close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Определение ординат ядер Вольтерра при идентификации нелинейного динамического объекта с учетом отличия автокорреляционной функции тест-сигнала на основе двоичной М-последовательности от дельта функции..pdf

код для вставкиСкачать
Физика и электроника
УДК 681.51.015
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРДИНАТ ЯДЕР ВОЛЬТЕРРА ПРИ ИДЕНТИФИКАЦИИ
НЕЛИНЕЙНОГО ДИНАМИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА С УЧЕТОМ ОТЛИЧИЯ
АВТОКОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ ТЕСТСИГНАЛА НА ОСНОВЕ
ДВОИЧНОЙ МПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОТ ДЕЛЬТА ФУНКЦИИ
© 2014 В.Ф. Яковлев
Самарский государственный технический университет
Поступила в редакцию 17.11.2014
Предложены выражения для вычисления ординат ядер Вольтера нелинейного динамического объек
та при подаче на его вход тестсигнала, ортогонального к сдвигу, на базе двоичной Мпоследователь
ности с учетом отличия автокорреляционной функции тестсигнала от δ функции Дирака.
Для проверки полученных выражений использовалось компьютерное моделирование процесса иден
тификации нелинейного динамического объекта.
Ключевые слова: нелинейный динамический объект, идентификация, ряд Вольтерра, тестсигнал,
двоичная Мпоследовательность, автокорреляционная функция.
Для описания динамических нелинейных объек
тов применяют различные математические модели,
в том числе отрезки ряда Вольтерра [1, 2, 3]:
где y[i] и x[i] – замеры реакции объекта и тест
сигнала, h[j], h[k,l] – ординаты ядер Вольтерра, р
– число тактов тестсигнала.
В тестирующий сигнал на базе двоичной М
последовательности дополнительно вводятся
такты, обеспечивающие независимое и несмещен
ное вычисление оценок h[j], h[k,l] и h[k, k], а также
для устранения погрешности изза неправиль
ного определения начального состояния объекта
перед тестированием [2, 3].
На рис. 1 в качестве примера приведен тести
рующий сигнал, содержащий двоичную Мпос
ледовательность с характеристическим полино
мом F(x) = х3+х+1 и дополнительные такты.
Штрихами обозначены моменты измерения вы
ходного сигнала объекта. Реально в тестсигна
лах используются Мпоследовательности с пе
риодом более 210 [2].
Алгоритмы (2) получены при допущении, что
автокорреляционная функция (АКФ) ортого
нального к сдвигу тестсигнала есть δ функция
∞
y (t ) = h0 + ∫ h1 (τ ) ⋅ x (t − τ ) dτ +
0
∞∞
∫ ∫ h (τ ,τ
2
1
2
) ⋅ x(t − τ 1 ) ⋅ x (t − τ 2 ) dτ 1dτ 2 .
(1)
0 0
Здесь x (t ) и y (t ) – входной и выходной сиг
налы объекта. h1 (τ ) – ядро Вольтера первого по
рядка (импульсная переходная функция, ИПФ),
h2 (τ 1 ,τ 2 ) – ядро второго порядка.
Для раздельного определения ординат ядер
Вольтерра используется корреляционный метод.
При идентификации используют кусочнопосто
янные тестсигналы небольшой амплитуды, ор
тогональные к сдвигу, на основе псевдослучай
ных двоичных Мпоследовательностей [1,2], не
нарушающие текущее функционирование объек
та, реакция объекта измеряется один раз на так
те тестсигнала Δt . Тогда:
+α
p
h[ j ] =
∑ y[i] ⋅ x[i − j ]
i=0
p
∑x
2
[i − j ]
t
,
i =0
(2)
p
h[ k , l ] =
∑ y[i ] ⋅ x[i − k ] ⋅ x[i − l ]
i=o
p
∑x
2
[i − k ] ⋅ x [i − l ]
а
,
б
в
-α
2
Рис. 1.Тестсигнал на базе двоичной
Мпоследовательности:
i=0
а – формирование начальных условий,
б – период Мпоследовательности,
в –дополнительные такты
Яковлев Вадим Фридрихович, кандидат технических наук,
доцент кафедры “Теоретическая и общая электротехника”.
E#mail: vf7415@mail.ru
71
Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т. 16, №6, 2014
что привело к результату:
Дирака, что является упрощением. В отличие от
δ функции Дирака АКФ кусочнопостоянного
тестсигнала имеет не нулевые значения в интер
вале ( Δt , Δt ), а не только при τ = 0.
Целью этой работы является получение ана
литических выражений для определения ординат
ядер Вольтера с учетом отличия АКФ кусочнопо
стоянного тестсигнала от δ функции Дирака.
Ядра Вольтера определяются из уравнений
ВинераХопфа [1]:
h[ j] ≈
(3)
1
2
) ⋅ K x (τ 1 − s1 ,τ 2 − s 2 ) ds1 ds 2 .
(4)
Для вычисления правой части (4) предста
вим ядро Вольтерра второго порядка h( s1 , s 2 )
первыми пятью членами ряда Тейлора в окрест
ности точки (τ 1 ,τ 2 ) .
0 0
Здесь K x (τ ) и K x (τ 1 ,τ 2 ) – АКФ тестсиг
нала первого и второго порядков, K xy (τ ) и
K xy (τ 1 ,τ 2 ) – взаимокорреляционные функции
реакции объекта и тестсигнала первого и вто
рого порядков, Т – период тестсигнала.
Для ядра первого порядка (импульсной пе
реходной функции) вычисления по (3) для тест
сигнала на основе Мпоследовательности с уче
том отличия его АКФ от δ функции приведены,
например, в [4]. На рис. (2, а) приведена АКФ
первого порядка K x (τ ) кусочнопостоянного
тестсигнала, ортогонального к сдвигу, в (5) дано
аналитическое выражение для K x (τ ) .
⎧0, τ ≥ Δt
⎪
K х (τ ) = ⎨
τ
⎪(1 − ), τ ≤ Δt.
Δt
⎩
h(s1, s2 ) ≈ h(τ1 ,τ 2 ) +
( s1 −τ1 ) ⋅
∂h(τ1 ,τ 2 )
∂h(τ1 ,τ 2 )
+ (s2 − τ 2 ) ⋅
+ ..... (9)
∂τ1
∂τ 2
Тогда с учетом (8):
K xy (τ 1 ,τ 2 ) ≈ (Δt ) 2 ⋅ [h(τ 1 ,τ 2 ) +
(Δt ) 2 ∂ 2 h(τ 1 ,τ 2 ) (Δt ) 2 ∂ 2 h(τ 1 ,τ 2 )
⋅
+
⋅
+ ..], (10)
∂τ 12
∂τ 2
12
12
K xy (k ⋅ Δt , l ⋅ Δt )
.
(11)
( Δt ) 2
Если один из аргументов в h (τ 1 ,τ 2 ) равен
нулю, объем пирамиды K x (τ 1 ,τ 2 ) , учитываемый
h[k , l ] ≈
(5)
при интегрировании, уменьшается вдвое, т.к.
h (τ 1 ,τ 2 ) = 0 при отрицательных значениях ар
гументов. В этом случае:
В [4] для вычисления ординат ИПФ из урав
нения (3) с учетом соотношения (5) импульсная
переходная функция h(s ) объекта представля
лась рядом Тейлора в окрестности точки s = τ ,
1
(7)
⎧0, τ1 ≥ Δt, τ 2 ≥ Δt
⎪
Kx (τ1,τ 2 ) = ⎨
τ1
τ2
(8)
⎪(1 − )(1 − ), τ1 ≤ Δt, τ 2 ≤ Δt.
⎩ Δt
Δt
K xy (τ 1 ,τ 2 ) =
∫ ∫ h( s , s
2 ⋅ K xy (0)
.
Δt
Рассмотрим вычисление ординат ядра Воль
терра второго порядка по соотношению (4). Выра
жение для АКФ второго порядка (Рис.2,б) кусоч
нопостоянных сигналов получим аналогично (5):
0
T T
(6)
h[0] ≈
T
K xy (τ ) = ∫ h( s ) ⋅ K x (τ − s )ds.
K xy ( j ⋅ Δt )
.
Δt
Kx(?)
?t
0
Т=p·? t
?
а)
б)
Рис. 2. АКФ тестсигнала первого порядка (а) и второго порядка (б)
72
Физика и электроника
(Δt ) 2
Δt ∂h(τ 1 ,0)
K xy (τ 1 ,0) ≈
⋅ [h(τ 1 ,0) + ⋅
+
2
3
∂τ 2
(Δt ) 2 ∂ 2 h(τ 1 ,0) (Δt ) 2 ∂ 2 h(τ 1 ,0)
⋅
+
⋅
+ ⋅⋅].
2
2
12
12
∂τ 1
∂τ 2
h[0, l ] ≈
2 ⋅ K xy (0, l ⋅ Δt )
(Δt )
2
, h[ k ,0 ] ≈
2 ⋅ K xy (k ⋅ Δt ,0 )
(Δt ) 2
программе Multisim нелинейного объекта, воз
буждаемого Мпоследовательностью. Сепара
бельное ядро Вольтерра второго порядка моде
лируется цепью RC и квадратором. Параметры
цепи соответствуют соотношениям (16).
В процессе эксперимента при идентифика
ции динамического объекта компьютер управля
ет оборудованием для генерации тестсигнала,
сбора данных. Это удобно осуществлять в специ
ализированной среде программирования
LabVIEW [5]. Автором в среде LabVIEW был со
здан несложный виртуальный прибор для вычис
ления по алгоритму (2) ординат ядер Вольтерра
h[j] и h[k,l] нелинейного динамического объекта
при подаче на его вход тестсигнала на основе
двоичной Мпоследовательности с характерис
тическим полиномом х10 + х9 + х8 + х5 + 1, Δt = 1
мс. Динамические свойства объекта задавались
соотношениями (16).
На рис. 4 приведены фрагменты лицевой па
нели виртуального прибора, на рисунке 5 часть
блоксхемы.
В табл. 1 приведены вычисленные по выра
жению (16) значения ординат h1 ( j ⋅ Δt ) и оцен
ки ординат h[j], полученные в результате моде
лирования процесса идентификации по выраже
ниям (2).
В табл. 2 и 3 приведены вычисленные по вы
ражению (16) значения ординат h2 (k ⋅ Δt , l ⋅ Δt )
и оценки ординат h[k,l], полученные в результате
моделирования процесса идентификации по вы
ражениям (2).
В виртуальном приборе для идентификации
(Рис.4) реакция объекта измеряется один раз по
середине каждого такта тестсигнала. На прак
тике так обычно и поступают [4]. ВКФ реакции
объекта и тестсигнала вычисляется приближен
но. Из табл. 1 и 3 следует, что когда время памяти
исследуемого объекта в 5 ÷ 10 раз превышает
длительность такта тестсигнала результаты
удовлетворительны.
(12)
. (13)
В случае τ 1 = τ 2 = 0 при интегрировании
используется четверть объема пирамиды
K x (τ 1 ,τ 2 ) поэтому:
( Δt ) 2
Δt ∂h(0,0)
⋅ [ h(0,0) + ⋅
+
K xy (0,0) ≈
4
3
∂τ 1
Δt ∂h(0,0) ( Δt ) 2 ∂ 2 h(0,0)
⋅
+
⋅
+ ⋅⋅].
3
∂τ 2
9 ∂τ 1 ⋅ ∂τ 2
h[ 0,0] ≈
4 ⋅ K xy (0,0)
.
( Δt ) 2
(14)
(15)
Из выражений (6, 7, 11, 13, 15) следует, что
изза отличия АКФ кусочнопостоянного тест
сигнала от δ функции при определении орди
нат ИПФ и ядер Вольтерра появляется методи
ческая погрешность. Эта погрешность для орди
нат h[0], h[0,l], h[k,0], h[0,0] больше, чем для
ординат h[j], h[k,l].
Для проверки выражений (6, 7, 11, 13, 15) вы
полнялось компьютерное моделирование про
цесса идентификации. Линейный динамический
объект имитировался апериодическим звеном
первого порядка, нелинейный – сепарабельным
ядром Вольтера:
h1 (τ ) = 66.6 ⋅ e −66.6⋅τ ,
h2 (τ 1 ,τ 2 ) = 4435.56 ⋅ e −66.6⋅(τ +τ ) .
1
2
(16)
На рис. 3 представлены осциллограммы вход
ного и выходного сигналов для имитируемого в
Рис. 3. Моделирование ядра Вольтерра второго порядка в программе Multisim
73
Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т. 16, №6, 2014
Рис. 4.Лицевая панель виртуального прибора
с результатами идентификации ядра первого порядка
Рис. 5.Моделирование реакции объекта в блоксхеме виртуального прибора
Таблица 1. Ординаты h1 ( j ⋅ Δt ) и оценки ординат h[j]
j
0
h1(j·Δt) 66.6
h[j]
32.75
1
62.30
62.32
2
58.29
58.30
3
54.53
54.54
4
51.02
51.03
5
47.73
47.74
6
44.66
44.66
7
41.78
41.79
8
39.09
39.09
Таблица 2. Ординаты h2 (k ⋅ Δt , l ⋅ Δt )
k, l
0
1
2
3
4
5
0
4435.5
4149.7
3882.4
3632.2
3398.2
3179.2
1
4149.7
3882.4
3632.2
3398.2
3179.2
2974.4
2
3882.4
3632.2
3398.2
3179.2
2974.4
2782.7
3
3632.2
3398.2
3179.2
2974.4
2782.7
2603.4
4
3398.2
3179.2
2974.4
2782.7
2603.4
2435.7
5
3179.2
2974.4
2782.7
2603.4
2435.7
2278.8
4
1701.2
3181.1
2976.1
2784.1
2601.1
2436.3
5
1574.6
2975.2
2784.1
2605.2
2436.3
2275.8
Таблица 3. Оценки ординат h[k,l]
k, l
0
1
2
3
4
5
0
1108.7
2074.5
1941.7
1815.9
1699.3
1575.1
1
2075.1
3881.3
3633.7
3395.9
3180.1
2975.4
2
1942.1
3633.1
3397.1
3178.7
2977.1
2784.2
74
3
1815.3
3396.9
3178.9
2973.6
2783.1
2601.8
Физика и электроника
ВЫВОДЫ
цесса идентификации на примере динамических
звеньев первого и второго порядка.
Для независимой оценки корреляционным
методом ординат ядер Вольтерра или импульс
ной переходной функции при идентификации
используют ортогональные к сдвигу кусочнопо
стоянные тестсигналы малой амплитуды на ос
нове псевдослучайных двоичных Мпоследова
тельностей. При этом предполагается совпадение
автокорреляционной функции тестсигнала с δ функцией Дирака, что является упрощением.
В статье получены аналитические выражения,
связывающие оценки ординат ядер Вольтера и
ИПФ с соответствующими значениями взаимо
корреляционной функции тестсигнала и реакции
объекта с учетом отличия АКФ тестсигнала от
δ функции Дирака.
Для проверки полученных выражений было
выполнено компьютерное моделирование про
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
2.
3.
4.
5.
Ikonen E. Advanced process identification and control.
New York: Marcel Dekker Inc., 2002. 316 p.
Яковлев В.Ф. Выбор характеристического полинома
двоичной Мпоследовательности для идентифика
ции нелинейного динамического объекта // Извес
тия Самарского научного центра РАН. 2011. Т.13.
№4. С.133135.
Яковлев В.Ф. Быстрый алгоритм определения орди
нат импульсной переходной функции при возбужде
нии динамического объекта тестсигналом на осно
ве двоичной Мпоследовательности // Известия
Самарского научного центра РАН. 2012. Т.14. №4.
С.121125.
Davies W.D.T. System identification for selfadaptive
control. New York: WileyInterscience, 1970. 290 р.
Тревис Дж. LabVIEW для всех. М.: ДМК Пресс, 2005.
540 с.
MEASURING ORDINATES OF VOLTERRA KERNELS OF A DYNAMIC NONLINEAR
OBJECT USING BINARY MSEQUENCE AS INPUT WITH RESPECT
TO THE DIFFERENCE OF TEST SIGNAL AUTOCORRELATION
FUNCTION FROM DELTA FUNCTION
© 2014 V.F. Yakovlev
Samara State Technical University
The paper considers algorithm for computing the ordinates of a Volterra kernels of a dynamic nonlinear
object using binary Msequence as input with respect to the difference of test signal autocorrelation
function from ideal delta function.
Computer simulation of identification of nonlinear dynamic objects was used to verify algorithms obtained.
Keywords: nonlinear dynamic object, identification, Volterra series, testsignal, binary Msequence,
autocorrelation function.
Vadim Yakovlev, Candidate of Technics, Associate Professor at
the of Theoretic Electro Technology Department.
E#mail: vf7415@mail.ru
75
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа