close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Статистические функции спроса-предложения в векторных задачах моделирования рынка..pdf

код для вставкиСкачать
Вестник ТГЭУ. №2. 2007
Математическое моделирование
Ю.К. МАШУНИН
Статистические функции
спроса–предложения в векторных
задачах моделирования рынка
Представлен новый подход к моделированию развития рынка на
основе статистических функций спроса и предложения. Математическая модель спроса и предложения рассматривается в виде оптимизационных задач, а модель рынка в виде векторной задачи математического (нелинейного) программирования.
Проблема моделирования развития рынка является одной из
важнейших в системе управления экономикой региона и государства в
целом. В настоящее время имеются определенные успехи в области
эконометрики [1], создано программное обеспечение, решающее основные задачи эконометрики [2]. И, естественно, встает вопрос об использовании результатов эконометрического анализа в исследовании
и моделировании развития рынка. В [3] представлена модель рынка,
учитывающая баланс совокупного спроса и предложения для различных рыночных структур и целенаправленность участников рынка
(производителей и потребителей). Настоящая работа является дальнейшим развитием этих идей, наряду с моделью векторной оптимизации в ней используется статистическая информация о рыночных процессах.
Общую функцию спроса на товар x можно записать в следующем виде:
θх = f(сх, сy, bx, hx),
(1)
где θх – количество приобретенного товара x, сх – цена товара x, сy –
цена взаимозаменяющего товара y, bx – доход (бюджетные ограничения), hx – значение любой другой переменной, влияющей на спрос
(это могут быть затраты на рекламу, численность населения, качество
продукции, транспортные расходы и другие потребительские ожидания) [1].
Функциональная зависимость (1) может быть как нелинейной,
так и линейной.
52
Математическое моделирование
В линейной функции спрос на анализируемый товар задается зависимостью от цен, дохода и других переменных, влияющих на спрос,
следующего вида:
θ dx = αo' + αxсх + αyсy + αbbx + αhhx,
где αo', αx, αy, αb, αh – фиксированные коэффициенты, значения которых могут быть получены на основе исследования статистических
данных реализации товара с использованием регрессионного анализа:
αx определяет линейную зависимость количества приобретенного товара θ dx от цены на этот товар; аналогично αy – от цены взаимозаменяющего товара; αb – от бюджетных ограничений; αh – от других переменных, влияющих на спрос.
Преобразуем это выражение, предполагая, что факторы сy, bx, hx
не изменяются, а θ dx представляет сумму объемов продуктов, купленных l-м потребителем у всех производителей:
Q
θ dx = ∑ xql(t), ∀l∈L,
q =1
в итоге получим:
Q
сх = αo + αq ∑ xql(t), ∀l∈L,
(2)
q =1
где αo = –(αo' +αyс y + αbbx +αhhx) / αx, αq = 1/αx, xql(t) – объемы продукта, купленные l-м потребителем у q-го производителя, q = 1, Q ,
l = 1, L за конечный период времени t∈T, Q, L – количество (множество) производителей и потребителей этого продукта соответственно.
Перенесем все (Q + 1) переменные равенства (2) в левую часть и
приведем его к стандартному виду:
с–
Q
∑ aqxql(t) = bd , ∀l∈L,
(3)
q =1
где с = сх, aq= αq, bd = αo. В итоге получили линейную функцию спроса, определяющую функциональную зависимость стоимости продукта
от его объемов, купленных у различных производителей. Используя
преобразования (2) и (3), при необходимости можно построить и нелинейную функцию спроса.
Цель любого потребителя – купить необходимый объем товара
по наиболее низкой цене с приемлемым набором характеристик. Эта
целенаправленность сформулирована в виде задачи математического
программирования (1)-(2) в [3]. С учетом формулы (3) она примет вид
нелинейной задачи оптимизации:
53
Вестник ТГЭУ. №2. 2007
∀l∈L, min fl(X(t)) =
Q
∑ c xql(t)
(4)
q =1
при ограничениях
с–
Q
∑ aqxql(t) = bd,
(5)
q =1
b lmin ≤
Q
∑ c xql(t) ≤ b lmax , xql(t) ≥ 0, q = 1, Q ,
(6)
q =1
где fl(X(t)) – целевая функция (критерий), X(t) = {xql(t), q = 1, Q , l = 1, L } –
вектор переменных, величины c, xql(t), q = 1, Q , ∀l∈L – управляющие
переменные, (5) – ограничения по спросу на данном рынке, (6) –
бюджетные ограничения – b lmin , b lmax , ∀l∈L – минимальный и максимальный объем финансовых средств, которые потребитель может выделить на покупку продукта от разных фирм.
Задача (4)-(6) является моделью поведения любого l∈L потребителя на конечный период времени t∈T, которая учитывает функцию
спроса.
Функцию предложения на товар х можно представить в следующем виде:
θ sx = f(сх, cw, pr, hx),
(7)
где θ sx – количество требуемого товара x, сх – цена этого товара, cw –
цена исходных ресурсов, необходимых для производства (например,
цена на сырье, заработную плату основных производственных рабочих и т.д.), pr – цена технологически однородных товаров, hx – значение любой другой переменной, влияющей на предложение товара на
рынке (например, доступность технологий, число конкурентов на рынке, размер налогов или ожидания производителей).
Эта зависимость может быть как линейной, так и нелинейной.
В линейной функции предложение на анализируемый товар задается зависимостью от цен, дохода и других переменных, влияющих на
это предложение, в виде:
θ sx = βo' + βxсх + βwсw + βrpr + βhhx,
где βo', βx, βw, βr, βh – фиксированные коэффициенты, величины которых могут быть получены на основе исследования статистических данных реализации товара с использованием регрессионного
анализа [1].
Преобразуем это выражение, предполагая, что факторы сw, pr, hx
не изменяются, а θ sx =
54
L
∑ xql(t), ∀q∈Q, в итоге получим:
l =1
Математическое моделирование
L
сх = βo + βl ∑ xql(t), ∀q∈Q,
(8)
l =1
где βo = –(βo' + βwсw + βrpr + βhhx) / βx, βl = 1/βx.
Перенесем в (8) все (L+1) переменные в левую часть и приведем
равенство к стандартному виду:
с–
L
∑ al xql(t) = bs, ∀q∈Q,
(9)
l =1
где с = сх, al = βl, bs = βo.
Цель любого производителя – продать как можно больше товара по возможно более высокой цене с тем, чтобы получить по
возможности наиболее высокую прибыль1. Эту целенаправленность
можно представить в виде задачи математического программирования:
∀q∈Q max fq(X(t)) =
L
∑
pqxql(t)
(10)
l =1
при ограничениях
L
с–
∑
al xql(t) = bs ,
(11)
l =1
L
∑
aqxql(t) ≤ bq, aq ≤ с ≤ cmax, xql(t) ≥ 0,
(12)
l =1
где fq(X(t)) – целевая функция (критерий), X(t) = {xql(t), q = 1,Q , l = 1, L} –
вектор переменных, определяющий объемы продукции, произведенные в q-й фирме и проданные l-му потребителю за некоторый конечный период времени t∈T (t в дальнейшем опускаем); pq = (с – aq) –
прибыль, получаемая при производстве единицы продукции q-м
производителем; с, xql, ∀q∈Q – управляющие переменные, которые
представлены в задаче произведением, а отсюда задача оптимизации (10)-(12) нелинейна, в ней производитель максимизирует свою
прибыль за счет изменения стоимости и объема продаж; (11) – ограничения по предложению на рынке (функция предложения); (12) –
ограничения по ресурсным возможностям q-го производителя, bq – финансовые возможности фирмы при производстве продукта, q = 1,Q , на
планируемый период времени, а также ограничения, во-первых,
определяющие неотрицательность покупаемого товара, во-вторых,
неотрицательность прибыли pq = с – aq ≥ 0. При этом стоимость с
не должна превышать cmax – максимальной цены, выше которой ни
1
В настоящее время имеется несколько альтернативных моделей поведения
фирм: максимизации прибыли, максимизации продаж, максимизации роста,
управленческого поведения, максимизации добавленной стоимости (японская
модель) [6].
55
Вестник ТГЭУ. №2. 2007
один покупатель не приобретет выпускаемую продукцию, т.е.
aq ≤ с ≤ cmax .
Математическая модель рынка, решающая вопросы целенаправленности участников рынка в совокупности, сформулирована в виде
векторной задачи математического программирования (5)-(8) в [2].
Возьмем ее за основу, добавив функции спроса (2) и предложения (9).
С учетом этого требования, а также функций спроса (2) и предложения (9) математическую модель рынка представим в виде векторной задачи математического программирования (ВЗМП):
opt F(X(t)) = {F1(X(t)) = {max fq(X(t)) =
F2(X(t)) = {min ql(X(t)) =
0,9bd ≤ с –
L
∑ pqxql(t), q = 1, Q }, (13)
l =1
Q
∑ c xql(t)} l = 1, L },
(14)
q =1
Q
∑ aqxql(t) ≤ 1,1bd,
(15)
q =1
L
∑ al xql(t) ≤ 1,1bs,
(16)
∑ c xql ≤ b lmax , l = 1, L ,
(17)
0,9bs ≤ с –
l =1
b lmin ≤
Q
q =1
L
∑ aqxql(t) ≤ bq, q = 1, Q ,
(18)
aq ≤ с ≤ cmax, xql(t) ≥ 0, q = 1, Q , l = 1, L ,
(19)
l =1
где F(X(t)) – векторная целевая функция (векторный критерий), X(t)
= {xql(t), q = 1, Q , l = 1, L } – вектор переменных, определяющий объемы продукта, купленные l-м потребителем у q-го производителя
(фирмы), cql, xql, q = 1, Q , l = 1, L – управляющие переменные, которые представлены в задаче произведением, а отсюда задача векторной оптимизации (13)-(19) – нелинейна, в ней K = Q∪L – множество критериев – потребителей и производителей соответственно,
(13) – критерии Q производителей, максимизирующих свою прибыль, pq = (с – aq) – прибыль, получаемая при производстве единицы продукции q-м производителем, (14) – критерии L потребителей, минимизирующие свои затраты за счет стоимости покупаемой
продукции; (15), (16) – функции спроса и предложения, взятые из
(2) и (9) соответственно; (17) – ограничения по бюджетным (финансовым) возможностям L потребителей, (18) – ограничения по
производственным мощностям Q производителей, (19) – ограничения, связанные с неотрицательностью прибыли, объемов произведенной и проданной продукции.
Задача (13)-(19) представляет модель однопродуктового рынка,
учитывающую функции спроса и предложения за период t∈T.
56
Математическое моделирование
Для решения векторной задачи линейного программирования
(13)-(19) используются методы, основанные на нормализации критериев и принципе гарантированного результата, которые дают возможность решать задачи при равнозначных критериях и заданном
приоритете критерия [3–5]. В результате решения задачи (13)-(19)
модели однопродуктового рынка при равнозначных критериях получим:
o
• точку оптимума Хo = {cо, x ql , q = 1, Q , l = 1, L }, которая склаo
дывается из двух составляющих: x ql – объема продуктов, произведенного и проданного каждым производителем каждому потребителю,
и cо – стоимости, по которой осуществляются продажи в период времени t∈T;
• величины целевых функций fq(Xo), q = 1, Q определяют доходы
каждого производителя; ql(Xo), l = 1, L определяют затраты каждого покупателя;
• суммарный объем продаж всех производителей и финансовых затрат всех потребителей, которые равны между собой;
• нормализованные величины целевых функций λk(Xo) = (fk(Xo) –
o
o
f k ) / (f *k – f k ), k = 1, K , где f *k – наилучшее решение по k∈K критерию,
o
f k – наихудшее соответственно, K = Q∪L – множество критериев;
• максимальную относительную оценку λo, которая является
максимальным нижним уровнем, до которого подняты обоюдные интересы всех производителей и потребителей в относительных оценках
λk(Xo), другими словами, λo является гарантированным результатом в
относительных единицах, который гарантирует, что в полученной
оптимальной точке Xo все критерии (оценки производителей и потребителей) равны или лучше λo:
λo ≤ λk(Xo), k = 1, K , Xo∈S.
(20)
Любое увеличение интересов (критерия) какого-либо производителя или потребителя приводит к ухудшению положения оставшихся участников рынка (производителей и потребителей).
Литература
1.
2.
Байе М.Р. Управленческая экономика и стратегия бизнеса /
М.Р. Байе. – М.: ИНИТИ-ДАНА, 1999. – 743 с.
Вуколов Э.Н. Основы статистического анализа. Практикум по
статистическим методам и исследованию операций с использованием пакетов Statistica и Excel: учеб. пособие / Э.Н. Вуколов. –
М.: ФОРУМЖ ИНФА-М, 2004. – 464 с.
57
Вестник ТГЭУ. №2. 2007
3.
4.
5.
6.
Машунин Ю.К. Информационные технологии моделирования
развития рынка / Ю.К. Машунин // Информационные технологии. 2005. № 2. С. 20–27.
Машунин Ю.К. Информационные технологии моделирования
технических систем на базе методов векторной оптимизации /
Ю.К. Машунин // Информационные технологии. 2001. № 9.
С. 14–21.
Машунин Ю.К. Теоретические основы и методы векторной оптимизации в управлении экономическими системами / Ю.К. Машунин. – М.: Логос, 2001. – 256 с.
Сио К.К. Управленческая экономика: пер. с англ. / К.К. Сио. –
М.: ИНФА-М, 2000. – 671 с.
© Машунин Ю.К., 2007 г.
58
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
12
Размер файла
268 Кб
Теги
моделирование, векторных, предложения, функции, статистический, pdf, спроса, рынка, задача
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа