close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О локальной устойчивости некоторых биологических моделей с распределённым запаздыванием..pdf

код для вставкиСкачать
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 16, вып. 4, 2011
Как и раньше, обозначим N (C, f ) множество решений этого уравнения.
?1
?1
Т е о р е м а 2. Если существует такое число k > ||A?1
1 || · ||A2 || · ... · ||An ||, что для
любой точки
x ? BR [x0 ]
справедливо неравенство
||C(x0 ) ? f (x)|| <
то N (C, f ) = Ш. Если же кроме
dim(N (C, f )) dim(Ker(C)).
этого
R
,
k
то
dim(Ker(C)) > 0,
N (C, f ) ? ?BR [x0 ] = Ш
и
Доказательство данной теоремы основывается на теореме 1. Из теоремы 2 вытекают
следующие утверждения.
С л е д с т в и е 1. Пусть C : D(C) ? E1 ? En+1 линейный сюрьективный опе-
ратор, удовлетворяющий условиям теоремы 2, и f : E1 ? En+1 вполне непрерывное
отображение. Если существуют числа ? 0 и ? 0 такие, что:
1) ||f (x)|| ?||x|| + ? для любого x ? E1 ;
?1
?1
2) ? · ||A?1
1 || · ||A2 || · ... · ||An || < 1.
Тогда уравнение C(x) = f (x) имеет решение.
то dim(N (C, f )) dim(Ker(C)) и для любого
R>
где
Если же кроме этого
?k
,
1?k·?
?1
?1
||A?1
1 || · ||A2 || · ... · ||An || < k <
существует точка
dim(Ker(C)) > 0,
1
,
?
такая, что ||x|| = R.
C : D(C) ? E1 ? En+1 линейный сюрьективный опеусловиям теоремы 2, и B : E1 ? En+1 линейный вполне
x ? N (C, f )
С л е д с т в и е 2. Пусть
ратор, удовлетворяющий
непрерывный оператор. Если
?1
?1
||B|| · ||A?1
1 || · ||A2 || · ... · ||An || < 1,
то
dim(Ker(C + B) dim(Ker(C)).
Доказательство этого следствия вытекает из следствия 1.
ЛИТЕРАТУРА
Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М: Наук, 1975.
Гельман Б.Д. Топологические свойства множества неподвижных точек многозначных отображений //
1.
2.
Математический сборник. 1997. Т. 188, ќ 12. С. 3356.
Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.
Rydanova S. S. On one class of operator equations. In this paper we study the operator
equation with a linear surjective operator A, which may be not closed, but posesses continuous
mapping of right inverse mapping. We are interested in the existence of solutions and topological
dimension of the set of solutions.
Key words: quasireversible operator; surjective operator; topological degree of maps.
Рыданова Светлана Сергеевна, Воронежский государственный педагогический университет, г. Воронеж, Российская Федерация, аспирант кафедры высшей математики, e-mail:
rydanova_vrn@mail.ru.
1174
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 16, вып. 4, 2011
УДК 517.929
О ЛОКАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕКОТОРЫХ БИОЛОГИЧЕСКИХ
МОДЕЛЕЙ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
c Т.Л. Сабатулина
Ключевые слова
: функционально-дифференциальное уравнение; распределенное запаз-
дывание; экспоненциальная устойчивость; функция Коши.
В работе рассматриваются несколько нелинейных уравнений с распределенным запаздыванием, являющиеся моделями динамики популяций и кроветворения. Устойчивость
решений данных уравнений исследуется по их линейному приближению, представляющему собой функционально-дифференциальное уравнение запаздывающего типа.
Пусть R = (??, +?) , R+ = [0, +?) , ? = {(t, s) ? R+ 2 : t s}.
Математическая биология интенсивно развивающаяся область приложений функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ). В данной работе исследуется локальная
устойчивость обобщенных моделей Хатчинсона, Николсона, ЛасотыВажевски и Мэкки
Гласса [1], представляющих собой нелинейные ФДУ. Первые две модели используются для
описания динамики популяций, вторые две для описания процессов кроветворения. Нас
будут интересовать условия стабилизации численности популяции (количества эритроцитов в крови) на достаточно больших временных интервалах, т. е. свойства асимптотической
устойчивости соответствующих уравнений. Несмотря на существенные биологические различия моделей, исследование асимптотики рассматриваемых нелинейных уравнений сводится к изучению линейного ФДУ вида:
x?(t) + ax(t) +
0
t
x(s) ds r(t, s) = f (t),
t ? R+ .
(1)
суммируема, функция r(t, ·) не убывает при
Здесь r : ? ? R+ , функция r(·, s) локально
каждом фиксированном t , r(·, 0) = 0 , 0t ds r(t, s) = k ( k ? R+ ), f локально суммируемая функция. Интеграл понимается в смысле РиманаСтилтьеса. Будем считать, что при
отрицательных значениях аргумента функция x равна нулю.
Обозначим H(t) = sup{s ? [0, t] : r(t , s ) ? 0 ?t t, ?s s} и
lim sup(t ? H(t)) ?.
t??
(2)
Под решением уравнения (1) понимается [2, c. 9] абсолютно непрерывная функция, удовлетворяющая данному уравнению почти всюду.
Для решения уравнения (1) справедливо представление [2, с. 84, теорема 1.1]
x(t) = C(t, 0)x(0) +
0
t
C(t, s)f (s) ds.
(3)
Функция C называется функцией Коши; в силу формулы (2) она является основным объектом исследования при изучении уравнения (1).
Будем говорить, что уравнение (1) экспоненциально устойчиво, если при некоторых
положительных N и ? для любого t и почти всех s, таких, что (t, s) ? ? , справедлива
оценка |C(t, s)| N e??(t?s) .
1175
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 16, вып. 4, 2011
Для исследования экспоненциальной устойчивости воспользуемся т. н. методом testуравнений. Суть метода заключается в следующем. По заданным параметрам a , k , ?
уравнению (1) ставится в соответствие test-уравнение:
y?(t) = ?ay(t) ? ky(t ? ?),
t ? R+ ,
с начальным условием y(?) = 1 при ? 0. Оказалось, что экспоненциальная устойчивость
целого класса уравнений вида (1) определяется расположением точки первого минимума
решения test-уравнения. Об этом факте говорит теорема 1.
Т е о р е м а 1. Пусть a + k > 0 , l точка первого минимума решения test-уравнения.
Тогда если y(l) > ?1 , то уравнение (1) экспоненциально устойчиво при всех H(t) , удовлетворяющих условию (2).
Вопрос об оценке первого минимума решения test-уравнения был решен В.В. Малыгиной
в работе [3] при исследовании уравнений с сосредоточенным запаздыванием. Применяя
результаты этой работы, можно получить признаки устойчивости для уравнения (1) в виде
области на плоскости в координатах {a?, k?}.
В обобщенных моделях Хатчинсона, Николсона, ЛасотыВажевски и МэккиГласса из
биологического смысла параметров следует, что a > 0 и k > 0. В этом случае граница
области экспоненциальной устойчивости имеет наиболее простой вид. Приведем соответствующий результат.
Введем функцию ? следующим образом:
0,
s ? [0, 1],
? = ?(s) =
s(s+1)
s ln s2 +1 , s ? (1, ?).
Т е о р е м а 2. Пусть a > 0, k > 0 , e?a? > ?( ka ). Тогда уравнение (1) экспоненциально
устойчиво.
Как показано в работе [3], для уравнений с сосредоточенным запаздыванием границы
области экспоненциальной устойчивости являются точными. Поскольку уравнения с сосредоточенным запаздыванием являются частным случаем уравнения (1), то границы области
являются точными и для уравнения (1).
Построенная область экспоненциальной устойчивости уравнения (1) является областью
локальной экспоненциальной устойчивости для нелинейных уравнений, являющихся моделями Хатчинсона, Николсона, ЛасотыВажевски и МэккиГласса.
ЛИТЕРАТУРА
1.
Berezansky L., Braverman E., Idels L. Nicholson's blowies dierential equations revisited: Main results
and open problems // Appl. Math. Model. 2010. V. 34. ќ 6. P. 1405-1417.
2.
Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференци-
альных уравнений. М.: Наука, 1991.
3.
Малыгина В.В. Об устойчивости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений с по-
следействием // Изв. вузов. Математика. 1993. ќ 5. С. 72-85.
Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.
Sabatulina T.L. On local stability of some biological models with distributed delay. In this
paper some nonlinear equations with distributed delay are considered. The equations are models
of population dynamics and hematopoiesis. Stability of solutions of the equations is studied by
means of linear approximation that is a delayed funcional-dierential equation.
Key words: functional dierential equation; distributed delay; exponential stability; the Cauchy function.
1176
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 16, вып. 4, 2011
Сабатулина Татьяна Леонидовна, Пермский государственный технический университет,
г. Пермь, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры вычислительной математики и механики, e-mail: tlsabatulina@list.ru.
УДК 517.958
ОБ ОДНОЙ СИНГУЛЯРНОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ В
НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ
c А. Ю. Сазонов, Ю. Г. Фомичева
Ключевые слова
: задача Дирихле; В-эллиптический сингулярный оператор; фундамен-
тальное решение.
В работе расмотрена задача Дирихле для В-эллиптического оператора с краевыми
условиями на гиперплоскости. Получено решение этой задачи в явном виде, определяемое весовым потенциалом двойного слоя и выраженное интегралом типа Пуассона.
Пусть Rn+1 действительное евклидово пространство точек
Рассматривается задача Дирихле вида:
Bu = 0
в области
xn > 0, y > 0,
u|xn =0 = ?(x1 , ..., xn?1 , y),
x = (x1 , ..., xn , y) = (x , y).
(1)
?u
|y=0 = 0,
?y
(2)
где B = ni,j=1 aij ?x??x + yb ?y? y?y? , b > 0 , k > 0 , aij удовлетворяют определенному в
[1] условию B - эллиптичности.
Обозначим через A = det(aij ) , Aij алгебраическое дополнение элемента aij ,
? = (?1 , ..., ?n , ?) = (? , ?). Фундаментальное решение H(x , ?) уравнения (1) имеет следующий вид:
?
?2 ,
при y = 0 H(x , ?) = ?1?n?k , где ?2 = ni,j=1 A?1Aij (?i ? xi )(?
j ? xj ) + b
а в области y > 0 H(x, ?) = T?y H(x , ?) , где T?y f = Ck 0? sink?1 ?f ( ?2 + y2 ? 2?y cos ?)d? ,
2
i
j
k
k
1
2
? k+1
n+1
2
Ck = ? k , ? ? R+
.
?? 2
Решение задачи (1)(2) определяется весовым потенциалом двойного слоя, рассмотренным в [3]. Плотность весового потенциала удовлетворяет интегральному уравнению, ядро
которого имеет слабую особенность и выражается интегралом типа Пуассона:
n
2 Ain xi Bk
u(x) =
A
i=1
+?
??
···
+?
??
?(x)T?y ??n?k?1 ? k d?1 ...d?n?1 d?.
ЛИТЕРАТУРА
1.
Киприянов И.А. О краевых задачах для уравнений в частных производных с дифференциальным
оператором Бесселя // ДАН СССР. 1964. Т 158. ќ 2.
1177
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
358 Кб
Теги
распределённые, локального, pdf, биологическая, устойчивость, некоторые, моделей, запаздыванием
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа