close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Первые математические модели в теории гибкого быстровращающегося вала..pdf

код для вставкиСкачать
УДК 531/534(091):534.1:531.36
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2007, вып. 1
И. А. Пасынкова, В. С. Сабанеев
ПЕРВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ТЕОРИИ
ГИБКОГО БЫСТРОВРАЩАЮЩЕГОСЯ ВАЛА
Введение. Сведения по ранней истории динамики роторных машин содержатся в
основном во введениях к монографиям, посвященным специальным вопросам теории
быстровращающихся валов. Как правило, эти сведения являются отрывочными и хронологически неполными. В 2003 г. была опубликована статья Нельсона [1], в которой
в хронологическом порядке приведена краткая история развития динамики роторов.
Однако некоторые утверждения автора представляются спорными, поскольку они опираются не на оригинальные работы, а на публикации 90-х годов XX века. Естественно,
что такой подход привел к некоторому искажению истории рассматриваемого вопроса.
Цель данной работы — отразить наше видение истории создания первых математических моделей в теории гибких быстровращающихся валов.
Машины, применявшиеся до середины XIX века, были по современным меркам тихоходными. Необходимость повышения их производительности приводила к увеличению скорости вращения валов — основных элементов машин, предназначенных для передачи мощности. Довольно скоро инженеры заметили, что при повышении угловой
скорости появляются нежелательные поперечные колебания. Возникла необходимость
теоретического определения безопасных границ для рабочих режимов вращения валов.
Исследования У. Рэнкина. История теоретического исследования динамики
быстровращающихся валов началась в 1869 г., когда была опубликована короткая
заметка выдающегося шотландского ученого У. Рэнкина, профессора университета в
Глазго [2]. В этой работе впервые приведено описание влияния центробежных и упругих сил на вращение гибкого вала. Любой малый изгиб вращающегося вала, даже возникший случайно, вызывает, с одной стороны, появление центробежных сил, имеющих
тенденцию увеличить изгиб, а с другой стороны — появление упругих сил, имеющих
противоположную тенденцию. При уравновешивании этих сил вал вращается в изогнутом состоянии вокруг линии подшипников. Это движение Рэнкин назвал «centrifugal
whirling» и ввел этот термин в англоязычную научную литературу по динамике роторов. Свое описание Рэнкин не сопровождает никакими аналитическими выкладками.
В статье не сделано никаких предположений ни о распределении масс, ни об упругих свойствах вала, иными словами, не построена механическая модель вращающегося
вала.
Далее Рэнкин без какого-либо вывода приводит соотношение, связывающее критическую угловую скорость вала с его параметрами:
1/4
H g r2
,
b=
a2
где H — модуль упругости материала, g — ускорение силы тяжести, r — радиус инерции
поперечного сечения, a — угловая скорость вращения вала, b — некоторая длина, которая связана с истинной длиной вала соотношением, зависящим от условий крепления.
Так, для вала круглого сечения, шарнирно-опертого на концах, его длина l = π b, а для
консольного вала — l = 1.87 b. Здесь сохранены обозначения автора.
c
И. А. Пасынкова, В. С. Сабанеев, 2007
111
Несомненная заслуга Рэнкина состоит в том, что он применил теорию поперечных
колебаний стержней, разработанную Пуассоном, к динамике быстровращающихся валов [3]. Рэнкин первым понял, что критическая угловая скорость вала достигается в
тот момент, когда вал, как упругий стержень, теряет устойчивость своей прямолинейной формы. В заключительной части работы Рэнкин обсуждает проблемы динамики
валов, нагруженных дополнительными массами. Он отмечает, что такие задачи могут
быть решены известными к тому времени методами, но, тем не менее, уверенно высказывает свою точку зрения, что никакой практической ценности такие исследования не
будут иметь, поскольку основная задача конструкторов — не допустить возникновения
«centrifugal whirling».
Статья Рэнкина на содержала никаких математических выкладок, а автор скончался через три года после ее опубликования. Позднее появились различные толкования
содержания статьи. В научной литературе XX века Рэнкину приписывается утверждение о невозможности работы вала со сверхкритической скоростью, и эта точка зрения
часто трактуется как его заблуждение. Результатам работы Рэнкина сопоставляется
механическая модель, изображенная на рис. 1 [1]. Эта модель дает возможность определить критическую угловую скорость, но она не адекватно описывает динамику вращающегося вала.
η
y
m
x
e
k
ωt
ξ
Рис. 1.
На основании этой модели делался вывод, что с увеличением угловой скорости вращения величина прогиба вала будет неограниченно возрастать, что неминуемо приведет
к поломке. К сожалению, авторам данной статьи не удалось установить, кто предложил
эту модель и почему создание ее было приписано Рэнкину.
В последующие годы применявшиеся машины стали работать со все возраставшими скоростями. Это обстоятельство поставило перед учеными два вопроса: можно ли
безопасно преодолеть критическую скорость, и может ли вал работать устойчиво при
сверхкритических скоростях. Инженерная практика значительно опередила научные
исследования. В начале 80-х годов XIX века выдающийся шведский инженер и изобретатель Карл Лаваль создал и получил патент на паровую турбину с рабочей скоростью
42000 об./мин., которая была заведомо выше критической скорости.
Исследования А. Фёппля и А. Стэвара. Следующая модель ротора была предложена спустя почти 25 лет в 1895 г. Её создание связано с именем профессора Мюнхенского университета А. Фёппля [4]. Он рассматривал вал Лаваля как невесомый вал
с диском, эксцентрично укрепленным посередине между опорами. Принципиальным
достоинством этой модели был учет влияния дисбаланса ротора.
На рис. 2 показана плоскость Oxy, перпендикулярная линии подшипников и проходящая через ее середину. Здесь O — след неизогнутой оси вала (линии подшипников),
A — точка крепления диска к валу (центр диска), S — центр тяжести диска.
Фёппль предпринял попытку сформулировать и решить задачу в векторной форме,
112
y
P
A
q
x
S
p
y
O
x
Рис. 2.
что было новаторским в то время. Однако при этом он допустил ошибки, на которые
ему указал в личной переписке профессор Льежского университета А. Стэвар.
Во второй работе, посвященной валу Лаваля [5], Фёппль приводит дифференциальные уравнения движения центра тяжести в плоскости, перпендикулярной оси подшипников, под действием линейно-упругих сил, приложенных к диску со стороны вала, в
координатной форме:
d2 x
d2 y
= −c(x + p),
= −c(y + q),
2
dt
dt2
где m — масса диска, c — жесткость вала.
Приведено и решение этих уравнений в виде суммы свободных и вынужденных колебаний. Амплитуда свободных колебаний равна расстоянию OP , амплитуда вынужденных колебаний — P S, тогда положение центра тяжести определяется как геометри−→ −−
→ −→
ческая сумма: OS = OP + P S. При чисто вынужденных колебаниях точка P совпадает
с точкой O. Фёппль получил выражение для амплитуды вынужденных колебаний:
P S = −e
u2
a2
,
− a2
где e — эксцентриситет, a2 = c/m — критическая угловая скорость, u — угловая скорость
вращения ротора. Отсюда следует, что при неограниченном возрастании угловой скорости центр тяжести диска стремится занять положение на линии подшипников, т. е.
при u → ∞ P S → 0.
В том же году Стэвар опубликовал свои результаты [6]. В его заметке выписаны
уравнения движения центра масс в плоскости O x y в форме
mẍ =
e cos α − x
,
f
mÿ =
e sin α − y
,
f
где f — податливость вала, e — эксцентриситет, α = ω t.
Стэвар получил решение этой системы при следующих начальных условиях: t =
0, x = e, y = 0, ẋ = 0, ẏ = 0 в виде
x=
y=
a2 e
ωt
e
cos
− 2
cos ω t,
2
a −1
a
a −1
ae
ωt
e
sin
− 2
sin ω t,
2
a −1
a
a −1
a2 = f m ω 2 .
113
Основное внимание этих ученых было сконцентрировано на взаимном расположении
центра тяжести и центра диска при стационарном вращении, которое представляет собой чисто вынужденные колебания. Они установили, что при вращении вала с угловой
скоростью, меньшей критической, центр тяжести располагается за изогнутой осью вала
(см. рис. 3, a), а при вращении вала со сверхкритической скоростью — между линией
подшипников и изогнутой осью вала (см. рис. 3, b).
S
A
O
P
e
A
S
O
O
a) u < a
e
P
O
b) u > a
Рис. 3.
По мере увеличения угловой скорости центр тяжести будет приближаться к линии
подшипников. Таким образом, эти ученые впервые теоретически показали способность
вала к самоцентрированию при больших угловых скоростях.
В физической лаборатории Мюнхенского университета Л. Клейн экспериментально
подтвердил выводы Фёппля [7]. Работы Фёппля и Стэвара теоретически обосновали
возможность работы роторов на сверхкритических скоростях, что было уже известно
в инженерной практике. Отметим, что в этих работах не учитывались силы сопротивления.
Определение критических скоростей. В 1894 г. С. Данкерлей опубликовал статью, посвященную колебаниям вала, нагруженного дисками [8]. В этой работе он первым ввел термин «критическая скорость», который с тех пор прочно утвердился в
мировой научной и технической литературе. В этой же статье он предложил простую
эмпирическую формулу для определения основной критической скорости для вала, нагруженного двумя дисками, которая имеет вид
N1 N2
N= p 2
,
N1 + N22
где N — критическая угловая скорость системы вал—диски, Ni (i = 1, 2) — критическая
угловая скорость вала с одним i-м диском.
Аналогичные эмпирические формулы предложены им для валов с тремя и четырьмя
дисками. Данкерлей отмечал как хорошо известный факт, что как бы точно вал ни был
сбалансирован, при определенной скорости он изогнется и даже может сломаться, хотя
при более высоких скоростях он снова будет работать нормально.
В 1916 г. В. Керр опубликовал экспериментальные данные, из которых следовало существование второй критической скорости [9]. Эти результаты еще раз подтверждали,
что первая критическая скорость может быть безопасно преодолена.
К сожалению, теоретические результаты Фёппля и Стэвара не получили достаточно
широкого распространения в англоязычном научном сообществе, хотя были известны
в России.
Исследования Г. Джеффкотта. В 1916 г. Лондонское Королевское общество поручило Г. Джеффкотту, декану факультета Королевского научного колледжа в Ирландии, разрешить конфликт между господствовавшей концепцией о неограниченном
росте амплитуды колебаний гибкого вала и инженерной практикой.
114
В 1918 г. появилась статья Джеффкотта [10], в которой впервые вместо приближенной формулы Данкерлея было получено точное соотношение для критических частот
невесомого двухопорного вала, несущего k сосредоточенных масс:
k
k
X
X
1
1
=
,
2
Ωi
ω2
i=1
i=1 i
где Ωi — собственные частоты системы вал—диски, ωi — собственная частота вала с одним i-м диском.
В 1919 г. Джеффкотт опубликовал работу, ставшую классической, в которой он
подтвердил результаты Фёппля о возможности устойчивого вращения вала в закритической области [11].
Рис. 4.
На рис. 4 показана модель ротора Джеффкотта, представляющая собой твердый
диск, эксцентрично насаженный на невесомый гибкий вал круглого сечения в середине
между жесткими опорами. Движение вала описывается дифференциальными уравнениями:
mẍ + bẋ + cx = maω 2 cos ω t,
mÿ + bẏ + cy = maω 2 sin ω t,
где x, y — координаты точки крепления диска к валу, m — масса диска, c — жесткость
вала, a — эксцентриситет, b — коэффициент сопротивления, ω — угловая скорость вращения вала. Модель Джеффкотта объясняет влияние дисбаланса вблизи критической
частоты вращения. При этом Джеффкотт дополнительно учитывал силы внешнего
демпфирования, пропорциональные скорости деформаций вала. Достоинство модели
Джеффкотта состоит в том, что он в качестве точки наблюдения выбрал точку крепления диска к валу, а не центр масс. При таком подходе влияние дисбаланса сводится
к появлению периодической возмущающей силы с амплитудой, пропорциональной эксцентриситету и квадрату угловой скорости.
Статья Джеффкотта не содержит никаких ссылок, и неизвестно, был ли он знаком
с результатами Фёппля 25-летней давности. Ротор Джеффкотта оказался чрезвычайно плодотворной моделью и до сих пор используется в научных исследованиях и в
практике конструирования быстро вращающихся роторных машин.
Исследования А. Стодолы. Большое влияние на развитие динамики роторов оказала научная деятельность словацкого ученого Ауреля Стодолы, работавшего в Швейцарии с 1892 года. Уже в 1903 г. была опубликована его первая монография по паровым турбинам объемом 220 страниц. В дальнейшем Стодола непрерывно расширял эту
монографию, включая новые теоретические и экспериментальные исследования таких
115
явлений, как гироскопическое действие дисков, насаженных на вал; вторичные резонансные явления, вызванные действием веса вала и дисков; устойчивость вращения вала с одним диском в режиме самоцентрирования и др. Эти результаты были настолько
востребованы, что в 1924 г. вышло уже 6-е издание монографии, объемом свыше тысячи
страниц и включающее более тысячи иллюстраций [12]. Этот основной труд Стодолы
переведен на многие языки и не потерял своей актуальности до настоящего времени.
Динамика быстроходных роторных машин, начало которой положили теоретические и экспериментальные работы Рэнкина, Лаваля, Фёппля, Стодолы и других исследователей получили бурное развитие в XX веке. Были созданы приближенные методы определения критических частот валов сложной конструкции, изучено влияние
внешнего и внутреннего трения, влияние нелинейных свойств упругих валов и опор,
смазочного слоя и множество других вопросов. Современные компьютерные методы
существенно расширили возможности и круг задач, стоящих перед исследователями.
Summary
I. A. Pasynkova, V. S. Sabaneev. The first mathematical models in the theory of an elastic fast
spinning shaft.
A brief review of works at the turn of the XIXth and XXth centuries, which made a foundation
of rotor dynamics, is given.
Литература
1. Nelson F. C. A Brief History of Early Rotor Dynamics // Journal of Sound and Vibration.
June. 2003. http://www.findartircles.com/p/
articles/mi_qa4075/is_200306.ai_n9296359
2. Rankine W. J. McQ. On the Centrifugal Whirling of Shafts // The Engineer. Vol. 27. 1869.
P. 249.
3. Poisson S. D. Traité de Mechanique. Vol. II, Paris, 1811, § 528.
4. Föppl A. Das Problem der Laval’schen Turbinenwelle // Der Civilingenieur. Vol. 41. 1895.
S. 333–342.
5. Föppl A. Vereinfachte Darstellung meiner Theorie der Laval’schen Turbinenwelle // Der
Civilingenieur. Vol. 42, 1896. S. 249–252.
6. Stevart A. Note sur la turbine de Laval // Revue universelle des mines. Ser. 3. Vol. 33. N 2.
1896. P. 141–161.
7. Klein L. Theorie, Konstruction und Nutzeffect der Dampfturbinen // Zeitschrift des Vereines
deutscher Ingenieure. Bd XXXIX. N 40. 1895. S. 1189–1195.
8. Dunkerley S. On the Whirling and Vibrations of Shafts // Phil. Trans. R. Soc. London.
Ser. A. Vol. 185. Pt. 1. 1894. P. 279–360.
9. Kerr W. On the Whirling Speeds of Loaded Shafts // Engineering. 1916. P. 150.
10. Jeffcott H. H. The periods of lateral vibrations of loaded shafts. The rational derivation of
Dunkerley’s empirical rule for determining whirling speeds // Proceedings of the Royal Society.
Series A. Vol. 95. N A666. 1918.
11. Jeffcott H. H. The Lateral Vibration of the Loaded Shafts in the Neighbourhood of a Whirling
Speed // Phil. Mag. Vol. 6. N 37. 1919. P. 304–314.
12. Stodola A. Dampf- und Gasturbinen — Berlin: Springer. 6-te Auflage. 1924. 1157 p.
Статья поступила в редакцию 12 октября 2006 г.
116
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
35
Размер файла
445 Кб
Теги
вала, быстровращающегося, первые, гибкого, математические, pdf, модель, теория
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа