close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Проблема определения структуры многомерных моделей в пространстве состояний..pdf

код для вставкиСкачать
HF j K и так как обновление ? процесс
белого шума с нулевым средним, y t k t можно
представить как
Тогда H j
УДК 519.6
ПРОБЛЕМА ОПРЕДЕЛЕНИЯ
СТРУКТУРЫ МНОГОМЕРНЫХ
y t k t
МОДЕЛЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ
СОСТОЯНИЙ
Исследуется проблема определения структуры модели в
пространстве состояний для многомерного стационарного стохастического процесса. Рассматриваются условия для выбора базиса, при котором число оцениваемых
параметров минимально. Приводится метод оценки
структуры, основанный на выборе наиболее независимых компонент.
YtN
yt
Hx t .
(1)
Здесь y t ? стационарный чисто случайный стохастический векторный процесс размерности р; e t ?
гауссовский вектор белого шума той же размерности,
что и y t ; x t ? состояние размерности n . В многомерных системах проблема оценивания структуры
состоит не только в определении размерности x t ?
вектора состояния (как в случае систем с одним
входом и одним выходом), но и в определении
специальной структуры (или параметризации) для
F , K и H матриц так, чтобы они могли быть
единственно определены в процедуре параметрического оценивания. Нет универсальной структуры,
которая может быть использована для всех многомерных линейных систем одного и того же порядка.
Другая трудность та, что данная система может быть
единственно параметризована более, чем одной структурой. Поэтому проблема оценивания структуры
заключается в определении вначале набора допустимых для данного y t процесса структур и последующего выбора наилучшей структуры в этом наборе, т.
е. структуры, в которой проблема оценивания будет
хорошо обусловленной.
Идентификация структуры представления пространства состояния (1) состоит из 1) определения размерности n вектора состояния и 2) размещения в
матрице F оцениваемых параметров. Фактически
определение структуры модели для процесса y t
руководствуется вводом в матрицу F наборов 1 или
0 и поэтому не оцениваемым. Разрешение этих
вводов ? важная часть определения структуры, так
как уменьшает число неизвестных параметров и
обеспечивает хорошую обусловленность проблемы
оценивания. Этот аспект составляет главное отличие
идентификации многомерных процессов. Рассмотрим представление импульсной реакции для
yt
42
f
¦ H je t j .
j 0
(2)
Є yt t є
« »
« y t 1 t »
».
«
#
«
»
«¬ y t N 1 t »ј
(4)
Используя (3), можно представить
Важная и широко изучаемая проблема в теории
идентификации линейных систем ? определение
структуры представления в пространстве состояния
типа
Fx t 1 Ke t ;
(3).
j k
Np -мерный вектор предсказания
ГРИЦЮК В.И.
xt
f
¦ H je t k j ,
YtN
Є et є
H N, f ««e t 1 »»
,
«¬ # »ј
где H N,f ? полуопределенная матрица Ганкеля, определяемая как
H N,M
Є H0
« H
« 1
« #
«
¬H N 1
H M 1 є
»
H2 "
#
»
».
#
#
#
»
" " H N M 2 ј
H1
"
Ввиду предположения, что y t ? процесс конечного
порядка n , ранг матрицы H N, M меньше или равен
n при любом N и M . Следовательно, для достаточно
большого N можем выбрать n независимых строк
в H N,f и соответственно n независимых компонент
в векторе предсказания YtN , которые будут образовывать базис для пространства, охваченного всеми
компонентами YtN . Пусть x t ? вектор, сформиро
ванный этими независимыми компонентами YtN .
Определим h ? структурный вектор представления
пространства состояния, содержащий индексы строк
H N,f (компоненты вектора предсказания), которые
могут быть выбраны в базис. Введем несколько
ограничительных условий для выбора базиса. Вопервых, ввиду формы матрицы Ганкеля, если j -я
есть в модели присутствукомпонента y t i t , y j
ti t
ющих компонент вектора предсказания YtN , тогда
выполняется y j
для k ; i . Во-вторых, так как
tk t
yt
? процесс полного ранга, ясно, что первые p
компоненты вектора предсказания YtN ? независимы. Налагаются два условия на выбор базиса: 1) если
i Џ h , то i p Џ h ; 2) i Џ h для i 1,2, " p .Если выбираются условия 1) и 2), то соответствующий структурный вектор h называется хорошим. Если состо
яние x t формируется выбором n компонент YtN ,
РИ, 1999, № 4
полученного из хорошего структурного вектора h ,
тогда соответствующие F, K, H структуры называются допустимыми. Ясно, что оптимальным выбором
будет параметризация, которая ведет к наиболее
точным оценкам параметров. Можно определить, что
строки матрицы F могут быть двух типов: 1)
(0 " 0 1 0 " 0) и 2) (X X X ) , т. е. полностью параметризованы. Так как F выражает линейную зависимость в векторе предсказания [1,2], можно видеть,
что в F есть n n 1 строк типа 1), где n 1 ? число строк
первой блочной строки H N,f ( n 1 d p ), которые выбраны в базис. Строки H также типа 1) или 2), и в H
есть n 1 строк типа 1). Поэтому в F nn 1 оцениваемых
параметров и в H - (p n 1 )n . Общее число параметров в H и F - np независимо от величины n 1 . Однако
n 1 влияет на величину неизвестных параметров в K .
Если x t выбрано так, что соответствует условиям 1)
Є , є
« * » , и число оцениваемых
¬K ј
параметров 2np p 2 , где n ? размерность состояния
модели (1). Если x t выбрана так, что соответствует
только условию 1), то число параметров 2np n 1p ,
где n 1 E p . Если x t выбрано без соответствия
условиям 1) и 2), число параметров, которые должны
быть оценены в F , может быть больше, чем 2np n 1p .
Определим концепцию сложности [3]. Фактически
? это мера взаимодействия между компонентами
случайного вектора. Чем большее взаимодействие,
тем большая сложность:
и 2), то H
,
0 ,K
C
1 n
¦ log( nO i ) ,
2i 1
(5)
где O i ? собственные значения ковариационной матрицы случайного вектора (при условии, что ковариационная матрица нормализована так, что её след
равняется 1). Если известна ковариационная матрица
R Y вектора YtN и известен порядок процесса n ,
можно вычислить сложность различных подвекторов
порядка n вектора YtN , так как соответствующая n u n
ковариационная матрица - подматрица R Y . Идея,
предложенная в [3], позволяет выбрать подвектор YtN ,
который имеет наименьшую сложность среди всех
подвекторов размерности n , соответствующих условиям 1) и 2). Компоненты, полученные этим путем,
называются ?наиболее независимые компоненты? YtN .
Если параметры F матрицы оцениваются методом
наименьших квадратов, то ковариационная матрица
ошибок оценок параметров связана с обращением
подматрицы R Y , выбранной процедурой в [3] . Поэтому возможно использовать матрицу R Y для выбора
компонент базиса, хотя она прямо не достижима.
Можно минимизировать некоторую скалярную меру
обращения различных подматриц
РИ, 1999, № 4
R Y , чтобы различить между соответствующими под
векторами YtN . Предложим следующую процедуру.
1) Вычислить оценки предсказателей y t k t для
первой подгонки модели авторегрессии высокого
порядка.
2) Вычислить матрицу ковариаций модели R Y из
оценок предсказателей.
3) Вычислить UDU T разложение согласно методу [4]
верхней левой p u p подматрицы R Y , а затем её
обращение.
4) Для порядка n , равного p 1 , выбрать все
( p 1) u ( p 1) подматрицы R Y , которые содержат
p u p верхнюю левую подматрицу и удовлетворяют
условию 1). Вычислить обращение этих подматриц,
для чего определить сингулярные значения матриц
согласно методу [4]. Для этой цели представим
матрицу
ЄD1 / 2 U T D 1 / 2 U 1b є
2 «
» ,
(6)
U
¬« 0
ј»
умножение на которую её же транспонированной
дает
ЄUDU T b є
OTO « T
»,
D ј»
¬« b
где b ? вектор; U (D b T ( UDU T ) 1 b )1/ 2 ; U ?нижняя треугольная матрица с единицами на диагонали.
5) Выбрать подматрицу, для которой след обращенной минимальный.
6) Повторить последние два шага со всеми
(n 1) u (n 1) подматрицами, которые содержат выбранную n u n подматрицу, а добавочная строка и
колонка их выбраны так, что соответствуют условию
1).
7) Выбрать порядок, который минимизирует критерий типа AIC.
Предложенный метод определения оптимальной структуры позволяет выбрать структуру с наиболее независимыми компонентами в векторе состояния из набора
допустимых для данного процесса структур.
Литература: 1. Rissanen J. Basis of invariants and canonical
forms for linear dynamical systems // Automatica, 1974, Vol.
10. Р. 32-41. 2. Gevers M., Werts V. On the problem of
structure selection for the identification of stationary
stochastic processes // Proc. IFAC Symp. Identification
Parameter Est., Washington, 1982. Р.112-123. 3. Ljung L.,
Rissanen J. On canonical forms, parameter identifiability
and the concept of complexity// Proc. IFAC Symp.
Identification, Tbilisi, 1976. Vol. 3. Р.84-90. 4. Грицюк В. И.
Рекуррентный алгоритм идентификации модели, основанный на ортогональном разложении // Радиоэлектроника и информатика, 1998. № 3. С. 46-48.
Поступила в редколлегию 14.12.99
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Авраменко В.Г.
Грицюк Вера Ильинична, канд. техн. наук, докторант
ХТУРЭ. Научные интересы: стохастические системы
управления. Хобби: литература, музыка. Адрес: Украина, 61726, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-93-06.
43
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
178 Кб
Теги
структура, пространство, состояние, pdf, определение, проблемы, моделей, многомерная
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа