close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Математическая модель движения планирующего зонда..pdf

код для вставкиСкачать
№ 1 (21), 2012
Технические науки. Машиностроение и машиноведение
МАШИНОСТРОЕНИЕ
И МАШИНОВЕДЕНИЕ
УДК 519.71
К. Л. Куликовский, Д. В. Великанов
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
ДВИЖЕНИЯ ПЛАНИРУЮЩЕГО ЗОНДА
Аннотация. Разработана математическая модель, описывающая движение
планирующего зонда в водной среде. Принято предположение о малости скоростей изменения управляющих параметров, позволяющее пренебречь влиянием присоединенных масс и моментами инерции.
Ключевые слова: планирующий зонд, крен, дифферент, изменение плавучести,
угол атаки, планирование, радиус, скорость, траектория.
Abstract. The authors have developed a mathematical model describing the motion
of a gliding probe in the aquatic environment. It has been concluded that the rate of
change of control parameters is so small that it is possible to neglect the influence of
added mass and moments of inertia.
Key words: gliding probe, roll, trim, change of buoyancy, angle of attack, gliding,
radius, speed, trajectory.
Введение
Во многих отраслях промышленности стоит проблема более глубокого
и подробного изучения и использования Мирового океана. Так, например,
в рыбной промышленности требуется определение положения и отслеживание перемещения планктоновых полей, мест скопления рыбы и путей миграции крабов. В добывающих отраслях, в частности нефтяной и газовой, необходим постоянный контроль за состоянием подводных объектов: трубопроводов, буровых платформ и других инженерных сооружений. Поиск и разработка новых месторождений полезных ископаемых также невозможны без
подробного изучения дна Мирового океана. Для энергетической промышленности важным является определение тепловых потоков, которые позволят
создавать новые дешевые источники энергии. Океанологам необходимо составлять более точные карты солености, температуры и течений Мирового
океана, которые будут использованы в том числе при составлении более точных прогнозов погоды.
Использование отдельных зондирующих устройств в целях исследования океана требует высоких временных и финансовых затрат. Выходом из
сложившейся ситуации является создание дешевых и мобильных информационно-измерительных систем (МИИС), которые способны функционировать
длительное время без участия человека. Каждая МИИС – это комплекс измерительной и коммуникационной аппаратуры, установленной на аппаратеносителе.
185
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Использование в качестве аппарата-носителя автономных зондов,
снабженных движительной установкой, является нецелесообразным при построении МИИС, поскольку время их автономной работы в среднем составляет 6–8 ч [1], вследствие чего они требуют наличия судна сопровождения.
Наиболее подходящим для решения перечисленных выше задач является планирующий зонд (ПЗ). У него отсутствует движительная установка, что
существенно увеличивает время его автономной работы. Однако принцип
движения, исключающий применение движителей, делает невозможным
применение математических моделей движительных аппаратов, что обусловливает необходимость создания специальных математических моделей движения ПЗ в водной среде.
1. Описание движения ПЗ в водной среде
Движение зонда в вертикально-продольной плоскости осуществляется
за счет изменения плавучести. Крылья, жестко закрепленные на корпусе, работают как крылья планера при создании дифферента на нос или корму, что
обеспечивает движение по горизонтали.
Поскольку плавучесть Р изменяется за счет закачки в аппарат забортной воды (балластной жидкости), то она определяется по формуле
P = m0 g = ( m − (mh + mb ) ) g ,
(1)
где m0 – приведенная масса ПЗ; m – водоизмещение ПЗ; mh – постоянная
масса ПЗ; mb – масса балластной жидкости; g – ускорение свободного падения.
Рассмотрим проекции сил, действующих на планирующий зонд в установившемся режиме, на вертикально-продольную (рис. 1) и вертикальноперпендикулярную (рис. 2) плоскости. Для обозначения сил и углов, показанных на рис. 1 и 2, введем следующие обозначения: ε – угол наклона траектории;
θ – угол дифферента; α – угол атаки; γ – угол крена; v – вектор скорости; L –
mПЗv 2
– ценR
тробежная сила, mПЗ = mh + mb – полная масса ПЗ; R – радиус траектории.
Предположим, что ПЗ имеет ненулевые крен и дифферент, и найдем зависимости, описывающие перемещение ПЗ в пространстве.
подъемная сила; D – сила лобового сопротивления, где FC =
Lcosγ
D
Θ
Y
P
v
α
ε
X
Рис. 1. Проекции действующих на ПЗ сил на продольно-вертикальную плоскость
186
№ 1 (21), 2012
Технические науки. Машиностроение и машиноведение
Lcosε
FC
γ
Y
P
Z
Рис. 2. Проекции действующих на ПЗ сил
на вертикально-перпендикулярную плоскость
Для нахождения таких зависимостей воспользуемся общепринятыми
предположениями об идеальности жидкости, о малости приращения угловых
кинематических параметров и отсутствии течений [2].
Углы наклона траектории, дифферента и атаки связаны между собой
зависимостью
ε =θ−α.
(2)
Для нахождения угла наклона траектории через угол крена спроецируем силы на ось X:
D cos(ε) = L cos( γ )sin(ε) .
(3)
Заметим, что подъемная сила L и сила лобового сопротивления D могут
быть определены по следующим формулам:
L=
ρV 2/3v 2
C L (α ) ;
2
(4)
D=
ρV 2/3v 2
C D (α ) ,
2
(5)
где ρ – плотность воды; V – объем вытесненной аппаратом жидкости; v –
скорость аппарата; CL (α) и CD (α) – безразмерные гидродинамические коэффициенты.
При малых углах атаки для безразмерных гидродинамических коэффициентов справедливы приближенные соотношения [3]:
C L (α ) = C L 0 (α ) + C L α α ;
(6)
C D (α ) = C D 0 (α ) + C D α 2 .
(7)
Подставим формулы (4) и (5) в уравнение (3), выразим безразмерные
гидродинамические коэффициенты CL (α) и CD (α) через зависимости (6) и
(7) и решим получившееся уравнение относительно угла атаки α . Получим:
187
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
C − CL 0 tg(ε) cos( γ )
αв = D 0
(при всплытии),
CL tg(ε) cos( γ ) − CD
C − CL 0 tg(ε)cos( γ )
αп = D0
(при погружении).
−CL tg(ε) cos( γ ) + CD
(8)
Заметим, что угол атаки не зависит от скорости, а зависит только от
геометрической формы аппарата и угла наклона траектории. При этом угол
дифферента, с помощью которого мы управляем углом атаки, может быть
найден из соотношения (2).
Скорость перемещения аппарата может быть найдена из уравнения,
полученного путем проецирования всех действующих на ПЗ сил на ось Y
(рис. 1):
m0 g = D sin(ε) + L cos( γ ) cos(ε) .
(9)
С учетом выражений (4)–(8) получим
v=
2m0 g
ρV
2/3
α (CD 0 + CD α)sin(ε) + (CL 0 + CL α )cos( γ )cos(ε) 
.
(10)
В приведенной формуле для большего удобства изложения использована переменная m0. Параметр, который непосредственно меняется системой
изменения плавучести mb, может быть найден из соотношения (1).
Смена курса аппаратом производится путем создания крена на соответствующую сторону, в результате чего появляется составляющая подъемной
силы, направленная перпендикулярно движению, а также противодействующая ей центробежная сила (рис. 2):
mПЗ v 2
= L sin( γ ) cos(ε) .
R
(11)
Решая данное уравнение (11) относительно радиуса R, получим
R=
ρV
2/3
2mПЗ
α(CL 0 + CL α )sin( γ )cos(ε)
.
(12)
Далее необходимо рассчитать траекторию движения зонда, при этом
будем опираться на предположение о том, что изменения параметров движения ПЗ происходят с достаточно малой скоростью такой, что можно пренебречь моментами инерции и присоединенными массами.
2. Расчет траектории движения ПЗ
Рассмотрим движение ПЗ по дуге (рис. 3) (пунктиром обозначено первоначальное положение планирующего зонда).
За некоторый период времени t1 = [0; Т1], двигаясь со скоростью υ, ПЗ
пройдет путь, на котором скорость, угол атаки и другие параметры остаются
постоянными. Это расстояние будет равно длине описанной им дуги с некоторым радиусом R и центральным углом Δφ, выраженным в радианах. Запишем это соотношение и выразим из него Δφ:
188
№ 1 (21), 2012
Технические науки. Машиностроение и машиноведение
vt = RΔϕ ,
(13)
vt
.
R
(14)
откуда
Δϕ =
Z
X1
Δφ
X
R1
Z1
Δφ
Рис. 3. Движение ПЗ по дуге (момент времени Т1)
Заметим, что изменение курса аппарата за время t1 будет равно Δφ. При
этом изменение курса за промежуток времени Т = ntи с периодом измерения tи
будет определяться выражением
n
ϕ=
 Δϕ ,
(15)
i =1
где n – число измерений.
Найдем пройденное ПЗ расстояние (см. рис. 3). Заметим, что в начальный момент времени (t = 0) планирующий зонд находится в начале системы
координат XYZ, ось X совпадает с продольной осью аппарата, ось Y находится
в плоскости несущих поверхностей ПЗ и перпендикулярна оси X, а ось Z
направлена в соответствии с правой системой координат. В момент времени
Т1 зонд будет иметь в системе XZ координаты:
X1 = R1 sin(Δϕ1 ) ;
(16)
Z1 = R1 [1 − cos(Δϕ1 ) ] .
(17)
На рис. 4 изображен ПЗ в момент времени Т2. За время t2 = [T1; T2] он
прошел некоторое расстояние по дуге с радиусом R2 и центральным углом
Δϕ2 .
В результате поворота ПЗ за время Т1 образовалась новая система координат X'Z', повернутая относительно XZ на угол φ1 и смещенная на расстояние X1 и Z1 по соответствующим осям. В системе координат X'Z' в момент
времени Т2 координаты ПЗ (аналогично (16) и (17)) будут равны:
189
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
X1′ = R2 sin(Δϕ2 ) ;
(18)
Z1′ = R2 [1 − cos( Δϕ2 )] .
(19)
Z
X2
φ1
X
Z′
X′
R2
Δφ2
Z2
Рис. 4. Движение ПЗ по дуге (момент времени Т2)
Для перехода к системе координат XZ воспользуемся матрицей поворота, тогда с учетом смещения получим координаты зонда в момент времени Т2:
X 2 = R2 sin( Δϕ2 ) cos(ϕ1 ) − R2 [1 − cos(Δϕ2 ) ] sin(ϕ1 ) + X1 ;
(20)
Z 2 = R2 sin(Δϕ2 )sin(ϕ1 ) + R2 [1 − cos(Δϕ2 )] cos(ϕ1 ) + Z1 .
(21)
Координата по оси Y может быть найдена по рис. 1 из выражения
Yn = vntn sin(ε n ) + Yn−1 .
(22)
С учетом формул (15)–(22) запишем уравнение, описывающее движение ПЗ в пространстве для n дискретных отсчетов с периодичностью tи:
n
Xn =
 Ri sin(Δϕi ) cos(ϕi−1) − (1 − cos(Δϕi ) ) sin(ϕi−1 ) ;
(23)
i =1
n
 viti sin(εi ) ;
(24)
 Ri sin(Δϕi )sin(ϕi−1) + (1 − cos(Δϕi ) ) cos(ϕi−1 ) .
(25)
Yn =
i =1
n
Zn =
i =1
190
№ 1 (21), 2012
Технические науки. Машиностроение и машиноведение
3. Математическое моделирование движения ПЗ
Используя (8), (10), (12), (14), (15), (23)–(25), построим траекторию
движения ПЗ (рис. 5). В качестве характеристик модели возьмем оценочные
значения характеристик ПЗ. Безразмерные гидродинамические коэффициенты для разрабатываемой конструкции ПЗ примем равными СD0 = 0,214,
CD = 32,2, CL = 4,6, CL0 = 11,76. Объем ПЗ примем V = 0,0628 м3, массу
mПЗ = 50 кг, период измерения tи = 100 c.
Рис. 5. Временные диаграммы и траектории, описывающие движение ПЗ
Для выбранных параметров три верхние временные диаграммы на рис. 5
иллюстрируют изменение управляющих параметров – дифферента, крена и
плавучести. Нижние два графика показывают полученную траекторию движения ПЗ в двух проекциях: на вертикально-продольную и горизонтальную
плоскости. В начальный период движения ПЗ изменяет свою плавучесть
с нулевой на отрицательную, при этом изменяя и угол наклона траектории.
После установления управляющих параметров начинается прямой участок
траектории с постоянными параметрами движения. При подходе к заданной
глубине дифферент и плавучесть плавно изменяются и ПЗ начинает всплывать. В самой нижней точке траектории, когда вертикальная скорость равна
нулю, ПЗ начинает создавать крен, что приводит к смене курса движения.
Когда крен становится снова равен нулю, смена курса ПЗ заканчивается.
191
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Заключение
Таким образом, была разработана система уравнений, позволяющая
рассчитать траекторию движения ПЗ с учетом управляющих воздействий.
Данная система уравнений может стать основой для разработки более совершенных математических моделей планирующих погружаемых аппаратов.
Список литературы
1. А г е е в , М . Д . Автономные подводные роботы. Системы и технологии /
М. Д. Агеев, Л. В. Киселев, Ю. В. Матвиенко и др. ; под общ. ред. М. Д. Агеева ;
Ин-т проблем морских технологий. – М. : Наука, 2005. – 398 с.
2. П а н то в , Е. Н . Основы теории движения подводных аппаратов / Е. Н. Пантов,
Н. Н. Махин, Б. Б. Шереметов. – Л. : Судостроение, 1973. – 216 с.
3. G r a v e r , G . J . Underwater Glider Model Parameter Identification / J. G. Graver,
R. Bachmayer and N. E. Leonard // The 13th International Symposium on Unmanned
Untethered Submersible Technology (UUST). – Durham, USA, 2003. – August.
Куликовский Константин Лонгинович
доктор технических наук, профессор,
кафедра информационно-измерительной
техники, Самарский государственный
технический университет
Kulikovsky Konstantin Longinovich
Doctor of engineering sciences, professor,
sub-department of information-measuring
equipment, Samara State
Technical University
E-mail: kl195lm@mail.ru
Великанов Денис Валерьевич
аспирант, Самарский государственный
технический университет
Velikanov Denis Valeryevich
Postgraduate student,
Samara State Technical University
E-mail: denvel@mail.ru
УДК 519.71
Куликовский, К. Л.
Математическая модель движения планирующего зонда / К. Л. Куликовский, Д. В. Великанов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. – 2012. – № 1 (21). – С. 185–192.
192
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
432 Кб
Теги
движение, планирующей, математические, pdf, модель, зонда
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа