close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Распределение усилий между рёбрами и настилом в пологом сетчатом куполе..pdf

код для вставкиСкачать
CТРОИТЕЛЬНЫЕ НАУКИ
Распределение усилий между рёбрами и настилом в пологом сетчатом куполе
И.А.Таскин
Представлен метод определения жёсткости пологих
сетчатых куполов, состоящих из рёбер, прогонов, настила,
опорного кольца. Изложенный метод основан на равенстве
потенциальных энергий внешних сил. Полученные данные
позволяют численно определить степень включения настила
в работу конструкции. Значения получены для трёх видов
нагрузок: симметричной, несимметричной, сосредоточенной. Достоверность данных обеспечена использованием ПК
ЛИРА-САПР.
Ключевые слова: потенциальная энергия, сплошной аналог, пологий сетчатый купол, жёсткость, настил.
Distribution of Efforts between the Rods and the Floor
in the Low-Pitched Mesh Dome. By I.A.Taskin
A method for determining the stiffness of flat mesh domes
consisting of ribs, girders, decking, support ring. The above method
is based on the equality of the potential energy of external forces.
The data obtained numerically determine the proportion of the
inclusion in the work deck design. The values obtained for the
three types of loads: symmetric, asymmetric, concentrated. The
reliability of the data provided using LIRA–SAPR.
Описанная выше методика позволяет довольно точно
определить продольные усилия в стержнях от симметричной нагрузки без учёта влияния настила для систем, жёстко
опёртых по контуру. Однако при её использовании нельзя
определить перераспределение значений усилий (продольных сил N и моментов M) между стержнями и настилом,
учесть жёсткость опорного кольца, а также включённых в
работу прогонов, расположенных в треугольных ячейках с
заданным шагом. Преодолеть данные недостатки позволяют
методы расчёта конструкций на современных ПК, например
ЛИРА–САПР. При расчёте на ПК ЛИРА–САПР настил задается
трёх- или четырёхузловыми пластинами, соединёнными со
стержнями при помощи жёстких вставок, а рёбра – стержневыми элементами.
Для того чтобы выявить зависимость вышеперечисленных
параметров от перераспределения усилий в элементах конструкции, рассмотрим несколько вариантов моделей сетчатых
сферических куполов с треугольными ячейками, запроектированных на ПК ЛИРА–САПР. В состав модели пологого
(термин «пологий» применяется для семейства куполов с
f/d ≤ 1/6, где f – высота подъёма, d – диаметр основания [2])
сетчатого купола входят: рёбра, прогоны, настил, опорное
кольцо (рис. 2; 3).
Keywords: potential energy, continuous analog, flat mesh
dome rigidity flooring.
До настоящего времени при теоретическом расчете рёбер
сетчатых сферических куполов настил рассматривался как нагрузка [4; 8; 10]. Такой подход обеспечивает запас прочности
рёбер в виду отсутствия учёта совместной работы настила
и стержней купола. Один из классических методов расчёта
стержней сетчатого однослойного купола с треугольными
ячейками предполагает замену стержней сплошным аналогом
с параметрами:
,
(1)
где E’, t’, υ’ – соответственно модуль упругости, толщина, коэффициент Пуассона эквивалентной сферической оболочки;
F, E, r, l – соответственно площадь сечения, модуль упругости,
радиус инерции, длина стержней купола.
При расчёте по формулам, приведённым, например, в [4;
10], определяются усилия в сферическом сплошном куполе
для безмоментного состояния Tx, Ty, Txy. Усилия в рёбрах
купола N1, N2, N3 получаются путём обратного перехода к
стержневой системе. Схема усилий показана на рисунке 1.
110
3 2016
Рис. 1. Схема распределения усилий в стержнях купола и в
сплошном аналоге
CТРОИТЕЛЬНЫЕ НАУКИ
Геометрическая схема
В состав моделей, рассчитываемых на ПК ЛИРА–САПР,
входят следующие переменные (факторы):
– размеры и модуль упругости прямоугольного опорного
кольца (параметры ω и ωреб);
– размеры сечения и модуль упругости прямоугольных
рёбер (параметры b, h, kреб, Ω);
– размеры сечения и модуль упругости прямоугольных
прогонов (параметр θ);
– толщина и модуль упругости сплошного настила (параметры δ, kнаст);
– размер треугольных ячеек (параметр m).
Значения параметров:
,
(2)
где R – радиус кривизны поверхности сферы, м; δ – толщина приведенной оболочки, см; E, Eк – соответственно
модули упругости оболочки и кольца, МПа; F – площадь
кольца, м2;
rреб – радиус инерции стержня купола, см;
b, h – соответственно ширина и высота рёбер, см; a – шаг
прогонов, м; Eреб, Eпрог, Jреб, Jпрог – соответственно модули
упругости и моменты инерции рёбер и прогонов, МПа и
см3; f – стрела подъёма, м; l – длина треугольной ячейки
(шаг сетки), м.
Формульные выражения параметров (2) введены автором статьи на основании исследований трудов [1; 4;
5; 8], а также численных экспериментов, приведённых в
данной статье.
Сечения рёбер и прогонов прямоугольные. Поперечные
сечения прогонов равны сечениям рёбер, шаг прогонов – 2
метра. Соединения настила и стержневых элементов купола
– жёсткие, осуществляются через жёсткие вставки (см. рис.
4), расположенные на расстоянии l/10 друг от друга по всей
длине стержня. Вставка соединяет рядовой узел стержня
с узлом настила, находящимся над ним. Такой метод соединения элементов позволяет смоделировать совместную
работу рёбер купола с настилом и описан, например в [9].
Соединения рёбер друг с другом, с прогонами и с опорным
кольцом – жёсткие. Узел сопряжения рёбер принят по [3].
Материал рёбер, прогонов и настила – древесина с модулем
упругости E = 10000 МПа. Опорный контур во всех случаях
– прямоугольное железобетонное кольцо с размерами, удовлетворяющими условию ωреб/kреб = 13,4 (модуль упругости
кольца Eк = 30000 МПа).
На описанные выше модели куполов задаются следующие
нагрузки (рис. 5):
1) распределённая (симметричная), интенсивностью на
горизонтальную плоскость q, кг/м2;
2) неравномерно распределённая (несимметричная),
интенсивностью q, кг/м2;
3) локальная (сосредоточенная), интенсивностью F, кг,
приложенная к центру купола.
Согласно [6] значения снеговой нагрузки, распределенной по поверхности пологого купола в одном из
вариантов загружения, определяются по формулам (при
β=90º, f/d = 1/6):
(3)
(4)
Применим метод равенства потенциальной энергии
внешних сил, позволяющий численно сопоставить и сравнить
Рис. 2. Статическая схема купола
Рис. 3. Схема расположения элементов сетчатого купола
3 2016
Рис. 4. Соединение рёбер с настилом через жёсткую вставку
111
CТРОИТЕЛЬНЫЕ НАУКИ
жёсткость строительных конструкций (что было применено
автором статьи в работе [7]).
В общем виде формула для вычисления потенциальной
энергии:
,
(5)
где Fi – сила, приходящаяся на узел i, Н; Δi – перемещение соответствующего i-го узла, м.
То есть чем больше значение потенциальной работы внешних сил, тем конструкция менее жёсткая. Таким образом, через
равенство потенциальных энергий внешних сил можно выработать единый критерий, позволяющий оценивать строительные
конструкции по их жёсткости, чтобы сравнить жёсткость сетчатого
купола, состоящего из стержней, с жёсткостью сплошного купола,
а также рассчитать толщину эквивалентной непрерывной оболочки для сетчатого стержневого купола.
Жёсткость непрерывных оболочек
Для того чтобы рассчитать работу внешних сил, необходимо
разбить купол на достаточное количество фрагментов. Приложив к каждому фрагменту сосредоточенную силу, значение
которой равно Ni = Fi• q (где Fi – грузовая площадь узла), вычислить значение работы внешних сил при меняющихся параметрах (2). Для расчёта потенциальной энергии внешних сил
использовалась купольная система с диаметром R и разбивкой
на сектора шириной 0,05R, схема разбивки купола на сектора и
места приложения сосредоточенных сил показаны на рисунке 6.
Значение потенциальной энергии пологого купола с жёстким опиранием контура для различных видов загружений
выражаются формулами:
для симметричной нагрузки:
;
(5)
;
(6)
для сосредоточенной нагрузки, приложенной к центру:
,
где q – распределённая нагрузка; F – сосредоточенная сила,
приложенная к центру купола; A1, A2, A3 – потенциальная
энергия купола, Дж.
Случай жёсткого опирания пологой оболочки на опорное кольцо
В случае, если оболочка опирается на опорное кольцо,
значение потенциальной энергии внешних сил равно:
,
(8)
где Ai – работа внешних сил при жёстко опёртом контуре,
χ1 – коэффициент, который принимается согласно таблице 1.
Таблица 1
ω/δ
k
7,3
29,4
117,4
469,7
∞
1,19
1,57
2,08
2,74
218,0
1,03
1,31
1,98
2,72
54,50
1,01
1,13
1,77
2,66
13,63
1,01
1,05
1,40
2,48
3,41
1,00
1,02
1,14
2,02
0,85
1,00
1,01
1,05
1,39
0,00
1,00
1,00
1,00
1,00
для несимметричной нагрузки:
Рис. 5. Рассматриваемые нагрузки: 1) распределённая
(симметричная); 2) неравномерно распределённая (несимметричная); 3) локальная (сосредоточенная)
112
3 2016
(7)
Рис. 6. Схема разбивки купола на сектора
CТРОИТЕЛЬНЫЕ НАУКИ
Дискретные оболочки
В общем случае значение потенциальной энергии можно
рассчитать, умножив значения, полученные в формулах (6)
– (9), на коэффициент β1, взятый из таблицы 2:
Адискр = Аполог β1.
(9)
На основании данных таблицы 1, можно сделать вывод, что
потенциальная работа дискретных оболочек (при условии, что
распределённая нагрузка передаётся в узлы) ниже, чем у пологих
непрерывных оболочек. Этот факт говорит о том, что при равных внешних нагрузках у эквивалентных дискретных оболочек
толщина будет выше, чем у сплошного аналога в .
Жёсткость стержневых куполов
Разбивка поверхности купола на грузовые узлы – по
аналогии с рисунком 4.
Для сетчатого купола с треугольными ячейками, в котором
стержневые элементы жёстко соединены друг с другом, а
также защемлены с опорным кольцом, выражения потенциальной энергии выглядят следующим образом:
для симметричной нагрузки:
;
(10)
Потенциальная работа внешних сил для стержневого
купола определяется по формуле:
,
где значение коэффициента χ2 можно вычислить по таблице 4.
Вопрос, связанный с эквивалентной толщиной оболочки,
решался в работах [4; 8; 10]. В них изложен метод перехода от
стержневых элементов сетчатого купола к сплошному аналогу, а
также метод перехода от двухслойной конструкции (обе стержневые) к однослойной. Однако данная методика не учитывает
работу двухслойной конструкции, в которой один слой – рёбра
с прогонами, а другой – сплошной настил. Для решения вопроса
о распределении усилий в элементах конструкции, состоящей
из рёбер и настила, в данной работе предлагается следующий
подход: слой из стержней заменяется эквивалентной оболочкой
и жёстко соединяется со вторым слоем – настилом.
Толщина эквивалентной оболочки купола, состоящего
из стержней с пластинами
В двухслойной оболочке один слой эквивалентен стержневой конструкции, его толщина равна tэкв, другой представлен
настилом. Значения параметров D, B, E, t, ν согласно работе
[1] для двухслойной конструкции будут равны:
Таблица 3. Значение коэффициента β2
для несимметричной нагрузки:
;
(11)
для сосредоточенной нагрузки:
Коэффициент
m
50,0
100,0
1,00
5,06
2,22
2,07
2,05
7,9
3,11
2,62
2,63
14,0
5,80
3,58
3,48
сосредоточенная нагрузка
1,3
Таблица 2. Значение коэффициента β1
1,00
5,0
1,51
1,94
1,99
8,0
1,56
2,33
2,75
14,0
1,99
2,44
3,14
Коэффициент k
29,4
13,4
1,26
(12)
где A1’, A2’, A3’ – потенциальная энергия сетчатого купола с
жёстким опиранием контура, Дж.
Потенциальную энергию сетчатых стержневых куполов с
меняющимися параметрами (2) можно вычислить по формулам (11) – (13) путём деления полученных значений энергии
на коэффициент β2, взятый из таблицы 3.
7,3
Коэффициент kреб
симметричное/несимметричное загружение
,
Коэффициент
m
(13)
117,4
Таблица 4. Значение коэффициента χ2
469,7
симметричное/несимметричное загружение
1,26
0,51
0,48
0,45
0,40
5,06
0,47
0,44
0,41
0,38
7,9
0,42
0,39
0,37
0,36
14,0
0,36
0,34
0,33
0,32
сосредоточенная нагрузка
ω
креб
kреб, см
Симметричная
Несимметричная
13,4
50,0
100,0
13,4
50,0
100,0
∞
6,24
5,00
3,10
4,00
3,38
2,36
218,0
1,11
1,94
2,64
1,13
1,43
2,04
54,50
1,02
1,12
1,91
1,02
1,07
1,51
1,00
1,03
1,20
1,00
1,00
1,01
1,3
0,45
0,33
0,25
0,18
13,63
5,0
0,48
0,35
0,30
0,21
3,41
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
8,0
0,50
0,38
0,39
0,37
0,85
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
14,0
0,53
0,44
0,43
0,43
0,00
3 2016
1,00
1,00
113
CТРОИТЕЛЬНЫЕ НАУКИ
жёсткость при сжатии:
;
(15)
жёсткость при изгибе:
;
(16)
здесь:
, (17)
;
(18)
жёсткость на единицу ширины оболочки первого и второго
внешнего слоя:
(19)
.
В формулах (15) – (20) δ1, δ2, E1, E2, ν1, ν2 – соответственно
толщина, модуль упругости, коэффициент Пуассона первого
и второго (крайних) слоёв (см. рис. 7).
Исходя из расчётов на ПК ЛИРА–САПР, автору удалось
вывести закономерность перераспределения усилий между
рёбрами купола и настилом. Установлено, что продольные
усилия перераспределяются в соотношении, показанном в
таблице 5. В таблице значение B и D – общая жёсткость эквивалентной оболочки при сжатии и при изгибе соответственно.
Для того чтобы определить параметры эквивалентной оболочки системы, состоящей из стержней и прогонов, настила,
опорного кольца, рекомендуется следовать следующему алгоритму:
а) заменить эквивалентной сплошной оболочкой стержневую систему рёбер и прогонов, приняв следующие параметры
оболочки:
(20)
Таблица 5. Перераспределение усилий в элементах купола
Элемент
Жёсткость
элемента
Продольное
усилие
Изгибающий
момент
Ребро
Сжатие: B1
Изгиб: D1
B1/B
D1/D
Настил
Сжатие: B2
Изгиб: D2
B2/B
D2/D
Рис. 7. Схема расположения слоев в двухслойном куполе
;
(21)
б) заменить дискретную оболочку настила сплошным
аналогом, для которого принять:
;
(22)
в) объединить первый и второй слои и заменить их сплошным аналогом по формулам (15) – (20).
Результаты расчётов на ПК ЛИРА–САПР, показывающие соотношения максимальных усилий в стержнях в конструкциях
с настилом (значения N1, M1, N2, M2) и без настила (значения
Nmax, Mmax, N’max, M’max), полученных в ходе численных экспериментов, показаны в таблице 6.
Исходя из проделанного численного эксперимента и математических выкладок, можно сделать следующие выводы:
Таблица 6. Сопоставление усилий в рёбрах купола
Стороны ребра
114
b, м
h, м
23,6
94,5
23,9
95,7
24,1
96,6
24,6
98,5
29,5
118,2
43,8
175,3
41,4
165,5
Толщина
настила
tнаст, см
Параметры
m
R, м
1,26
4,74
5,06
7,90
54,5
14,0
4,74
4,74
1,26
5,06
1,26
3 2016
109
218
Расчётные
значения
N1
Теор. значения
(ПК ЛИРА-САПР)
M'1
Nmax
M1
Mmax
N'1
N'max
M'max
0,82
0,65
0,97
0,95
0,54
0,86
Погрешность
∆N
∆M
0,75
85%
87%
0,96
0,59
99%
92%
0,47
0,95
0,52
90%
90%
0,89
0,40
0,94
0,40
95%
99%
0,92
0,63
0,97
0,69
95%
91%
0,99
0,65
0,97
0,71
102%
92%
0,98
0,73
0,97
0,67
101%
109%
CТРОИТЕЛЬНЫЕ НАУКИ
1) определён алгоритм замены стержневого каркаса
сплошным аналогом и выявлены зависимости, определяющие перераспределение усилий между рёбрами и настилом
в сплошном сетчатом куполе;
2) учтено влияние параметров (рёбра, прогоны, настил,
размеры треугольных ячеек, опорное кольцо) на перераспределение усилий между рёбрами и настилом;
3) результаты вычислений совпадают с результатами
численного эксперимента, что говорит о достоверности полученных формул.
Литература
1. Биргер, И.А. Прочность, устойчивость, колебания / И.А.
Бригер, Я.Г. Пановко; ред. И.А. Биргер – М.: Машиностроение,
1968. – 464 с. – Т. 2
2. Гольденвейзер, А.Л. Теория упругих оболочек / А.Л.
Гольденвейзер; ред. Снитко И.К. – М.: Государственное издательство технико-технической литературы, 1953. – 544 с.
3. Пат. 2476648 РФ, МПК E04B 1/32. Сетчатый деревянный
купол / И.А. Таскин, Б.П. Пасынков – Опубл. 27.02.2013 г.
Бюл. №6.
4. Молев, И.В. Сетчатые купола в современной строительной практике / И.В. Молев. – Горький: Изд. ГГУ, 1981. – 64 с.
5. Скубачевский, Г.С. Авиационные газотурбинные двигатели. Конструкция и расчёт деталей / Г.С. Скубачевский. – М.:
Машиностроение, 1969. – 546 с.
6. СП 20.13330.2011 «Нагрузки и воздействия».
7. Таскин, И.А. Жёсткость пологих куполов из клеёной
армированной древесины различных конструктивных решений / И.А. Таскин // Научно-технический вестник Поволжья.
– 2013. – №3. – С. 272–276.
8. Тур, В.И. Купольные конструкции: формообразование,
расчёт, конструирование, повышение эффективности / В.И.
Тур. – М.: АСВ, 2004. – 96 с.
3 2016
9. Юсипенко, С.В. МОНОМАХ 4.2. Примеры расчёта и проектирования / С.В. Юсипенко, Л.Г. Батрак, Д.А. Городецкий.
– Киев: Факт, 2007. – 292 с.
10. Ярцев, В.П. Проектирование и испытание деревянных
конструкций / В.П. Ярцев, О.А. Киселёва. – Тамбов: ТГТУ,
2005. – 86 с.
Literatura
1. Birger I.A. Prochnost', ustojchivost', kolebaniya / I.A.
Briger, Ya.G. Panovko; red. I.A. Birger. – M.: Mashinostroenie,
1968. – 464 s. – Т. 2
2. Gol'denvejzer A.L. Teoriya uprugih obolochek / A.L.
Gol'denvejzer; red. I.K. Snitko. – M.: Gosudarstvennoe
izdatel'stvo tehniko-tehnicheskoj literatury, 1953. – 544 s.
3. Pat. 2476648 RF, MPK E04B 1/32. Setchatyj derevyannyj
kupol / I.A. Taskin, B.P. Pasynkov – Opubl. 27.02.2013 g. Byul. №6.
4. Molev I.V. Setchatye kupola v sovremennoj stroitel'noj
praktike / I.V. Molev. – Gor'kij: Izd. GGU, 1981. – 64 s.
5. Skubachevskij G.S. Aviacionnye gazoturbinnye dvigateli.
Konstrukciya i raschet detalej / G.S. Skubachevskij. – M.:
Mashinostroenie, 1969. – 546 s.
6. SP 20.13330.2011 «Nagruzki i vozdejstviya».
7. Taskin I.A. Zhestkost' pologih kupolov iz kleenoj
armirovannoj drevesiny razlichnyh konstruktivnyh reshenij /
I.A. Taskin // Nauchno-tehnicheskij vestnik Povolzh'ya. – 2013.
– №3. – S. 272–276.
8. Tur V.I. Kupol'nye konstrukcii: formoobrazovanie, raschet,
konstruirovanie, povyshenie effektivnosti / V.I. Tur. – M.: ASV,
2004. – 96 s.
9. Yusipenko S.V. MONOMAH 4.2. Primery rascheta i
proektirovaniya / S.V. Yusipenko, L.G. Batrak, D.A. Gorodeckij.
– Kiev: Fakt, 2007. – 292 s.
10. Yarcev V.P. Proektirovanie i ispytanie derevyannyh konstrukcij / V.P. Yarcev, O.A. Kiseleva. – Tambov: TGTU, 2005. – 86 s.
115
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
22
Размер файла
675 Кб
Теги
настилом, между, pdf, купол, сетчатой, пологом, распределение, усилий, ребрами
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа