close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Математическая модель двухкомпонентной фильтрации применительно к механическому обезвоживанию осадков..pdf

код для вставкиСкачать
УДК 676.1.026.5
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВУХКОМПОНЕНТНОЙ
ФИЛЬТРАЦИИ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К МЕХАНИЧЕСКОМУ
ОБЕЗВОЖИВАНИЮ ОСАДКОВ
А.Б. Коновалов
Санкт-Петербургский государственный университет сервиса и экономики (СПбГУСЭ),
191015, г. Санкт-Петербург, ул. Кавалергардская д.7, лит. А
Аннотация – Разработана математическая модель процесса механического обезвоживания
сжимаемого осадка путем прессования влажного бумажного полотна в прессовом захвате бумагоделательной машины, образованном двумя прессовыми валами.
Ключевые слова: механическое обезвоживание осадка; пресс; бумажное волокно; поровое
пространство; система уравнений; метод конечных разностей.
MATHEMATICAL MODEL OF THE TWO-COMPONENTAL FILTRATION WITH
REFERENCE TO MECHANICAL DEHYDRATION OF DEPOSITS
A.B. Konovalov
The St.-Petersburg state university of service and economy (СПбГУСЭ),
191015, St.-Petersburg, street Kavalergardsky, 7, lit. A
Summary –The mathematical model of process of mechanical dehydration of a compressed deposit by pressing of a damp paper cloth in press capture, car for paper manufacturing, formed by two pressing shafts is developed.
Keywords: mechanical dehydration of a deposit; a press; a paper fibre; pinhole space; system of
the equations; a method of final differences.
Для многих отраслей промышленности задача повышения эффективности
обезвоживания сжимаемых осадков имеет большую практическую значимость.
Так, например, при производстве бумаги
себестоимость и качество выпускаемой
продукции напрямую связано с эффективность обезвоживания бумажного полотна в прессовой части. Также решение
проблемы экологической безопасности
невозможно без решения проблемы утилизации отходов сточных вод предприятий, относящихся к различным отраслям
промышленности. Для решения этих задач широко используются различные методы
механического
обезвоживания
осадков. В данной работе предложена
математическая модель процесса механического обезвоживания сжимаемого
осадка на примере прессования влажного
бумажного полотна в прессовом захвате
бумагоделательной машины, образованном двумя прессовыми валами.
Прессовый захват характеризуется
шириной площадки контакта валов а и
законом распределения внешнего давления q(х) по ширине площадки контакта
(рис.1).
Выжимаемая из бумажного полотна вода удаляется в прессовое сукно, играющее роль фильтровальной перегородки и имеющей незначительное по сравнению с бумажным полотном гидравлическое сопротивление. Часто прессование
происходит между двух сукон, что позволяет значительно повысить эффективность обезвоживания в результате сокращения пути фильтрации удаляемой
воды.
Полагаем, что вода, выжимаемая
из осадка, движется в направлении, перпендикулярном движению осадка, а ширина площадки контакта а на порядок
меньше радиусов валков и на порядок
больше толщины сжимаемого осадка h. В
связи с этим при выводе уравнения, описывающего процесс обезвоживания осадка в прессовом захвате, можно рассматривать уплотнение элемента осадка единичной площади, лежащего на водопроницаемом основании и нагружаемого
внешней нагрузкой, изменяющейся по
закону q(t), где t = x / v, где v – скорость
движения фильтрующей ткани.
ТЕХНИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ СЕРВИСА №3 (17) 2011
81
А.Б. Коновалов
Рисунок1 – Схема прессового захвата: 1 –
верхний вал; 2 – фильтровальная ткань
(прессовое сукно); 3 – обезвоживаемый осадок; 4 – нижний вал; 5 – эпюра внешнего
давления
Сжимаемый осадок будем рассматривать как пористую среду, состоящую из твердых частиц, связанных между собой и образующих «скелет» осадка,
воды и воздуха, находящихся в порах
осадка. При отсутствии воды и воздуха
уплотнению осадка под действием внешней нагрузки препятствовало бы только
сопротивление сжатию «скелета». В действительности на «скелет» действует
только часть внешней нагрузки. Другая
ее часть воспринимается находящимися в
порах водой и воздухом. В результате в
поровой воде и воздухе создается избыточное гидростатическое давление. Будем считать давление воздуха в порах
осадка и давление воды одинаковыми,
т.е. будем пренебрегать капиллярным
давлением.
Известно, что при механическом
уплотнении влажного осадка удается
удалить только часть воды, находящейся
в нем. При этом предельная сухость
осадка, достигаемая при механическом
уплотнении,
определяется
физикомеханическими свойствами частиц осадка. Одним из объяснений этого может
быть двойная пористость осадка. Поровое пространство может быть разделено
на две части: внешнее поровое пространство и внутреннее поровое пространство.
Первое представляет собой пространство
между частицами осадка. Второе образовано порами внутри частиц осадка. При
построении математической модели будем считать, что частицы осадка не сжимаемы и что количество воды, находящейся внутри них, в процессе механического уплотнения осадка остается неизменным. Также известно, что не вся вода,
82
находящаяся во внешнем поровом пространстве может быть удалена из материала в результате его механического уплотнения. Поэтому ту часть внешнего
порового пространства, занимаемого
удаляемой механическим путем водой,
будем называть активным. Оставшуюся
часть внешнего порового пространства и
внутреннее поровое пространство – неактивным поровым пространством. Одной из важнейших характеристик пористого материала является пористость m.
Активная пористость будем определять
по формуле m
a
Vпор
, где Vпора – объем
V
внешнего порового пространства, занимаемого подвижной жидкостью и воздухом в случае его присутствия в материале, в рассматриваемом объеме V бумажного полотна.
Объем бумажного полотна V складывается из объема воды V1а и объема
воздуха V2 во внешнем поровом пространстве, объема частиц осадка V3 и
суммы объема воды, находящейся внутри
частиц, и объема неподвижной воды во
внешнем поровом пространстве, V1 н
V V1a V1н V2 V3 .
(2)
В дальнейшем удобнее вместо пористости m использовать коэффициент
пористости. Будем использовать коэффициент активной пористости и предельный коэффициент пористости lim, определяемые по формулам
а
Vпор
н
Vпор
V1a V2
, (3)
,
lim
V3
V3
V3
Активная пористость связана с коэффициентом активной пористости соотношением
(4)
.
1
В процессе прессования осадка в
прессовом захвате одновременно с течением воды и воздуха через «скелет»
осадка происходит деформирование и
самого «скелета» в результате переупаковки образующих его частиц. Поэтому
для описания течения воды и воздуха в
деформируемом осадке будем использовать уравнение Дарси-Герсеванова [1]
k1 (1 ) p
u1 u3
(5)
z
1
1
m
НИИТТС
Математическая модель двухкомпонентной фильтрации применительно
к механическому обезвоживанию осадков
p
(6)
,
z
2
2
где: u1, u2
скорости воды, воздуха и
частиц осадка, отнесенные к занимаемой
ими части поперечного сечения материала; k1, k2 – проницаемости бумажного полотна для воды и воздуха; 1, 2 – насыщенность пор водой и воздухом соответственно; 1, 2 коэффициенты динамической вязкости воды и воздуха; р – гидростатическое давление.
Перемещение верхней границы
бумажного полотна затрудняет формулировку граничных условий задачи. Целесообразнее формулировать задачу с использованием лагранжевой массовой координаты. Выделим двумя горизонтальными плоскостями, перемещающимися
со скоростями, равными скоростям волокон «скелета», элементарный слой сжимаемого осадка, представляющий собой
параллелепипед, высота которого равна
dz, а площадь основания 1. В процессе
уплотнения полотна величина dz будет
изменяться, а масса волокон в элементарном слое будет оставаться постоянной
и равной ее начальному (перед действием
внешней нагрузки) количеству. Таким
образом, эйлеровы координаты z верхней
и нижней плоскостей в моменты времени
t и t+ t будут разными, а массовые координаты s будут одинаковыми (рис.2).
u2 u3
k2 (1
)
Массовая координата s связана с
координатой z соотношением
z
s
3
01
где
3
dz,
(7)
lim
– плотность частиц «скелета».
Так как
s
3
(8)
,
z 1
lim
то уравнения (5 – 6) могут быть записаны
следующим образом
k1 3
p
(9)
u1
,
s
i
k2
2 (1
u2
p,
s
3
)
(10)
где ū1, ū2 скорости воды и воздуха относительно волокон «скелета».
В рассматриваемом элементарном
слое содержится масса волокна ds, масса
воды, находящейся в активном поровом
пространстве,
1 ds
3
dМ1
(11)
и масса воздуха
dМ 2
(1
)
2 ds.
3
(12)
За промежуток времени dt из рассматриваемого слоя через его нижнюю
границу вытекает масса воды, равная
d t,
(13)
1 u1 m
а через верхнюю границу поступает масса воды, равная
u1 m
(u1 m ) d s d t . (14)
s
В результате за промежуток dt в
рассматриваемом слое увеличение массы
воды составит
1
s
(
1
u1 m
) ds dt
...
(15)
k1 1 3
p
...
ds d t.
s 1 (1
s
lim )
С другой стороны это увеличение
будет равно
1
t
Рисунок 2 – Схема к пояснению перехода к
массовой координате
ds dt .
(16)
3
Приравнивая выражения (15) и
(16), получим уравнение, описывающее
течение воды в бумажном полотне,
ТЕХНИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ СЕРВИСА №3 (17) 2011
83
А.Б. Коновалов
k1
1
t
s
3
1
3
(1
1
lim)
ные фазовые проницаемости осадка для
воды и воздуха соответственно.
Абсолютная проницаемость зависит только от пористости бумажного полотна. Эта зависимость может быть представлена в виде
p
.
s
(17)
Аналогичным образом можно получить уравнение для воздуха
(1
t
k2
2 (1
2
)
s
3
2
3
l im)
p
.
s
(18)
Для преобразования этих уравнений к более удобному для решения виду
воспользуемся фильтрационно-компрессионными характеристиками осадка и
уравнением состояния воздуха. Коэффициент пористости зависит от эффективных напряжений в «скелете» осадка. Эту
зависимость, называемую компрессионной характеристикой осадка, можно
представить в виде
,
(19)
0 е
где 0 –коэффициент активной пористости осадка перед прессованием,
– коэффициент сжимаемости; σ – эффективное напряжение в «скелете» осадка, равное q – р.
Решение поставленной задачи осложняется также тем, что сжимаемый
осадок не является абсолютно упругим
материалом и при полном снятии внешней нагрузки восстанавливается не полностью. Примем, что разгрузка осадка,
которая начинается при уменьшении эффективного напряжения, описывается
уравнением
a
.
(20)
0 e
Параметры разгрузочной кривой
определяются по формулам
n
min
0
min
min
0
max
kфi
1
;
max
,
i 1, 2 ,
кр i
где кр i – критическая насыщенность материала i-й фазой, т.е. такая насыщенность i-й фазы при которой ее движение
прекращается.
Уравнение состояния воздуха при
изотермической фильтрации будет иметь
вид
р ра
(24)
,
2
а
ра
где а – плотность воздуха при атмосферном давлении ра.
Используя приведенные выше соотношения, уравнения (17) и (18) можно
записать в виде
1
a
3
...
S02
T0
(21)
p
а
n
1
1
1
S02
3
T0
)
3
...
3
q
a
2
,
1
3
kф1
...
(1
где max – максимальное эффективное напряжение, достигаемое в данной точке
осадка на стадии уплотнения.
Проницаемость осадка для воды и
воздуха может быть представлена в виде
ki ka kфi ,
i 1, 2,
(22)
где: ka – абсолютная проницаемость бумажного полотна; kф1, kф2 – относитель-
84
3,5
кр i
i
;
0
e
e
n
1
lim
k а k0
,
(23)
1
0
lim
0
где k0 – абсолютная проницаемость осадка перед прессованием, n – фильтрационный коэффициент.
Относительные фазовые проницаемости зависят от насыщенности пор
соответствующими компонентами и могут быть представлены в виде
2
3
S 02
T0
...
2
)
2
3
НИИТТС
...
;
(25)
S 02
T0
p
n
p
3
2
(1
...
...
....
kф 2
...
pa
S02
T0
p
S 02
T0
q
,
... (26)
Математическая модель двухкомпонентной фильтрации применительно
к механическому обезвоживанию осадков
где – постоянная величина, характеризующая свойства конкретного осадка перед прессованием и равная
k0
.
(27)
n
0 (1
lim)
Для удобства решения данная система записана в безразмерных переменt
s
ных
,
, где 2Т0 – продолT0
S0
жительность прессования.
Введем следующие обозначения:
(28)
M i 0 ,5
ui 1
h
Li
M i 0 ,5 M i 0 ,5
h
ui ...
M i 0 ,5
ui 1
Li ui Ni q ,
(30)
h
2
где h =
/ ; ǔi – значение неизвестной переменной в i ой точке в момент
времени ; ui – значение неизвестной
переменной в той же точке в момент времени + ; q – приращение внешней
нагрузки за промежуток времени
.
Обозначим
M i 0 ,5
M i 0 ,5 M i 0 ,5
Ai
;
Bi Li
;
h
h
Di
Li ui N i
q.
(31)
Тогда в конечно-разностной форме система уравнений (29) примет вид
...
A1 u0 B1 u1 А2 u2 D1,
A2 u1 B2 u2 А3 u3 D2 ,

Ai ui 1 Bi ui Аi 1 ui 1 Di ,
 (32)
AN 2 u N 3 BN 2 u N 2 ...
... АN 1 u N 1 DN 2 ,
AN 1 u N 2 BN 1 u N 1 ...
... АN u N DN 1.
Для решения системы уравнений,
описывающей обезвоживание бумажного
полотна, ее необходимо дополнить двумя
уравнениями, учитывающими граничные
условия. Рассмотрим половину ячейки,
граничащей с проницаемой нижней поверхностью (рис.3).
Тогда система уравнений (25 26)
может быть записана в матричной форме
u
u
q
L
M
N
.
(29)
Полученная система уравнений
может быть решена методом конечных
разностей. Воспользуемся консервативной разностной схемой, для построения которой используем интегроинтерполяционный метод. Применяя
чисто неявную схему, обеспечивающую абсолютную устойчивость и монотонность при любом соотношении
шагов по и и равномерную сетку,
состоящую из N узлов,
систему
уравнений (29) можно записать в виде
Рисунок 3 – Схема граничного элемента
слоя материала
В выделенном элементе содержится массовое количество воды, равное
s 1
(
)0
,
2
3
в него поступает за промежуток времени
t массовое количество воды, равное
ТЕХНИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ СЕРВИСА №3 (17) 2011
85
А.Б. Коновалов
(u1 m
1) 0 ,5
n
kф1
t
1
3
1
t,
0 ,5
а вытекает W00 t.
Уравнение баланса для выделенного элемента будет иметь вид
s
1
(
)0
...
(33)
t
2
3
...
kф1
n
1
3
1
p
s
0 ,5
0
B00
0
B10
B0
0
B01
0
B11
1
S02
...
2
3
(1
T0
0
)0 C00
(
а
)(
2
pа
0
...C10
)
0
( )0
;
( 2 )0
1
W 00.
Используя компрессионную характеристику материала и безразмерные
переменные, можно переписать это уравнение в следующем конечно-разностном
виде
...
А1
(37)
А100
А101
А110
А111
...
kф1
n
1
3
0
1
0 ,5
...
2
;
n
kф 2
2
3
0
2
0 ,5
(34)
S 02
D0
2
3
T0
[(
1
...
(38)

) 0 ( p0
)
(
( (1
)) 0
... (
(
Аналогично, рассматривая баланс
воздуха в выделенном элементе, можно
получить уравнение
(35)
u0
)
2 0

)
p0
; u1
X 00
X 10
p1
;
1
S0
W00
W10
.
Аналогичным образом можно
записать и уравнение, учитывающее
граничное условие на верхней поверхности бумажного полотна. В общем случае, учитывая возможность
прессования между двух сукон, это
уравнение будет иметь вид
AN u N 1 BN u N DN X N ,
где
В матричной форме эти уравнения
можно записать так
(36)
B0 u0 А1 u1 D0 X 0 ,
где
86
0
2 0
0
X0
pa
)0 ]

p0 ...
a
2

НИИТТС
;
Математическая модель двухкомпонентной фильтрации применительно
к механическому обезвоживанию осадков
A 00
A 01
N
N
11
A10
A
N
N
k Ф1 1
AN
...
3
k Ф2
2
N 0,5
...
;
3
1
BN00 BN01
B10
B11
N
N
S02
...
2 3 T0
1 (
BN
0
1
2
(39)
0
N 0,5
(1
) (
...
(40)
0
A00
)N
а
2
pа
N
A10
)
N
( )N
;
( 2 )N
1
DN
2
3
) N ( p N
1[(
S02
T0 ( (1
2
pa
X N0
1
X 1N
N
N 1
В случае прессования с одним
сукном, когда верхняя граница бумажного полотна соприкасается с непроницаемой поверхностью верхнего
вала пресса, потоки W 0 N и W1 N будут
равны нулю. После добавления в систему уравнений (32) уравнений (36) и
(37) система примет вид
uN
pN
pN
; uN
1
; XN
B0 u0 A1 u1 D0 X 0 ,
A1 u0 B1 u1 A2 u2 D1,
A2 u1 B2 u2
A3 u3
D2 ,

Ai ui 1 Bi ui Ai 1 ui 1

p N
a
)) N
Di ,
(42)
q )(
(
2) N
)N ]
(
2 )N
;

N
N
(41)
WN0
.
WN1
ним нижним сукном используется соот0
X 01
ношение
где
0 Х0 ,
k2ф 2
1
.
0
k
2
1ф
1
S0
Данное соотношение получено на
основании следующих определений для
удельных массовых потоков воды и воздуха на нижней границе бумажного полотна
k1
p
1
3
W01
,
s 0
1 (1
lim )
(43)
k2
p
2
2
3
W0
.
s 0
2 (1
lim )
Таким образом, полученная сисAN 1 u N 1 DN 2 , тема содержит 2(N+1) уравнений и
столько же неизвестных: Х00, φ0 и рi, φi (i
AN u N DN ,
= 1,2, … , N). Матрица системы имеет
AN u N 1 BN u N DN X N .
диагональную форму с шириной ленты 5
и система может быть легко решена меНа границе прессового сукна с бумажтодом Гаусса.
ным полотном давление будем считать
давление заданым. При решении рассматриваемой задачи прессования с одAN 2 u N 3 BN 2 u N 2
AN 1 u N 2 BN 1 u N c 1
Коновалов Александр Борисович, кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры сервиса
торгового оборудования и бытовой техники, тел.: 3684289, e-mail: alex_bor_kon@mail.ru
ТЕХНИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ СЕРВИСА №3 (17) 2011
87
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа