎣
⎦
⎣
⎦⎠
⎝
+
.
Максимальную интенсивность можно найти
из условия, что стационарная точка лежит немно
го левее края отрезка интегрирования [11]. Пред
положим, что r0 = R , тогда:
Хотя в обоих случаях амплитуда стремится к
нулю как 1 / z (что, очевидно, и должно быть), но
приближение (10б) явно показывает интуитив
но ожидаемый из (3) вид спадения амплитуды.
Интеграл по второму интервалу ⎡⎣ r p , R ⎤⎦
(если он есть) после применения разложения (4а)
вычисляется по модифицированному МСФ [11]
с учётом того, что разность γ − 2 отрицательна
для 1 < γ < 2 . В этом случае получаем:
U 2 ( ρ = 0, z ) =
)
1
2 −γ
–
rm =
0
функции Френеля. Для краткости мы не стали
везде подставлять значения из (5)(7), под r0 по
нимается вторая стационарная точка из (5). В
(11) предполагается, что R > r0 . Если rp < R < r0 ,
то во втором слагаемом у членов с R в аргументе
знак меняется на противоположный.
( mπ )1 / γ
,
kα 0
расстояние между соседними нулями равно:
rm+1 − rm =
π 1/ γ
((m + 1)1 / γ − m1/ γ )
kα 0
и убывает с ростом номера m . Из условия, что
21
Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т. 15, №4, 2013
то получим, что распределения совпадают с точ
ностью до множителя 2π : результат подстанов
ки в 2π раз меньше выражения (12).
Сравнение для максимальной интенсивнос
ти выполнить невозможно, так как в геометро
оптическом подходе максимум достигается за
пределами области применимости формулы (17),
при этом он не соответствует максимальному
радиусу оптического элемента, в отличие от (13).
Однако в [9] было аналитически получено зна
чение фокусного расстояния. Для общности при
ведём эти значения. Максимальный радиус при
геометрооптическом подходе с учётом (16) опре
деляется равенством
это расстояние не меньше половины длины вол
ны, получим неравенство:
(m + 1)1/ γ − m1/ γ ≥ α 0π 1−1/ γ .
Обычно α 0 мало, поэтому вблизи равенства
номер велик, и левую часть можно приближённо
1
. Получаем, что максималь
γm1−1/ γ
но возможный номер m равен:
заменить на
1
π (γα 0 )γ /(γ −1) ,
а соответствующий максимальный радиус:
Rmax =
1
1
1 /( γ −1)
γ
kα 0γ /(γ −1) .
g
max
R
(14)
Подставив (14) в (13), получим максимально
возможную интенсивность на краю фокального
отрезка при заданной длине волны:
I max
2π
=
2−γ
⎛ 1
⎜⎜ γ
⎝ γα 0
⎞
⎟⎟
⎠
(15)
g
R f = Rmax
(2 − γ )
1 (2γ − 2)
Это значение не зависит от длины волны.
При γ → 2 слагаемое U 2 ( ρ = 0, z ) исчезает,,
поэтому бесконечной интенсивности не будет,
кроме того, у линзы принципиально другой вид
распределения интенсивности, не похожий на
(12). При γ → 1 получим, что при α 0 < 1 интен
сивность может стать сколь угодно большой, что
очевидно, так как аксикон не имеет предельного
радиуса, иначе получится нуль, так как аксикон
не пропускает излучения.
Отметим также, что если функции Френеля
не заменять предельными значениями, то можно
доказать [11], что максимальная интенсивность
будет примерно в 1,37 раза больше, чем по (13).
Сравним с результатами, полученными в гео
метрооптическом приближении [9]. Чтобы это
сделать, сначала найдём связь между параметра
ми, описывающими элемент. Для этого прирав
няем набег фазы в геометрооптическом варианте
k (n − 1)α g r γ к набегу фазы из (1) (kα 0 )γ r γ . По
лучаем соотношение:
αg =
k γ −1α 0γ
.
(n − 1)
2πα g (n − 1)
.
(18)
.
(19)
Второй множитель здесь меньше единицы.
Используя формулу для мгновенного фокуса из
[9], находим фокусное расстояние
f =
(n
=
n γ − 1 + 2 − 2 / γ 2−γ
Rf =
γ (n2 − 1)ag
)
γ − 1 + 2 − 2 / γ (2 − γ )(2−γ ) /(2γ − 2) (n −1)1/(γ −1)
⋅
.
γ 1/(γ −1) (n2 − 1)γ /(2γ −2)
kα 0γ /(γ −1)
(20)
Из (20) мы видим, что зависимость фокуса от
α 0 по показателю степени существенно отлича
ется от аналогичной зависимости z max (см. вы
ражение (13)), но это можно считать вполне ожи
даемым, так как эти расстояния имеют различ
ный физический смысл. В то же время показатель
совпал с показателем в выражении (14) для мак
симального радиуса элемента. Есть ли величи
на, аналогичная фокусному расстоянию в волно
вой теории, в рамках параксиального анализа мы
сказать не можем, т.к. геометрооптический фокус
лежит за пределами области параксиальности.
(16)
2. РЕЗУЛЬТАТЫ
ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Теперь сравним распределение интенсивно
сти. При геометрооптическом подходе распреде
ление интенсивности в параксиальной области
описывается в работе [9] формулой:
Ig =
( γ −1)
Оно отличается от (14) первым множителем,
меньшим единицы. Максимальной интенсивно
сти, причём аналитически равной бесконечности
(поэтому и употреблено слово фокусный), соот
ветствует радиус:
1 /( γ −1)
.
1
⎛ n − 1 ⎞ 2γ −2
=⎜
⎟
1 ( γ −1)
γ
kα 0γ
⎝ n +1⎠
При численном моделировании μ и μ ′ были
найдены по МНК. Для случая R < rp вычисле
ния производились по формуле (10б), а для
R > rp – по формулам (10) и (11). Параметр α 0
вычисляется исходя из числовой апертуры рас
сматриваемого элемента по формуле:
γ
⎡γα (n − 1) z ⎤⎦ 2−γ .
λ (2 − γ ) ⎣ g
(17)
Если в (17) подставить (16), и сравнить с (12),
22
Физика и электроника
го моделирования распределения формируемой
интенсивности для элементов с числовыми апер
турами NA=0,1, NA=0,5 и NA=0,9. В расчетах
были выбраны значения g=1,1; g=1,5; g=1,9, кото
рые соответствуют середине и краям диапазона
1< γ < 2 .
На всех рисунках тип линий имеет следую
щее соответствие: сплошная чёрная линия – ре
зультаты расчета по аналитическим формулам
(10), (10б), (11); серая линия – расчёт в паракси
альном приближении численным интегрирова
нием (2); пунктирная линия – расчёт в непарак
сиальном случае через разложение по плоским
волнам (22).
По результатам, приведенным на рис. 1, вид
но, что при низкой числовой апертуре паракси
альная и непараксиальная модели расчетов дают
близкий результат.
Аналитические формулы (10), (10б), (11) со
гласуются с этими результатами при γ ≤ 1,5 . При
γ → 2 наблюдается существенное отличие от
численных результатов. Это связано с тем фак
том, что полученные выражения имеют непрерыв
ный переход к γ =1, при котором модифицирован
ный МСФ [11] даёт точное решение. В то же вре
мя при γ → 2 непрерывного перехода к γ =2 (для
которого также есть точное решение) быть не мо
жет, что очевидно из полученных формул, в кото
рых имеется величина 2 − γ в знаменателе.
Замети также, что все три использованных
метода расчёта показали очень близкие (отклоне
ние менее 2%) значения интенсивности для глав
1/γ
⎡ γ ( kR )γ −1 ⎤
α0 = ⎢
⎥ ,
⎢⎣ 1A ⎥⎦
(21)
где R – радиус оптического элемента, 1A – чис
ловая апертура.
Помимо данной методики в работе использо
вались ещё две: численное интегрирование по
формуле (2) и расчёт с в непараксиальном при
ближении через разложение по плоским волнам,
который производился по следующей формуле:
σ0
(
)
E(ρ, z) = k 2 ∫ P(σ )exp ikz 1−σ 2 J0 ( kσρ )σ dσ , (22)
0
R
где P (σ ) = ∫ τ ( r ) J 0 ( k σ r ) rdr – простран
0
ственный спектр, σ 0 – радиус учитываемых про
странственных частот.
Для каждого из приведённых случаев произ
водилось три вычисления среднеквадратичного
отклонения d:
δ ap – между результатами расчёта по фор
мулам (10), (10б), (11) и параксиальным числен
ным интегрированием (2).
δ an – между результатами расчёта по фор
мулам (10), (10б), (11) и непараксиальным рас
четом через разложение по плоским волнам (22);
δ pn – между результатами расчёта в пара
ксиальном (2) и непараксиальном случае (22);
На рис. 13 приведены результаты численно
.
.
.
а)
б)
в)
Рис. 1. Распределение интенсивности на оптической оси для фраксикона с NA=0,1:
(а) γ =1,1; α 0 = 0,0629; δ ap = 0, 0733 , δ an = 0,1142 , δ pn = 0,1115 ;
(б) γ =1,5; α 0 = 0, 0192; δ ap = 0, 0733 , δ an = 0, 072 , δ pn = 0, 0589 ;
(в) γ =1,9; α 0 = 0, 01; δ ap = 0,3865 , δ an = 0, 4082 , δ pn = 0, 0111 .
23
Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т. 15, №4, 2013
а)
б)
в)
Рис. 2. Распределение интенсивности на оптической оси для для фраксикона с NA=0,5:
(а) γ =1,1; α 0 = 0, 2718; δ ap = 0, 0479 , δ an = 0,1282 , δ pn = 0,1264 ;
(б) γ =1,5; α 0 = 0, 0561; δ ap = 0, 0722 , δ an = 0,1279 , δ pn = 0,1433 ;
(в) γ =1,9; α 0 = 0, 023; δ ap = 0,1642 , δ an = 0,1685 , δ pn = 0, 231 .
а)
б)
в)
Рис. 3. Распределение интенсивности на оптической оси для фраксикона с NA=0,9:
(а) γ =1,1; α 0 = 0, 4639; δ ap = 0, 0427 , δ an = 0, 5008 , δ pn = 0, 4997 ;
(б) γ =1,5; α 0 = 0, 0831; δ ap = 0, 0605 , δ an = 0, 4442 , δ pn = 0, 443 ;
(в) γ =1,9; α 0 = 0, 0319; δ ap = 0,127 , δ an = 0, 3259 , δ pn = 0,3027 .
ного пика и его положения на оптической оси.
Для средних значений числовой апертуры
имеется стабильное различие (1220%) между
результатами, полученными в параксиальном и
непараксиальном случаях. При этом аналитичес
кие формулы показывают хорошее согласование
с параксиальной моделью, в рамках которой фор
мулы и были получены. Причем даже при γ → 2
24
Физика и электроника
БЛАГОДАРНОСТИ
погрешность хоть и растет, но имеет значитель
но меньший уровень, чем в предыдущем случае
для низких значнений числовой апертуры.
Заметим также, что при γ → 2 сближаются оцен
ки для положения главного максимума, рассчитан
ного в параксиальном и непараксиальном случаях.
Для высоких значений числовой апертуры
различие между параксиальным и непараксиаль
ном расчетом предсказуемо высокое, хотя с рос
том γ оно несколько уменьшается.
Аналитические выражения показывают хоро
шее согласование с параксиальной моделью и мо
гут быть использованы вместо численных расче
тов, особенно в ближней зоне дифракции, где воз
можны большие погрешности численного расчета.
Работа выполнена при финансовой поддержке
ФЦП “Научные и научно!педагогические кадры
инновационной России” (соглашение №8231), гран!
та РФФИ 13!07!97004!р_поволжье_а и гранта
Президента РФ поддержки ведущих научных школ
НШ!4128.2012.9.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Lensacon / V.P. Koronkevich, I.A. Mikhaltsova, E.G.
Churin and Yu.I. Yurlov // Аppl. Opt. 1993. Vol. 34(25).
P. 57615772.
2. Spherical aberration effects in lens–axicon doublets:
theoretical study / C. Parigger, Y. Tang, D.H. Plemmons, and
J.W.L. Lewis // Аppl. Opt. 1997. Vol. 36(31). P. 82148221.
3. Burvall A. Axicon imaging by scalar diffraction theory
– PhD thesis, Stockholm, 2004.
4. Хонина С.Н. Волотовский С.Г. Фраксикон – дифрак
ционный оптический элемент с конической фокаль
ной областью // Компьютерная оптика. 2009. Т. 33.
№4. С. 401411.
5. Линзакон: непараксиальные эффекты / С.Н. Хонина,
Н.Л. Казанский, А.В. Устинов, С.Г. Волотовский // Оп
тический журнал. 2011. Т. 78. № 11. C. 4451.
6. McLeod J.H. The axicon: a new type of optical
element // J. Opt. Soc. Am. 1954. 44. P. 592–597.
7. Diffractive elements for imaging with extended depth
of focus / G. Mikuіa, A. Kolodziejczyk, M. Makowski, C.
Prokopowicz, M. Sypek // Optical Engineering. 2005.
V. 44, No.5. P. 0580017pp.
8. Хонина С.Н., Савельев Д.А. Применение аксиконов в
изображающих системах для увеличения глубины
фокуса // Известия Самарского научного центра
РАН. 2011. Т.13. №6. С. 715.
9. Устинов А.В., Хонина С.Н. Геометрооптический анализ
обобщённой рефракционной линзы // Известия Самар
ского научного центра РАН. 2012. Т. 14. № 4. С.2937.
10. Федорюк, М.В. Асимптотика: Интегралы и ряды. М.:
Наука, 1987. 544 с.
11. Сравнительный анализ параболической линзы и ак
сикона в моделях геометрической и скалярной пара
ксиальной оптики / А.В. Устинов, А.В. Карсаков, С.Н.
Хонина // Вестник СГАУ. 2012. №4(35). C. 230239.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе рассмотрено действие фраксикона,
представляющего собой обобщенный дифракци
онный оптический элемент, частными случаями
которого являются параболическая линза и ак
сикон. Получены аналитические выражения для
распределения комплексной амплитуды и интен
сивности вдоль оптической оси в рамках скаляр
ной параксиальной волновой модели.
Также проведено численное моделирование с
использованием операторов распространения в
свободном пространстве в параксиальном и не
параксиальном случае.
Показано, что аналитические выражения очень
хорошо аппроксимируют параксиальное решение
при γ ≤ 1,5 , причем погрешность уменьшается
при увеличении значения числовой апертуры оп
тического элемента. Таким образом, они могут быть
использованы вместо численных расчетов, особен
но в ближней зоне дифракции, где возможны боль
шие погрешности численного расчета.
ANALYSIS OF THE AXIAL DISTRIBUTION FORMED
BY A FRACXICON IN THE PARAXIAL AND NONPARAXIAL CASES
© 2013 A.V. Ustinov1,2, S.N. Khonina1,2, A.V. Karsakov2
1
2
Image Processing Systems Institute of the RAS, Samara
Samara State Aerospace University named after Academician S.P. Korolyov
(National Research University)
We analytically and numerically examine the action of the new diffractive optical element with a fractional
power dependence of the phase of the radius “fracxicon” which is a generalization of the classical elements
as the axicon and the lens. Analytical expressions for axial distribution formed by a fracxicon are derived
based on the method of stationary phase in the paraxial approximation. Also, the numerical simulation of
the fracxicon is performed in paraxial and nonparaxial cases with the use of the plane waves expansion
method. Analysis of the results showed that the analytical expressions provide high precision calculations
for fractional degrees close to unity even at high numerical aperture.
Keywords: fracxicon, the stationary phase method, the plane waves expansion method, numerical aperture
Andrey Ustinov, Leading Programmer, Graduate Student
SSAU. E!mail: andr@smr.ru
Svetlana Khonina, Doctor of Physics and Mathematics,
Professor, Leading Researcher, E!mail: khonina@smr.ru
Karsakov Alexey, Student. E!mail: karsakv.aleksejj@rambler.ru
25
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
988 Кб
Теги
анализа, формируемого, фраксиконе, непараксиальном, случаях, pdf, осевого, распределение, параксиальное
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа