close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

К вопросу практической работоспособности систем управления..pdf

код для вставкиСкачать
УДК 517.977.1
К ВОПРОСУ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТОСПОСОБНОСТИ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
Д.Ю. Муромцев, Е.Н. Яшин
Кафедра «Конструирование радиоэлектронных и
микропроцессорных систем», ТГТУ
Представлена членом редколлегии профессором В.И. Коноваловым
Ключевые слова и фразы: динамическая система; оптимальное управление; стратегия управления; управляемость.
Аннотация: Дано понятие практической работоспособности и управляемости. Производится анализ и оценка степени управляемости с учетом ограничений
на управление.
Обозначения
A, B – матрицы параметров модели ди-
намики объекта;
I – минимизируемый функционал;
L ( R ) , Lc ( R ) – вектор синтезирующих
переменных и область существования
решения ЗОУ при данном массиве R;
Lгр – граница области Lc ( R ) ;
t0 , tк – начало и конец временного интервала управления;
U доп – допустимая область изменения u;
u – вектор управления размерности m;
z – вектор фазовых координат размерности n;
z 0 , z к – начальное и конечное значение
вектора z.
Применение метода синтезирующих переменных позволяет выполнить полный анализ оптимального управления применительно к конкретной задаче [2].
Здесь подразумевается определение областей существования решения, видов и
параметров функции оптимального управления. На практике довольно часто возникают ситуации, когда для объекта не существует решения задачи оптимального
управления (ЗОУ). Тогда интересует возможность управления объектом при изменении некоторых исходных данных в допустимых пределах, которая характеризует работоспособность системы управления. В данной постановке по работоспособности можно судить о качестве и живучести системы управления.
Например, решается классическая ЗОУ применительно к линейному стационарному объекту с ограничением на управление, с закрепленными концами траекторий изменения вектора z и фиксированным временным интервалом управления.
В общем случае эта задача может быть дополнена ограничениями на траектории
z ( ⋅) = ( z ( t ) , t ∈ [ t0 , tк ]) , u ( ⋅) = ( u ( t ) , t ∈ [t0 , tк ]) и значение функционала I
z& = Az ( t ) + Bu ( t ) , A ∈ A , B ∈ B, t ∈ [t0 , tк ] , tк ∈ T к ;
(1)
z ( t0 ) = z 0 , z ( tк ) = z к , z 0 ∈ Z 0 , z к ∈ Z к ;
(2)
∀t ∈ [ t0 , tк ] : u ( t ) ∈ U доп ; U доп ∈ U доп ;
(3)
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2006. Том 12. № 3А. Transactions TSTU.
663
I=
tк
,
∫ f0 ( z, u, t ) dt → min
u
f0 : R n × R m × R → R ,
(4)
t0
где A , B, T к , Z 0 , Z к , U доп – области возможных значений компонентов
ЗОУ, которые могут иметь место в процессе эксплуатации объекта.
Для численного решения ЗОУ (1) – (4) задается массив исходных данных
(
)
R = A, B, U доп , z 0 , z к , t0 , tк ,
(5)
определяются в синтезирующем пространстве значения для синтезирующего вектора L и соотношения для границ области Lc существования решения ЗОУ, если
L ( R ) ∈ Lc , то для задаваемого массива R решение ЗОУ существует. Вместе с тем
A , B, T к , Z 0 , Z к , U доп могут быть такими, что L ( R ) ∉ Lc . В этом случае возникает задача нахождения некоторого управления uэ ( t ) , которое эффективно с точки зрения минимизации
задаваемые компоненты массива (5) из областей
потерь от нарушения некоторых ограничений задачи (1) – (4).
Решение данной задачи связано с исследованием свойства практической работоспособности системы оптимального управления [4]. При анализе практической работоспособности рассматриваются вопросы устойчивости, управляемости
и качества переходных процессов при различных значениях массива исходных
данных массива (5). Если для реализации оптимального управления (ОУ)
u∗ ( ⋅) = ( u ( t ) , t ∈ [t0 , tк ] ) используется программная стратегия, то основную роль
приобретает оценка практической управляемости системы. В данном случае проверки управляемости по Калману, т.е. выполнения условия
(
rank B M AB M A2 B M KM An −1 B
)=n,
является недостаточно, так как данный критерий не учитывает наличие ограничения (3) на управление [1].
Исследование управляемости требует проведения расширенного анализа задачи управления, для которой необходимо сформулировать количественные критерии управляемости. Для количественной оценки управляемости в случае
L ( R ) ∉ Lc ( R ) введем понятие запаса управляемости.
Определение 1. Под запасом управляемости при ограниченном управлении
(ЗУОУ) объекта с ( A, B,U доп ) и задаваемых Z 0 , Z к понимается некоторое расстояние d в пространстве синтезирующих от L(R ) до L гр (R ) , которое можно
свести к нулю увеличением времени ∆t или изменением других компонентов
массива R в допустимых и заранее оговоренных пределах.
Если имеется ограничение на время, то определение 1 дополняется условием
∆t ≤ ∆t доп .
При анализе систем управления и соответственно объекта на множестве состояний функционирования (МСФ) H различным состояниям функционирования h соответствуют разные значения массива R [3], т.е. имеет место множество
массивов исходных данных
R H = {Rh , h ∈ H } .
664
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2006. Том 12. № 3А. Transactions TSTU.
(6)
Для отдельных значений Rh ∈ RH условия управляемости могут не выполняться. Будем полагать множество RH дискретно и конечно. Выделим в нем два
подмножества: подмножество R y значений R h , для которых условия управляемости выполняются, и подмножество R со значениями R h , для которых эти условия не выполняются. Если R ≠ Ø, то для системы вводится понятие степени
управляемости.
Определение 2. Степень управляемости S y характеризует возможности системы в решении задач управления на МСФ и количественно оценивается по формуле
Sy =
Rу
RH
,
(7)
здесь R − число элементов множества R .
Если для множества (6) известны вероятности значений R h , т.е. Rh , h ∈ H ,
то степень управляемости равна
∑
Sy =
h∈H у
Ph ,
(8)
где H y − подмножество состояний функционирования, соответствующее подмножеству R y .
В случае L ( R ) ∉ Lc ( R ) дополнительно возникает задача выбора цели (ЗВЦ),
которая связана с коррекцией цели управления и определением за счет изменения
каких компонентов массива R следует осуществлять программу u (⋅) . ЗВЦ формулируется следующим образом. Известны допустимые отклонения от задаваемых исходных данных (5), т.е. ∆tдоп , ∆ziк доп , i = 1,n, ∆U доп и функции «штра-
{
}
фа» для этих отклонений c ( r ) , r ∈ ∆tдоп , ∆ziк доп , i = 1,n, ∆U доп . Требуется,
используя формулы расчета синтезирующих переменных определить значения r ,
при которых L R ∈ L c R и суммарная функция штрафа минимальна, здесь R −
массив исходных данных, содержащий r .
Пример. Пусть n = 2 , управление скалярное и
( )
( )
0
a
 b1 
A=  1
, B =   .
 0 a2 
 b2 
В этом случае система управляема по Калману, если
b
rank  1
 b2
a1b1 
= 2.
a 2 b2 
Это имеет место при b1b2 (a1 − a 2 ) ≠ 0 , или a 2 ≠ a1 . Проверим данную систему на управляемость при ограничении на управление для исходных данных
R = ( a1 = −0,1; a2 = −0, 2; b1 = 0,1; b2 = 0, 045; uн = −380; uв = 380;
z10 = 0; z20 = 10; z1к = 100; z2к = 50; t0 = 0; tк = 10 ) , b2 = [0,03; 0,045]
(9)
при этом ∆t доп = 16 .
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2006. Том 12. № 3А. Transactions TSTU.
665
Синтезирующие переменные рассматриваемой системы определяются по
формулам
Li =
2 ( uв + uн ) − ai ∆t
4
− a ∆t
ziк e i − zi0 +
e
− 1 , i = 1; 2,
bi ∆u ∆t
ai ∆u ∆t
(
)
∆u = u в − u н ,
(
)
(10)
∆t = t к − t 0 .
Область Lгр задается соотношениями в параметрической форме
(
)
(11)
(
)
(12)
′i=
Lгр
2
e− ai ∆t − 2−0,5ai ∆tTп + 1 , i = 1; 2, Tп ∈ [ 0; 2]
ai ∆t
′′ i =
Lгр
2
e− ai ∆t − 2−0,5ai ∆tTп − 1 , i = 1; 2, Tп ∈ [ 0; 2] ,
ai ∆t
и
здесь Tп − нормированное время переключения управлений uгр1 ( t ) и u гр2 (t ) .
При исходных данных (9) L ( R ) ∉ Lc ( R ) проверка на управляемость по критерию, сформулированному в определении 1, показывает, что система управляема
при ограниченном управлении, так как с увеличением ∆t до ∆t1 =15 годограф
вектора L(R ) = L(∆t1 ) достигает L гр (∆t1 ) .
Если в массиве R вместо b2 = 0,045 взять b2 = 0,03 , то система становится
неуправляемой, так как при сколь угодно большом значении ∆t годограф вектора
L(∆t ) не пересекает L гр (∆t ) . Следует заметить, что условие управляемости по
Калману при b2 = 0,03 выполняется. Таким образом, при b2 = 0,45 систему
управления можно считать практически работоспособной, а при b2 = 0,03 практически неработоспособной, если значения z1к и z 2к зафиксированы.
Используя предполагаемый подход, нетрудно оценить запас управляемости
по величине параметра « b2 ». В рассматриваемом примере объект перестает быть
управляемым при ограниченном управлении при b2гр ≈ 0,036 и запас управляемости составляет ∆b2 = b2 − b2гр = 0, 09 или ∆b2 b2 ⋅100% = 25 %.
Таким образом, рассмотрены вопросы практической работоспособности систем управления и управляемости объектов с использованием метода синтезирующих переменных. Введено понятие запаса управляемости. Разработан программный продукт, позволяющий выполнять расширенный анализ энергосберегающего
управления на множестве состояний функционирования с позиции практической
работоспособности. Результаты исследований использованы при проектировании
системы управления многозонной электрической печью производства позисторов.
Список литературы
1 Воронов, А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость / А.А. Воронов. – М.: Наука, 1979. – 336 с.
2 Муромцев, Д.Ю. Методы и алгоритмы синтеза энергосберегающего
управления технологическими объектами : монография / Тамбов; М.; СПб.; Баку;
Вена : Изд-во «Нобелистика», 2005. – 202 с.
3 Муромцев, Ю.Л. Моделирование и оптимизация технических систем при
изменении состояний функционирования / Ю.Л. Муромцев, Л.Н. Ляпин, О.В. Попова. – Воронеж : ВГУ, 1992. – 164 с.
666
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2006. Том 12. № 3А. Transactions TSTU.
4 Пупков, К.А. Интеллектуальные системы / К.А. Пупков, В.Г. Коньков. –
М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. – 348 с.
To the Question of Practical Efficacy of Management Systems
D.Yu. Muromtsev, E.N. Yashin
Departments “Designing of Radio-Electronic and Microprocessor Systems”, TSTU
Key words and phrases: dynamic system; manageability; management strategy; optimal management.
Abstract: The notions of practical efficacy and manageability are given. The
analysis and evaluation of the degree of manageability with regard for limited management are implemented.
Zur Frage der praktischen Arbeitsfähigkeit der Steuersysteme
Zusammenfassung: Es ist den Begriff der praktischen Arbeitsfähigkeit und
Steuerung gegeben. Es wird die Analyse und die Einschätzung der Stufe der Steuerligkeit unter Berücksichtigung der Beschränkungen auf die Steuerung angeführt.
Sur le Problème de la capacité de travail pratique des systèmes
de la gestion
Résumé: Est donnée la notion du problème de la capacité de travail pratique et de
la gestion. Est réalisée l’analyse de l’évaluation du degré de la gestion compte tenu des
limitations de celle-ci.
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2006. Том 12. № 3А. Transactions TSTU.
667
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
123 Кб
Теги
вопрос, система, практическая, pdf, работоспособности, управления
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа