close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Математическая модель баллистического летательного аппарата с переменными массогеометрическими характеристиками..pdf

код для вставкиСкачать
УДК 629.76
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО
ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА С ПЕРЕМЕННЫМИ
МАССОГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
В.Б. Федоров
Представлена динамическая модель осесимметричного баллистического летательного аппарата с переменными массогеометрическими характеристиками.
Летательный аппарат представлен как система двух тел с возможностью их взаимного перемещения.
Ключевые слова: баллистический летательный аппарат, динамическая модель, массогеометрические характеристики.
Анализ проблемы и постановка задачи исследования
Движение летательных аппаратов (ЛА) в атмосфере определяется гравитационным полем
Земли, воздействием набегающего атмосферного потока на наружную поверхность (НП) ЛА,
массогеометрическими характеристиками (МГХ) ЛА – массой, координатами центра масс (ЦМ),
значениями осевых и центробежных моментов инерции. Геометрические характеристики НП ЛА,
взаимное расположение конструктивных элементов и составных частей ЛА определяются в конструкторской документации и описываются в конструкторской системе координат (КСК). В частности, для баллистических ЛА (БЛА) начало КСК помещают в точке O (рис. 1), положение которой привязано к конструктивным элементам летательного аппарата (например, лежит в плоскости одного из шпангоутов и является центром окружности расположения осей базирующих
штифтовых отверстий). Ось OX o (рис. 1) КСК направлена к носку БЛА и перпендикулярна плоскости базового шпангоута, ось OYo перпендикулярна оси OX o и расположена в плоскости ориентации I–III БЛА, ось OZ o дополняет тройку осей до правой. Для рассматриваемого класса БЛА
номинальное положение оси OX o КСК совпадает с осью симметрии его наружной поверхности.
В процессе изготовления летательного аппарата возникают случайные отклонения геометрических характеристик НП и МГХ БЛА от заданных в конструкторской документации значений.
Во время полета в результате взаимодействия с высокоскоростным, высокотемпературным атмосферным потоком возможно изменение геометрии НП и МГХ БЛА.
Отклонение реальных параметров БЛА от их допустимых диапазонов значений во время
движения может привести к формированию возмущенной траектория полета БЛА.
III
IV
O
I
XG
YO
O
XO
G
YG
C
XC
Y
ZG
C
P
ZP
YP
XP
Рис. 1. Основные системы координат,
используемые для построения математической модели
68
Вестник ЮУрГУ. Серия «Машиностроение»
Федоров В.Б.
Математическая модель баллистического летательного аппарата
с переменными массогеометрическими характеристиками
Математическая модель БЛА с переменными МГХ
Рассмотрим модель БЛА как систему двух тел, имеющую внутренние связи и допускающую
взаимные перемещения тел, входящих в нее. В качестве первого тела (платформы) примем корпус БЛА, в качестве второго – полезный груз (ПГ).
Начало связанной с БЛА опорной системой координат (ОСК) – полюс P совпадает с номинальным положением ЦМ БЛА, заданным в КСК OX oYo Z o . Направление осей ОСК совпадает с
номинальным направлением осей КСК БЛА. В ОСК определена главная центральная система
координат (ГЦСК) БЛА CX cYc Z c , где C – центр масс БЛА. Движение полюса P рассматривается
в инерциальной, геоцентрической СК GX G YG Z G (рис. 1). Угловое расположение ОСК, связанной
с корпусом ЛА, относительно СК GX G YG Z G задается тремя углами Крылова (тангажа  , крена
 и рыскания  ).
Для независимого изменения всех МГХ изделия в сборе второе тело ПГ может изменять положение относительно платформы по трем линейным и трем угловым координатам. МГХ и аэродинамических характеристик (АХ) корпуса БЛА могут медленно меняться в полете в небольших
пределах. Оценка закона изменения МГХ и АХ корпуса БЛА во время полета может быть получена на основании зависимостей, приведенных в [2].
В общем случае, для получения уравнений движения системы твердых тел можно использовать уравнения Лагранжа второго рода. В частности, такая процедура применяется при выводе
уравнений движения механических систем роботов-манипуляторов [4]. В случае системы, состоящей из двух тел, имеющих в сумме двенадцать степеней свободы, математическая модель
будет включать сорок восемь дифференциальных уравнений, определяющих траекторию движения системы. Для изучения точных моделей сложных систем тел с изменяющимися МГХ целесообразно использовать специализированные системы анализа динамики механических систем, такие как АДАМС, «Универсальные механизмы» и другие. Однако эффективность работы таких
инструментов зависит от корректности определения начальных, граничных условий задачи, диапазона изменения параметров модели.
Для получения необходимых предварительных оценок воспользуемся подходом, описанным
в [1], где для изучения поведения БЛА с медленно меняющимися МГХ используются уравнения
движения свободного твердого тела.
Нормальная форма Коши системы уравнений (при условии независимости главного вектора
и главного момента внешних сил от линейного и углового ускорений) может быть записана в
матричной форме:
1

( j)
( j)
2
(O )
2 1
( j)
(O )
2
VP  M  F  VP     ( J  m )  [ mP    F  J   M  ]

j
j
j
(1)

( j)
(P)
2 1
( j)
(O )
2
  ( J  m ) [ M P    f  J   M  ],


j
j
где m – масса летательного аппарата, VP  [vPx , vPy , vPz ]T – вектор линейной скорости полюса
P ОСК, VP  [vPx , vPy , vPz ] – вектор линейного ускорения полюса P ОСК, F ( j )  [ Fx( j ) , Fy( j ) , Fz( j ) ] –
главный вектор внешних аэродинамических сил, действующих на НП БЛА. Главный момент
внешних аэродинамических сил, действующих на наружную поверхность БЛА, обусловленный
асимметрией формы его НП и несовпадением точек ЦМ и центра давления, –
( j)
( j)
( j) T
M P( j )  [mPx
, mPy
, mPz
] . Вектор угловой скорости БЛА в ОСК –   [ x ,  y ,  z ]T
(    ,    ,    ), где , ,  – углы ориентации ОСК БЛА относительно осей GX Y Z .
x
y
G G
z
G
T
  [
 x ,
 y ,
 z ] . Угол атаки БЛА –  п   2 2 .
Вектор углового ускорения БЛА в ОСК – 
Вектор положения ЦМ БЛА в его ОСК –   [ x ,  y ,  z ]T ,
2013, том 13, № 2
69
Расчет и конструирование
 0

   z
 
 y
 0

   z
 
 y
J (P)
 z
y 

0  x  – матрица компонентов вектора угловой скорости БЛА,
0 
x
 z  y 

0  x  – матрица компонентов вектора положения ЦМ в КСК,
0 
x
(P)
(P) 
 J x( P )  J xy
 J xz


(P)
(P) 
   J yx
J y( P )  J yz
– тензор инерции БЛА в КСК.


(P)
(P)
  J zx
 J zy
 J z( P ) 

Левые части уравнений (1), а именно линейные и угловые ускорения определяются соотношением внешних силовых факторов, линейными и угловыми скоростями, а так же МГХ БЛА,
записанными в правых частях уравнений. Возникающие отклонения аэродинамических сил и
моментов БЛА от их проектных значений могут компенсироваться изменением МГХ и кинематических параметров БЛА. При этом левые части уравнений (1) могут сохранять проектные значения, что обеспечит движение по заданной траектории. В частности, в работе [5] рассматривается возможность использования разности смещений аэродинамического фокуса и ЦМ для определения эффективных плеч аэродинамических сил относительно оси вращения по крену.
Эта особенность законов движения ЛА используется на практике, в частности, в ЛА с «балансирной» схемой управления (дельтапланы, парапланы). Известны также схемы управления
движением БЛА путем изменения продольной координаты его центра масс в сочетании с созданием управляющих аэродинамических моментов с помощью газодинамических рулей. Во всех
этих схемах специальными способами, заложенными в конструкции ЛА, изменяется взаимное
положение центра масс ЛА и точки приведения главного вектора аэродинамических сил.
Дополним уравнения (1) выражениями, определяющими МГХ системы, через МГХ составляющих ее тел. Прежде всего, определим дополнительные системы координат (рис. 2) – подвижную относительно ОСК главную центральную систему координат (ГЦСК) ПГ LX l Yl Z l и неподвижную относительно ОСК, ГЦСК корпуса KX k Yk Z k .
III
IV
O
I
XG
YO
O
L
G
YG
YL
ZG
XO
C
XC
L
K
C
ZK
XK
YK
Рис. 2. Системы координат БЛА с переменными МГХ
70
Вестник ЮУрГУ. Серия «Машиностроение»
Федоров В.Б.
Математическая модель баллистического летательного аппарата
с переменными массогеометрическими характеристиками
Положение ГЦСК ПГ и корпуса относительно ОСК заданы углами Крылова l , l , l ,
 k , k ,  k и векторами  k , l , определяющим положение точек ЦМ L и K в ОСК. Положим, что
вследствие малости возникающих на этапе производства и во время полета асимметрий распределения массы в ОСК, возможные потребные перемещения ПГ относительно корпуса малы. Обозначим также: M k , M l – массы корпуса и ПГ, M  M k  M l – масса изделия в сборе, J ( k ) ,
J (l ) – тензоры инерции корпуса и ПГ в ОСК, J ( p ) – тензор инерции летательного аппарата в ОСК.
Кроме того, определим следующие ограничения: JY ир  J Zир , J X ир  0,1J Z ир , J  0,01J П .
Тензоры инерции J ( p ) , J ( k ) , J (l ) БЛА, корпуса и ПГ относительно ОСК, по теореме Гюйгенса-Штейнера [1, 3] определяются формулами:


J ( p )  AсT J (С ) Aс  M Eс 2  с с ;


J ( k )  AkT J ( K ) Ak  M k Ek 2  k k ;


J (l )  AlT J ( L ) Al  M l El 2  l l ,
где J (С ) , J ( p ) – тензоры инерции БЛА в ГЦСК и ОСК соответственно,
с  [ xс , yс , zс ]T – радиус-вектор точки С ЦМ БЛА в ОСК,
J ( K ) , J ( k ') , J ( L ) , J ( l ') – тензоры инерции корпуса и ПГ в ГЦСК и ЦСК соответственно,
k  [ xk , yk , zk ]T , l  [ xl , yl , zl ]T – радиус-векторы точек K и L ЦМ корпуса и ПГ в ОСК,
c2  xc2  yc2  zc2 , 2k  xk2  yk2  zk2 , l2  xl2  yl2  zl2 – скалярные квадраты,
c c , l l , k k – диадные произведения,
Aс , Ak , Al – матрицы преобразования координат БЛА, корпуса и ПГ из ЦСК (оси которых
параллельны осям ОСК) в ГЦСК, составленные из направляющих косинусов осей, соответствующих ГЦСК в ЦСК, которые являются функциями трех углов Крылова , ,  ,  k , k ,  k , l , l , l :
 a с11 a с12 a с13 
 a k11 a k12 a k13 
 a l11 a l12 a l13 






Aс   a с 21 a с 22 a с 23  , Ak   a k 21 a k 22 a k 23  , Al   a l 21 a l 22 a l 23  .
 с

 k

 l

 a 31 a с 32 a с 33 
 a 31 a k 32 a k 33 
 a 31 a l 32 a l 33 






Радиус-вектор центра масс с изделия в сборе может быть определен, как функция радиусвекторов центров масс в ОСК и масс, составляющих изделие элементов:
M
M
M
M
M
M
M
M
с  k k  l l , или xс  k xk  l xl , yс  k yk  l yl , zс  k zk  l zl .
M
M
M
M
M
M
M
M
Тензор инерции БЛА, корпуса и ПГ в их ГЦСК соответственно:
 J x(С ) 0
 J x( K ) 0
 J x( L ) 0
0 
0 
0 






J (С )   0 J y(С ) 0  , J ( K )   0 J y( K ) 0  , J ( L )   0 J y( L ) 0  .






0 J z(С ) 
0 J z( K ) 
0 J z( L ) 
 0
 0
 0
Вследствие малости величин углов , ,  ,  k , k ,  k , l , l , l (менее 5 градусов), выражения
для компонент матриц преобразования координат можно упростить [1]:
a с11  1, a с12  , a с13   , a k11  1, a k12  k , a k13  k ,
al11  1, al12  l , al13  l ,
a с 21  , a с 22  1, a с 23   ,
a k 21  k , a k 22  1, a k 23  k ,
al 21  l , al 22  1, al 23  l ,
a с 31  , a с 32  , a с 33  1.
a k 31  k , a k 32  k , a k 33  1. al 31  l , al 32  l , al 33  1.
Выражения для компонентов тензоров инерции БЛА, корпуса и ПГ в их соответствующих
ЦСК с учетом допущений также существенно упростятся: J с x  J С X , J с y  J С Y , J с z  J С Z ,






J с xy   J С X  J С Y , J с xz   J С Z  J С X , J с yz   J С Z  J С Y ,
2013, том 13, № 2
71
Расчет и конструирование




J l x  J L X , J l y  J LY , J l z  J L Z , J l xy  l J L X  J LY , J l xz  l J L Z  J L X ,

  J



J l yz  l J L Z  J LY , J к x  J К X , J к y  J К Y , J к z  J К Z , J к xy  к J К X  J К Y ,
J к xz
к
К
Z



 J К X , J к yz  к J К Z  J К Y .

Выражения для J ( p ) , J (l ) , J ( к ) , M Eс 2  с с




M k Ek 2  k k , M l El 2  l l

можно
представить в виде:

J LX
l J L X  J LY l J L Z  J L X 



L
L
L
L
L
(l )
J   l J X  J Y
J Y
l J Z  J Y  ;


L
L
L
L
J LZ
 l J Z  J X l J Z  J Y


J PX
 J P X  J PY  J P Z  J P X 



P
P
P
P
P
( p)
J    J X  J Y
J Y
 J Z  J Y  ;


P
P
P
P
J PZ
  J Z  J X  J Z  J Y


JКX
к J К X  J К Y  к J К Z  J К X 



К
К
К
К
К
(к )
J   к J X  J Y
J Y
к J Z  J Y  ;


Г
Г
К
К
J КZ
  к J Z  J X к J Z  J Y

 M yс2  zс2
 M xс yс
 M xс zс 


 M yс zс  ;
M Eс 2  с с    M xс yс
M xс2  zс2


 M с yс , zс M с xс2  yс2 
  M xс zс

2
2
 M k yк  z к
 M k xк yк
 M k xк zк 


M k Ek 2  k k    M k xк yк
M k xк2  zк2
 M k yк zк  ;


 M k yк , zк M k xк2  yк2 
  M k xк zк

2
2
 M l yl  zl
 M l xl yl
 M l xl zl 


 M l yl zl  .
M l El 2  l l    M l xl yl
M l xl2  zl2


 M l yl , zl M l xl2  yl2 
  M l xl zl

( p)
Тензор инерции J
БЛА в его ОСК может быть определен через тензоры инерции ПГ
(l )
(K )
, в соответствующих ГЦСК, по следующей зависимости:
J и корпуса J
































































J ( p )  AkT J ( K ) Ak  M k Ek 2  k k  AlT J (l ) Al  M l El 2  l l .
Компоненты J ( p ) , а именно J xy ( p ) , J xz ( p ) , J yz ( p ) , могут быть записаны в виде:

  J
  J

M x z
M y z

  J
  J
 
   J
   J

M x z M x z ;
M y z M y z .
J xy ( p )   J P X  J PY  M xс yс  l J l X  J lY  к J К X  J К Y  M k xк yк  M l xl yl ;
J xz ( p )
J yz ( P )
72
P
Z
P
Z
 J PX
 J PY
с с
с с
l
l
l
l
Z
 JlX
Z
 J lY
к
к
К
К
Z
 JКX
Z
 J КY
k к к
l l l
k к к
l l l
Вестник ЮУрГУ. Серия «Машиностроение»
Федоров В.Б.
Математическая модель баллистического летательного аппарата
с переменными массогеометрическими характеристиками
Положим, что на начальном участке движения в атмосфере БЛА не имеет асимметрий формы НП и МГХ. Такое состояние достигается высокоточной обработкой НП БЛА и проведением
коррекции МГХ изделия на специализированном оборудовании относительно прогнозируемого
направления равнодействующей вектора аэродинамических сил. В результате выполнения этой
процедуры все МГХ БЛА имеют допустимые значения. В «идеальном» состоянии БЛА войдет в
атмосферу с близкими к нулю углами атаки, что обеспечит ему на начальном участке траектории
малые значения угловых скоростей и угловых ускорений вдоль поперечных осей координат. По
мере нарушения симметрии НП, отклонения параметров НП и МГХ изделия будут постепенно
 x ,
 y ,
 z и линейнарастать, симметрия обтекания нарушится и изделие приобретет угловые 
ные V ,V ,V ускорения. В течение достаточно малого интервала времени ускорения не приPx
Py
Pz
ведут к значительному изменению линейных и угловых скоростей VPz ,VPy ,  x ,  y ,  z . Запишем упрощенные выражения, связывающие вторые производные параметров движения и МГХ
БЛА, с учетом особенностей движения изначально «симметричного» изделия, пренебрегая  y  x ,
 y  z ,  x  z , 2z , 2x ,  2y ,  yVPz ,  zVPy ,  xVPz ,  xVPy как величинами второго порядка малости и полагая J yP  J zP  J ПP , J yP  J zP  0 , J zP  J xP  J yP  J xP  J P П .
Получим выражения, связывающие текущие значения ускорений с l , l , l , l .
M

M
M
1
V Px 
M
 Fx( j )   Mk zk  Ml zl   y   Mk
1
V Py 
M
 Fy( j )  
1
V Pz 
M
 Fz( j )   Mk
j
yk 
Ml 
z;
yl 
M 
M
M
 Mk

M

 z   k zk  l zl  
x;
xk  l xl  
M
M 
M
M


j
M
yk 
j
Ml 
M
M

 x   k xk  l xl  
 y;
yl  
M 
M
M








M
M

M

( j)  M k
  mPx


yk  l yl   Fz( j )   k zk  l zl   Fy( j ) 
 j

M  j
M  j
 M
 M



  l J L Z  J L X  к J К Z  J К X  M k xк zк  M l xl zl 


 
 1
 x    
   P ;

 Mk 

M k Ml
Ml  
z
 xl zl  1 
    xk zk  1 
 Jx
 M k  xk zl  xl zk
 M l  
M
M
M
  




 


L
L
К
К

  l J Y  J X  к J Y  J X  M k xк yк  M l xl yl 


 

y 
 Mk 

  
Mk Ml
M l   
 xl yl  1 
 M k  xk yl  xl yk
 M l  
    xk yk  1 

M
 M 
 M   
  















Ml 
Ml 
( j)  M k
( j)  M k
( j)
  mPy   M zk  M zl   Fx   M xk  M xl   Fz 


 j

 j
 j

 
L
L
К
К
  1 ;
 y   l J Y  J X  к J Y  J X  M k xк yк  M l xl yl 


  J yP
 
 

   x y 1  M k  M  x y  x y M k M l  x y 1  M l  M  x 
 l
k l
l k
l l 
  k k  M  k
M
 M   
 





2013, том 13, № 2

73
Расчет и конструирование


Ml 
Ml 
( j)  M k
( j)  M k
( j)
  mPz   M yk  M yl   Fx   M xk  M xl   Fy 


 j

 j
 j

 
L
L
К
К
  1 .
 z   l J Z  J X  к J Z  J X  M k xк zк  M l xl zl 


  J zP
 
 

   x z 1  M k  M  x z  x z M k M l  x z 1  M l  M  x 
 l
k l
l k
l l 
  k k  M  k
M
 M   
 






Полученные выражения могут использоваться для получения оценок значений кинематических параметров и их производных в зависимости от взаимного положения груза относительно
платформы БЛА.
Литература
1. Костров, А.В. Движение асимметричных баллистических аппаратов / А.В. Костров. –
М.: Машиностроение, 1984. – 272 с.
2. Иванов, Н.М. Движение космических летательных аппаратов в атмосфере планет /
Н.М. Иванов, А.И. Мартынов. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. – 384 с.
3. Фаворин, М.В. Моменты инерции тел: справ. / М.В. Фаворин; под ред. М.М. Гернета. –
Изд. 2-е, перераб. и доп. – М.: Машиностроение, 1977. – 511 с.
4. Механика промышленных роботов: учеб. пособие для втузов. В 3 кн. Кн. 1: Кинематика и
динамика / Е.И. Воробьев, С.А. Попов, Г.И. Шекелева; под ред. К.В. Фролова, Е.В. Воробьева. –
М.: Высш. шк. – 304 с.
5. Мокин, Ю.А. Влияние малых углов атаки и скольжения на момент крена при гиперзвуковом обтекании тел вращения / Ю.А. Мокин // Теплофизика и аэромеханика. – 2009. – Т. 16, № 1. –
С. 37–42.
Федоров Виктор Борисович. Кандидат технических наук, доцент кафедры «Автоматизация
механосборочного производства», Южно-Уральский государственный университет (Челябинск).
Тел.: (351) 267-97-74; vbf64@mail.ru.
Bulletin of the South Ural State University
Series “Mechanical Engineering Industry”
2013, vol. 13, no. 2, pp. 68–74
MATHEMATICAL MODEL OF BALLISTIC VEHICLE
WITH VARIABLE INERTIAL PARAMETERS
V.B. Fedorov, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, vbf64@mail.ru
Dynamic model of symmetrical ballistic vehicle with variable inertial parameters
is offered. Vehicle has two parts – platform and payload.
Keywords: ballistic vehicle, dynamic model, variable inertial parameters.
Поступила в редакцию 10 июля 2013 г.
74
Вестник ЮУрГУ. Серия «Машиностроение»
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа