close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Макроэкономическая динамическая модель роста с учетом емкости природной среды научно-технического прогресса и инвестиций в образование..pdf

код для вставкиСкачать
Математическое моделирование
Математическое моделирование
Т.Р. КИЛЬМАТОВ,
Т.И. ЕЛИСЕЕВА,
Е.В. ЧЕРНОВИЦКАЯ
Макроэкономическая динамическая
модель роста с учетом емкости
природной среды, научно-технического
прогресса и инвестиций в образование*
Построена динамическая модель экономического роста в виде
системы дифференциальных уравнений, учитывающая емкость природной среды, научно-технический прогресс, инвестиции в образование. Показано, что существует пороговая величина инвестиций в образование,
при вложениях ниже которой невозможно обеспечить научно-технический прогресс и экономический рост.
В середине ХХ в. мировая экономика приобрела планетарные
масштабы с тенденцией к дальнейшей глобализации. Одновременно
появились новые проблемы, связанные с ограниченными ресурсными
возможностями планеты Земля. Пределы экономического роста вследствие исчерпывания природных ресурсов впервые систематически исследовались в рамках Римского клуба [9, 11]. Реальным проявлением
обсуждаемых тенденций стал мировой нефтяной кризис 70-х годов прошлого столетия.
Современную мировую экономику в модельном приближении
можно рассматривать как единый завод, который по потребляемым природным ресурсам стал соизмерим с их запасами на планете в целом. Особенно это относится к принципиально не возобновляемым ресурсам, в
частности нефти, другим полезным ископаемым, посевным площадям. В
такой ситуации определяющим ограничителем объема производства и
темпов роста становятся внешние природные факторы. Например, для
сельского хозяйства в прошлом площадь обрабатываемой земли ограничивалась ресурсами живого труда и основных фондов, в настоящее время
ограничены посевные площади и остается возможность роста только в
интенсивном направлении. Причем экстенсивное направление развития
тоже лимитируется емкостью природной среды, поскольку требует значительных энергетических затрат, т.е. использования природных ископаемых. На ограниченном по площади поле даже при безлимитном вло*
Работа выполнена при поддержке гранта РГНФ 05-02-87200.
49
Вестник ТГЭУ. №4. 2005
жении капитала и живого труда урожай не может бесконечно возрастать
и существует предел выхода валового продукта.
В связи с вышесказанным при моделировании макроэкономических
процессов в глобальном масштабе требуется учет емкости внешней среды.
В литературе такой подход разработан, в частности при моделировании
роста популяции [1, 7]. Это модель популяции Мальтуса без учета и с учетом емкости природной среды. В первом случае наблюдается неограниченный экспоненциальный рост, во втором – решение в виде логистической функции, и численность популяции в этом случае имеет асимптотический «потолок» роста. Подобные рассуждения можно применить для
моделирования производства с помощью производственной функции.
Учет ограниченной емкости природных ресурсов при моделировании макроэкономических процессов на основе производственных функций продемонстрирован в работах [4, 5]. За основу принимается неоклассическая мультипликативная производственная функция (ПФ) [1, 6, 7].
Эта функция Y = F(K, L), позволяющая рассчитать валовой выпуск Y при
заданных вложенных ресурсах: K – капитал и L – живой труд, обладает
следующим свойством. Рост вложенных ресурсов приводит к неограниченному росту валового выпуска. Математически это выглядит так:
F ( ∞, L ) = F ( K , ∞ ) = F ( ∞, ∞ ) = ∞ .
Такое модельное допущение верно, когда планетарные ресурсные
возможности много больше интегрированных производственных мощностей. Однако для современной социально-экономической ситуации абсолютные ограничения природных ресурсов в рамках планеты лимитируют объемы выпуска продукции, производственная функция ограничена, Y = F(∞, L), Y = F(K, ∞) имеет асимптотический предел роста. Суть
этого ограничения еще раз проиллюстрируем на примере сельского хозяйства. Объем урожая на ограниченных посевных площадях даже при
неограниченном вложении капитала К = ∞ и живого труда L = ∞ имеет
пределы роста. Таким образом, в последнем случае емкость природной
среды является дополнительным аргументом в ПФ. Отметим, что аналогичная ситуация возникает при моделировании мировой экономики, где
ограничителем роста будут выступать запасы природных ресурсов на
планете, в частности нефти, леса, посевных площадей.
Конкретный аналитический вид классической мультипликативной
производственной функции следующий:
Y = AK α Lβ ,
где А>0, 0<α<1, 0<β<1, соответственно, коэффициент нейтрального научно-технического прогресса, эластичность по капиталу и труду.
В работах [4, 5] сделано аналитическое обобщение неоклассической мультипликативной ПФ. Обозначим G – максимальное значение
капитала, который можно эффективно вкладывать в данный регион с
учетом ограниченной емкости природной среды; R – максимальный объем живого труда, который определяется емкостью региона по возможности эффективного использования трудовых ресурсов и условиям
проживания. Представим ПФ в следующем виде:
50
Математическое моделирование
Y = A((1 − exp(−
G
R
)) K ) α ((1 − exp(− )) L) β .
K
L
(1)
Здесь положительные параметры G, R характеризуют емкость природной среды по капиталу и живому труду соответственно. Когда масштабы производства малы по отношению к возможностям природной
среды, получаем классическую ПФ, как частный случай
Y ≈ AK α Lβ при К<<G, L<<R.
(2)
В другом предельном случае, когда масштабы производства превышают возможности природной среды, внешние природные ограничеK
L
ния вступают в силу,
>> 1 ,
>> 1 , из формулы (1) в этом предельном
G
R
случае, разлагая экспоненту в ряд, получаем
Y ≈ AG α R β (1 −
G α
R β
) (1 −
) ,
2K
2L
(3)
откуда следует предел выпуска F(∞,∞)=AGαRβ, который определяется
природными возможностями региона или планеты в целом.
Таким образом, обобщение (1) для производственной функции
включает в себя классическую ПФ как частный случай. Предельный анализ представленной производственной функции проведен в [6]. Показано, что существуют пределы выпуска валового продукта вследствие
ресурсных природных ограничений, причем предельные характеристики
– эластичность по труду и капиталу – стремятся к нулю при росте вкладываемых ресурсов. Таким образом, при нейтральном научно-техническом прогрессе модельно в рамках ПФ задаются пределы роста экономики вследствие ограниченной емкости природной среды.
На основе односекторной модели экономического роста типа Солоу рассмотрим, к каким последствиям приводят емкостные ограничения, если в качестве ПФ выбрать функцию (1). Динамическая модель
роста имеет вид [1, 3, 4, 7]:
Y = F ( K , L),
∂L
= rL, L(0) = L0 ,
∂t
∂K
= −μK + ρ(1 − c)Y , K (0) = K 0 .
∂t
(4)
Здесь обозначено 0<с<1 – безразмерный коэффициент потребления; ρ, μ – положительные коэффициенты накопления и выбытия фондов; r – мальтузианский коэффициент. Рассмотрим наличие стационарных траекторий экономического роста в предположении, что производственная функция имеет вид (1). Сначала пренебрежем научно-техническим прогрессом, т.е. A(t) = A0. Проанализируем предельный случай, коK
L
>> 1,
>> 1 и выпуск можно в первом приближении принять
гда
G
R
Ymax = A0 G α R β . Тогда получаем следующую формулу для расчета удельного потребления:
51
Вестник ТГЭУ. №4. 2005
cY cA0 G α R β
=
→ 0 при t → ∞ .
(5)
L
L0 exp(rt )
Отсюда видно, что уменьшается удельное потребление, отсутствуют траектория роста, «золотое» правило потребления, происходит непрерывное ухудшение экономической ситуации. Из (5) следует, что
ухудшения можно избежать, если «заморозить» численность населения.
В модели это соответствует нулевому мальтузианскому коэффициенту,
r=0. В этом случае удается зафиксировать удельное потребление на заданном уровне.
Если формально остаться в рамках классических макроэкономических представлений, то можно обеспечить стационарную траекторию в
условиях ограниченной емкости природной среды. Для этого нужно в
модель включить научно-технический прогресс. Заменим формально в
ПФ коэффициент нейтрального научно-технического прогресса на экспоненциальный, т.е. экзогенно зададим A=A0 exp(γt). Тогда условие неуменьшения душевого потребления в условиях ограниченной емкости
среды имеет следующий вид: γ≥r, поскольку в этом случае
cY cA0 G α R β
=
exp(( γ − r )t ) .
L
L0
Главный вывод данного анализа: в условиях ограниченной емкости
природной среды для стабильного существования необходимо обеспечить темпы научно-технического прогресса не ниже заданных. Причем
вследствие экономической деятельности непрерывно уменьшается емкость природной среды (запасов нефти, пахотных земель и т.д.), модельные параметры G, R уменьшаются во времени, что усиливает роль научно-технического прогресса для обеспечения траектории роста.
Рассмотрим подробно модельный блок, описывающий научно-технический прогресс. Экзогенное задание экспоненциального роста коэффициента A в предыдущем пункте в виде A=A0 exp(γt) математически эквивалентно следующей простейшей модели роста
dA
= γA , A(0) = A0 .
(6)
dt
Это уравнение означает, что темпы роста параметра A пропорциональны уровню научно-технического прогресса. Более адекватная модельная постановка соответствует ситуации, когда уровень и темпы научнотехнического прогресса поддерживаются уровнем образования общества, в
более общем случае параметром «качество населения» [8, 10, 12]. Этот параметр включает в себя уровень здоровья, уровень образования, уровень
производительности труда. Последние две компоненты особенно важны
для эффективного роста экономики [8, 10]. Образование рассматривается
как одна из основных отраслей экономики, инвестиции в которую обеспечивают заданный темп социально-экономического развития.
В соответствии с модельной концепцией предельной емкости для
параметра A примем логистическую модель в виде
dA
E−A
) A , A(0) = A0 , A0 < E .
(7)
= γ(
dt
E
52
Математическое моделирование
Здесь E – предел роста коэффициента научно-технического прогресса при фиксированном уровне качества населения, прежде всего образования. Решение уравнения (7) имеет вид логистической функции
A0 E
A=
,
(8)
( E − A0 ) exp(− γt ) + A0
откуда получаем Amax = E при t→∞.
Предел роста научно-технического прогресса Е в свою очередь зависит от качества населения, его уровня образования. Повышение уровня
образования приводит к росту E. Экономическая интерпретация постановки (7)–(8) следующая. При фиксированном уровне образования существует предел роста научно-технического прогресса общества. Поэтому
для дальнейшего роста необходимы инвестиции в образование как отрасль. Обозначим I – объем инвестиций на образование. Тогда в динамической модели cY – собственное потребление, (1–c)(1–g)Y – инвестиции
на восстановление основных фондов, I = (1–c)gY – инвестиции на образование населения. Здесь коэффициент 0<g<1 – доля инвестиций, затраченная на образование. Предел роста E является монотонно возрастающей
функцией от инвестиций на образование I. В линейном приближении
∂E
можно записать E( I ) = E0 + k ⋅ I , где k =
> 0 – предельная произво∂I
дительность E от инвестиций в образование.
Модельный блок учета научно-технического прогресса в условиях
R
⎛G
⎞
лимита природных ресурсов ⎜ << 1, << 1⎟ будет иметь вид
K
L
⎝
⎠
α
β
Y = AG R ,
dA
E−A
= γ(
) A , A(0) = A0 ,
(9)
dt
E
E( I ) = E 0 + k ⋅ ( 1 − c )gY .
Анализ системы (3) с модельным блоком (9) показывает, что если
не вкладывать инвестиций в образование (g=0), то получаем достаточно
очевидный результат – наличие предела роста валового выпуска в виде
Ymax = E0GαRβ при t→∞.
Рассмотрим случай g>0, когда существуют положительные инвестиции в образование. В этом случае систему (9) можно записать в виде
полного дифференциала для коэффициента научно-технического прогресса A в следующем виде
d ln A( E 0 + (a − 1) A)
d ln A exp(
1
a −1
= γdt при a ≠ 1
A
) = γdt при a = 1 .
E0
или
(10)
Здесь обозначено a = k(1–c)gGαRβ .
Решение (10) показывает следующее интересное свойство. Если
a≥1, то линейный рост правой части уравнения при t→∞ обеспечивает
неограниченный рост научно-технического прогресса, A→∞. При a<1
53
Вестник ТГЭУ. №4. 2005
левая часть уравнения (10) ограничена. В этом случае наблюдается предел роста коэффициента научно-технического прогресса. Отсюда следует, что для обеспечения экономического роста объем инвестиций на
повышение качества (образования) населения должен быть не ниже заданного, определяемого неравенством
k (1 − c) gG α R β > 1 .
(11)
В рамках предположений, заложенных в модель, можно сделать
следующие выводы. Существует порог объема инвестиций, вкладываемых в образование, ниже которого нельзя обеспечить рост коэффициента
научно-технического прогресса и заданный экономический рост. Этот
результат получен в условиях ограниченной емкости природной среды,
которая лимитирует пределы экстенсивного роста. Модельный порог
имеет аналитический вид неравенства (11). Из неравенства следует, что
при прочих равных условиях доля инвестиций в образование g должна
быть тем больше, чем больше коэффициент потребления c, чем меньше
природные емкости рассматриваемого региона G, R, чем меньше k – предельная производительность коэффициента E от вложенных инвестиций
в образование. В частности, из (11) следует, что при значительной емкости природной среды можно обойтись минимальными инвестициями в
образование, поскольку при R,G→∞ неравенство обеспечивается автоматически.
Для обеспечения экономического роста в условиях ограниченных
возможностей природной среды общество должно инвестировать процесс образования в объеме, превышающем некий пороговый уровень.
Этот уровень задается неравенством (11). Если неравенство не выполняется, коэффициент научно-технического прогресса и валовой выпуск
имеют пределы роста. Это означает, что страны, прежде всего развитые,
которые могут обеспечить нужный объем инвестиций и уровень образования, будут развиваться ускоренными темпами вследствие научно-технического прогресса. У бедных стран экономические возможности обеспечения нужного качества населения ограничены. Таким образом, в условиях ограниченной емкости природной среды существует дополнительный механизм расслоения стран на бедные и богатые, аналог положительной обратной связи. Богатые страны вследствие научно-технического прогресса становятся богаче, бедные страны имеют ограниченные
пределы роста.
Литература
1.
2.
3.
54
Ашманов С.А. Введение в математическую экономику / С.А. Ашманов. – М.: Наука, 1984. – 296 с.
Клейнер Г.Б. Методы анализа производственных функций /
Г.Б. Клейнер. – М.: Информэлектро, 1980. – 254 с.
Кильматов Т.Р. Динамическая модель макроэкономики с учетом
миграционных процессов / Т.Р. Кильматов, М.Н. Капитонова // Системы управления и информационные технологии. 2003. № 1-2 (12).
С. 20-22.
Математическое моделирование
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Кильматов Т.Р. Моделирование сценариев стратегического развития Приморского края / Т.Р. Кильматов, М.Н. Капитонова. –Владивосток: Дальнаука, 2004. – 101 с.
Кильматов Т.Р. Производственная функция с учетом ограниченной
емкости природной среды / Т.Р. Кильматов // Системы управления
и информационные технологии. 2004. № 5(17). С. 63-65.
Кильматов Т.Р. Модель оптимизации ресурсов между регионами с
переизбытком и недостатком природных ресурсов, живого труда и
капитала / Т.Р. Кильматов // Информационные технологии моделирования и управления. Воронеж: Научная книга, 2004. Вып. 16.
С. 81-87.
Самарский А.А. Математическое моделирование. Идеи. Методы.
Примеры / А.А. Самарский, А.П. Михайлов. – М.: Физматлит,
2001. – 316 с.
Соградов А.А. Теория и методы изучения качества населения /
А.А. Соградов. – М.: Гуманитарный фонд, 1995.
Форрестер Д. Мировая динамика / Д. Форрестер. – М.: Прогресс,
1978.
Human development report 1990. – N.Y., 1990.
Mesarovic M. Mauknid at the Turning Point «The Second Report to the
Club of Rome» / M. Mesarovic, E. Pestel. – N.Y.: Readers Didgest
Press, 1974.
The World Competitiveness Yearbook. Edition IMD-International. –
Lausanne, 1996.
© Кильматов Т.Р., Елисеева Т.И.,
Черновицкая Е.В., 2005 г.
55
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа