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Статические модели коррупции в системах контроля качества водных ресурсов..pdf

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pb0412.fm Page 38 Tuesday, August 14, 2012 8:34 AM
”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»≈ ¬ —ќ÷»јЋ№Ќќ-Ё ќЌќћ»„≈— »’ —»—“≈ћј’
”ƒ 519.83+519.86
—“ј“»„≈— »≈ ћќƒ≈Ћ» ќ––”ѕ÷»»
¬ —»—“≈ћј’ ќЌ“–ќЋя ј„≈—“¬ј
¬ќƒЌџ’ –≈—”–—ќ¬
√.ј. ”гольницкий, ј.Ѕ. ”сов
????м?????? ?????ч????? м?д?л? ??????ц?? ? ????????????? ?????м?? ??????л? ??ч????? ??ч??? ??д. ???л?д????? ???л?ч??? ??д? ??????ц?? (??м?г???ль????, ?????????ль????) ??? ?????? м???д?? ???????ч????г? ?????л???? (??????д????, ?????д????). ???д??м?????? ???м??????ь ????????? ?? д?ч? ? ??л?ч???? ??????. ?? м?д?ль??? ???м????
????ллю?????????? м???д? ???ь?? ? ??????ц???.
???????? ?????: ??????ц??, ?????????ль????, ??м?г???ль????, ??????д????, ?????д????, ???????ч????? ?????м?.
¬¬≈ƒ≈Ќ»≈
??????ц?? ? ??????ш?? ??ц??ль??-?????м?ч????? ??л????, ???????ю??? ? ???????м ??г??????? ?л????? ?? ???????? ????????. ? ?????м?????
?????? ??????ц?? ???д????л??? ?г???? ????ш??м
?????м?ч????м ? ??ц??ль??м ??????????????м.
??? ????????? ? ???????ч????? ?????м?? ?????л???? ???л?ч??? ????????? ? ?????д?. ??????ц?????? ?????????? ???????д????ь ????????????ч????г? ????д????, ??? ??????? ??????? ????ль???? ??????? ??ш???????г? ???????? ?? дл?
??ш???? ?г? ??д?ч, ? дл? д????????? ???????????
ц?л??. ??д г???д?????????? ??????ц??? ????м????? д?ч? ? ??л?ч???? ?????? д?л???????м? л?ц?м? ? ??м?? ?? ???д?????л???? ???л?ч??? ?????л?г?? ? льг??. ?????м?ч????? ?????? ?? ??????ц?? ???ч???ль?? ш??? ? гл????, ч?м ??????
??мм????? ???м?? ??????. ?л????? ?????? ???????д?? ??-?? ??? ??ш????, ??????? ?????м?ю???
?г????м?, ??????ю??м? ? ??????ц?????? ????ш????.
?????м???, ??м?л?????? м?д?ль??? ???л?д?????? ??????ц?? ??ч?л??ь ? ???ц? ???шл?г? ???л???? ? ?????? [1], гд? ??????? ???ч??? ?????????????, ????????????? ? ???????? ??????ц??, ??
??????????? ч????. ??г?д?? ?м????? ???ч???ль???
ч??л? ?????, ??????????? м???м???ч????м? м?д?л???????ю ??л???? ??????ц??. ? ??льш??????
?? ??? ??????ц?? ???л?д????? ? ??м??? м?д?л?
Ђ??????л???ю??? ??г?? ? ?????ч??? ? ??????д???льї (м?д?ль Ђ????ц???л ? ?г??? ? ?л????ї)
38
?л? ?? ???л?ч??? ?????ц??. ? ??????? [1?4] ?
??м??? м?д?л? Ђ?г??? ? ?л????ї ????м??????????
г???д?????????? ??????ц?? (??????д?л???? ч????????м? г???д?????????? ???????? ? ????? ?????????) ? ?? ???л?ч??? м?д?????ц??, ?????м??,
?? ????ш???ю ? ??л?г???м ??г???м [5, 6]. ? ??????? [7, 8] ???л?д?ю??? м?д?л? ???? Ђ????ц???л ?
?г???ї, ???л?????ю??? ???м????? ??????г?? ????д???? ????ц???л?. ??д?ль??? м?м???? ??????ц?? ??? ??ц??ль??-?????м?ч????г? ??л????,
? ??м ч??л?, ?? ?????л?г?ч????? ? ??л???ч?????
???????, ???ч?ю??? ? ??????? [9, 10]. ????? л?????????, ??????????? м???м???ч????м? м?д?л???????ю ??????ц??, ???ч???ю ?? ??????, ???ч??
?????????????, ??????????? ч???, ?????д?? ? ??????? [11, 12]. ???л?д?????? ??????ц?? ? ?????????-?г????? ?????????? ? ???????ч????? ?????????? ?????д???? ? ??????? [3, 4, 7, 13, 14]. ???м????
?? ???ч???ль??? ч??л? ?????, ??????????? ???????м ??????ц??, м???м???ч????? м?д?л?? ??????ц?? ??м??г?, ? ??льш?????? ????м ??? ?г????ч??? ???л?д??????м д???????????? м?д?л?? ???
?ч??? ??????г?ч????? ц?л?? ???????? ?????м, ??л???? ?? г?м???????.
? ????????? ????ь? ??????ц?? м?д?л???????
?? ?????? ?????????-?г????г? ??д??д?, ???ц??ц?? ???????ч????г? ?????л???? ????????м ???л?г?-?????м?ч????? ?????м ? ??дд??????? ?? ? г?м??????? [15, 16]. ????м??????? ??д???? ?? ???м???
????????????? м?д?л? ??????л? ??ч????? ??д???
???????? (м?д?ль ???? Ђ????ц???л ? ?г??? ? ?л????ї).
CONTROL SCIENCES є 4 ? 2012
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”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»≈ ¬ —ќ÷»јЋ№Ќќ-Ё ќЌќћ»„≈— »’ —»—“≈ћј’
1. ћј“≈ћј“»„≈— јя ћќƒ≈Ћ№
—»—“≈ћџ ќЌ“–ќЋя ј„≈—“¬ј –≈„Ќџ’ ¬ќƒ
???????м м???м???ч????ю м?д?ль ?????м?
??????л? ??ч????? ??ч??? ??д ??? ?ч??? ???м????? ?????м???????????? ?????м?. ??д?л???????? ?????д?м ?? ???м??? ????????????? ??????? ?????м? ?????л???? [16], ??люч?ю??? ? ????
????ч???? ???д??????? ??????г? (??д???ль???
ц????, ??), ???д??г? (м?????? ??г??? ?????л????, ??), ?????г? (???м?шл????? ???д???????,
??) ??????? ? ?????л??м?ю ?????м? (??). ????ь
????м?????ш???? м??д? ?л?м????м? ???л?д??м??
?????м? ???????? ?л?д?ю??м ??????м: ?? ???д???????? ?? ?? ? ??, ?? ?? ??, ? ?? ?? ??.
???д??л?г?????, ч?? ??????? ?л?д?ю??? ???????????ь ?????л ????????ль?? ????д???? ? ?????м??????????? ???л?ч??? ????????? ?????л????:
? ??д???ль??? ц???? ???????? ???ю ??????г?ю ????д???? ?????м (д?л??? ??д ?????м) ? ???????? ?? ???м ????ль??м ????????м ?????л????;
??? ???м ?? м????м??????? ???ю ц?л???ю ????ц?ю ?? м???????? ??? ??????г??, ??????? ?????л?ю? ??дд???????ь ?? ? г?м???????; ???д??л?г?????, ч?? ?м? ???????? ц?л???? ????ц?? ???? ????ль??? ????????? ?????л????;
? ??г??? ?????л???? ??????ю? ???ю ??????г?ю, ??гд? ????? ?? ??? ????????; ??? ????м???? ? д????????ю ????? ц?л??, ???? ц?л???? ????ц?? ??;
? ???м?шл????? ???д??????? д?л?ю? ??д ???
????????? ??????г??? ???? ????ль??? ?????????
?????л???? ? ????м???? ? м????м???ц?? ????? ц?л???? ????ц??, ?? ??????? ???м???? ?? ????????? ??.
??г??? ?????л???? ????д?л?ю? ???м??? ?л??? ?? ????? ?? ??г???????? ? ??д???? (м???д ?????д????) ?л? м???м?ль?? д??????м?? ???????
?ч????? ???ч??? ??д ?? ?? (м???д ??????д????).
??д???ль??? ц???? д?л??? ??дд???????ь ?? ?
г?м???????, ?. ?. ??????ч??ь ???????ш???? ???д?ль?? д??????м?? ???ц?????ц?? ??г?????ю???
??????? (??) ? ??ч??? ?????м?. ?? ????д?л??? ???м?? ???д???, ??л?ч????? ?? ?? ? ??д? ?л??? ??
????? ??г???????? ? ??д????, ??????? ????д?ю???
??. ? ??ч????? м???д?? ?????л???? ? ?????м? ???м???ю??? м???д? ?????д???? ? ??????д???? [15].
???л?д????? ?л?ч?? ?д??г? ??д? ??г????????,
?????м??, ???????д??????? ?? ? ?д??г? ??.
????ь ?????м? ????д???? ? г?м???????, ??л? ????л???? ????д???? ??ч????? ??ч???
0 m B m Bmax
(1)
? ???ч??? ??д, ?????????м?? ? ??д???? ?? ??,
W(1 ? P)/Q0 m Qmax,
ѕ – ќ Ѕ Ћ ≈ ћ џ ” ѕ – ј ¬ Ћ ≈ Ќ » я є 4 ? 2012
(2)
гд? B ? ???ц?????ц?? ?? ? ??ч??? ??д?; Q0 ? ?????д ??д? ?? ??; W ? ??л?ч????? ??, ?????????м?? ? ???? д? ?ч????? ???ч??? ??д; P ? д?л? ??,
?д?л??м?? ?? ???ч??? ??д ?? ?? ? ???ц???? ??
?ч?????; ???ч???? Bmax ? Qmax ??д???.
????ь ???ц?????ц?? ?? ? ??ч??? ?????м? ????ч????????? ?? ???м?л?
B = B0 + kW(1 ? P), B0, k = const.
(3)
???????? ц?ль ?? ???люч????? ? ??дд???????
?????м? ? г?м???????. ??м?м? ???г?, ?? ????м???? ? м????м???ц?? ц?л???? ????ц?? ??д?
J0 = (1 ? P)WF(T )(1 ? H ) ? C?(y) ? max . (4)
H
?д??ь y = W(1 ? P) ? ????? ??л?ч????? ????ш????? ? ???? ??г????????; F(T ) ? T ? ?????????????? ????ц?? ?л??? ? ???м?? ?л??? ?? ?д???ц?
????ш????? ?? ??? ?????????? ??????ц?? ? ?????м?; H ? д?л? ?л??? ?? ????? ??г????????, ??д????м?? ??; C?(y) ? ????ц??, ??????ю??? м??????ль??? ?????? ???????? ??-?? ??г?????????
??д?; ????ц?? F(T ) ? C?(y) ??л?ю??? ????????ю??м? ????ц??м? ????? ??г?м?????, ???ч?м
F(0) = C?(0) = 0.
??г??? ?????л???? ????м???? ? м????м???ц??
????г? д???д?. ??л???? ????ц?? ?? ?м??? ??д
Jy = (1 ? P)WF(T )(H ? C0(y)) ? max.
(5)
?д??ь C0(y) ? ????ц?? ?????? ?? ?? ?л?чш????
??ч????? ??ч??? ??д?, ????????? ?? ????г? ??л?ч????? ????ш????? ? ???? ??г???????? y; ??? ?????????? ?? y, ? C0(0) = 0.
??г??? ?????л???? ??????ю? ???м?? ?л??? ??
????? ??г???????? ? ??д???? ?л? м???м?ль?? д??????м?? ??????? ?ч????? ???ч??? ??д ?? ??.
???????? (5) м????м????????? ?? ?д??? ????м?????: ?? q ? ??? ??????д???? (q ? м???м?ль??
д??????м?? ??????ь ?ч????? ???ч??? ??д ?? ??)
?л? ?? T ? ??? ?????д????.
??ль ?? ??????? ? м????м???ц?? ????? ?????л?, ?. ?.
J?? = zR(?) ? (1 ? P)WF(T ) ? WC??(P) ?
? max ,
P
(6)
гд? ? ? ???????д???????? ???д?; R(?) ? ???????д???????? ????ц?? ??; z ? ?????ль ???д??????? ?? ???л???ц?? ?д???ц? ???????д?????
???д??ц??; C??(P) ? ????ц?? ?????? ?? ??
?ч????? ?д???ц? ?????????м?? ??г????????, ???ч?м ??? ?????????? ?? P ?? ??????? [0, 1], ???м? ??г?, C??(0) = 0; lim C??(P) = ?.
P?1
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”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»≈ ¬ —ќ÷»јЋ№Ќќ-Ё ќЌќћ»„≈— »’ —»—“≈ћј’
????ь ????? ??л?ч????? ?????????м?? ?? (д?
?ч?????) ??????? ?? ??л?ч????? ???????д????? ??
?? ???д??ц?? л?????? ? ?????????м ??????ц?????м ?, ?. ?.
W = ?R(?).
(7)
4. ?????????? ?????м? ??? ?????д???? ????д?л?м ??? ????? ??л?ч?? {H *, T*, P*}, гд? T * =
= T *(H *), P* = P *(q, T *).
?????????? м?д?л? (1)?(12) ? ????м ?л?ч??
д????г????? ????м ?м???ц?????г? м?д?л???????? [16].
???????д???????? ????ц?? ?? ??????? ? ??д?
?
R(?) = ?? ;
?, ? = const;
0 < ? < 1.
(8)
??д?ч? (1)?(8) ??ш?ю??? ??? ?л?д?ю??? ?г????ч????? ?? ?????л????
q m P m 1 ? ?,
(9)
? m H m 1,
(10)
0 m q m 1 ? ?;
0 m T m Tmax,
(11)
гд? Tmax, ? ? ? ? ??д????? ??????????; ??л?ч??? ?
??????? ?? ?????л?г?ч????? ???м???????? ?ч????? ???ч??? ??д ?? ??; ? ????д?л??? м???м?ль??ю
д?лю ???д???, ??л?ч????? ? ?? ? ????д????м??
??; 0 < ?, ? < 1.
?? ????????? (1)?(3) ?л?д???, ч?? дл? ??дд??????? ?? ? г?м??????? д??????ч?? ????л?????
???????????
p+ m P m 1 ? ?,
(12)
гд? p+ = max(1 ? QmaxQ0/W; 1 ? (Bmax ? B0)/(kW )).
??л?? ?ч????м, ч?? p+ l 0.
??? ?????????? ??????ц?? ? ?????м? ??ш?????
??д?ч? (4)?(12), ???д????л?ю??? ????? ??л??????ю ???ц???????ю ??д?ч? ????м???ц?? ??? ??л?ч?? ??????? ?г????ч????, ???л?д??м?ю ? ?ч???м
???????? ? ????ш????? м??д? ????????м? ?????л????.
?л? ???м??? ?????д?м ?лг????м ???л?д??????
м?д?л? (1)?(12) ? ?л?ч?? ?????д????, ??????? ??????? ? ?л?д?ю??м.
1. ? ????ль???? м????м???ц?? ?????л? (6), (9)
? ?ч???м д???????? (7) ? (8) ????д?л?ю??? ????м?ль??? ??????г?? ?? ? ??????м???? ?? ?????л???? ?? ? P *(T, q).
2. ???д????? ? ?. 1 ????м?ль??? ??????г?? ??
??д????л?ю??? ? ц?л???ю ????ц?ю (5), ?????д???? ?? м????м???ц?? ?? T ??? ?г????ч???? (11) ?
????????????м q. ? ????ль???? ????д?л?ю??? ????м?ль??? ?????л???? ?? ? ??????м???? ?? ??????г?? ?? T *(H ).
3. ?????м????????? ц?л???? ????ц?? (4) ???
P = P *(T *(H ), q), T = T *(H ), ? ?ч???м ?г????ч???? (10) ? ??л???? (12). ????м?ль??м дл? ?? ??л????? ???ч???? H *, ?????????? ?м? м????м?ль??? д???д ??? ????л?????м ??л???? (12).
40
2. ћќƒ≈Ћ»–ќ¬јЌ»≈ ќ––”ѕ÷»»
¬ —»—“≈ћј’ ќЌ“–ќЋя ј„≈—“¬ј –≈„Ќџ’ ¬ќƒ
???????? ?? ? ?? ? м?д?л? (4)?(12) ???л?ч??, ?????м? ?? м?г?? ???ь ?????????????? ? ??л?ч???? ??????. ???л?ч?ю??? д?? ??д? ??????ц??:
?дм????????????? ? ?????м?ч?????. ? ?л?ч?? ?????м?ч????? ??????ц?? ?? ? ??м?? ?? ?????? ??????ю? ???м?? ?л??? ?? ????? ??г???????? ? ??д????, ??? ?дм????????????? ? ??????ю? м???м?ль?? д??????м?? ??????? ?ч????? ???ч??? ??д
?? ??. ?л? ?? ?????? ????м??????ю??? ??? ?д??
?? ????????, ????д? ? д???д?м? ?? ?л??? ?? ??г????????, ? ????м ??л???? ?? ?????????. ??д???ль??? ц???? д?л??? ???д??ь ??л????, ??? ???????
??дд??????? ?????м? ? г?м??????? ? ??л????? ??????ц?? ??д?? ?????м?ч???? ??г?д?? дл? ??. ?д???? д????ь?? ???г? ?? ?д????? ?? ???гд?.
??д???ль??? ц???? ??????л????? д????ль????ь
?? ? ??, ????????? ?? ?? ?????? ш?????м?. ???м?? ш????? ??????? ?? Ђм??ш??????ї ??????ц?????? [16], ???????л????м?? ??. ??л? м??ш?????? ??????ц????? ??л???, ?. ?. ??л??? ??????????ь ??????????? ?????? ? ??????ь ????????? ??
???, ?? ?????м?ч????? ?м??л д?ч? ? ??л?ч????
?????? ????м???? ? ??лю. ???ш?????? ??????ц????? ????д?л?ю??? ? ??д? ????????, ??????л? ??
? ??. ? ?????м м??ш?????? ??????ц?????? ???л?ч???ю??? ??????? ?? ??????? ?? ?? ??????ль.
2.1. Ёкономическа¤ коррупци¤
?????м?ч????? ??????ц?? ?м??? м???? ? ??м
?л?ч??, ??гд? ?? ????ль???? ? ??ч????? м???д? ???????ч????г? ?????л???? ?? ????ш???ю ? ?? м???д ?????д????.
??л???? ????ц?? ????????? ?????л???? ? ??,
?? ? ?? ? ? ???м ?л?ч?? ?????????????? ???м??
??д:
0
J0 = (1 ? P)W [F(T )(1 ? H) ? h(L) + L?(?1(b) +
+ ?2(b))] ? C?(y) ? max ;
H, L
(13)
0
Jy = (1 ? P)W [F(T )H ? L??2(b) + ?b] ? C0(y) ?
? max ;
(14)
T, ?
0
J?? = zR(?) ? (1 ? P)W [F(T ) + L??1(b) + ?b] ?
? WC??(P) ? max .
P, b
(15)
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”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»≈ ¬ —ќ÷»јЋ№Ќќ-Ё ќЌќћ»„≈— »’ —»—“≈ћј’
?д??ь F(T 0) ? ????ц?? ?л??? ?? ?д???ц? ????ш????? ?? ? ??л????? ??????ц??;
? T + S ? ?a ( b ), ??л? T + S ? ?a ( b ) ? 0,
0
,
T = ?
? 0, ??л? T + S ? ?a ( b ) < 0,
? ? ??????ц????, ?????? ??лю, ??л? ?????? ??
??л? ???????, ? ?д???ц? ? ????????м ?л?ч??; b ?
???м?? ??????; a(b) ? ????ц?? Ђ?????????????ї
??????, ???????????ю???, ?????ль?? ?????? ?м??ьш??? ???м?? ?л??? ?? ????? ??г????????; ?1(b),
?2(b) ? ????ц?? ш????? ?? ? ?? ?? ??????; L ?
Ђм??ш??????ї ??????ц????, ??????? ?????л???
???ь??????ь ???м?? ????????? ?? ??????; h(L) ?
????ц?? ?????? ?? ?? ????д?л???? Ђм??ш?????г?ї
??????ц?????, ?????????? ? ?д???ц? ????ш?????
??; S l 0 ? ?????????? ??л?ч???; ??л? S = 0, ??
?м??? м???? ?????????ль????, ? ????????м ?л?ч?? ?
??м?г???ль????. ??? ?????????ль???? ??????? ????? ??л?г г????????????, ? д???л????ль??? ???л??л???? ???д?????л?ю??? ? ??м?? ?? ??????. ???
??м?г???ль???? ?????? ????????? ??? дл? ???д?????л???? ??????г? ?????? ??л?г. ????ц?? a(b),
?1(b) ? ?2(b), h(L) ? ????????ю??? ????ц?? ?????
??г?м?????, ???ч?м a(0) = ?1(0) = ?2(0) = h(0) = 0.
?????м?м ц?л???? ????ц?? (13)?(15) ??????
????? ?? д??м ????м????м: (13) ? ?? H ? L; (14) ?
?? ? ? ?; (15) ? ?? P ? b.
??д?ч? (13)?(15) ??ш?ю??? ??? ?л?д?ю??? ?г????ч????? ?? ?????л????
0 m P m 1 ? ?,
? m H m 1,
? 0,
?= ?
? 1,
0 m b m bmax,
0 m L m Lmax,
0 m T m Tmax,
(16)
(17)
(18)
гд? bmax ? Lmax ? ??д????? ?????????? ??л?ч???.
? ?л?ч?? ?????м?ч????? ??????ц?? ??ш?????
??д?ч? (7), (8), (12)?(18).
?лг????м ?????????? ??ш???? ??????? ? ?л?д?ю??м.
1. ? ????ль???? м????м???ц?? ц?л???? ????ц??
(15) ??? ?г????ч????? (16) ?? ????м????м P ? b
????д?л?ю??? ????м?ль??? ??????г?? ?? ? ??????м???? ?? ?????л???? ??: P *(q, T, ?), b*(q, T, ?).
2. ???д????? ? ?. 1 ????м?ль??? ??????г?? ??
??д????л?ю??? ? ц?л???ю ????ц?ю (14), ???л?
м????м???ц?? ??????? ?? {T, ?} ??? ?г????ч?????
(18) ? ????????????м ???ч???? q. ? ????ль????
????д?л?ю??? ????м?ль??? ?????л???? ?? ? ??????м???? ?? ??????г?? ?? T *(H, L), ?*(H, L).
3. ?????м????????? ц?л???? ????ц?? (13) ???
P = P *(q, T *, ?*), b = b*(q, T *, ?*), T = T *(H, L),
? = ?*(H, L) ? ?г????ч????? (17) ? ?ч???м г?м???-
ѕ – ќ Ѕ Ћ ≈ ћ џ ” ѕ – ј ¬ Ћ ≈ Ќ » я є 4 ? 2012
???? (12). ????м?ль??м? дл? ?? ??л?ю??? ???ч???? H * ? L*, ?????????? ?м? м????м?ль??? д???д
??? ????л?????? ??л????? (12).
4. ?????????? ?????м? ??? ?????м?ч?????
??????ц?? ????д?л?м ??? ????? ??л?ч?? {H *, L*,
T*, ?*, P*, b*}, гд? T* = T *(H *, L*), ?* = ?*(H *, L*),
P* = P *(q, T*, ?*), b* = b*(q, T*, ?*).
?????????? ? ????м ?л?ч?? ???????? ????м
?м???ц?????г? м?д?л???????? [16].
2.2. јдминистративна¤ коррупци¤
?дм????????????? ??????ц?? ?????????, ??гд? ?? ???м???ю? ? ??ч????? м???д? ???????ч????г? ?????л???? ?? ????ш???ю ? ?? м???д ??????д????.
??л???? ????ц?? ????????? ?????л???? ?
??, ?? ? ?? ? ???м?? ?????????????? ??д:
J0 = (1 ? P)W [F(T )(1 ? H ) ? h(L) + L?(?1(b) +
+ ?2(b))] ? C?(y) ? max ;
H, L
(19)
Jy = (1 ? P)W [F(T )H ? L??2(b) + ?b] ? C0(y) ?
? max ;
(20)
q, ?
J?? = zR(?) ? (1 ? P)W [F(T ) + L??1(b) + ?b] ?
? WC??(P) ? max .
P, b
(21)
? ???м ?л?ч?? ц?л???? ????ц?? ?? ????м????????? ?? ????м????м q ? ?.
?г????ч???? ?? ?????л???? (16), (18) ?????м?ю? ??д
0
q (q, b) m P m 1 ? ?;
? 0,
?= ?
? 1,
0 m b m bmax;
0 m q m 1 ? ?.
(22)
(23)
?г????ч???? (17) ????????? ??? ??м??????.
0
????ц?? q (q, b) ????????? ?????ч??ч?????.
??? ?????????????, ?????ль?? ?????? ??????? м???м?ль?? д??????м?? ??????? ?ч????? ???ч???
??д ?? ??. ??? ????ц?? ??л?д??? ?л?д?ю??м?
????????м?: ?? ??????? ?? ??????? [0, 1 ? ?] ?? q
? ?? ?????????? ?? ??????? [0, bmax] ?? b. ? ?л?ч??
??????д???? ?? ?? ?????? ??????ю? м???м?ль??
д??????м?ю ??????ь q ?ч????? ???ч??? ??д ?? ??.
????? ??д ??????ц?? м???? ??????? ????? ??????ю??? ???д?, ??л? ?? ?? ?????? г????? ????ш??ь
г?м?????? ?????м?.
??д?м г??????ь, ч?? ?м??? м???? ?????????ль0
????, ??л? q (q, b) = q, ? ??м?г???ль????, ??л?
0
0
q (q, b) > q. ?л?ч?? q (q, b) < q (?????ч????? ?????????? ??????д???ль??г? ??г?л????????) ?? ????м??????????.
41
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”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»≈ ¬ —ќ÷»јЋ№Ќќ-Ё ќЌќћ»„≈— »’ —»—“≈ћј’
? ?л?ч?? ?????????ль???? ????ц?? q0 ??? ?????м??????? ????ш???? г?м??????? м???? ???ь
????? ? ??д?
0
q (q, b) = q(1 ? b/bmax) + p+b/bmax,
(24)
гд? ??л?ч??? p+ г?????????? ??дд??????? ?????0
м? ? г?м???????. ? ???м ?л?ч?? q (q, b) = q;
0
q (q, bmax) = p+.
??л? ?? ?????? ?? г????? ????ш??ь г?м??????
?????м?, ??
0
q (q, b) = q(1 ? b/bmax),
0
q (q, 0) = q;
0
q (q, bmax) = 0.
(25)
??? ??м?г???ль????
q (q, b) = qb/bmax + (bmax ? b)(1 ? ?)/bmax,
q0(q, bmax) = q,
(26)
? ??????ц?? ?? м?ш??? ??дд??????ю ?????м? ?
г?м???????.
? ?л?ч?? ?дм????????????? ??????ц?? ?????м?
??????????? ?????м?? ??????ш???? (7), (8), (12),
(17), (19)?(26). ??л?? ???л?д????? ?л?ч?? (24). ????? ???? ????ц?? ?????? ????ч???: ?? ???????,
ч?? ??? ????ш???? ????????? г?м??????? ??
??????ч?? ??????ль ??д ??м ? ??л??? ??????????ь
???ч???ль??г? ????????? ?? ???????ю ??????. ?????м? ?? ??? ???????? ?????? ????м???? ??дд???????ь ?????м? ? г?м???????.
?лг????м ?????????? ?????????? ??? ?дм????????????? ??????ц?? ???л?г?ч?? ?лг????м? ???
?????м?ч????? ??????ц??, ????????м? ? ?. 2.1.
???л?д?????? м?д?л?, ???л? ??????д? ? ????м???ц?????? ??д?ч?? ?? ?г????ч???? ???? ?????????? ? ?г????ч????м ???? ????????, ?????д???? м???д?м м??????л?? ??г?????.
?????? 1. ????ь ??? ?????м?ч????? ??????ц?? ?
м?д?л? (7), (8), (12)?(18) ???д??? ????ц?? ?м?ю? ??д
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(27)
C0(y) = C0y, C?(y) = C? y,
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0
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42
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(28)
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0
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(29)
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(30)
0
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T * = Tmax,
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0
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0
(31)
0
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CONTROL SCIENCES є 4 ? 2012
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0
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2
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0
0
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0
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b* = 0,
0
T * = Tmax,
P * = p (0, 0).
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?
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2
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0
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2
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(26) ? ???д??? ????ц?? (27).
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??F(T ) ? D/(1 ? ?) + 2 D
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F ( T ) + b max +
(33)
D
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F ( T ) + b max 1 max max
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?
?
D
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F(T )(1 ? ?) ? C? > 0.
(34)
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??л? k > (?1 + ?2)b, ?? ??????ль ?? ?? ? ?? дл? ??
?????м?ч???? ????г?д??, ?????м? L* = 0. ? ????????м
?л?ч?? ?? ????? ??????л????м?? ??????ц?? ? ?????м?, ? L* = 1/?2. ??гд? дл? ?? ?????????? ??г?д??м
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???м????? ??????ь ?ч????? ???ч??? ??д ?? ??, ??????ч???ю??? ??дд??????? ?????м? ? г?м???????, ?. ?.
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k < (?1 + ?2)b, ?? H * = ?, L* = 1/?2, q* = 1 ? ?, ?* = 1.
??л? k > (?1 + ?2)b, ?? ??л?ч?м ??????? ??????г??
H * = ?, L* = 0, q* = 1 ? ?, ?* = 1.
?л? ?? ? ??? ?????????ль????, ? ??? ??м?г???ль???? ????м?ль??? ??д?? ?д?? ?? ?л?д?ю??? д??? ??????г??:
D
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? +
*
F
(
T
)
b
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max + ? 1 L b max
?
?
D
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(35)
F ( T ) + b max + ? 1 L * b max
?
?
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D
? ??л? 1 ? -------------------------------------------------------------- > p + ,
F ( T ) + b max + ? 1 L * b max
?
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”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»≈ ¬ —ќ÷»јЋ№Ќќ-Ё ќЌќћ»„≈— »’ —»—“≈ћј’
? p2 = p+b2/bmax + (bmax ? b2)(1 ? ?)/bmax, ??л? 0 m b2 m bmax,
гд? b2 ???ь ????? ?????????
?(1 ? (p+b2/bmax + (bmax ? b2)(1 ? ?)/bmax)) +
??? ?дм????????????? ??????ц?? ??? ????ц????ль??? ?????ц? м??д? ??м?г???ль????м ?
?????????ль????м.
+ (F(T ) + b2)(p+/bmax ? (1 ? ?)/bmax) ?
? D(p+/bmax ? (1 ? ?)/bmax) ?
1
? ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- = 0. (36)
2
( 1 ? ( p + b 2 /b max + ( b max ? b 2 ) ( 1 ? ? )/b max ) )
??л? b2 ? [0, bmax), ?? ????м?ль?? ??????г?? (35).
????????? (36) ??ш?????, ?????м??, м???д?м ?ью????.
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???л?? ?????д????? м?д?л?? ?????м?ч????? ?
?дм????????????? ??????ц?? ?????л?л ?д?л??ь
?л?д?ю??? ????д?.
?? ???? ????м???????? ?л?ч??? ? ??м??? ???дл??????? м?д?л? ??д???ль??м? ц????? ??????л?ч??, ?м????? л? ??????ц?? ? ?????м?, ??л? ???
?? ?????г????? ?г? ?????м?ч????? ????????? ? ??
м?ш??? ??дд??????ю ?????м? ? г?м???????.
?л????? ??????ц?? ?? ?????л??м?ю ?????м?
???д?????ч??. ?????м?ч????? ??????ц?? м????
?????????????ь ??дд??????ю ?????м? ? г?м???????, ??? ??? ?м??ьш??? ????м?ль??ю дл? ???м?шл????? ???д??????? ??????ь ?ч????? ???ч???
??д. ??л? ??????ц?? ????д?? ?????м? ?? г?м???????, ?? ??д???ль??? ц???? ??????? ? ??????ц???,
????????м? ?? ????? ?????м?ч????? ?????????.
?дм????????????? ??????ц??, ????????, ???????????? г?м???????, ??л? ??г??? ?????л????, ?????м?? ??????, ????м???? ???????ь ????????? ?? ??? ?
??дд??????ю? ?????м? ? г?м???????.
??? ??????л? ??г???? ?????л???? ? ???д??????? дл? ??д???ль??г? ц????? ???гд? ?????м?ч???? ??г?д?? ??????л????м?? ??????ц?? ? ?????м?,
??л? ??? ?? м?ш??? ????????ю г?м???????. ????м?ль??? дл? ??д???ль??г? ц????? ??л????? м????м?ль??? ??????ь ??????л?, ??? ??????? дл?
???д??????? ? ??г???? ?????л???? ??г?д?? ??????ц??.
??? ?дм????????????? ??????ц?? ???м?шл????? ???д??????? ? ??л? ????г? ??л?????? ?
????????, ?????д??? ???гд? д????ь ?????? ??г???м ?????л????, ??л? ??? ?? ?????.
??? д??????ч??? ???м???????? ??д???ль??г?
ц????? ???ь?? ? ??????ц??? ???м???? ??? ?дм????????????м? (??????ль), ??? ? ?????м?ч????м? (???л?ч????м д?л? ???д??? ???д???????, ???????ю??? ? ??г???м ?????л????, ??????? ??????л? ???д??????? ? ??г???? ?????л????) м???д?м?.
44
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?.?. ????????.
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???? ???????? ????????? ? д-? ????. ????, ?????????,
usov@math.rsu.ru,
????? ??д???ль??? ???????????, г. ??????-??-????.
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