close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Движение осесимметричного летательного аппарата по крену с учетом нелинейности аэродинамических характеристик..pdf

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ
То,м
удк
ЗАПИСКИ
ЦАГИ
М4
1975
V/
629.76.015.017.22
ДВИЖЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО
АППАРАТА
ПО КРЕНУ С УЧЕТОМНЕЛИНЕЙНОСТИ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ
ХАРАКТЕРИСТИК
п. М. Чернявс"uй
. Рассматриваются особенности движения по крену под действием
постоянного момента крена М О и момента крена М К о, обусловленных
небольшой несимметрией и моментом крена от косого обдува. В ли­
нейном приближении исследуется движение по крену вблизи особых
точек и дается
качественный
анализ
движения
с
учетом
нелиней­
ности а"родинамических характеристик. Показано, что при М о
< МК О
возможно периодическое вращение по крену, если величина собствен­
ного демпфирован ия летательного аппарата по крену меньше неко­
торой критической величины.
Получены приближенные и точная
зависимости для бифуркационных величин демпФИР9вания и постоян·
ной составляющей момента крена. Приводится качественная картина
поведения системы на фазовой плоскости и определяются некоторые
параметры
периодического
вращения
по
крену.
Момент крена от косого обдува оперенных летательных -аппаратов является
периодической функцией угла крена "( при фиксированных в пространстве век­
торе управления 8 и векторе угла атаки корпуса а [1]. для осесимметричных
аппаратов
на
балансировочных
режимах
в
каналах
управления
перегрузкой
ко"ффициент момента крена от косого Обдува при ограничении первым
его разложения в ряде Фурье можно представить в виде [1]
тх
где
'n -
кО
членом
= mKosin n,,(,
число плоскостей симметрии
ракеты.
Запишем уравнения движения ракеты по крену под действием постоянной
составляющей момента крена то, обусловленной небольшой несимметрией (на­
пример, вследствие неточности СБОРКИ), момента крена от косого обдува и мо­
мента а"родинамического демпфирования по крену в виде
(1)
где
(J)x -
угловая скорость крена, /х
ная площадь,
l -
характерный Еазмер,
сферы, V - скорость полет,а, т:х
112
-
момент инерции
q-
аппарата,
скоростой напор, р
-
s-
характер­
плотность атмо­
- ко"ффициент момента демпфирования крена.
Для упрощения анализа систему уравнений (1) удобно привести к безраз­
мерномувиду
(2)
где
11
VтK~;
= n1, .. =
V
С1 =-т-;'-;х - 1
х
V
qsl
qsl t,
,
ткоnТх
Действительно, в систему уравнений (2) входят два обобщенных параметра
С 1 и тl' которые и определяют при заданных начальных условиях характер
движения системы, поэтому анализ безразмерной системы (2) упрощается по
сравнению с анализом исходной системы уравнений (1), в которую входят
четыре
параметра
Мlх'О
n
)
.
Проведем качественный анализ движения по крену. Такой анализ удобно
проводить с использованием цилиндрической
развертки).
фазовой
[2]
поверхности
(или ее
Дифференциальное уравнение интегральных кривых на фазовом цилиндре
(3)
непосредственно
не
интегрируется.
Определим
положение
особых
точек
из
системы уравнений
т!
-
sin 11
=
О,
11
= 10 1 =
=
"'1
откуда следуе·т, что при т 1 >I особых точек
особые точки (два состояния покоя):
О,
нет.
arcSinтl,
"'1
При
=
т<l
существуют
две
О
и
11 = 102 =
Для
определения
характера
=
arc$in тl'
1t -
точек
окрестности точек покоя 11
10 1 (1
вблизи особой точки определяется
"'1
покоя
=
О.
линеаризуем
уравнения
в
(2)
Поведение интегральных кривых
корнями характеристического уравнения
= 1,2).
1.2 + С 1 1.+ cosln =0.
(4)
(4) следует, что точка покоя (11 = 1n 1, "'1 = О) является устойчивым фокусом
при ci 4 У 1 - т~ или устойчивым узлом при c~ > 4 Yl - т~. Точка покоя (11 =
= 1n 2' "'1 = О) при всех значениях параметров - седло, с ветвями сепаратрисы,
Из
<
проходящими
через
можно определить
из
точку покоя
под
уравнения
tg~l=- C~.±
угламн
наклона
~l,
величины
которых
V сl + У1- т~.
Для выяснения характера поведения фазовых траекторий, не находящихся
в малой окрестности особых точек, полезно проанализировать поведение кон­
сервативной системы, получающейся из (3) при Сl = О. Уравнение (3) при Сl
О
=
можно
проинтегрировать
и
получи ть
решение
в
следующем
виде:
",=±У2(СОSI1+тl1д+с,
(5)
где с - постоянная интегрирования. определяемая .начальноЙ 9нергией системы.
Для построения фазовых траекторий воспользуемся приемом, изложенны.м
в
f2].
На вспомогательной плоскости
у
l'
У построим кривую
= 2 (cos 11 + тl 1д
и затем, задавая различные значения с, будем получать различиые фазовые траек­
тории (фиг. 1). При тl<1 получаем особую точку типа центр (11=arcsinтl,
"'1
=
О) И
особую
точку
типа
седло
(11
= 1t -
arcsin
тl'
"'1 =
О).
Видно,
что
113
фазовые траектор~и, лежащие внутри
петли
сепаратрисы, замкнутые и соответ­
ствуют периодическим решениям (колебаниям относительно точки покоя). Траек­
тории, лежащие вне петли, не замыкаются, так как при увеличении "(1 на 27t:
величина 001 возрастает от значения 0>1 ("(1) до величины 0>1 ("(1+ 21t ) = V 41tm1 + O>i ("(1)'
При введении демпфирования (Сl
меняется
(фиг.
соотношениям Сl
Фиг.
2-4).
< С*р
Сl
2-4
> О)
характер фазовых траекторий качественн()
получены
для
значений
С/.
удовлетворяющих
бф
И уркационное
= С*1 И Сl> С!* соответственно, где С!.. -
-1r:
сеЛllJ7о.m,Раса
Фиг.
Фиг.
2
С, =с,*
Фиг.
Фиг.
3
4
значение параметра Сl' Замкнутая траектория, образованная ветвями сепарат­
рисы, выходящими из седла влево, размыкается. При атом для Сl> О верхняя
ветвь сепаратрисы пересекает линию 0>1
О В точке, лежащей левее точки
пересечения соответствующей фазовой траекторией для консервативной системы,
а нижняя ветвь сепаратрисы, наоборот, пересекает линию 001 =0 правее соот­
ве'тствующей точки (фиг. 2).
Таким образом, на фазовой плоскости появляются области (на фиг. 2-4 они
заштрихованы), из которых фазовые траектории приходят к устойчивой точке
покоя. Как показано в [2], система, движение которой описывается уравнением
вида (З), согласно критерию Бендиксона, не имеет на фазовом цилиндре зам­
кнутых траекторий, не охваТblвающих цилиндр, и может иметь самое большее
=
114
один предельный цикл, охватывающий цилиндр (периодическое
которой средней скоростью II)С). Этот предельный цикл (если
вращение с не·
он существует)
обязательно устойчив и лежит целиком в верхней половине цилиндра. При атом
само
существование
uериодического вращения
<
... по
крену
зависит
,от
соотноше·
ния величин еl и т1 (при тl
1). По мере увеличения е1 средняя скорость "'с
вращения уменьшается и увеличивается заштрихованная площадь. При достиже.
нии величиной е1 некоторого бифуркационного значения еl = е7 фазовая траек­
тория,
соответствующая
седла (фиг.
3).
периодическому
вращению,
опускается
и
касается
При атом все траектории, начинающиеся в нижней полу плоскости,
' .
> е *1 ) все
приходят к состоянию покоя. При дальнейшем увеличении еl (е1
траек-
тории приходят к состоянию покоя и периодического вращения уже нет (фиг.
Определим некоторые параметры периодического вращения по крену
условия, при которых возможно такое вращение. Как показано в
одическом
вращении
по
крену
неравномерность
вращения
[1],
можно
при
4).
и
пери­
характеризо­
вать амплитудой колебаний угловой скорости крена А относительно среднего
значения угловой скорости "'с. Оценка амплитуды А имеет следующий вид (1]:
А =
~=:;===;::-
(6)
V e~+II)~
Для оценки среднего значения угловой скорости шс воспользуемся тем, что
периодическом вращении работа всех сил на периоде должна быть
[2-4].
Представив приближенно угловую скорость по крену
(1)1
r де
'YJ = А"",с, и учитывая, что
~
S(т] -
= "'с
d11 =
"'1
sin 1]-
d't, можем записать
~
J
еl "'1) d11, = (т l - siп 1]) d11 -
j' Сеl (шс +"I"'c
u
откуда
в виде
+ "I"'c cos "'с 't,
~
о
шс 't)2 d't = О,
COS
получаем
2тl
е1
(8)
(7)
о
(8)
OOc=----·
Из
при
равна нулю
следует, что наличие
(2
+ 1)2)
периодических
колебаний
угловой
скорости
отно­
сительно среднего значения, вызываемые периодическим моментом крена (sin 1]),
приводит к снижению среднего значения угловой скорости крена, хотя ра.бота
периодической составляющей момента крена на периоде рав.нанулю,
Из
(8)
видно, что при
величина
"1 «1
"'с
приближенно
определяется
соот·
ношением
тl
ш с :::::: -с;-.
Приближенное
уравнение
для
определения
границы
ческих вращений т1 (ед можно получить из уравнений
"1
=
1 (А
=
возможных
и
(6)
(8),
если
периоди­
положить
"'с):
тl= !-х. 2 =
1,5
С! (-О,5СI + УО,25еТ+1) при-х.2 <I;
1,
при -x.~>
Для малых значений еl« 1 приближенное уравнение
Считая т! и еl малыми, получим из интеграла анергии (5)
"'1
При предельных колебаниях по
интегрирования С
2, поатому
=
(9)
.}
(9)
1.
можно
уточнить.
= у:г cos 1] +С.
крену
с
амплитудой,
равной
1t,
постоянная
11
"'1
Подставив
(10)
в
(7),
= ± 2 cos -:Г .
(10)
ПОЛУ'lИм
(9')
На фиг.
5
сплошной линией показана точная бифуркационная кривая т] (el)'
полученная с помощью ЭUВМ при решении
сена зависимость
(9),
краевой
а 1JIТРИХ-ПУНКТИРНОЙ линией
-
задачи.
Пунктиром
зависимость
(9').
нане­
Видно, что
115
при малых значениях Тn 1 зависимость
практически совпадает
(9')
с
точной
гра­
ницей т\ (Сl)'
Влияние режимов полета на характер движения можно выявить из соотно­
шений для тl и С\ (2) и бифуркационной диаграммы (фиг. 5). Из (2) следует,
что увеличение высоты полета Н (при постоянном угле атаки а) приводит
к уменьшению величины С\. Величина тl при 19ТОМ не меняется. Малое увели­
чение
угла
атаки,
сопровождающееся
возрастанием
Фиг.
величины
т
к
О,
приводит
5
в малом к смещению некоторой исходной точки на
бифуркационной
диаграмме
влево и вниз 110 прямой, для которой выполняется следующее равенство (фиг.
5):
tg <\'2 = 2 tg <\'1'
ПО9ТОМУ
точки,
лежащие
высоты 1I0лета попадают в
с увеличением угла атаки -
на
бифуркационной
кривой
тl (Сl)'
с
область возможного уста.новившегося
в область, где такой режим исключен.
увеличением
вращения, а
ЛИТЕРАТУРА
1. С в я т о д у х В. К. динамика пространственного
управл'яемых ракет. М., .Машиностроение, 1969.
2. А н д Р о н о в А. А., В и т т
колебаннЙ. М., Физматгиз, 1001.
3.М о и с е е в
Н.
механики. М., .Наука",
4.
Л а р и ч е в а
определения
аналога
В.
Н.
А.
А.,
Хай к и н
Асимптотические
движения
С.
методы
Э.
Теория
нелинейной
1969.
В.,
Ш и л о в
сепаратрис при
А.
А.
Аналитический
движении
масс в атмосфере •• Космические исследования',
тела
ОКОло
метод
центра
1969, N! 1.
Рукопись поступила
2(Vll /974 z.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа