close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Автобалансировка жесткого ротора в вязко-упругих ортотропных опорах..pdf

код для вставкиСкачать
УДК 531.36:62-565
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2013. Вып. 2
АВТОБАЛАНСИРОВКА ЖЕСТКОГО РОТОРА
В ВЯЗКО-УПРУГИХ ОРТОТРОПНЫХ ОПОРАХ
В. Г. Быков
С.-Петербургский государственный университет,
доцент, vgbykov@mail.ru
Проблемам автобалансировки жестких роторов, закрепленных в анизотропных
упругих опорах, посвящены работы [1–4]. В [1] и [2] на основе разработанного
И. И. Блехманом [5] метода прямого разделения движений установлено существование двух зон асимптотической устойчивости сбалансированного режима для симметрично закрепленного, статически неуравновешенного ротора. Аналогичная методика
использована в [3] для исследования автобалансировки несимметрично закрепленного
ротора. В [4] модель динамически неуравновешенного ротора, оснащенного двухплоскостным автобалансировочным устройством, изучается методами теории бифуркации. В настоящей работе для исследования автобалансировки ротора в ортотропных
опорах используется метод осреднения.
1. Механическая модель и уравнения движения. Рассмотрим жесткий,
динамически симметричный, статически неуравновешенный ротор массы M , закрепленный в вертикальных вязко-упругих ортоторопных опорах. Для компенсации статического дисбаланса ротор оснащен одноплоскостным шаровым автобалансировочным устройством (АБУ), представляющим собой заполненную жидкостью кольцевую
полость, в которой могут свободно передвигаться n шариков одинаковой массы m. В
рамках модели Джеффкотта [6] будем рассматривать движение ротора и балансировочных шариков только в плоскости статического эксцентриситета, т. е. горизонтальной плоскости, проходящей через центр масс ротора G и пересекающей ось ротора в
точке C. Cтатический эксцентриситет ротора CG обозначим через s. Балансировочные шарики будем считать материальными точками, расстояния от которых до оси
ротора одинаковы и равны r.
Введем неподвижную систему координат OXY Z, ось Z которой направим вертикально вверх вдоль прямой, проходящей через центры опор, а начало координат
выберем так, чтобы оси X и Y лежали в плоскости статического эксцентриситета.
Не умаляя общности, будем считать, что оси X и Y направлены вдоль осей эллипса
податливости опор. Соответствующие этим осям коэффициенты упругости и демпфирования обозначим через kx , ky и cx , cy (рис. 1).
Если АБУ содержит n шариков, а угол поворота ротора θ = θ(t) является заданной функцией времени, то описанная механическая система в силу сделанных
допущений имеет n + 2 степени свободы. Выберем в качестве обобщенных координат
безразмерные координаты x = X/r, y = Y /r точки C в неподвижной системе и углы
ψi (i = 1, . . . , n) отклонения балансировочных шариков Bi , отсчитываемые от прямой CG. Коэффициент вязкого демпфирования в АБУ обозначим через cψ . Запишем
©
82
В. Г. Быков, 2013
Рис. 1. Жесткий ротор с АБУ в ортотропных опорах.
уравнения Лагранжа второго рода в безразмерном виде:
"
#

n
2
X

d
1


cos(θ + ψi ) ,
ε cos θ + µ
ẍ + δx ẋ + κx x = −


(1 + nµ) dτ 2


i=1


"
#

n
X
1
d2
ÿ + δy ẏ + κy y = −
ε sin θ + µ
sin(θ + ψi ) ,


(1 + nµ) dτ 2


i=1




δ

 ψ̈i + ψ ψ̇i = ẍ sin(θ + ψi ) − ÿ cos(θ + ψi ) − θ̈,
i = 1, . . . , n.
µ
(1)
В системе (1) точки обозначают производные по безразмерному времени
τ = Ωt,
Ω=
s
kx + ky
;
2(M + nm)
параметры ε = s/r и µ = m/M считаем малыми, а остальные параметры имеют
следующий смысл:
κx =
2kx
,
kx +ky
κy =
2ky
,
kx +ky
δx =
cx
,
(M + nm)Ω
δy =
cy
,
(M +nm)Ω
δψ =
cψ
.
M r2 Ω
3. Стационарные режимы. Рассмотрим вращение ротора с постоянной безразмерной угловой скоростью θ̇ = ω = const. В случае ротора без АБУ, т. е. при µ = 0,
первые два уравнения системы (1) независимы и имеют частные решения вида
x0 = a0x cos(ωτ + φ0x ),
y0 = a0y sin(ωτ + φ0y ),
(2)
83
Рис. 2. АЧХ и ФЧХ стационарных режимов движения ротора без АБУ.
где
εω 2
a0x = p
,
(κx − ω 2 )2 + δx2 ω 2
tg φ0x =
−δx ω
,
κx − ω 2
εω 2
a0y = q
,
(κy − ω 2 )2 + δy2 ω 2
(3)
−δy ω
.
κy − ω 2
(4)
y = ξy sin ωτ + ηy cos ωτ,
(5)
tg φ0y =
Движение ротора, описываемое формулами (2)–(4), имеет характер эллиптической прецессии. На рис. 2 представлены графики стационарных амплитудно- и фазочастотных характеристик, рассчитанных при следующих значениях безразмерных
параметров: ε = 0.05, κx = 0.67, κy = 1.33, δx = δy = 0.15. Характеристики демонстрируют наличие двух критических частот ω01 и ω02 , которые являются точками
экстремума амплитуд a0x и a0y . Анализ графиков показывает, что траектория точки C в окрестности ω01 имеет вид эллипса, вытянутого в направлении оси X, а в
окрестности ω02 — эллипса, вытянутого вдоль оси Y , при этом в докритической области ω < ω01 имеет место прямая прецессия (угол сдвига фаз φy − φx < π/2), в области
ω01 < ω < ω02 — обратная прецессия (π/2 < φy − φx < π), а в закритической области
ω > ω02 — прямая эллиптическая прецессия, стремящаяся с ростом угловой скорости
к круговой.
Для исследования стационарных режимов движения ротора с АБУ перейдем в
уравнениях (1) к новым переменным ξx , ηx и ξx , ηx , удовлетворяющим следующим
соотношениям:
x = ξx cos ωτ − ηx sin ωτ,
ẋ = −ξx ω sin ωτ − ηx ω cos ωτ,
ẏ = ξy ω cos ωτ − ηy ω sin ωτ.
(6)
Новые переменные являются функциями времени, мало меняющимися на протяжении периода одного оборота ротора. Дифференцируя выражения (5) по τ и сравнивая
результат с (6), имеем
(
ξ˙x cos ωτ − η̇x sin ωτ = 0,
(7)
ξ˙y sin ωτ + η̇y cos ωτ = 0.
В свою очередь, дифференцируя по τ выражения (6), имеем
(
ẍ = −ξx ω 2 cos ωτ + ηx ω 2 sin ωτ − ξ̇x ω sin ωτ − η̇x ω cos ωτ,
ÿ = −ξy ω 2 sin ωτ − ηy ω 2 cos ωτ + ξ˙y ω cos ωτ − η̇y ω sin ωτ.
84
(8)
Подставляя соотношения (5), (6) и (8) в уравнения (1), получаем


(1+nµ) (ξ˙x +δx ξx )ω +(κx −ω 2 )ηx sin ωτ + (η̇x +δx ηx )ω −(κx − ω 2 )ξx cos ωτ =





n

X


2

−
εω
cos
ωτ
−
µ
((ω + ψ̇i )2 cos(ωτ + ψi ) + ψ̈i sin(ωτ + ψi ),




i=1





2
2

 (1+nµ) (ξ˙y +δy ξy )ω +(κy −ω )ηy cos ωτ − (η̇y +δy ηy )ω −(κy −ω )ξy sin ωτ =
n
X


2

εω
sin
ωτ
+
µ
((ω + ψ̇i )2 cos(ωτ + ψi ) − ψ̈i sin(ωτ + ψi ),




i=1




δ
ψ

˙x − ωηx ) sin ωτ + (η̇x + ωξx ) cos ωτ sin(ωτ + ψi )−

ψ̈
+
ψ̇
=
−
(
ξ

i
i

µ






(ξ˙y − ωηy ) cos ωτ + (η̇y + ωξy ) sin ωτ cos(ωτ + ψi ),
i = 1, . . . , n.
(9)
Разрешив систему уравнений (7), (9) относительно «медленных» переменных ξx , ηx ,
ξy , ηy и проведя осреднение полученных выражений по времени за период 2π/ω,
получим приближенную систему «осредненных уравнений»:

n X

1
κx − ω 2
µ

˙

ξ
=
−
(ω + ψ̇i )2 sin ψi − ψ̈i cos ψi ,
δ
ξ
−
η
+
 x
x x
x

2
2ω
2ω(1 + nµ) i=1




!

n 
X

1
κx −ω 2
1

2
2


(ω + ψ̇i ) cos ψi + ψ̈i sinψi ,
 η̇x = − 2 δx ηx + 2ω − 2ω(1+nµ) εω +µ


i=1



n 
X

1
κy − ω 2
µ
˙
ξy = − δy ξy −
ηy +
(ω + ψ̇i )2 sin ψi − ψ̈i cos ψi ,
2
2ω
2ω(1 + nµ) i=1


!


n 
X

1
κy −ω 2
1

2
2

η̇y = − δy ηy +
−
εω +µ
(ω + ψ̇i ) cos ψi + ψ̈i sinψi ,


2
2ω
2ω(1+nµ)


i=1




δψ
ω


(ω(ξx +ξy )+ η̇x + η̇y ) sin ψi + −ω(ηx +ηy ) + ξ˙x + ξ̇y cos ψi ,
 ψ̈i + ψ̇i = −

µ
2




i = 1, . . . , n.
(10)
Система уравнений (10), в отличие от исходной системы (1), является автономной и
позволяет провести исследование стационарных режимов движения ротора с АБУ.
85
Полагая в уравнениях (10) значения всех производных равными нулю, получаем
систему трансцендентных уравнений, описывающих стационарные режимы:

n
X

2
2


(1
+
nµ)(δ
ωξ
+
(κ
−
ω
)η
)
=
µω
sin ψi ,
x
x
x
x




i=1



n

X


2
2
2

(1 + nµ)(δx ωηx − (κx − ω )ξx ) = −εω − µω
cos ψi ,




i=1

n
X
(11)
2
2

(1
+
nµ)(δ
ωξ
+
(κ
−
ω
)η
)
=
µω
sin ψi ,

y
y
y
y



i=1



n

X


 (1 + nµ)(δy ωηy − (κy − ω 2 )ξy ) = −εω 2 − µω 2
cos ψi ,




i=1



(ξx + ξy ) sin ψi = (ηx + ηy ) cos ψi = 0, i = 1, . . . , n.
Первые четыре уравнения системы (11) удобно представить в виде двух комплексных
уравнений
!
n
X
2
iψk
(1 + nµ)(δx ω − i(κx − ω )(ηx − iξx ) = − ε + µ
e
ω2,
k=1
(1 + nµ)(δy ω − i(κy − ω 2 )(ηy − iξy ) = − ε + µ
n
X
k=1
eiψk
!
(12)
ω2.
Ранее было установлено [7], что ротор в изотропных опорах имеет два типа
стационарных режимов — сбалансированный и несбалансированный. Положив в (12)
ξx = ξy = ηx = ηy = 0, получим уравнение для определения углов отклонения балансировочных шариков в условиях сбалансированного стационарного режима
n
X
k=1
ε
eiψk = − ,
µ
(13)
которое совпадает с аналогичным выражением для ротора в изотропных опорах. При
n = 2 уравнение (13) имеет единственное решение
ψ10 = −ψ20 = arccos(−ε/2µ),
(14)
существующее при выполнении условия σ = 2µ/ε ≥ 1. В случае n > 2, при выполнении условия nµ ≥ ε, уравнение (13) будет иметь бесконечное множество решений.
Таким образом, можно констатировать, что анизотропность опор не влияет на условия существования сбалансированного стационарного режима.
Для исследования несбалансированных стационарных режимов представим комплексные координаты в виде ηx − iξx = ax eiφx , ηy − iξy = ay eiφy и разделим первое
уравнение (12) на второе. В результате получим соотношение
ax i(φx −φy )
κy − ω 2 + iδy ω
e
=
,
ay
κx − ω 2 + iδx ω
86
(15)
позволяющее найти аналитические выражения для отношения амплитуд эллипсовидной прецессии и разности фаз в зависимости от угловой скорости ротора:
s
ax
(κy − ω 2 )2 + (δy ω)2
(κx − ω 2 )δy − (κy − ω 2 )δx
=
,
tg(φx − φy ) =
. (16)
2
2
2
ay
(κx − ω ) + (δx ω)
(κx − ω 2 )(κy − ω 2 ) − δx δy ω 2
На рис. 3 соотношения (16) представлены в виде графиков, анализ которых позволяет
полностью описать характер эллипсовидной прецессии ротора.
Рис. 3. Несбалансированные стационарные режимы ротора с АБУ.
Критические скорости находим как точки экстремума отношения амплитуд:
q
κ2y − κ2x ± (κx δy2 + κy δx2 + (κy − κx )2 )2 − 4δx2 δy2
2
ω1,2
=
.
(17)
δx2 − δy2 + 2(κy − κx )
В случае, когда δx = δy = δ, формула (17) принимает более простой вид
s
2
κy − κx
2
ω1,2
= 1 ± δ2 +
.
2
(18)
Из рис. 3 видно, что в докритической области ω < ω1 имеет место прямая эллиптическая прецессия, причем эллипс вытянут вдоль оси OX. В области ω1 < ω < ω2
разность фаз по модулю превышает π/2, и мы наблюдаем обратную эллиптическую
прецессию. С ростом угловой скорости эллипс вытягивается вдоль оси OY , превращаясь при ω = 1 в окружность. В закритической области ω > ω2 эллиптическая
прецессия становится снова прямой, но при этом эллипс вытянут вдоль оси OY . Далее с ростом угловой скорости эллипс вытягивается вдоль оси OX, стремясь в пределе
к окружности.
3. Устойчивость сбалансированного стационарного режима. Исследуем
устойчивость сбалансированного стационарного режима в случае, когда АБУ содержит два балансировочных шарика. Пусть ∆ξx , ∆ηx ,∆ξy , ∆ηy и ∆ψi (i = 1, 2) — малые
отклонения обобщенных координат от стационарных значений, соответствующих сбалансированному режиму. Подставляя выражения
ξx = ∆ξx ,
ηx = ∆ηx ,
ξy = ∆ξy ,
ηy = ∆ηy ,
ψi = ψi0 + ∆ψi
в уравнения (10), разлагая в ряд по малым отклонениям и пренебрегая малыми второго и выше порядка, получаем, с учетом выражений (13), линейную систему уравнений
87
в вариациях, которую запишем в матричной форме
(19)
AŻ + BZ = 0.
Здесь
Z = {∆ξx , ∆ηx , ∆ξy , ∆ηy , ∆ψ1 , ∆ψ2 , ∆ψ̇1 , ∆ψ̇2 }T ,
а матрицы A и B имеют блочную структуру:



2αE
O
O µC1
αCx
 O

 O
2αE
O
µC
1
, B = 
A=
 O
 O
O
1
O 
ωC1T ωC1T O 2E
ω 2 C2T
O
αCy
O
ω 2 C2T
µω 2 C1
µω 2 C1
O
O
где

−2µω 2 C2
−2µω 2 C2 
,
−E 
2δψ /µ
δx
κx − ω 2
δy
κy − ω 2
α = (1 + 2µ)ω, Cx =
, Cy =
,
−(κx −ω 2 )
δx
−(κy −ω 2 )
δy
sin ψ10
sin ψ20
1 0
0 0
cos ψ10 cos ψ20
, C2 =
, E=
, O=
.
C1 =
− cos ψ10 − cos ψ20
0 1
0 0
sin ψ10 sin ψ20
Анализ коэффициентов характеристического полинома
8
X
ak λk = 0
(20)
k=1
системы (19) показывает, что в случае, когда δx = δy = 0 необходимое условие устойчивости, вытекающее из соотношения a7 > 0, можно записать в виде
δψ > 0,
(ω − 1)(ω − ω1 )(ω − ω2 ) > 0.
(21)
Отсюда следует вывод о невозможности автобалансировки ротора шаровым АБУ в
частотных диапазонах ω < ω1 и 1 < ω < ω2 . Это утверждение согласуется с условиями асимптотической устойчивости сбалансированного стационарного режима анизотропного ротора с АБУ, полученными ранее [1, 2].
Необходимым и достаточным условием отрицательности действительных частей
корней характеристического полинома (20) является положительность коэффициентов Рауса ci,1 , i = 1, . . . , 9, вычисляемых по рекуррентным формулам
ci,j = ci−2,j+1 − ci−1,j+1 ci−2,1 /ci−1,1 ,
где
c1,1 = a0 ,
c1,2 = a2 ,
c1,3 = a4 ,
c1,4 = a6 ,
c1,5 = a8 ,
c2,1 = a1 ,
c2,2 = a3 ,
c2,3 = a5 ,
c2,4 = a7 ,
c2,5 = 0.
На рис. 4 представлены двухпараметрические диаграммы устойчивости в плоскости параметров ω − δψ , рассчитанные при следующих значениях безразмерных параметров: ε = 0.05, µ = 0.04, δx = δy = 0.15. Левая диаграмма соответствует ротору в
изотропных опорах (κx = κy = 1), а правая — в анизотропных (κx = 0.67, κy = 1.33).
Области асимптотической устойчивости сбалансированного стационарного режима
88
Рис. 4. Двухпараметрические диаграммы устойчивости.
выделены темным цветом. Из рисунков видно, что анизотропия опор приводит к разрыву области устойчивости на две части: первая лежит в диапазоне ω1 < ω < 1, а
вторая — в области ω > ω2 , что полностью соответствует условиям (21).
4. Переходные режимы движения ротора и балансировочных шариков. Представляет интерес исследование нестационарного прохождения ротора через критическую область при его вращении с постоянным угловым ускорением.
Для простоты рассматривалось АБУ только с двумя балансировочными шариками.
Расчеты проведены для следующих значений безразмерных параметров: ε = 0.05,
µ = 0.04, δx = δy = 0.15, δψ = 0.26. На рис. 5 показаны результаты численного интегрирования системы (1) в случае, когда угол поворота ротора меняется по закону
θ(t) = 0.0005Ω2t2 . Штриховые кривые соответствуют ротору в изотропных опорах
(κ1 = κ2 = 1), а сплошные — в анизотропных (κ1 = 0.67, κ2 = 1.33).
Рис. 5. Прохождение критической области с постоянном угловым ускорением.
В случае, когда σ < 1 (рис. 5, a), условие существования сбалансированного стационарного режима не выполняется, поэтому, несмотря на то, что в закритической
89
области балансировочные шарики занимают наиболее удаленную от точки G позицию (ψ1 = ψ2 = −π), полной балансировки ротора не происходит. Анизотропия опор
приводит к появлению двух критических частот, соответствующих максимальным
значениям амплитудной кривой. В случае σ > 1 (рис. 5, б ) условия существования
сбалансированного режима выполнены, и мы наблюдаем процесс автобалансировки
ротора после прохождения второй критической частоты. Интересно отметить, что
полная балансировка у ротора в ортотропных опорах наступает раньше, чем в случае изотропных опор.
На рис. 6 и рис. 7 показаны результаты численного интегрирования системы (1)
в случае вращения ротора с постоянной угловой
q скоростью ω. Огибающие быстро
p
осциллирующих функций ax = ξx2 + ηx2 и ay = ξy2 + ηy2 , полученные путем численного интегрирования системы (10), демонстрируют хорошую точность осредненных
уравнений. Кривые, показанные штриховой линией, рассчитаны для случая изотропных опор.
Рис. 6. Прецессионные движения ротора и движение балансировочных
шариков в окрестности первой критической скорости (ω1 = 0.796).
Если ω < ω1 (рис. 6, а), то движение ротора в установившимся режиме представляет собой эллиптическую прецессию, а балансировочные шарики занимают положение, соответствующее несбалансированному стационарному режиму (шарики вместе).
В малой окрестности первой критической скорости (рис. 6, б ) движение ротора име90
Рис. 7. Прецессионные движения ротора и движение балансировочных шариков
в окрестности второй критической скорости (ω2 = 1.13).
ет характер биений, при этом балансировочные шарики входят в соприкосновение и
совершают неравномерные движения относительно корпуса АБУ. В области частот
ω1 < ω < 1 (рис. 6, в) наблюдается процесс установления сбалансированного режима,
при котором отклонение ротора стремится к нулю, а шарики занимают положение,
определяемое формулой (14).
Рисунок 7, а демонстрирует неустойчивость сбалансированного режима в области частот 1 ≤ ω ≤ ω2 , проявляющуюся в нестационарном характере движения ротора и балансировочных шариков. Рисунок 7, б соответствует устойчивой закритической области ω > ω2 , и мы опять наблюдаем процесс установления сбалансированного
стационарного режима.
Литература
1. Нестеренко В. П. Автоматическое устранение статической неуравновешенности ротора с анизотропными опорами // Машиноведение. 1984. № 1. С. 24–25.
2. Агафонов Ю. В., Базыкин Ю. В. Исследование устойчивости шарового автобалансира роторной системы на анизотропных опорах // Машиноведение. 1985. № 5. С. 111–113.
3. Ryzhik B., Sperling L., Duckstein H. Auto-balancing of anisotropically supported rigid rotors //
Technische Mechanik. 2004. N 24. P. 37–50.
4. Rodrigues D. J. , Champneys A. R., Friswell M. I., Wilson R. E. Two-plane automatic balancing:
A symmetry breaking analysis // International Journal of Non-Linear Mechanics. 2011. Vol. 46. P. 1139–
1154.
5. Блехман И. И. Синхронизация динамических систем. М.: Наука, 1971. 806 с.
6. Genta G. Dynamics of Rotating Systems. Springer, 2005. 658 р.
7. Быков В. Г. Стационарные режимы движения неуравновешенного ротора с автобалансировочным механизмом // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2006. Вып. 2. С. 90–102.
8. Быков В. Г. Нестационарные режимы движения статически неуравновешенного ротора с
автобалансировочным механизмом // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2010. Вып. 3. С. 89–96.
Статья поступила в редакцию 28 марта 2012 г.
91
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
541 Кб
Теги
опорам, автобалансировка, pdf, упругие, жесткого, вязкой, ортотропных, ротора
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа