close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Контактное взаимодействие тел при ударе..pdf

код для вставкиСкачать
Техника и технологии агропромышленного комплекса
УДК 539.31
В.В. Ефименко, канд. техн. наук, доцент
ФГОУ ВПО «Приморская государственная сельскохозяйственная академия»
Контактное взаимодействие тел при ударе
В
результате контактного взаимодействия тел
при ударе возникают большие ускорения, по‑
рождающие силы инерции. Эти силы вызывают как
местные деформации, так и общие в виде быстроза‑
тухающих колебаний. В связи с этим изучение де‑
формаций тел открывает возможность найти воз‑
мущающие силы.
Процесс контактного взаимодействия тел при
ударе состоит из следующих этапов:
• начальное упругое сжатие, подчиняющееся за‑
кону Герца до достижения критического напря‑
жения текучести;
• сжатие, в результате которого происходит пла‑
стическое течение, распространяющееся от то‑
чек с максимальными касательными напряже‑
ниями;
• частичное восстановление первоначальной
формы тела энергией упругой деформации.
В соответствии с теорией контактной дефор‑
мации Герца сближение тел (упругая деформация)
определяется формулой [1]
λ = λ max sin
1, 068vo
λ max
t,
где λmax — амплитуда; vo — начальная скорость сближе‑
ния, м/с; t — время, с.
При контактной деформации возникает вопрос,
какая именно точка пятна контакта опасна. Ины‑
ми словами, для какой точки по выбранной гипо‑
тезе прочности эквивалентное напряжение макси‑
мально.
Исследование этого вопроса для случая круго‑
вой площадки контакта показывает, что точка, для
которой напряжение максимально, лежит на глуби‑
не 0,48а под поверхностью площадки [2].
Для пластичных материалов наиболее опасны
касательные напряжения. По этой причине в про‑
цессе пластического течения материала образуется
кратер в виде конуса, вершина которого находится
в точке наибольших касательных напряжений. Ли‑
нии скольжения материала проходят под углом 45°
к линии действия силы удара (см. рис. а).
Напряжения, распределенные по круговой пло‑
щадке при контактной деформации, могут быть най‑
дены по формуле [3]
σ=
2E a2 − rп2
πr (1 − µ 2 )
где а — радиус площадки контакта, м; rп — радиус пло‑
щадки с пластической деформацией, м.
δ + 0,48a
δост
Скорость относительного сближения центров
инерции тел
v = vo
�
2
1, 068vo
1 − sin
t.
λ max
5
2
3
k2
λ max
( r η)4
5
2
5vo2 m
; k=
r
; η=
1 − µ12
+
1 − µ 22
a
,
где [σ] — предельное контактное напряжение, Па;
λ max =
ρ
a
[σ]2
0,133
C
A
B
D
Время, при котором заканчивается упругая и за‑
рождается пластическая деформации
λ max
arcsin
t1 =
1, 068 vo
,
v0
r
;
E1
4k
0, 75η
E2
m — масса тела, кг; r — радиус тела, м; µ1, µ2 — коэф‑
фициенты Пуассона материалов; E1, E2 — модули упру‑
гости материалов, Па.
Схема второго этапа деформации тела, упругопластической, показана на рисунке.
x
O
δ
0,48a
б
Схема распространения упруго-пластической
деформации тела при ударе
Вестник ФГОУ ВПО МГАУ № 2'2009
41
Агроинжен ер и я
Используя схему (см. рис. б) находим
1, 04 aE
.
πr (1 − µ 2 )
Площади упругого кольца Ак и круга с пласти‑
ческой деформацией Ап:
σ=
Остаточная продольная деформация и объем
разрушенной части тела определяются выраже‑
ниями:
δ ост = r − r 2 − 0, 37
Ак = 0,769πa2; Ап = 0,23πa2.
Fk =
0, 8Ea3
.
r (1 − µ 2 )
(1)
Заменим в формуле (1)
3
a = 1,108
kδ 2 r
,
E
3
где δ — пластическая деформация.
Силу, действующую в зоне пластической де‑
формации, определим по формуле
r
Fп = 0, 36π [ σ ]
2 δ.
3
1 − µ2
(
)
Найдем равнодействующую силу и составим
дифференциальное уравнение движения
π [σ] r

δ = −1, 5
2 δ. m(1 − µ 2 ) 3
(2)
При начальных условиях: t = 0, δ = δo = λ,
δ = δ o = v решение уравнения (2) имеет вид
v
δ = λ cos ω1t + sin ω1t ,
ω
где
ω12
=
1, 5π [ σ ] r
2
m(1 − µ 2 ) 3
π [σ ] r

δ = 1,14
(δ max − δ ост ) − δ .
2
m(1 − µ 2 ) 3
Решим это уравнение с учетом того, что при
t = 0 тело находится в сжатом состоянии и его уп‑
ругая деформация равна δmax – δост:
δ = (δmax – δост) cos ω2t,
где ω 22 =
1,14 π [ σ ] r
2
m(1 − µ 2 ) 3
.
Скорость движения тела
v2 = (δmax – δост) ω2 sin ω2t.
Скорость движения
v1 = v cosω1t – λω1 sinω1t.
Принимая во внимание, что скорость центра тя‑
жести тела в конце первой фазы удара равна нулю,
продолжительность этого этапа движения составит
v
1
arctg
.
ω1
λω1
3
ρ = 0, 58 3
1
r2
2 .
δ max
1 − µ2
Продолжительность третьего этапа движения
t = π / 2ω2.
Приведенный теоретический анализ кон‑
тактной упруго-пластической деформации может
быть использован при изучении процесса удара
и определения сил, возникающих в момент кон‑
такта.
Список литературы
В результате пластической деформации обра‑
зовался кратер, радиус которого
42
δ max ;
Часть материала, оставшаяся в воронке,
имеет разрушенную кристаллическую решет‑
ку с утраченными упругими свойствами. В свя‑
зи с этим последний этап движения характери‑
зуется тем, что происходит лишь частичное вос‑
становление первоначальной формы тела за счет
сил упругости, сохранившихся в неразрушенной
упругой зоне.
Запишем дифференциальное уравнение движе‑
ния центра тяжести тела на третьем этапе:
.
t2 =
2
(1 − µ 2 ) 3
1
1 

V = π δ 2ост ( r − δ ост ) + ρ3  .
3
3 

Найдем силу, действующую в упругом кольце:
r
1. Hunter S. C. Energy absorbed by Elastic Waves during
Impact, J. Mech. Phys. Solids 5, 1957, 162.
2. Davies R. M. The Determination of Satic and Dynamic
Yield Stresses using a Steel Ball, Proc. Roy. Soc. Lond., A, 197,
1949, 416.
3. Andrews J. P. Theory of Collision of Spheres of Soft
Metal, Phil. Mag., Ser. 7, 9, 1930, 593.
Вестник ФГОУ ВПО МГАУ № 2'2009
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
398 Кб
Теги
взаимодействия, pdf, удар, тел, контактные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа