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Уточненный метод решения контактной задачи для кольцевого слоя с учетом сил. Сообщение 1. Математическая модель контактного взаимодействия кольцевого слоя с жестким основанием.pdf

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??????????? ??????????????
8(495) 223-05-23, tm@mami.ru
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????? ????????? ?????????? ?????????? ???????? pr ( q ) ?????????? ?????????
??????????? ?????:
μ₯
ζ mpq φ ₯
ζ mpq φ
+
h
sin
οε pm cos η
χ ε m η
χ , q < q0
pr ( q ) = νm=0
,
θ q0 ψ m=1
θ q0 ψ
ο 0,
q > q0
ξ
(1)
pr ( q )
( E ? ?????? ????????? ????),
E
pm ( m = 0,1,2,...) ? hm ( m = 1,2,...) ? ???????????? ??????????? ?????????.
???: pr ( q ) =
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?????????? ?????????:
F?? = f pr ( q) ,
???: f - ??????????? ??????.
????? ???????, ?????:
μ
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F?? = ν
ο
ξ
F??
???: F?? =
.
E
ι₯
ζ mpq φ ₯
ζ mpq φ ω
κ ε pm cos η
χ + ε hm sin η
χ ϊ , q < q0
,
θ q0 ψ m=1
θ q0 ψ ϋ
λ m =0
q > q0
0,
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(???????? ???????? r1 , r2 , r0 ), ?? ???? ?????????? ?????????? ????? ??????????? ??? ???????? ???? ????? ??????? ? ??? ?????, ??????? ?????? ??????? ??????? r0 (??? r � ₯
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???????? ????? ???? ???????????? ? ????:
1 ζ r φ
2
W ( r2 , q ) = -d + r2 η1 + 2 χ ( q - g ) , q < q0 .
(2)
2 θ r0 ψ
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? ???????????? ?????????? ??????????? (2) ?????? ???:
12
???????? ???? «????» ? 1(19), 2014, ?. 4
????? «???????????? ?????»
1ζ r φ
2
W (1, q ) = -d + η1 + 2 χ ( q - g ) ,
2 θ r0 ψ
W ( r2 , q )
d
???: W (1, q ) =
, d= .
r2
r2
q < q0 ,
(3)
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???????? ( -q0 £ q £ q0 ) ????? ??????????? ?????????? ?????????? ???????? pr ( q ) ? ????
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??? ????? ? ?????, ????????????? ???? ????????) ?? ????????? ??????????? [3] ????? ????
???????????? ? ????
₯
W (1, q ) = a0 A0 + ε ιλa n An + f a*n Bn ) cos nq + ( - f a*n An + a n Bn ) sin nqωϋ ,
(4)
n =1
???:
2
2
-1
1 ( A - B )( r1 - r1 )
a0 =
,
2 ( A + B ) r1-1 + ( A - B ) r1
ι( A - B )( 3 A - B ) r12 + ( A + B )2 ω Χ ι -r12 ( A - 3B ) - ( A + B ) r1-2 + 2 ( A - B ) ω
ϋ
ϋ λ
a1 = λ
+
8 A ιλ( 3 A - B ) r12 + ( A + B ) r1-2 ωϋ
( A - B )( A - 3B ) ( r12 - 1)
ι ( A - B )2
ω
+
-κ
- Aϊ ln r1 ,
8A
ϊϋ
λκ 4 A
ι
4 A ιλ( 3 A - B ) r1n+1 + ( A + B ) r1- n-1 ωϋ ω
1
*
an =
ϊ+
{bn κ4 A(1 - n )( A + B ) - n +1
n -1
r
r
2 (1 - n 2 )
κλ
ϊϋ
1
1
4 Ar-1 ό
2 ( A + B ) - -1 1 ύ , ( n = 2,3,...)
r1 - r1 ώ
bn* = E* / N , E * = n ( A + B ) r1-2 + ( B - 3 A ) r1-2 n - ( A + B )(1 + n ) ;
N = 2 (1-n 2 ) ( A + B ) + n 2 ( A + B ) ( r1-2 + r12 ) +
2
2
(5)
+ ( A + B )( 3 A - B ) ( r12 n - r1-2 n ) - 8 A ( B - A ) r12 , n = 2,3,...
r1 =
r1
, A = (1 - n 2 ) , B = n (1 + n ) ( n ? ??????????? ????????).
r2
( 3 A + B )( A - 3B ) (1 - r12 )
ι ( A - B )2
ω
a =
-κ
- Aϊ ln r1 8A
κλ 4 A
ϊϋ
ι( 3 A - B )( 3 A + B ) r12 + ( A + B )2 ω ι -r12 ( A - 3B ) - ( A + B ) r1-2 + 2 ( A - B ) ω
ϋ
ϋλ
-λ
,
8 A ιλ( 3 A - B ) r12 + ( A + B ) r1-2 ωϋ
*
1
???????? ???? «????» ? 1(19), 2014, ?. 4
13
????? «???????????? ?????»
μο ι
4 A ιλ( 3 A - B ) r1n+1 + ( A + B ) r1- n-1 ωϋ ω
1
**
a =
ϊνbn κ 4 A (1 - n )( A + B ) 2 (1 - n 2 ) ο κλ
r1n-1 - r1- n+1 )
(
ϊϋ
ξ
*
n
ό
4 Ar1n-1
1
, ( n = 2,3,...)
A
B
n
-2 ( A + B ) + n-1
+
+
+
(
)(
)
ύ
r1 - r1n+1
ώ
E * = -n ( A + B ) r1-2 - ( B - 3 A ) r1-2 n + ( A + B )(1 + n ) +
bn** = E* / N * ,
+2 ( A + B )(1 + n ) ( r1-2 - 1) ,
N* = 2 (1-n 2 ) ( A + B ) + n 2 ( A + B ) ( r1-2 + r12 ) +
2
2
+ ( A + B )( 3 A - B ) ( r12 n - r1-2 n ) - 8 A ( B - A ) r12 , n = 2,3,...
An ( n = 0,1,2,...) , Bn ( n = 1,2,...) ? ???????????? ???? ????? ??????? (1), ?????????? ? ???????????? ?????.
???????? ??????? pr ( q ) (1) ? ??? ????? ?? ?????????? -p £ q £ p , ???????:
pr ( q ) =
₯
A0 ₯
+ ε An cos nq + ε Bn sin nq, .
2 n=1
n =1
(6)
???:
2q0
p0 ,
p
2sin nq0 ₯
n
m +1
An =
( -1) pm 2 2 , n = 1,2,... .
ε
p
m =0
(m - n )
A0 =
Bn =
(7)
2sin nq0 ₯
m hm
m +1
, n = 1,2,...
( -1)
ε
q0 m = 0
( m2 - n2 )
m=
mp
( m = 0,1,...) .
q0
??????? ?????????? ??????????? ????? ??????? ??????????? ???????? ???? (4)
?????? ????????? ? ???????? (3) ? ???? ????????. ??????????? ?????? ????? (3) ? (4), ??????? ????????? ?????????????? ???????????:
₯
a 0 A0 + ε ιλ( a n An + f a*n Bn ) cos nq + ( - f a*n An + a n Bn ) sin nq =
n =1
1ζ r φ
2
-d + η1 + 2 χ ( q - g ) , q < q0 .
2 θ r0 ψ
(8)
??? ????, ????? ????????? ??????????? ???????? d ?? ??????????? (8), ??????? ?????
??????????? ?? (8) ?? q . ? ?????????? ????? ?????
₯
ζ
φ
*
b
+
b
q
+
sin
A
f
B
n
( n n n n)
( - f b*n An + bn Bn ) cos nq= η1 + rr2 χ ( q - g ) , q < q0 , (9)
ε
ε
n =1
n =1
0 ψ
θ
₯
???:
14
???????? ???? «????» ? 1(19), 2014, ?. 4
????? «???????????? ?????»
*
n
*
n
(10)
bn = nan , b = na .
???????? ???????? ???????? g ????? ??????????, ????????? ? ????????? (9) ???????? q = 0 :
₯
1
g=
Χ ε ( f b*n An -bn Bn ) .
ζ r2 φ n=1
(11)
η1 + χ
θ r0 ψ
???????? d ????? ??????????, ?????????? ? (8) ???????? ???? q = 0 . ? ?????????? ???????:
1ζ r φ
d = -a 0 A0 - ε ( a n An + f a*n Bn ) + η1 + 2 χ g 2 .
2 θ r0 ψ
n =1
₯
(12)
????????, ??? ?????? ? ????? ????? ??????????? (8) ????? ????????? ?? ???????????? ? ???????????????? ?????, ?? ????????? (8) ??????? ??? ???????????:
ζ r φ
+ a n Bn ) sin nq= - η1 + 2 χ qg ,
n =1
θ r0 ψ
₯
1ζ r φ
a0 A0 + ε ( a n An + f a*n Bn ) cos nq = -d + η1 + 2 χ ( q2 + g 2 ).
2 θ r0 ψ
n =1
₯
ε( - f a A
*
n
n
(13)
(14)
?? ????????? (13) ? (14), ? ?????? (11), (12), (6), ? ????? (10) ????? ????? ?????????
??? ?????????????? ?????????:
₯
μ
ιλ pm?m ( q ) + hmy m ( q ) ωϋ = 0, q < q0
ε
ο
m =0
ο
,
ν₯
ζ
φ
1
r
ο ι p T ( q ) + h F ( q ) ω = 1 + 2 q2 , q < q
0
m m
λ m m
ϋ 2η r χ
οξε
m =0
0 ψ
θ
(15)
???:
ι b*n Χ n sin nq0 ζ
sin nq φ ω
?m ( q ) = ( -1)
ε
κ m2 - n2 Χ η q - n χ ϊ , m = 0,1,2,...,
θ
ψϋ
n =1 λ
₯ ι
bn Χ sin nq0 ζ sin nq
m +1 2m
φω
y m ( q ) = ( -1) Χ
Χ
q
κ
ε
η
χ ϊ , m = 0,1,2,...,
q0 n=1 κ ( m2 - n2 ) θ n
ψ
ϊϋ
λ
₯ ι
bn Χ sin nq0 ( cos nq - 1) ω
m +1 2
Tm ( q ) = ( -1) Χ ε κ
ϊ , m = 0,1,2,...,
2
2
p n=1 κ
n
m
(
)
ϊϋ
λ
₯ ι *
b Χ sin nq0 ( cos nq - 1) ω
m +1 2 f
Fm ( q ) = ( -1) Χ
mε κ n
ϊ , m = 0,1,2,...
2
2
q0 n=1 κ
m
n
n
(
) ϊϋ
λ
??? ??????????? ???? q0 (???????? ???? ????????) ?????????? ?????????
m+1
2f
Χ
p
₯
(16)
(17)
(18)
(19)
?????????
???????????? ?????????? ???????? ? ??????? ?????????. ? ?????? ????? ???? ???????? ?
?????? ???? g ????????? ???????????? ?????????? ????? ????? ???:
???????? ???? «????» ? 1(19), 2014, ?. 4
15
????? «???????????? ?????»
q0
ς p ( q) r d q ,
Q=
2
(20)
ς p ( q) d q ,
(21)
r
-q0
q0
M =r f
2
2
r
-q0
???: Q ? M ? ????????, ??????????? ?? ??????? ? ??????? ????????? ?????????????? ?????????????? ???????? ? ???????.
?? ????????? (20) ? (21) ? ?????? (1) ???????:
(22)
Q = 2 p0 q0 ,
M = 2 f Χ p0 Χ q0 ,
(23)
???:
Q=
Q
ζ r φ
Er2 η1 + 2 χ
θ r0 ψ
p0
,
p0 =
ζ r2 φ
η1 + χ
θ r0 ψ
,
(24)
(25)
M
.
ζ
φ
r
(26)
Er22 η1 + 2 χ
θ r0 ψ
????????? ??? ?????? ???????? ???? q0 ????????? pm ( m = 0,1,2,...) , ????? ?? ????M=
????? (22) ????????? ?????? ??????????? ????? ?????????????? ????? Q , ???????????
????? ?????????? ? ????? q0 .
??????????? (23) ????????? ?????????? ???????? ??????????????? ??????? M , ???
??????? ???? ???????????? ?????? ?? ???? ??????? ???????? ????? ????? ???????????? ????????.
????? ???????, ????? ????? ??????? ?????????? ?????? ??? ?????????? ???????? ????
? ?????? ??? ?????? ? ???? ???????? ?? ??????????? ?????? ?????????:
· ?? ???????? ??????? ??????????????? ????????? ?????????? ???? ? ??????? ??????????? (5) ????????? ???????????? A ? B .
· ???? ??????? ?????????? ???? r1 ? r2 , ??????? ???????????? ???????? r1 =
r1
.
r2
bn ?
· ?? ????????? ?????? (5) ? (10) ????????? ?????????????????? ?????
b*n ( n = 1,2,...) .
(
)
· ????????? ??????????????? ?????????? ?????????? ???? Q0 0,5 ; 1 ;1,5 ? ?.?. , ?????????? ??????????????? ?? ??? ?????? ???????? pm ( m = 0,1,2,...) ? hm ( m = 1,2,...)
????? ??????? ??????? ???? ?????????????? ????????? (15) ? ?????? (16)-(19).
· ?????? ?????? ??????????? ????? ?????????????? ????????? Q ? ????? q0 ?? ????????? (22) ? ?????? (24) ? (25).
16
???????? ???? «????» ? 1(19), 2014, ?. 4
????? «???????????? ?????»
· ?????? ?????? ??????????? ????? ?????????? d ? ????? q0 , ? ????? ?????? ??????????? ????? g ? q0 ? ???????????? ? (11) ? (12).
· ??? ???????? ???????? ?????????????? ???? Q (??? ??? ???????? ???????? ?????????
d ) ?? ?????? ?? ??????????? ???????? ?????????? ???? q0 .
· ??? ?????????? ???????? ???? q0 ?????????? ??? ?????? ???????????? ????????
pm ( m = 0,1,2,...) , hm ( m = 1,2,...) ????? ??????? ??????? ???? ?????????????? ????????? (15).
· ?? ????????? (1) ??????? ????? ????????????? ?????????? ?????????? ????????, ??????????? ?? ??????? ???? ? ???? ????????.
· ?? ????????? ??????????? [3] ?????????? ??????????? ? ??????????????? ?????????
???????? ????.
?? ?????? ????? ?????? ?????? ????? ??????????? ??? ?????? ??????? ??????? ?????????????? ????????? (15).
??????????
1. ??????? ?.?., ??????? ?.?. ?????????????? ??????, ?????? ??????????? ?? ?????????
??????? ?????????????? ????, ? ??????? ?????????? // ???????? ?????. ??????????????. 1977, ? 8, ?. 16-22.
2. ??????? ?.?., ????? ?.?., ???????? ?.?. ?????????? ?????? ??? ?????????? ???? ???????????? ??????? ? ?????? ??? ?????? ? ???? ???????? // ?????? ? ??????????????, ???????????????. 2010, ? 7.
3. ??????? ?.?., ????? ?.?., ???????? ?.?. ??????? ?????? ?????? ????????? ??? ?????????? ???? ??? ?????????????? ?????????? ? ??????????? ????????? // ?????? ? ??????????????, ???????????????. 2006, ? 2.
???????? ???? «????» ? 1(19), 2014, ?. 4
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