close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Автоколебания в одномерных упругих системах с трением..pdf

код для вставкиСкачать
Серия «Естественные науки»
Автоколебания в одномерных упругих системах с трением
д.т.н. проф. Пожалостин А.А., к.ф.-м.н. доц. Паншина А.В.
МГТУ им. Н.Э. Баумана
8-(499)-263-63-75 panalv@mail.ru
Аннотация. Исследуется возможность появления автоколебаний в случае поперечных колебаний упругих однородных балок при наличии в системе сухого
трения. Поставленная задача решается на примере балки, подвешенной одним
концом на вращающемся валу, и на примере балки, закрепленной шарнирно на
своих концах. Применяется метод замены исходной системы эквивалентной механической колебательной системой.
Ключевые слова: балка, сухое трение, упругие колебания, форма колебаний,
автоколебания.
Известно [1], что в маятнике Фроуда-Жуковского при определенных условиях возможны нарастающие угловые колебания (автоколебания) и установление периодического колебательного движения с амплитудой Aак . В данной статье показано, что режим автоколебаний возможен в случае поперечных колебаний упругих балок при наличии в системе сухого
трения.
Приняты основные допущения:
· балка прямолинейная, однородная, изгиб балки прямой;
· колебания предполагаются малыми;
· материал балки идеально упругий, подчиняется закону Гука;
· сечения балки при ее колебаниях остаются плоскими;
· инерция вращения сечений не учитывается.
Рассмотрим случай 1: изгибные колебания консольной балки. Пусть однородная балка
массой m и длиной l подвешена верхним концом на валу О , который вращается с постоянной угловой скоростью W (рисунок 1).
Рисунок 1. Балка на вращающемся валу
Рисунок 2. Зависимость момента сухого
трения от угловой скорости
При движении балки на нее действует момент от сил сухого трения. Зависимость момента сухого трения М тр (w) , действующего на консоль при вращении вала в центре О , от
угловой скорости скольжения w принята такой же, как и в [1] (рисунок 2). Угловая скорость
скольжения w = W - j , где j – угол поворота балки как абсолютно твердого тела. Зависимость М тр (w) имеет падающий участок АВ . Величина угловой скорости W выбирается на
Известия МГТУ «МАМИ» № 4(22), 2014, т. 4
71
Серия «Естественные науки»
участке АВ , чтобы продемонстрировать эффект упругих автоколебаний балки.
Дифференциальное уравнение свободных изгибных колебаний однородной балки имеет вид [2]:
¶4 y
¶4 y
EJ o 4 + mo 4 = 0 .
¶x
¶t
(1)
Примем граничные условия закрепления балки в следующем виде:
y( 0,t ) = 0, y ¢( 0,t ) = 0,
(2)
y ¢¢( l ,t ) = 0, y ¢¢¢( l ,t ) = 0.
¶3 y
¶2 y
¶y
, y ¢¢ = 2 , y ¢¢¢ = 3 .
¶x
¶x
¶x
Решение, согласно [2], ищем в виде:
y = f ( x ) × s( t ) .
Здесь производные y ¢ =
(3)
Из (1) получим дифференциальное уравнение для формы колебаний функции f ( x ) :
EJ o f ¢¢ + mow2 f = 0 .
(4)
Представим решение уравнения (4) в следующем виде:
f ( x) = C1S (lx) + C2T (lx) + C3U (lx) + C4V (lx) ,
(5)
где: S , T , U , V – функции Крылова [1].
Граничные условия (2) для формы колебаний f ( x ) [2]:
f (0) = 0, f ¢(0) = 0, f ¢¢(l ) = 0, f ¢¢¢(l ) = 0 .
(6)
Удовлетворяя первым двум соотношениям граничных условий (6), получим, что
С1 = С2 = 0 . Поэтому искомое решение (5) примет вид:
f ( x) = C3U + C4V .
Из третьего соотношения граничных условий (6) следует, что С 4 = -С3
(7)
S ( λl )
. ПоэтоT ( λl )
му форма колебаний i -го тона:
fi ( x) = C3i [U (li x) -
S (l i l )
V (li x)] ,
T (l i l )
(8)
где: C3i – произвольная константа.
Из третьего и четвертого соотношений граничных условий (6) получаем трансцендентное уравнение для нахождения собственных значений λ i ( i = 1,2,... ) краевой задачи и частот
свободных колебаний балки ω i = λ2i
EJ o
:
μo
S2 (ll ) - T (ll ) × V (ll ) = 0 .
(9)
Известно [2], что функции f i ( x ) удовлетворяют условию ортогональности:
l
òm
f ( x) f j ( x)dx = 0 (i ¹ j ) .
o i
(10)
0
С учетом условий ортогональности (10) построим эквивалентную маятниковую систему [3], [4] (рисунок 3) ( i = 1,2,... ).
При построении эквивалентной маятниковой системы (механического аналога) постулируется равенство частот собственных колебаний исходной и эквивалентной систем.
Выпишем кинетическую энергию исходной системы с учетом условий ортогонально72
Известия МГТУ «МАМИ» № 4(22), 2014, т. 4
Серия «Естественные науки»
сти (10) форм колебаний и приравняем ее кинетической энергии эквивалентной системы [2]:
¥
1
1 ¥ o 2
2
2
m
f
x
s
dx
=
(
)
å mi si ,
i
oå i
2 ò0 i =1
2 i =1
l
T=
(11)
l
где приведенная масса
mio
= ò μ o f i 2 ( x )dx .
0
Рисунок 3. Эквивалентная маятниковая система
Пусть временная функция из (3) имеет вид si ( t ) = lφ i ( t ) , тогда приведенный момент
инерции эквивалентной системы (маятника) равен J oi = mio l 2 , где l – длина балки.
Потенциальная энергия системы:
П=
1 ¥
сi si2 ,
å
2 i =1
l
где: сi = ò EJ o ( f i¢¢)2 dx , а крутильная жесткость эквивалентной системы (маятника) равна
0
o
сi
= ci l 2 .
Здесь принято во внимание второе условие ортогональности форм колебаний:
l
ò EJ
f ¢¢× f j¢¢dx = 0 (i ¹ j ) .
o i
(12)
0
Проверим равенство частот ω i собственных колебаний упругой балки и эквивалентной
системы (механического аналога):
wi2 =
cio
c
= io .
J oi mi
В дальнейшем будем учитывать только первый тон колебаний ( i = 1 ).
Дифференциальное уравнение колебаний эквивалентной системы (механического аналога) ( i = 1 ) имеет вид [1]:
J o1j1 + c1oj1 = M тр (w) .
(13)
Характеристика момента сухого трения М тр (w) представлена на рисунке 2. Угловую
скорость вращения вала W выбираем на падающем участке.
Рассмотрим случай 2: однородная балка массой m и длиной l шарнирно закреплена на
концах О и А (рисунок 4).
Балка расположена горизонтально и опирается в середине на шероховатую горизонИзвестия МГТУ «МАМИ» № 4(22), 2014, т. 4
73
Серия «Естественные науки»
l
) балка
2
убывает при возрастании скорости скольжения v .
тальную плоскость, вращающуюся с угловой скоростью W . Тогда в середине ( x =
имеет участок, где сила трения Fтр
Рисунок 4. Шарнирно закрепленная балка
Рисунок 5. Эквивалентная
система с грузом
Граничные условия закрепления концов балки для формы колебаний f ( x ) имеют вид
[1]:
f (0) = f (l ) = 0, f ¢¢(l ) = f ¢¢(l ) = 0 .
(14)
Собственная форма f i ( x ) представляется в виде:
fi ( x) = Ai sin
ipx
,
l
i = 1,2,...
(15)
Система с грузом ( i = 1,2,... ), эквивалентная рассмотренной горизонтальной упругой
балке, представлена на рисунке 5.
Для номера i = 1 , как и в первом случае, будем иметь приведенные массу и жесткость
для эквивалентной системы:
l
m = ò mo sin 2
o
i
0
l
px
dx = mo ,
l
2
p
px
p
c1o = ò EJ o ( ) 4 sin 2 dx = EJ o ( ) 4 .
l
l
l
0
l
(16)
Дифференциальное уравнение для координаты s1 груза в эквивалентной системе имеет
вид:
m1o s1 + c1o s1 = Q1 .
Здесь обобщенная сила Q1 =
å δAk( δs1 )
δs1
(17)
l
Fтр ( v ) f1 ( ) δs1
2
.
=
δs1
l
l
Так как возможное перемещение δs1 ¹ 0 , то Q1 = Fтр ( v ) f1 ( ) . И так как f1 ( ) = 1 , то
2
2
Q1 = Fтр ( v ) .
Уравнение (17), аналогичное уравнению (13), принимает вид:
m1o s1 + c1o s1 = Fтр (v) .
Введем обозначение:
ìφ(t ) в случае 1.
q(t ) = í
î s(t ) в случае 2.
74
Известия МГТУ «МАМИ» № 4(22), 2014, т. 4
(18)
Серия «Естественные науки»
Тогда дифференциальное уравнение для координаты q( t ) имеет вид:
q + ω12 q =
F (v )
,
I
(19)
c
M ( ω ) в случае1.
ì o
ì o
, I = í J 1o в случае1., c = íc1o в случае1., F ( v ) = ì
íFтртр( v ) в случае 2.
m
c
в
случае
2.
в
случае
2.
I
î
î1
î 1
Разложим функцию F ( v ) в ряд по степеням v в первом и во втором случаях, соответственно. В результате уравнение (19) запишем в виде [1]:
(20)
q + ω12q = -aq + gq3 .
Используя метод Ван-дер Поля [5] и полагая q = A( t ) cos( ωt + ε ) , получим из (20) для
A( t ) «уравнение установления» в следующем виде [1]:
здесь: ω12 =
2
3
dA
- aA + gw2 A3 = 0 .
4
dt
(21)
Проинтегрируем уравнение (21) при начальном условии q( 0 ) = qo , затем возьмем предел при t ® ¥ . В результате получим амплитуду автоколебаний установившегося периодического колебательного режима [1]:
Aак =
где ω1 =
2 a
,
ω1 3g
с
.
I
В [1] доказана устойчивость периодического режима, то есть при qo < Aак ,
при qo > Aак ,
dA
> 0, а
dt
dA
< 0 . Таким образом, это утверждение доказано.
dt
Заключение
В работе показана возможность существования автоколебаний при упругих изгибных
колебаниях балок при наличии сухого трения.
1.
2.
3.
4.
5.
Литература
Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний. СПб.: Лань, 2005. 438 с.
Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. Москва: КомКнига, 2006. 439 с.
Шиманский Ю.А. Динамический расчет судовых конструкций. Л.: Судпромгиз, 1969.
408 с.
Пожалостин А.А., Кулешов Б.Г., Паншина А.В. Колебания упругих одномерных систем с
трением//Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 12. URL:
http://engiournal.ru/catalog/eng/teormech/1136.html (дата обращения 15.01.2014).
Лампер Р.Е. Введение в теорию нелинейных колебаний авиаконструкций. М.: Машиностроение, 1985. 88 с.
Известия МГТУ «МАМИ» № 4(22), 2014, т. 4
75
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
10
Размер файла
481 Кб
Теги
система, pdf, упругие, одномерных, автоколебаний, трение
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа