close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Математическая модель процесса биодеструкции парацетамола как открытой системы.

код для вставкиСкачать
ISSN 1812-5123. Российский журнал биомеханики, 2008, том 12, № 2 (40): 41–54
УДК 531/534:[57+61]
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА БИОДЕСТРУКЦИИ
ПАРАЦЕТАМОЛА КАК ОТКРЫТОЙ СИСТЕМЫ
Е.В. Вихарева1, А.А. Селянинов2, Ю.Л. Данилов1, И.П. Рудакова1, Т.А. Нечеухина3,
И.Б. Ившина4, Ю.И. Няшин2
1
Кафедра фармацевтической технологии Пермской государственной фармацевтической академии,
Россия, 614990, Пермь, ул. Ленина, 48, e-mail: perm@pfa.ru
2
Кафедра теоретической механики Пермского государственного технического университета, Россия,
614990, Пермь, Комсомольский проспект, 29, e-mail: rrn@theormech.pstu.ac.ru
3
Кафедра микробиологии и иммунологии Пермского государственного университета, Россия, 614990,
Пермь, ул. Букирева, 15, e-mail: info@psu.ru
4
Институт экологии и генетики микроорганизмов УрО РАН, Россия, 614081, Пермь, ул. Голева, 13, e-mail:
ivshina@iegm.ru
Аннотация. Разработана математическая модель процесса биодеструкции
парацетамола с учетом особенностей открытой системы. Модель представляет
собой четыре
кинетических уравнения, два из них решены аналитически,
остальные – численно. В виде линейной зависимости от времени определены
коэффициенты k1 и k2 – «константы» скорости реакций биокаталитического
окисления парацетамола и его первичного метаболита n-аминофенола
соответственно. При этом расчетные данные согласуются с опытными,
полученными
в
процессе
биодеструкции
парацетамола
свободными
и иммобилизованными клетками родококков. Математическая модель позволяет
прогнозировать поведение исходного субстрата и продуктов его разложения при
заданной схеме реакций и известных константах скоростей, а также окончание
процесса биодеструкции парацетамола по убыли n-аминофенола.
Ключевые слова: парацетамол, n-аминофенол, биодеструкция, бактерии рода
Rhodococcus, константа скорости реакции, кинетические показатели.
ВВЕДЕНИЕ
По данным авторов [3], процесс биодеструкции парацетамола с использованием
клеток актинобактерий рода Rhodococcus осуществляется по схеме, приведенной на
рис. 1. При этом гидролиз парацетамола, последующее дезаминирование и окисление
п-аминофенола протекают в открытой системе, в которой происходит обмен реагентов
и продуктов реакций с окружающей средой (воздухом и культуральной жидкостью).
В реальных процессах ферментации парацетамола значения констант скорости
указанных реакций являются функциями времени. Данные показатели могут быть
подобраны эмпирически или определены экспериментально [2].
Первичным продуктом разложения парацетамола является п-аминофенол,
который обнаруживается в среде культивирования родококков в течение первых часов
после начала процесса биодеструкции парацетамола и накапливается до конца его
ферментации в культуральной жидкости (рис. 2).
Особо следует отметить, что п-аминофенол является наиболее токсичным
(минимальная подавляющая концентрация составляет 12 мг/мл) для клеток родококков
© Вихарева Е.В., Селянинов А.А., Данилов Ю.Л., Рудакова И.П., Нечеухина Т.А., Ившина И.Б.,
Няшин Ю.И., 2008
Е.В. Вихарева, А.А. Селянинов, Ю.Л. Данилов, И.П. Рудакова, Т.А. Нечеухина, И.Б. Ившина, Ю.И. Няшин
OH
OH
OH
OH
O2
O2
HOH
CH3COOH
NH3
NHCOCH3
NH2
парацетамол
п-аминофенол
пирокатехин
NH3
COOH
CO O H
цис, цис-муконовая
кислота
O2
OH
О
O2
О
бензохинон
OH
гидрохинон
Рис. 1. Схема биодеструкции парацетамола с использованием клеток R. rubber ИЭГМ 77
Парацетамол, п-аминофенол, г/мл
0,002
0,0015
x1
x2
0,001
0,0005
0
0
1
2
3
4
t, сут
5
6
7
8
Рис. 2. Изменение содержания парацетамола (х1) и п-аминофенола (х2) в процессе
биодеструкции парацетамола клетками R. erythropolis ИЭГМ 767
по сравнению с парацетамолом (минимальная подавляющая концентрация составляет
500 мг/мл) и другими продуктами его разложения. В связи с этим имеются различия
в процессах биодеструкции n-аминофенола как единственного источника углерода
и энергии для бактериальных клеток и как продукта разложения парацетамола. Данное
обстоятельство необходимо учитывать при прогнозе продолжительности процесса
биодеструкции парацетамола по убыли п-аминофенола. Возможность прогнозирования
содержания продукта реакции во времени обеспечивает математическая модель,
построенная на основании системы кинетических уравнений.
В связи с этим целью настоящих исследований является разработка
математической модели процесса биодеструкции парацетамола, которая учитывает
42
ISSN 1812-5123. Российский журнал биомеханики, 2008, том 12, № 2 (40): 41–54
Математическая модель процесса биодеструкции парацетамола как открытой системы
особенности открытой системы и позволяет прогнозировать поведение объекта
моделирования во времени.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССА БИОДЕСТРУКЦИИ ПАРАЦЕТАМОЛА
В лабораторных условиях эксперименты по биодеструкции парацетамола
проводили в колбах Эрленмейера объемом 250 мл, закрепленных на платформе
орбитального шейкера (160 об/мин) при 28 ºС. В колбы помещали минеральную среду
состава (г/л): K2HPO4 – 2,0; KH2PO4 – 2,0; KNO3 – 1,0; (NH4)2SO4 – 2,0; NaCl – 1,0;
MgSO4×7Н2О – 0,2; CaCl2×2Н2О – 0,02; FeСl3×7Н2О – 0,001, парацетамол в виде
фармацевтической субстанции в концентрации 0,2% (0,2 г на 100 мл среды)
и бактериальную суспензию в концентрации 107 клеток/мл. В экспериментах по
биодеструкции n-аминофенола в качестве исходного субстрата первоначальная масса
его варьировалась от 0,075 до 0,14 г. Последнее значение соответствует максимальному
количеству данного вещества, которое может образоваться при разложении 0,2 г
парацетамола. В работе использовали предварительно отобранные путем скрининга
наиболее активные в отношении парацетамола штаммы родококков R. erythropolis
ИЭГМ 767 и R. ruber ИЭГМ 77 [4].
Для активизации оксигеназ бактериальные клетки до начала процесса
биодеструкции выращивали в минеральной среде вышеуказанного состава
в присутствии 0,1% фенола – структурного аналога парацетамола. В опытах по
биодеструкции парацетамола использовали свободные и иммобилизованные
(закрепленные на носителе) клетки родококков. В качестве носителя использовали
криогель поливинилового спирта [7]. Продолжительность экспериментов составляла от
12 часов до 8 суток. Качественный состав продуктов разложения анализировали
методом тонкослойной хроматографии. Количественные характеристики процесса
биодеструкции парацетамола изучали по приросту первичного метаболита
п-аминофенола и степени исчезновения парацетамола. Содержание п-аминофенола
в культуральных жидкостях определяли фотометрическим методом с помощью
спектрофотометра Lambda EZ 201, («Perkin-Elmer», США) при 450 нм по
модифицированной методике, основанной на реакции конденсации п-аминофенола
с n-диметиламинобензальдегидом [3]. Количество остальных метаболитов,
содержащихся в осадке (шламе), рассчитывали с учетом закона сохранения
молекулярных масс веществ. С целью определения класса опасности шлама его
токсичность (LD50) исследовали при пероральном введении белым беспородным
мышам в дозах от 1000 до 4000 мг/кг массы животного [9].
Класс опасности культуральной жидкости и шлама определяли расчетным
методом в соответствии с «Критериями отнесения опасных отходов к классу опасности
для окружающей природной среды» [5] на основании известных токсикологических [6]
и эколого-гигиенических [1] показателей п-аминофенола и значения LD50 осадка
(шлама). Концентрацию парацетамола в культуральных жидкостях определяли
методом высокоэффективной жидкостной хроматографии на хроматографе модели HP1090 (Hewlett Packard, США) с использованием колонки ZORBAX Extend-C18 (4,6×250
мм). Эксперименты проводили в трехкратной повторности. Математическую обработку
полученных результатов осуществляли с использованием компьютерных программ
Exсel 2000 и Statistica (версия 3.4 для Windows).
ISSN 1812-5123. Российский журнал биомеханики, 2008, том 12, № 2 (40): 41–54
43
Е.В. Вихарева, А.А. Селянинов, Ю.Л. Данилов, И.П. Рудакова, Т.А. Нечеухина, И.Б. Ившина, Ю.И. Няшин
КИНЕТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ ПРОЦЕССОВ БИОДЕСТРУКЦИИ ПАРАЦЕТАМОЛА
И N-АМИНОФЕНОЛА В КАЧЕСТВЕ ИСХОДНЫХ СУБСТРАТОВ
Процесс биодеструкции парацетамола ранее описан авторами [1] кинетическим
уравнением, в котором коэффициент скорости реакции [2] биокаталитического
окисления парацетамола представлял собой константу k1. Для построения более
адекватной модели данного процесса предлагается считать k1 функцией времени.
dx1
= − k1 (t ) ⋅ x1 ,
dt
(1)
 г 
где x1 t =0 = x10 = 0, 002   – начальная концентрация парацетамола.
 мл 
Процесс биодеструкции п-аминофенола в качестве исходного субстрата может
быть описан аналогичным кинетическим уравнением
dx2
= −k2 (t ) ⋅ x2 ,
dt
(2)
 г 
= x 20 = 0,00075  
–
начальная
концентрация
п-аминофенола,
 мл 
соответствующая максимальному содержанию данного вещества как продукта
разложения в процессе биодеструкции парацетамола. Необходимо отметить, что
в концентрациях более 0,001 г/мл п-аминофенол вызывает гибель бактериальных
клеток.
Уравнения (1) и (2) интегрируются методом разделения переменных.
Для уравнения (1)
где
x2
t =0
x1
t
dx
∫0 x11 = − ∫0 k1 (t )dt , отсюда ln x1
x
x1
x10
t
=−
1
1
k1 (t )dt ⋅ t .
t ∫0
t
Для
среднеинтегрального
выражения
1
k1 (t )dt
t ∫0
используем
линейную
k
t +b.
2
Из физических соображений значения концентраций положительны, поэтому
x
k
модуль опускаем. Тогда ln 11 = −(b + t )t и окончательно кинетическое уравнение
x0
2
биодеструкции парацетамола принимает вид
аппроксимацию по времени в виде k1′ =
x1 = x ⋅ e
0
1
 k 
− b + t  t
 2 
.
(3)
Аналогично для процесса биодеструкции п-аминофенола в качестве исходного
субстрата
x2 = x20 ⋅ e
44
 d 
− c + t  t
 2 
.
(4)
ISSN 1812-5123. Российский журнал биомеханики, 2008, том 12, № 2 (40): 41–54
Математическая модель процесса биодеструкции парацетамола как открытой системы
k′1 , сут -1
k ' 1 , сутки-1
‹
0,53
Экспериментальные
точки

Линейная
аппроксимация
•
k1′cp
Среднее значение
0, 0052 +t +0,5027
0,5027
k k' 11′ =
=−
-0,0052t
0,48
t , сутки
0,43
0
2
4
t, сут
6
8
Рис. 3. Зависимость коэффициента k1′ от времени в процессе биодеструкции парацетамола
клетками R. ruber ИЭГМ 77 (медленный процесс).
k1′, сут -1
1,2
k' 1 , сутки-1
‹
1

k1′cp
0,8
Экспериментальные
точки
Линейная
аппроксимация
•
0,6
Среднее значение
0,4
k1′ = 0, 2284 t + 0,1459
0,2
k ' 1 = 0,2284t + 0,1459
0
0
1
2
3
4
сутки
t , t,сутки
t, сут
Рис. 4. Зависимость коэффициента k1′ от времени в процессе биодеструкции парацетамола
клетками R. erythropolis ИЭГМ 767 (средний процесс).
k′1 , ч-1
‹
-1
k' 1 , час
0,3

0,25
k1′cp
0,2
•
Экспериментальные
точки
Линейная
аппроксимация
Среднее значение
0,15
0,1
k1′ = 0, 0187 t + 0, 0045
0,05
k ' 1 = 0,0187t + 0,0045
0
0
2
4
6
t, ч
8
10
12
t , час
Рис. 5. Зависимость коэффициента k1′ от времени в процессе биодеструкции парацетамола
иммобилизованными клетками R. erythropolis ИЭГМ 767 (быстрый процесс)
ISSN 1812-5123. Российский журнал биомеханики, 2008, том 12, № 2 (40): 41–54
45
Е.В. Вихарева, А.А. Селянинов, Ю.Л. Данилов, И.П. Рудакова, Т.А. Нечеухина, И.Б. Ившина, Ю.И. Няшин
В
работе
приведены определенный методом наименьших квадратов
k
коэффициент k1′ = t + b линейной зависимости от времени и средние значения
2
«константы» k1′cp скорости реакции разложения парацетамола с использованием
свободных и иммобилизованных клеток родококков (рис. 3–5).
При этом следует отметить, что процесс биодеструкции парацетамола
с использованием свободных клеток R. ruber ИЭГМ 77 (см. рис. 3), R. erythropolis
ИЭГМ 767 (см. рис. 4) и иммобилизованных клеток R. erythropolis ИЭГМ 767 (см. рис. 5)
протекает с разной скоростью и условно обозначен нами как медленный, средний и
быстрый соответственно. Как видно из рис. 4, коэффициент k1′ имеет выраженную
линейную зависимость от времени только в условиях среднего процесса. Однако во
всех остальных случаях авторами использованы также линейные зависимости k1′(t ) ,
которые позволяют получить соответствие теоретических и экспериментальных
данных.
n-аминофенол, г/мл
п -аминофенол, г/мл
0,0008
0,0008
‹
Экспериментальные
Экспериментальные
точки
 точки
Теоретическая
зависимость
Теоретическая
зависимость
0,0006
0,0006
0,0004
0,0004
0,0002
0,0002
t , сутки
00
00
11
22
3
3
44
55
66
t, сут
а
k′2 , сут -1
11
‹
-1
k' 2 , сутки

•
0,8
0,8
Экспериментальные
точки
Линейная аппроксимация
Среднее значение
k2′ cp
0,6
0,6
0,4
0,4
0,2
0,2
′
0,1329 t ++0,1571
k' 2k2 == 0,1329t
0,1571
00
t , сутки
00
22
44
6
t, сут
б
Рис. 6. Зависимость концентрации п-аминофенола (а) и коэффициента k 2′ (б) от времени в
процессе
46
биодеструкции
его
как
исходного
R. erythropolis ИЭГМ 767
субстрата
клетками
ISSN 1812-5123. Российский журнал биомеханики, 2008, том 12, № 2 (40): 41–54
Математическая модель процесса биодеструкции парацетамола как открытой системы
Таблица
Параметры «констант» скорости реакций разложения парацетамола k1(t) и п-аминофенола k2(t)
Процесс биодеструкции
парацетамола
Значения параметров k1(t) и k2(t)
k
Медленный
(с использованием
свободных клеток
R. ruber ИЭГМ 77)
Средний
(с использованием
свободных клеток
R. erythropolis ИЭГМ 767)
Быстрый
(с использованием
иммобилизованных клеток
R. erythropolis ИЭГМ 767)
b
d
–0,0104
0,5027
-2
-1
c
0,095
-2
–0,11
[сутки ]
[сутки ]
[сутки ]
[сутки-1]
0,4568
0,1459
0,115
–0,15
-2
-1
[сутки ]
[сутки ]
[сутки ]
[сутки-1]
0,0374
0,0045
0,01
–0,04
-2
[час-1]
-2
[час ]
-1
[час ]
-2
[час ]
На рис. 6 представлено изменение содержания п-аминофенола и коэффициента
k2′ от времени в процессе биодеструкции п-аминофенола как исходного субстрата
клетками R. erythropolis ИЭГМ 767. Предложенное кинетическое уравнение (2)
адекватно описывает процесс разложения п-аминофенола (см. рис. 6, а), а коэффициент
k2′ имеет явно линейную зависимость от времени (см. рис. 6, б), как и коэффициент k1′
в процессе биодеструкции парацетамола клетками R. erythropolis
ИЭГМ 767
(см. рис. 4).
При переходе от среднеинтегрального выражения к «константе» скорости
реакции k1 (t ) получена ее зависимость от времени в виде k1 (t ) = b + k ⋅ t для
парацетамола и k2 (t ) = c + d ⋅ t для п-аминофенола соответственно. Параметры k1 (t )
(коэффициенты b, k) и k2 (t ) (коэффициенты c, d), полученные эмпирическим путем,
приведены в таблице.
Как видно из таблицы, для медленного (с использованием свободных клеток
R. ruber ИЭГМ 77) и среднего (с использованием свободных клеток R. erythropolis
ИЭГМ 767) процессов биодеструкции парацетамола параметры k2 (t ) имеют близкие
значения. Параметры k2′ (t ) (c = 0,1571 и d/2 = 0,1329), полученные при разложении
п-аминофенола в качестве исходного субстрата, достоверно близки к эмпирически
найденным для k2′ (t ) в процессе биодеструкции парацетамола свободными клетками
R. erythropolis ИЭГМ 767. В дальнейшем эмпирически найденные параметры k2 (t )
использовались авторами при разработке математической модели всего процесса
биодеструкции парацетамола.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА БИОДЕСТРУКЦИИ ПАРАЦЕТАМОЛА
Как было указано выше (см. рис. 1), процесс биодеструкции парацетамола
представляет собой открытую систему. При этом скорость разложения парацетамола
как исходного субстрата пропорциональна его концентрации [3]. Знак «–» в уравнении
(1) означает убывание концентрации парацетамола со временем. Коэффициент k1
ISSN 1812-5123. Российский журнал биомеханики, 2008, том 12, № 2 (40): 41–54
47
Е.В. Вихарева, А.А. Селянинов, Ю.Л. Данилов, И.П. Рудакова, Т.А. Нечеухина, И.Б. Ившина, Ю.И. Няшин
является линейной функцией времени. Кинетическое уравнение для парацетамола как
для исходного субстрата сохраняет вид (1).
На первой стадии процесса биодеструкции парацетамола (концентрация x1 )
в результате реакции его гидролиза (+Н2О) образуются п-аминофенол (концентрация
x2 ) и уксусная кислота (концентрация x3 ). Суммарная скорость образования данных
соединений увеличивается со скоростью разложения парацетамола (со знаком «+»)
и уменьшается за счет текущего разложения п-аминофенола. Кинетическое уравнение
принимает вид
d ( x2 + x3 )
= k1 (t ) ⋅ x1 − k2 (t ) ⋅ x2 .
dt
Поскольку в реакции гидролиза участвует вода (система открытая), при
постановке задачи биодеструкции парацетамола в терминах концентраций следует
учесть прирост массы воды (11,9 %) в виде поправочного коэффициента K H2O . Расчёт
K H2O может быть осуществлён на основании молекулярных масс, участвующих
в реакции соединений.
OH
OH
+ CH3COOH
+ HOH
NHCOCH3
NH2
x1
x2
x3
(молекулярная масса) 151,2 + 18,0 → 109,1 + 64,0 .
Отсюда коэффициент прироста массы за счет воды
K H2O = 1, 0 +
18, 0
= 1,119 .
151, 2
Для суммы концентраций х2 и х3 получаем кинетическое уравнение
d ( x2 + x3 )
= K H2O ⋅ k1 (t ) ⋅ x1 − k2 (t ) ⋅ x2 ,
dt
(5)
где x2 t =0 = 0, x3 t =0 = 0 .
Доля уксусной кислоты составляет 35,5 % от суммы молекулярных масс
парацетамола и воды. В связи с этим коэффициент убыли масс за счет уксусной
кислоты
K CH3COOH =
Кинетическое уравнение
(концентрация x3 ) принимает вид
60, 0
= 0,355 .
151, 2 + 18, 0
изменения
содержания
dx3
= K CH3COOH ⋅ K H2O ⋅ k1 (t ) ⋅ x1 .
dt
48
уксусной
кислоты
(6)
ISSN 1812-5123. Российский журнал биомеханики, 2008, том 12, № 2 (40): 41–54
Математическая модель процесса биодеструкции парацетамола как открытой системы
Для прочих продуктов биодеструкции (в частности, пирокатехина и других
в суммарной концентрации x4 ) следует учесть прирост молекулярной массы кислорода
и четырех протонов в количестве 33% от молекулярной массы п-аминофенола.
OH
OH
OH
+
+
+ O2 + 4 H
NH3
+ HOH
NH 2
x2
x4
(молекулярная масса) 109,1 + 32,0 + 4,0 → 110,1 + 17,0 + 18,0.
Исходя из значений молекулярных масс соединений, участвующих в реакции
окисления п-аминофенола, находим коэффициент прироста массы.
K O2 = 1 +
32, 0 + 4, 0
= 1,330 .
109,1
Кинетическое уравнение для остальных метаболитов принимает вид
dx4
= K O2 ⋅ k2 (t ) ⋅ x2 ,
dt
(7)
где x4 t =0 = 0 .
В результате система кинетических уравнений процесса биодеструкции
парацетамола принимает вид
 dx1
 dt = −(b + k ⋅ t ) ⋅ x1 ,

 d ( x2 + x3 ) = K ⋅ (b + k ⋅ t ) ⋅ x − (c + d ⋅ t ) ⋅ x ,
H2O
1
2

dt

 dx3 = K
CH3COOH ⋅ K H 2 O ⋅ (b + k ⋅ t ) ⋅ x1 ,
 dt
 dx
 4 = K O ⋅ (c + d ⋅ t ) ⋅ x2 ,
2
 dt
(8)
где x1 t =0 = x10 , x2 t =0 = x3 t =0 = x4 t =0 = 0.
Система (8) включает четыре дифференциальных уравнения 1-го порядка
с известными начальными условиями. Попытаемся решить данную систему
аналитически. Первое уравнение в (8) проинтегрировано ранее (3),
x1 = x10 ⋅ e
 k 
− b + t  t
 2 
.
Подставив x1 в третье уравнение системы (8), получаем
ISSN 1812-5123. Российский журнал биомеханики, 2008, том 12, № 2 (40): 41–54
49
Е.В. Вихарева, А.А. Селянинов, Ю.Л. Данилов, И.П. Рудакова, Т.А. Нечеухина, И.Б. Ившина, Ю.И. Няшин

k 
− b + t  t
dx3
= K CH3COOH ⋅ K H2O ⋅ (b + k ⋅ t ) ⋅ x10 ⋅ e  2  .
dt
Интегрируем
переменных,
это
дифференциальное
x3
t
уравнение
0
∫ dx3 = KCH3COOH ⋅ K H2O ⋅ x1 ⋅ ∫ (b + k ⋅ t ) ⋅ e
0
 k 
− b + t  t
 2 
методом
разделения
dt ,
0
отсюда
 k 

− b + t  t 
x3 = K CH3COOH ⋅ K H2O ⋅ x ⋅ 1 − e  2   .




0
1
(9)
Далее подставляем третье уравнение из системы (8) во второе уравнение
системы (8),
dx2
= − K CH3COOH ⋅ K H2O ⋅ (b + k ⋅ t ) ⋅ x1 + K H2O ⋅ (b + k ⋅ t ) ⋅ x1 − (c + d ⋅ t ) ⋅ x2 =
dt
= (1 − K CH3COOH ) ⋅ K H2O ⋅ (b + k ⋅ t ) ⋅ x1 − (c + d ⋅ t ) ⋅ x2 .
Заменив x1 через зависимость (3), получаем неоднородное дифференциальное
уравнение 1-го порядка для x2 с коэффициентом в виде линейной функции времени

k 
− b + t  t
dx2
+ (c + d ⋅ t ) ⋅ x2 = (1 − K CH3COOH ) ⋅ K H2O ⋅ (b + k ⋅ t ) ⋅ x10 ⋅ e  2  .
dt
(10)
Необходимо отметить, что после интегрирования уравнения (10) и подстановки
результата в четвертое уравнение системы (8) для остальных метаболитов x4 можно
получить дифференциальное уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными.
Для концентрации парацетамола x1 решение из системы кинетических
уравнений (8) имеет естественный вид экспоненты (3). Для концентрации
п-аминофенола x2 в процессе биодеструкции его как исходного субстрата решение
имеет такой же естественный вид (4).
Однако при разложении п-аминофенола в процессе биодеструкции парацетамола
дифференциальное уравнение (10) не интегрируется в элементарных функциях. В связи
с этим представляется необходимым решение системы (8) с применением численного
метода. Для этого систему (8) преобразуем к стандартному виду для реализации на
компьютере,
 dx1
 dt

 dx2
 dt

 dx3
 dt
 dx
 4
 dt
50
= −(b + k ⋅ t ) ⋅ x1 ,
= (1 − K CH3COOH ) ⋅ K H2O ⋅ (b + k ⋅ t ) ⋅ x1 − (c + d ⋅ t ) ⋅ x2 ,
(11)
= K CH3COOH ⋅ K H2O ⋅ (b + k ⋅ t ) ⋅ x1 ,
= K O2 ⋅ (c + d ⋅ t ) ⋅ x2 ,
ISSN 1812-5123. Российский журнал биомеханики, 2008, том 12, № 2 (40): 41–54
Математическая модель процесса биодеструкции парацетамола как открытой системы
где x1 t =0 = x10 , x2 t =0 = x3 t = 0 = x4 t = 0 = 0 .
Первое и третье уравнения проинтегрированы ранее (3), (9). Поэтому, подставив
полученную функцию x1 (t ) во второе уравнение системы (11), получаем систему двух
уравнений
k
- ( b + ⋅t ) t
 dx2
0
2
=
−
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
− (c + d ⋅ t ) ⋅ x2 ,
(1
)
(
)
K
K
x
b
k
t
e

CH 3COOH
H2O
1
dt

 dx4 = K ⋅ (c + d ⋅ t ) ⋅ x
O2
4 t = 0 = 0,
 dt
(12)
где x2 t =0 = x4 t =0 = 0 .
Формализованная запись системы (12) принимает вид
 dx2
 dt = f 2 (t , x2 ),

 dx4 = f (t , x ),
4
2
 dt
(13)
где x2 t =0 = x4 t =0 = 0 ; f 2 , f 4 – известные функции от времени t и концентрации
п-аминофенола x2 .
Одним из наиболее удобных и точных методов численного интегрирования
дифференциальных уравнений является метод Рунге–Кутта, для которого используем
стандартную программу интегрирования системы двух дифференциальных уравнений
1-го порядка.
СРАВНЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
Результаты численного решения системы (12) для компонентов реакции x2 и x4
методом Рунге–Кутта и аналитические зависимости для компонента x1 в сравнении с
экспериментальными данными представлены на рис. 7–9. Как видно из рис. 7–9,
разработанная модель адекватно описывает процесс биодеструкции парацетамола как
открытой системы. Содержание парацетамола x1 в процессе биодеструкции
уменьшается сначала быстро, а затем медленно. При использовании клеток R. ruber
ИЭГМ 77 исчезновение парацетамола из среды культивирования родококков
наблюдается через 8 суток (см. рис. 7), R. erythropolis ИЭГМ 767 – через 4 суток (см.
рис. 8), а при использовании иммобилизованных клеток R. erythropolis ИЭГМ 767 –
через 14 часов (см. рис. 9). Различие в скорости процесса биодеструкции парацетамола
при использовании свободных и иммобилизованных клеток родококков зависит от
каталитической
активности
клеточных ферментов, которая инициируется
предварительной индукцией оксигеназного комплекса и в еще большей степени
иммобилизацией бактериальных клеток.
Содержание п-аминофенола x2 как продукта разложения парацетамола сначала
достаточно быстро увеличивается, достигая максимальных значений в культуральной
жидкости на 3-и сутки при использовании свободных клеток родококков (см. рис. 7, 8)
или через 12 часов при использовании иммобилизованных клеток (рис. 8), а затем
плавно уменьшается до нуля на 8-е сутки или через 25 часов соответственно.
Разработанная модель дает возможность прогнозировать окончание процесса
ISSN 1812-5123. Российский журнал биомеханики, 2008, том 12, № 2 (40): 41–54
51
Парацетамол и продукты
разложения, г/мл
Е.В. Вихарева, А.А. Селянинов, Ю.Л. Данилов, И.П. Рудакова, Т.А. Нечеухина, И.Б. Ившина, Ю.И. Няшин
0,002
x4
0,0015
0,001
0,0005
x2
0
x4
0
2
4
6
8
t, сут
Рис. 7. Экспериментальные (точки) и теоретические (линии) зависимости от времени
концентрации парацетамола x1 , п-аминофенола x2 и остальных продуктов разложения x4
в
процессе
биодеструкции
парацетамола
клетками
R.
ruber
ИЭГМ
77
(медленный процесс). Пунктирными линиями обозначены время окончания процесса
и соответствующее ему содержание п-аминофенола.
биодеструкции парацетамола по убыли п-аминофенола. Так, по нашим данным,
парацетамол и п-аминофенол относятся к I классу опасности для окружающей
природной среды, то есть являются чрезвычайно опасными отходами. Культуральная
жидкость становится малоопасным отходом (IV класс опасности для окружающей
природной среды) и может быть размещена на санитарном полигоне по достижении в
ней концентрации п-аминофенола, равной 0,0005 г/мл. Следовательно, процесс
разложения парацетамола при использовании свободных клеток родококков может
быть завершен через 6 суток (см. рис. 7, 8), а при использовании иммобилизованных
клеток – через 19 часов (см. рис. 9).
Содержание уксусной кислоты x3 как продукта реакции гидролиза парацетамола
и практически не опасного в данной концентрации отхода в ходе экспериментов не
регистрировалось, и на рис. 7–9 теоретические зависимости ее концентрации от
времени не приводятся. Концентрация x4 остальных продуктов разложения
парацетамола, находящихся в осадке (шламе), заметно увеличивается, начиная
с первых суток (см. рис. 7, 8) или нескольких часов (см. рис. 9) и достигает во всех
случаях в конце процесса около 85% от начальной концентрации парацетамола.
Образующийся осадок малотоксичен (LD50 > 4000 мг/кг), относится к V классу
опасности (практически не опасен) для окружающей природной среды и наряду
с культуральной жидкостью может быть размещен на санитарном полигоне.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Таким образом, в результате проведенных исследований разработана
математическая модель процесса биодеструкции парацетамола с учетом особенностей
открытой системы. Модель представляет собой четыре кинетических уравнения, два из
которых решены аналитически, остальные – численно. В виде линейной зависимости от
времени определены коэффициенты k1 и k2 – «константы» скорости реакций
биокаталитического окисления парацетамола и его первичного метаболита
п-аминофенола соответственно. При этом расчетные данные согласуются с опытными,
полученными в процессе биодеструкции парацетамола свободными и иммобилизован52
ISSN 1812-5123. Российский журнал биомеханики, 2008, том 12, № 2 (40): 41–54
0,002
x4
разложения, г/мл
Парацетамол и продукты
разложения,
г/мл
Парацетамол
и продукты
Математическая модель процесса биодеструкции парацетамола как открытой системы
0,0015
0,001
0,0005
x2
x1
0
0
2
4
6
8
t , сутки
t, сут
0,002
x4
разложения, г/мл
Парацетамол и продукты
разложения, г/мл
Парацетамол и продукты
Рис. 8. Экспериментальные (точки) и теоретические (линии) зависимости от времени
концентрации парацетамола х1, п-аминофенола х2 и остальных продуктов разложения х4
в процессе биодеструкции парацетамола клетками R. erythropolis ИЭГМ 767
(средний процесс).
0,0015
0,001
0,0005
x2
x1
0
0
5
10
15
20
25
t , час
t, ч
Рис. 9. Экспериментальные (точки) и теоретические (линии) зависимости от времени
концентрации парацетамола х1, п-аминофенола х2 и остальных продуктов разложения х4
в процессе биодеструкции парацетамола иммобилизованными клетками R. erythropolis
ИЭГМ 767 (быстрый процесс).
ными клетками родококков. Разработанная математическая модель позволяет
прогнозировать поведение исходного субстрата и продуктов его разложения, а также
окончание процесса биодеструкции парацетамола по убыли п-аминофенола.
БЛАГОДАРНОСТИ
Исследования поддержаны грантом РФФИ № 07–04–96038–р–Урал.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Вихарева, Е.В. Математическое моделирование процесса биодеструкции парацетамола
актинобактериями рода Rhodococcus / Е.В. Вихарева, А.А. Селянинов, И.Б. Ившина,
Ю.И. Няшин // Российский журнал биомеханики. – 2007. – Т. 11, № 2. – С. 93–100.
ISSN 1812-5123. Российский журнал биомеханики, 2008, том 12, № 2 (40): 41–54
53
Е.В. Вихарева, А.А. Селянинов, Ю.Л. Данилов, И.П. Рудакова, Т.А. Нечеухина, И.Б. Ившина, Ю.И. Няшин
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Денисов, Е.Т. Кинетика гомогенных химических реакций / Е.Т. Денисов. – М.: Высшая школа,
1988. – С. 390.
Ившина, И.Б. Деградация парацетамола с истекшим сроком годности свободными клетками
актинобактерий / И.Б. Ившина, М.И. Рычкова, Е.В. Вихарева, Л.А. Чекрышкина, И.И. Мишенина //
Катализ в промышленности. – 2006. – № 2. – С. 44– 49.
Каталог штаммов Региональной профилированной коллекции алканотрофных микроорганизмов /
под ред. И.Б. Ившиной. – М.: Наука, 1994. – 163 с.
Колла, В.Э. Дозы лекарственных средств и химических соединений для лабораторных животных /
В.Э. Колла, Б.Я. Сыропятов. – М.: Медицина, 1998. – 263 с.
Контроль химических и биологических параметров окружающей среды / под ред. Л.К. Исаева. –
СПб.: Эколого-аналитический центр «Союз», 1998. – 896 с.
Лозинский, В.И. Криотропное гелеобразование растворов поливинилового спирта /
В.И. Лозинский // Успехи химии. – 1998. – Т. 67, № 7. – С. 641–652.
Об утверждении критериев отнесения опасных отходов к классу опасности для окружающей
природной среды: приказ Министерства природных ресурсов Российской Федерации № 511 от
15.06.01.
Прозоровский, В.В. Экспресс-метод определения средней эффективной дозы и ее ошибки /
Прозоровский В.В., Прозоровская М.П., Демченко В.М. // Фармакология и токсикология. – 1978.
– № 4. – С. 497–502.
A MATHEMATICAL MODEL OF PARACETAMOL BIODEGRADATION
PROCESS AS AN OPEN SYSTEM
E.V. Vikhareva, A.A. Selyaninov, Yu.L. Danilov, I.P. Rudakova, T.A. Necheukhina,
I.B. Ivshina, Yu.I. Nyashin (Perm, Russia)
A mathematical model of the paracetamol biodegradation process was developed
taking into account specific characteristics of an open system. The model consists of four
kinetic equations; two of those were solved analytically. At the same time, the other equations
were solved numerically. The coefficients k1 and k2 (“constants” of paracetamol and its
primary metabolite p-aminophenol biocatalytic oxidation rate) were determined as linear
dependence on time. At that, theoretical data are in a good agreement with experimental ones
obtained during the paracetamol biodegradation process by free and immobilized
Rhodococcus cells. The mathematical model enables us to predict the initial substrate and its
metabolites behavior according to a given reaction outline and known reaction rate constants.
Moreover, it allows prospecting the termination of paracetamol biodegradation process by the
p-aminophenol loss.
Key words: paracetamol, p-aminophenol, biodegradation, Rhodococcus bacteria, reaction
rate constant, kinetic factors.
Получено 01 апреля 2008
54
ISSN 1812-5123. Российский журнал биомеханики, 2008, том 12, № 2 (40): 41–54
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
402 Кб
Теги
биодеструкция, парацетамол, открытое, система, процесс, математические, модель
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа