close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Интегральные характеристики тонкого газового слоя..pdf

код для вставкиСкачать
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТОНКОГО
ГАЗОВОГО СЛОЯ
Л. В. Маринина, Е. А. Мартынова
Рассматривается тонкий слой вязкого газа между двумя полусферами (рис. 1). Радиус внутренней полусферы равен К, радиус
наружной полусферы равен К + <5. Величина 5 мала.
Наружная полусфера совершает гармонические колебания относительно неподвижной точки О2 в направлении оси т.2 по
закону п„со8 V I; где Ь„ — амплитуда колебаний; 0 < п„ < <5; V — частота, 1 —время. Частота колебаний велика.
Декартовы оси О1х1у121—подвижные и связаны с внутренней
полусферой. Для нее допустимыми являются такие движения,
при которых толщина газового слоя между полусферами Ь всюду
не равна нулю, т. е. не происходит соприкосновений полусфер.
В постановке данной задачи считается, что ось 2 Х остается парал*
6
83
дельной оси 22. Внутренняя полусфера вращается с угловой частотой О относительно оси /^ Положение центра О! относительно О2 задается осевым смещением е2 и радиальным смещением
ег в плоскости О2х2у2.
При таких движениях полусфер функция Н = - толщины газо6
вого слоя имеет вид:
Н(<р, в, г) = 1 + %гсо8 (р + 1Г зт <р соз в + Н„ соз <р соз т,
где I = VI — безразмерное время;
(1)
С
*
г тт
%г = —;
/Р=-;
Н„ =К
—— г-безразмерные параметры, для которых
6
д
д
выполняется
8
ХГ + Н,<1; хг + Н,<1;
<р и 0 — углы сферической системы координат;
(2)
О < 0 < 2тг; ср! ^ (^ ^ <р2; 0 < ф 2 < -; 0 < (рг < ц>2.
(3)
Под интегральными характеристиками газового слоя понимают главный вектор и главный момент сил, действующих со
стороны газового слоя на повехностях, ограничивающих этот
слой. Целью данной работы является определение величин главного вектора нормальных сил (несущая способность слоя) и главного момента касательных сил (момент сопротивления вращению), действующих на поверхности внутренней полусферы.
Уровень числовых значений этих величин определяет возможности практического применения тонких газовых слоев для
разделения подвижных поверхностей в разного рода механизмах
и устройствах.
Математическая модель течения газа основана на уравнениях
Рейнольдса, которые являются упрощением известных уравнений
Навье-Стокса для тонкого слоя [1]. Течение газа изотермическое.
Кроме того, воспользуемся доказанным ранее [2] обстоятельством, что при V -> оо существует асимптотический переход к квазистационарному решению
^-0,
т
(4)
где |Д00 = РН — функция, равная произведению искомого давления
Р(ф, в, г) на толщину слоя Н(<р, в, т) (1). Давление Р нормировано
по отношению к давлению окружающего газа ра.
84
В рамках сделанных допущений формулируется нелинейная
краевая задача газовой динамики для отыскания функции \1/ ^ ((р, в).
Уравнение имеет вид
1!ъ,(*р-*>*)]
+
д(р\_
\ 2 д<р
~ 8(р / _\
3 Г 1 /н0 а**
. 2 ан 0 \ Л 8Ш(? 1=0
+ да
^1_8ш
—Т^-^»^7
'^ '
ф\ 2 дв
дв / - ^°°
(5)
2
6/ЛК
где Л = ——— — параметр сжимаемости газа;
2
Р«<5
/х — коэффициент динамической вязкости газа;
Н 0 ((р, В) — толщина слоя, усредненная по времени -с за период колебания;
Н0(<Р, 0) = -'-/Н(ср, в, т)ёг.
2я 0
-(6)
Имеют место следующие краевые условия:
2*
{Н> =Ф111> 0, т)<1т
^(ф = Ф1. 2 »е) =дТ72?1Н
:—————;
Г
((р = (р , 9)
0
^(ф, в) = ^(ф>
2
а^
ае
1>2
);
0+2я
(7)
(8)
2
а^
ае
-^(^ в) = -^(ср, 0 + 2я).
Решение уравнения (5) можно представить в виде ряда по степеням малых параметров %2<\ и %г < 1 без учета их вторых
степеней и выше.
ф*(<р, 0) = Яо(<Р) + ХЛ1(<Р) + ХЛ2(<?>, Я),
(9)
где Я0(<р), ^1((р)-и Я2(<р, 0) —функции, подлежащие определению. Это решение будет справедливо вблизи соосного положения
полусфер.
Краевые условия (7) также линеаризуются по малым параметрам %2 и хг, после чего, они приобретают вид:
«А» (9 = 91, 2, 0) = 1 + 1,5Н?со52ф1!2 +
•+ 2/2соз <р1 2 + 2%г зш (рг 2 соз в.
85
(10)
Соответствующие краевые задачи для д0, ^1 и ^2 таковы:
,
^(8ш^) = 0;
й<р \
I
|
!
.
1
-
(11)
<1<р/
я0((р = (р112)=1 + 1,5Н^со8 2 <р 1)2 ;
(\ йч,
1
<^0
\2 йср
2
йср
.
\1
ЯП <р I - —— + -С08 (р —— + Ц0 81П <р I
/^
= 0;
(12)
2с
Я1(<Р = <Р1,2) = °5<Р1,2;
Г •
(1 •
л^Чо
1 ^2
\\
п
31П (р I - 81П (р СО8 0 —— + - —— — ^0 СО8
УСО5 (р I +
дср\_
\2
й<р
2 <5(р
/^
8
—
+
1^ + Ч
, с 0 8 0_^^^ = 0;
Чо 8 1 п
У( ?
2 50'
°
ев
2уЧо
(13)
Ч 2 (9 = 9г, 2' 0) = 28Ш.(р1>2со80;
(
Я2(«р, 0) = д2(<?, 0 + 2тг);
^ ,
>
йя
2
2
—
(<р, дч
0) = —
(9, 0 + 2тг).
СР
С'а
Функции Я0(ср) и Я! (ф) определяются аналитически:
а0(^) = с11п1§^ + с2,
где
1 СТТ2
(СОХ2^! - С03>2)
с1 = 1,эму • ————————;
<?1
,
<Р2
1п1§—-1п1§—(14)
2
с2 = 1 + 1,5Н^соз ^2 -с^п^ё—;
^1 (ср) = 2с3 Ы;§- + с4 + В (<р) + 2с2 со« ср,
86
(15)
где
В(д») = С! {2-1п|5т<И-1п[(1+со8<р)1+с05М1-соз<р)1-со>]};
1 А(<р = <р1)-А((р = (р2)
ср2
2
2
С3 = -——————————; с4 = А((р = <р2)-2с31п1§ —;
VI
<р2
1п1ё—-1Ш§ —
АО) = 2(1-с2)со8<р-В((р).
Функцию Я2(<р, 0) можно найти при помощи разделения переменных в следующем виде:
Я2 (<р, в) = и (<р) со§ в + у(ср) 8т 9.
(16)
На основании (13) для и и V получена система дифференциальных
уравнений
сРи
<1и
и
^
^(р
31П (р
— + с!§(?— ~-^~/
\
I
2
Л
.
——у=-4я08шу-с1с1§()(?;
(И)
^„((р)
^2у
«IV
V
л
—+ с1§<р - --^ +-т=и = 0
^
а<р 8ш> УЯ,,^)
,._
(18)
с краевыми условиями
и(ф = <Р1,2)2&™(р^2; у(<р = <р1)2) = 0.
(19)
Решение этой системы св'одится к решению одного уравнения.
В самом деле, из (18) следует, что
иЫ=
_^>(^ +с1§^--!_).
Л
\<1(р
а<р
зш ф/
(20)
Подстановка выражения (20) в уравнение (17) и условия (19)
дает дифференциальное уравнение четвертого порядка относительно у(ф) с четырьмя краевыми условиями, накладывающими
ограничения на у(<р = <р1?2), первую производную и вторую
производную:
4ч
й(р
,
—— (<Р = <Р1,2)
И
87
42*,
(1<р-*
.
Т-;(<Р = <Р1,2)-
/
2
(13у
с!*у
й\
(1у
——4 + Р(<Р)——3 + Ч(Ф)ТЧ + Г(<Р)Т- + 8 (<Р) у = Ю(<р);
аср
{
Г
I
\
п(р
й(р
УЧО(Ф)/С12У
ЙУ
\А(р
А<р
<1<р
у
— -——— —-2 + с{§<р—
— ——
6Г
2
Л
\~|
8т (рЛ
=28т<р2
;
12
^'
ч>—«г»!^
V(<Р = <!»1,2) = 0.
где1 обозначено:
р О) = 2с1§ <р; я(<р) = - 4 - Зс1в2<р;
. .
Л2
Зсоз (о
1+2 С052о>
г(ф) = -^; 8(9) = ——-—^—;
5Ш
<р
^0 (<р)
————
51П
(р
Лс
-ш(<р) = 4Л л/ЯоОгО ^Ф + ,-^—сг§у.
V Чо (<Р)
Функция V была найдена численно. Использовалась равн<
ная сетка узлов па (р
<?'=
91
+ (1-1)Ьф; 1 = 1, N+1; 4 = ^^;
<Р1 = <Р1, ф"+1=(р2
и разностная апроксимация производных:
«4
л
^~, = ^<+1 ~4У'*1 + 6У1 ~ 4У1-1-^-2> + 0(4):
3^ = ^(',+2-2у,+ 1 + 2у,_, - V,.,) + ОЮ;
^-^,-^ + »|.1) + 0(М);
^-^.-»,-.)-ю«х
Разностная схема приведена к стандартному виду
88
С^1-^У2-е1У3 = ?1
1=1;
-Ь2У1+с2У2-ё2У3 + е2У4 = Г2;
, а 1 У,._ 2 -Ь,у 1 _ 1 + с,у,-ё1Ун.1 + е,у,+2 = Г,; 1 = 3, N-1;
а лг У Л г- 2 -Ьд-У д ,_ 1 + сдгул,-а№У№+1=Гдг;
адг+1 У №-1- Ь ЛГ+1 У Л + СЛ + 1УЛГ-М =^N+1^
где введены обозначения:
1 = 2;
(26)
1 = К;
1 = К+1,
2Ь2
3
= 1; ^=6^=0; Ь2 = -^т + -^р1-4;
С1
1
мггф
2
с 2 =-10 + 2Ь,р1; й2=-* + -\Р1> е 2 =-2;
Г2=—^Ь^Ляпф1; а; = 2-Ь„Рг;
(27)
\ЛЬ,1
Ь, = 8 -2Ь^р; - 2Ь2Ч[ + Ь^ г,; (1; = 8 + 2Ь^ р,- 2Ь^ ч. - Ь^ г,;
е, = 2 + Ь„рг; с, = 12 - 4Ь| Ч, + 2Ь* з;; Г, = 2Ь>,.;
г! — _ 4
п
ч . _ _ПЪ
и
л?—
л
ф
2(г>Р^+1
•зш22<рN+1'*
я
—
?•
^~ ~А
Ьдг=-8--Ь 9 р м +1; с № =-10-2Ь4)№ +1 ;
Г м =--==*=яп<р №+1; а^+^Ьдг+^Гдг+^0; % + 1 = 1.
\/С1о,^+1
Задача решена методом
пятиточечной прогонки [3]. Затем на той
же сетке узлов ср1 найдена численно функция и в соответствии
с (20) и (25).
и,= -^(а^ + М +1 +УМ +2 -2у,. + з); 1 = 1, N-2;
9
^=-^(а Г У г + Ду г _ 1 +7 ; У 1 __ 2 -2у ; _ 3 ); 1 = К-1,К,К+1,
9
где
а( = 4-ЗЬ^§ФГ--^-;
5т>, /5,= -10 + 4Ь„с18<р'; у; = 8-Ь^с1§^_
89
(28)
После того, как описанным выше способом определены функции Яо(<р), Ч!(<Р) и Я2(ф, 0) = и(<р)со80 + у((р)8т0, можно перейти
к нахождению поля давления
9}
Р(ф о т) = >/»«^'
'
=
\/до(»)+х.д1(»)+зи2(р. о)
Н(<р, 0, т)
'
Н(<р, 0, т)
'
,29)
Функцию Р также будем раскладывать в ряд по малым параметрам %2 и %г, удерживая лишь их первые степени. Усредненное по
времени избыточное давление в газовом слое равно
Р(<р, 0) = ^2/(Р-1)<1т.
2л
(30)
0
После линеаризации и вычисления интеграла имеем
где
Р(<р, 0)=Р0(<р) + ХгРг(<р) + хЛ(<7>, 0),
(31)
__
о(9) =чV/Т7Т-1;
Ь(<р) = 1-н;соз2?;
Ь(<р)
Р
(32)
,
41 О?)
Рг(ф) =
в
Л
/Чо(«»)
2Учо(ф)Ь(<р)
и /-
- /—— со8<р;
V Ь (ф)
0
оч
Рг (ф, в) =
Ч2(«Р. )
2Уяо(<Р)Ь(<р)
-
/Яо(<Р) •
——— 81П ф С080 0.
^Ь 3 (<Р)
Наконец, путем интегрирования сил нормального давления
газа по поверхности внутренней полусферы, можно найти главный вектор этих сил (несущую способность газового слоя). Практические потребности связаны с вычислением проекций главного
вектора на направление оси т.г (осевая несущая способность Р2);
на Направление линии С^Ог (несущая способность Р, по линии
центров); на направление, перпендикулярное линии центров О1О2
(несущая способность Ру).
2к<р2
Рг = ра К.2 | | Р (ср, в) соз ср вт <р <1<рАв;
о ч>1
2я <рг _
2
2
Р, = раК | | Р ((р, О) зт ф соз в Аср ив;
О
<)>!
90
(33)
Ру = рД2 | /Р (<р, в) §т2(р ьтвйсрЛе.
о <?,
Производные
_
1
агг
_
1
ар,
2
*~ ~ джра&^' °"~ ~ &праК V
С
(34|
*-*
1
ЗР,
^^ |_--- ________ ___•_
~
у1
<5тфд2 аХг
представляют собой соответственно жесткости газового слоя по
осевому направлению, по линии центров и перпендикулярно линии центров.
Подстановка выражений (31) и (32) в формулы (33) после
интегрирования по углу в и перехода к производным (34) дает
следующие квадратуры
с08<
41 (<Р)
Р 1
•
,
с** = - 2-""гТ
И —=====
- Яо(<Р) =
соз (р 8Ш
(р Аср;
ъ \- 2^0 (<р) ъ (V) 7(Чо (у) ь (Ф))3 Л
с8 =
_ у Г и(У)5ш>
_ д;(у)й.'у
„, 12^Чо ((р) ь (ф)
7
с* = - 1
1 ^.
(35)
3
7(Чо (<?>) ь с?.)) ^
У(<р)8т2<р
«>127Чо(<Р)ь((г))
ДУ-
где с* = —— — безразмерные коэффициенты жесткости.
7ф„К2
Интегралы (35) вычислялись численно с применением квадратурной формулы Симпсона, и результаты -представлены в зависимости от параметров Л, Н„, ф 1 и ср2- Некоторые характерные
графики представлены на рис. 2 — 4.
Аналогичным образом поступим, определяя момент сопроти- •
вления вращению М2 газового слоя. По известному полю давления (29) могут быть найдены касательные напряжения <тК9, действующие на поверхности внутренней полусферы [4].
0 тл
*«( .*. >=1ги*--5г>
/а
дРа(Н8р
91
ЛзтсЛ
(зб)
Рис 2-3:
0
Л=100, <р2=90°; 1 «р^Ю
, 2. ч>1=20°;
3. ф! = 30°;
0
0
4. <Р!=40 ; 5. (р^ЗО
Рис. 4.:
й>1 = 20°; (р2=900; 1 Н, = 0,1; 2. Н, = 0,4; 3. Н,=0,6;
4. Н,=0,8.
1
92
Рис. 5-
6
3:г = 0,1; - = 0,001, Л = 1000; <рг = 90° 1 <р1 = 10°;2 <р1=20°, 3 (р1 = 30°; 4 <р1=40°;
5. (^ = 50°
„
ЗР
ипределив производную —-, затем интегрируя по поверхности
дв
полусферы и по времени т за период 2п, найдем
*=К21 Т^Т^^зш^ёсрё^р^^ЛСЬ + ьК).
о ^ \2тг о
М
/
(37)
К
Здесь обозначены
_
«Г/1
1 \Г
1
*1
^ ^ )/ \_ агсяп^сов^-агсяп^соз^) ^ +
^ (. \\м^ Г ~2н^
у
93
+ —-( >/Ъ(<р2)С08ср2 - УЬ(<?!)сок<?!) [; Ъ(<р) = 1 -Н*со82<р; (38)
2Н У \
/о
к=
-
я 1 Г2-Н*(1+С05>2) _ 2-Н^(1+со82,г>1)'1
3н
*1-
7Ь(ФЗ
УЬОГЧ
-I
Приведенная теория и численные расчеты в соответствии
с формулами (37), (38) позволяют определить значения момента
сил вязкого сопротивления газа, действующих на полусферу при
д
ее вращении, в зависимости от параметров Л, Н„ <р15 <р2 и -. На
рис. 5 представлена одна из расчетных зависимостей.
к.
ЛИТЕРАТУРА
4» Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа.—М.: Наука, 1973.—
848с.
2. Рап С. Н. Т. Оп а$утр1о1ю апа1уз18 оГ §азеоиз 5^иееге—Шт
Ьеагтв/Доигпа! оГ ЬиЬпсайоп ТесЬпо1о§у. Тгапз. АЗМЕ. Зег. Р. Уо1. 89, № 3, Му,
1967, р. 245-253.
3. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных
уравнений. —М.: Наука, 1978. —592с.
4. Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления.-М.: Наука, 1965.-291 с.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
638 Кб
Теги
слоя, тонкого, интегральная, pdf, характеристика, газового
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа