close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Устойчивость и автоколебания нелинейных одноконтурных систем автоматического управления..pdf

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ
Том XLI
ЗАПИСКИ
ЦАГИ
2010
№3
УДК 629.735.33.051.062.2
УСТОЙЧИВОСТЬ И АВТОКОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ
ОДНОКОНТУРНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
В. Т. ДЕДЕШ
Изложена методика анализа устойчивости и автоколебаний в одноконтурных системах
автоматического управления (САУ) с обратной связью по регулируемому параметру и его
производной при наличии нелинейности типа люфт, срывное и сухое трение, зона нечувствительности, насыщение, характеристики которых описываются нелинейными однородными
функциями первой степени. Методика основана на использовании простейших математических моделей нелинейных САУ, учитывающих основные динамические свойства регулируемого объекта и регулятора и позволяющих получить точные решения для переходных процессов, а также на использовании обобщенной регулируемой переменной, включающей
физический регулируемый параметр и его производную, и наличия подобия переходных процессов в рассматриваемых нелинейных САУ. Такие решения в других работах получены
не были и представляют интерес для специалистов-управленцев в различных областях техники.
Ключевые слова: нелинейные САУ, простейшие математические модели, автоколебания,
границы устойчивости, подобие, обобщенные параметры нелинейности, люфт, срывное и
сухое трение, зона нечувствительности, насыщение.
В статье рассмотрены особенности устойчивости и автоколебаний нелинейных САУ с обратной связью по регулируемому параметру и его производной, включающих в себя сервопривод, управляющий бустером (силовым приводом), которые могут содержать различного рода
нелинейности. Трение в таких звеньях обычно проявляется в виде люфта в сервоприводе и зоны
нечувствительности в исполнительном приводе. К такому классу систем, в частности, относятся
гидромеханические и электрогидромеханические САУ винтов и подачи топлива авиационных
двигателей, системы управления аэродинамическими рулями самолетов, системы управления
скоростью гидротурбин, системы судовой автоматики и др. [2, 3, 4, 7, 8, 11, 13, 14].
Существенным свойством нелинейных элементов, содержащихся в таких САУ, является то,
что их характеристики описываются однородными нелинейными функциями первой степени,
т. е. если f x∗ , x ∗ , λ — характеристика нелинейного элемента, где λ — некоторая константа,
(
)
то справедливо соотношение:
f ( x, x , λ ) = λf ( x, x , 1) ,
где х = х∗ λ , x = x ∗ λ .
Приведены точные аналитические решения и границы устойчивости и автоколебаний, полученные на основе простейших моделей САУ рассматриваемого класса. Такие решения получены благодаря переходу к новой переменной, включающей регулируемый параметр и его производную, и наличию подобия переходных процессов в одноконтурных нелинейных САУ с однородными нелинейностями первой степени.
Используемая методика позволила получить решение для границ устойчивости и автоколебаний в общем виде как функции только двух обобщенных параметров линейной части системы
при одной нелинейности и одного дополнительного параметра при двух нелинейностях. Такие
решения в других работах получены не были.
82
Устойчивость и автоколебания нелинейных САУ, описываемых простейшими математическими моделями, рассматривались также в работах других авторов [1, 10, 12, 13]. В [1, 10] рассматривались автоколебания при отсутствии воздействий по производной регулируемого параметра и при наличии только одной нелинейности. В более поздних работах [12, 13] рассматривались системы, передаточные функции которых имели вид:
x=−
d1 p + d 2
z,
p + q1 p + q2
2
где z — характеристика типовой нелинейности (зоны нечувствительности, люфта, насыщения).
При этом авторы отметили, в частности, что при наличии люфта рассматриваемая система представляет собой систему третьего порядка, «фазовые траектории которой изображаются в трехмерном пространстве, либо в бесконечной фазовой плоскости».
Целью данной статьи является изложение общей методики анализа устойчивости одноконтурных САУ, содержащих однородные нелинейности первой степени, и анализ устойчивости
и автоколебаний некоторых нелинейных САУ.
1. Подобие переходных процессов в одноконтурных нелинейных САУ [6]. Большое число нелинейных САУ может быть представлено в виде одноконтурной САУ, состоящей из двух
частей: линейной части и нелинейного элемента. Анализ таких САУ показывает, что при нелинейных элементах определенного вида переходные процессы в них могут быть подобными, что
позволяет обобщить результаты частного эксперимента.
Принимаем, что характеристики нелинейного элемента описываются уравнением:
(
)
z = f x∗ , x ∗ , λ ,
где λ — характерный параметр нелинейного элемента.
Если f x∗ , x ∗ , λ является однородной функцией первой степени, т.е. имеет место равенство:
(
)
(
)
f x∗ , x ∗ , λ = λf ( x, x , 1) ,
то общее уравнение САУ можно записать в виде:
W ( p ) x = f ( x, x , 1) ,
где W ( p ) — передаточная функция линейной части САУ.
Такой переход от переменных х∗ и х ∗ к переменным x и х позволяет вместо одноконтурной САУ с нелинейным элементом, характерный параметр λ которого изменяется, рассматривать
САУ с постоянным характерным параметром нелинейного элемента. Следовательно, для одноконтурных САУ, состоящих из линейной части и нелинейного элемента, описываемого однородной функцией первой степени, возможно выделение группы подобных переходных процессов.
Критериями подобия при этом являются отношения регулируемой величины х∗ и ее производной х ∗ к параметру λ.
Однородными функциями описываются характеристики нелинейных элементов с люфтом,
зоной нечувствительности, срывным и сухим трением, а также другие нелинейные характеристики. Достаточным условием1 однородности для этих функций является одновременное пропорциональное изменение всех координат точек характеристики нелинейного элемента, что обеспечивает при переходе к переменной х = x∗ λ неизменность вида характеристики (рис. 1).
____________
1
По теореме Эйлера функция f(x, y, t) является однородной степени n, если она удовлетворяет соотношению
∂f
∂f
∂f
x + y + ... + t
= nf ( x, y, ..., t ).
∂x
∂y
∂t
83
Рис. 1. Типы нелинейности
На основании указанных свойств можно сделать следующие общие выводы:
1. Внутри группы подобных переходных процессов значения регулируемых величин x1 и x2
в одинаковые промежутки времени находятся в отношении λ1 λ 2 , масштаб времени внутри
группы этих процессов сохраняется неизменным. Поэтому амплитуды автоколебаний пропорциональны λ, а период автоколебаний не зависит от λ.
2. Характер чередования предельных циклов и характер траектории точки в пространстве
между двумя предельными циклами фазовой диаграммы не зависят от λ. Отсюда следует, что
границы области устойчивости САУ в пространстве параметров нелинейной части не зависят
от λ, а определяются лишь видом характеристики нелинейного элемента.
3. При анализе переходных процессов в одноконтурных подобных нелинейных САУ рассмотренного вида с использованием фазовых диаграмм в качестве координат целесообразно
использовать отношение регулируемой величины и ее производной к характерному параметру
нелинейного элемента λ.
2. Анализ устойчивости и автоколебаний нелинейных САУ на основе простейших
математических моделей.
2.1. Влияние люфта в чувствительном элементе. Исходные уравнения простейшей
математической модели нелинейной САУ имеют вид:
уравнение объекта x + a1x = − K т xт ;
d
⎛
⎞
уравнение чувствительного элемента h = f ⎜ x + K a x , ( x + K а x ) , 1⎟ ;
dt
⎝
⎠
уравнение исполнительного устройства xт = K1h.
В
этих
уравнениях
x = x∗ λ ; xт = xт∗ λ ; h = h∗ λ ; a1 > 0; K т > 0; K1 > 0; K a > 0;
x∗ — регулируемая величина; xт∗ — перемещение сервопривода; h∗ — перемещение чувствительного элемента; a1 — коэффициент самовыравнивания.
84
Рис. 2. Характеристика чувствительного элемента с демпфированием и замкнутая
траектория фазовой плоскости
Такие уравнения, в частности, соответствуют системе регулирования частоты вращения
воздушного винта ТВД для несжимаемой рабочей жидкости в исполнительном устройстве при
наличии трения в чувствительном элементе.
Если положить z = x + K a x , то исходные уравнения примут вид [5]:
z + a1z = −a2 (h + K a h),
где a2 = K1K т и h = f ( z , z, 1) (рис. 2, а).
Для вывода уравнений границ устойчивости САУ рассматривается участок фазовой траектории СDАВ (рис. 2, б).
Уравнения для участка СD:
h = zС + 1; h = 0; z + a1z = − a2 ( zC + 1) .
(1)
Уравнения для участка DА:
h = z − 1; h = z; z + ( a1 + K a a2 ) z + a2 z = a2 .
(2)
Уравнение для участка АВ отличается от (1) знаком правой части; уравнение для участка ВС
получается из (2) заменой знака при а2 .
При решении уравнений на каждом участке используется метод припасовывания, в котором
в качестве начальных условий для рассматриваемого участка принимаются конечные значения
фазовых переменных предыдущего участка. Замкнутая траектория имеет место, когда z А = − zС .
Для вывода уравнений границ устойчивости требуется доказать, что устойчивый предельный цикл вблизи участка покоя при −1 ≤ z ≤ 1 существует, и определить предельные значения соответствующих параметров. Можно показать, что при комплексных корнях характеристического
уравнения
р 2 + ( а1 + K а а2 ) р + а2 = 0
граница области устойчивости определяется равенством:
e
a −λ ⎞
λ⎛
π− 2arctan 1 ⎟
ω ⎜⎝
ω ⎠
=
a2
(1 − K a a1 ) ,
a12
(3)
а1 + K a а2
,
2
(4)
где
ω = а2 − λ 2 ,
λ=
85
а при вещественных корнях — равенством:
a
λ−λ 0 λ+λ 0
⋅
ln
2 λ0 λ−λ 0
e
( λ−λ0 )− a2
1
a
( λ+λ0 )− a2
1
=
a2
− 1,
a1 ( λ + λ 0 )
(5)
а1 + K а а2
, λ0 = λ 2 − а 2 .
2
Из соотношений (3) и (5) следует, что границы области устойчивости САУ и амплитуда
где λ =
автоколебаний зависят только от двух обобщенных параметров: А = а12 а2 ; В = K а а1. Отношения
λ ω и ( а1 − λ ) ω связаны с обобщенными параметрами А и В формулами:
λ
=
ω
А+ В
( А + В )2
2 А−
4
;
а1 − λ
=
ω
А− В
( А + В )2
2 А−
4
.
При K а = 0 (чувствительный элемент без демпфирования) имеет место известное равенство
е
λ⎛
h⎞
π+ 2arctan ⎟
ω ⎜⎝
ω⎠
=
a2
,
a12
а12
. Такая САУ устойчива всегда при a2 a12 < 3.045 [5].
4
Наличие предельного цикла вблизи участка покоя −1 ≤ z ≤ 1 свидетельствует о мягком режиме
возбуждения автоколебаний.
В дополнение к случаю В = 0 ( K а = 0 ) представляют интерес два других предельных случая:
где ω = а2 −
ω = 0 (комплексные корни) и А = 0.
При ω = 0 уравнения границ области устойчивости
после предельного перехода принимают вид:
1
е1−
A
(
= 1− A
)
A;
A + B = 2 A.
Из этих уравнений следует, что при ω = 0 А ≈ 0.047,
В ≈ 0.387.
В результате предельного перехода при А = 0 уравнение границы области устойчивости принимает вид В = 0.5.
Область устойчивости рассматриваемой САУ в координатах А и В, полученная по уравнениям (3), (5), приведена на рис. 3. Там же показано, как изменяется амплитуда
автоколебаний входного сигнала z ∗ в неустойчивой области, и приведена граница области устойчивости, полученная
Рис. 3. Область устойчивости (1) и автометодом гармонической линеаризации.
Из приведенных на рис. 3 зависимостей следует, что колебаний (2) САУ при наличии «люфта»:
при K a a1 > 0.5 в рассматриваемой САУ автоколебания а — точная граница области устойчивости;
б — граница области устойчивости, полученная
методом гармонической линеаризации
всегда отсутствуют, т. е. независимо от параметров линейной
86
части САУ (случай a1 ≤ 0 и a2 ≤ 0 не рассматривается) и силы трения (величины λ) всегда можно путем соответствующего подбора значений коэффициента усиления K a обеспечить ее устойчивость.
В данной САУ автоколебания отсутствуют всегда также при А > 0.329 (рис. 3). Более подробный анализ проведен в работе [5].
2.2. Влияние срывного трения в приводе исполнительного устройства. Исходные уравнения:
уравнение объекта x + a1x = − K т xт ;
уравнение чувствительного элемента h = K ( x + K a x ) ;
уравнение исполнительного устройства при наличии срывного трения
(
)
xт = K ∗h + Fтр или xт = K ∗ K h K + f тр .
В этих уравнениях K > 0 — коэффициент усиления чувствительного элемента; K ∗ > 0 —
коэффициент усиления исполнительного устройства; f1 = F1 K при движении ( F1 — трение
движения), f 2 = F2 K при покое ( F2 — трение покоя);
⎧ F2 , если x = 0
⎪
∗
∗
Fтр = ⎨
Fтр ; x = x f 1 ; h = h f1
f тр =
иначе,
⎪⎩ F1 ,
K
a1 > 0; K a > 0; f1 — характерный параметр нелинейного элемента — идеализированного трения в приводе.
Если обозначить x + K a x через z, то исходные
уравнения примут вид:
уравнение объекта z + a1z = − K т ( xт + K a xт ) ;
совместное уравнение исполнительного устройства и чувствительного элемента xт = K1 z + f тр , где
(
)
K1 = K ∗ K .
Зависимость скорости сервопривода xт от z и
замкнутая траектория на фазовой плоскости показаны на
рис. 4.
Для вывода уравнений границ области устойчивости
достаточно рассмотреть участок траектории АВСDEF.
Рис. 4. Зависимость скорости сервопривода от z
Замкнутая траектория имеет место, когда z A = − z D
и замкнутая траектория на фазовой плоскости
и следовательно z B = − z E и zC = − z F .
Уравнения на участке АВ:
z = z1 − 1,
f тр = 1;
− z1 > μ = f 2 f1 ;
xт = K1 ( z + 1) , xт = K1z;
z + ( a1 + K a a2 ) z + a2 z = − a2 .
(6)
Уравнения на участке ВС:
xт = 0,
z + a1z = 0.
(7)
Уравнения на участке CDE:
f тр = 1;
z > 0;
xт∗ = K1 ( z − 1) ;
z + ( a1 + K a a2 ) z + a2 z = a2 .
xт∗ = K1z;
(8)
(9)
87
При решении уравнений на каждом участке так же, как и в предыдущем случае, используется метод припасовывания. Можно показать, что при комплексных корнях характеристического
уравнения
p 2 + ( a1 + K a a2 ) p + a2 = 0
граница области устойчивости такой системы определяется равенством:
a12 ( μ − 1) −λ ω( π+ 2ϑ)
=
e
,
а2 ( μ + 1)
где ϑ = arctan
λ
λ
=
ϑ;
ω
ω
А+ В
2 А − ( А + В) 4
2
(10)
; A = a12 a2 ; B = K a a1.
μ −1
< 1 при любых μ ≥ 1, то автокоμ +1
лебания в системе всегда отсутствуют при соблюТак как
a12
−
λ
( π+ 2ϑ)
ω
.
а2 > е
дении неравенства
Из уравнения (10) вытекает, что границы области устойчивости и амплитуда автоколебаний
такой САУ зависят от трех обобщенных параметров: A = a12 a2 ; B = K a a1; μ = f 2 f1 .
Область устойчивости, рассчитанная по уравнению (10), в координатах А, В при различных
значениях отношения 1 μ , показана на рис. 5.
При вещественных корнях характеристического уравнения в рассматриваемой САУ в связи
с тем, что Bпред = 2 А − А при ω = 0, автоколеба-
Рис. 5. Граница области устойчивости САУ при наличии
идеализированного срывного трения в приводе:
1 — область автоколебания при 1/μ = 0; 2 — область
ния всегда отсутствуют и, следовательно, границы
устойчивости
области устойчивости описываются только одним
уравнением (10).
Из приведенных зависимостей вытекает, что в рассматриваемой САУ автоколебания отсутствуют при любых μ, если ее параметры подобраны так, что соблюдается одно из следующих неравенств: A > 0.329 или B > 0.212.
Более подробный анализ приведен в работе [5].
2.3. Влияние люфта в чувствительном элементе и трения в исполнительном устройстве [9]. Исходные уравнения:
уравнение объекта x + a1x = − K т xт ;
уравнение чувствительного элемента h = f ( x, x , 1) ;
(
)
уравнение исполнительного привода при наличии трения xт = K h + f т∗р , где x = x∗ λ ;
xт = xт∗ λ ; h = h∗ λ ;
∗
f тр
≤ η;
∗
f тр
= Fтр λ , где λ — характерный параметр люфта; Fтр — вели-
чина сухого трения.
Путем последовательного рассмотрения характерных точек замкнутой траектории на фазовой плоскости можно построить границу области устойчивости и показать, что в рассматриваемой системе имеет место жесткий режим возбуждения автоколебаний и амплитуда автоколебаний x∗ не может быть меньше величины х0∗ :
x0∗
88
h
h
a 2 2 arctan ω
= 1 + η + 2η 1 e ω
,
a2
где h = а1 2; ω = а2 − а12 4, т. е. при наличии автоколебаний их амплитуда всегда больше какогото определенного значения, которое определяется
не только наличием люфта в чувствительном элементе и трения в приводе и отношением их характерных параметров η , но и параметрами линейной части САУ (отношением a12 a2 ). Зависимость
границ области устойчивости и амплитуды автоколебаний от параметров САУ при наличии люфта в чувствительном элементе и трения в приводе
в координатах h ω и η показана на рис. 6.
Из приведенных зависимостей следует, что
наличие трения в приводе и увеличение η улучшает
устойчивость и уменьшает амплитуду автоколеба1 — область автоколебаний; 2 — область устойчивости
ний в неустойчивой области.
2.4. Устойчивость и автоколебания в простейшей системе регулирования при наличии
люфта в чувствительном элементе и с жесткой обратной связью в приводе. При наличии
люфта только в чувствительном элементе (ЧЭ) и наличии статизма (жесткой обратной связи)
в приводе совместное уравнение исполнительного механизма и золотника с жесткой обратной
связью имеет вид:
Рис. 6. Зависимость границ устойчивости и амплитуды
автоколебаний от параметров системы при люфте в
чувствительном элементе и трении привода x0 = 1 + η :
xт + K ст xт = K1h,
где K ст — коэффициент, характеризующий статизм исполнительного механизма, а уравнение
чувствительного элемента h = f ( x, x , 1) .
Введение масштаба времени t1 = t ( K ст + a1 ) позволяет привести исходную систему уравнений к виду
a1K ст
d 2 x dx
a2
+
+
x=−
f ( x , x, 1) ,
2
2
2
dt
dt1
1
( K ст + a1 )
( Kст + a1 )
откуда следует, что амплитуда автоколебаний зависит только от двух обобщенных параметров:
A* = a2 ( K ст + a1 ) ; B∗ = a1K ст ( K ст + a1 ) .
В данном случае оценка влияния параметров этой системы на устойчивость и автоколебания с использованием на фазовой траектории (см. рис. 2) [8, 9] показывает следующее:
область устойчивости расширяется с увеличением коэффициентов a1 и K ст и уменьшением
коэффициента a2 ;
такое изменение коэффициентов приводит также к уменьшению амплитуды автоколебаний
и увеличению периода колебаний в неустойчивой области;
вне области устойчивости в системе имеет место жесткий режим возбуждения автоколебаний.
Амплитуда колебаний в этих случаях всегда больше величины
2
2
x0 = 1 +
K ст а1
.
K ст а1 + а2
В рассматривавшихся системах статизм может иметь место при наличии утечек рабочей
жидкости на участке между сервоприводом и исполнительным приводом [7, 8].
2.5. Влияние зоны насыщения. Очевидно, что насыщение в сервоприводе ЧЭ и в исполнительном приводе, приводящее по существу к уменьшению «эквивалентного» коэффициента
89
усиления исполнительного привода при больших отклонениях регулируемого параметра, превышающих характерный параметр нелинейности λ, не влияет на границы устойчивости и на существование жесткого режима автоколебаний в простейших системах, но может влиять на автоколебательный процесс.
Наличие насыщения может влиять только на амплитуду автоколебаний и выход на жесткий
режим автоколебаний.
2.6. Характерные особенности устойчивости и автоколебаний простейших одноконтурных нелинейных систем управления. В рассматриваемых системах наличие люфта в ЧЭ
и срывного трения в приводе приводит к появлению области неустойчивой работы (автоколебаний). В этих системах граница области устойчивости и амплитуда колебаний определяются:
двумя обобщенными параметрами A = a12 a2 и B = K a a1 линейной части, зависящими
от «инерционности» объекта a1, коэффициентов усиления по регулируемому параметру a2
и производной K a ;
видом нелинейности при одной нелинейности в системе;
видом нелинейностей и отношением значений характерных параметров двух нелинейностей
(в том числе отношением величин срывного трения в приводе f 2 к величине сухого трения f1 )
при их наличии.
Во всех рассматриваемых случаях при наличии люфта только в ЧЭ, а также при наличии
одновременно люфта в ЧЭ и сухого трения в приводе устойчивость систем улучшается при увеличении каждого из двух обобщенных параметров А и В независимо от сочетания нелинейных
характеристик. Рассматриваемые системы всегда устойчивы при а12 а2 > 0.329 и K a a1 > 0.5.
Наиболее сильное влияние на ухудшение устойчивости оказывает наличие люфта в ЧЭ
(в сервоприводе).
Наличие сухого трения, зоны нечувствительности, жесткой обратной связи (статизма) в исполнительном приводе улучшает устойчивость.
При наличии люфта только в ЧЭ режим возбуждения автоколебаний «мягкий».
При наличии одновременно люфта в ЧЭ и трения в исполнительном устройстве или «статизма» режим возбуждения автоколебания «жесткий».
2.7. Нелинейный автомат продольной устойчивости самолета. Уравнение короткопериодических колебаний рассматривается в виде [4]:
+ а1α + а2α = а3δ,
α
где α — угол атаки; δ — угол отклонения руля высоты; а1 =
a2 = −
(
)
qs α qgbA2 wt
C −
mz + mzα ;
mV y J zV
qsbA δ
qsbA α ⎛ C y ρsbA wz ⎞
mz ; m, J z — масса и момент индукции самолета;
; a3 =
C m +
m
2m z ⎟⎠
J z y ⎜⎝ z
Jz
s, bA — площадь и средняя аэродинамическая хорда крыла; q = ρV 2 2 — скоростной напор;
C
ρ — плотность воздуха; V — скорость полета; С yα , mzωz , mzα , mz y , mzδ — аэродинамические
характеристики самолета.
Рассматривается автомат продольной устойчивости, обеспечивающий стабилизацию нормальной перегрузки Δn y и демпфирование продольных колебаний ( ωz ) самолета. При этом
управляющий сигнал δвх на входе привода руля высоты имеет вид:
δвх = K n Δn y + K ωωz ,
где K n и К ω — коэффициенты, выбираемые из условия обеспечения заданного качества процессов стабилизации.
90
Так как Δn y =
C yα
α,
C yГn
C yГn =
mg
,
qs
g
z = α + θ = α + Δn y , то выражение для δвх можно
ω
V
представить в виде:
δвх = K1hвх = K1 ( K α α + K α α ) ,
С yα ⎛
g
⎞
K + K , K α = K ω .
C yГn ⎜⎝ n V ω ⎟⎠
В упрощенной нелинейной модели характеристику управляющего элемента привода руля
высоты h при наличии зоны нечувствительности (трения в сервоприводе) по входному сигналу
можно приближенно представить в виде нелинейного элемента типа люфт. Тогда можно записать:
при этом K α =
d
⎛
hx = f ⎜ K α α + K α α ,
( Kαα + K α α ) , Δ л ⎞⎟ ,
dt
⎝
⎠
где Δ л — характерный параметр люфта, и уравнение рассматриваемой САУ в таком виде:
d
⎛
δ = K1 f ⎜ K α α + K α α ,
( K αα + Kα α ) , Δ л ⎞⎟ = Δ л K1 f
dt
⎝
⎠
d
⎛
⎞
⎜ K α α* + K α α ∗ , dt ( K α α + K α α ) , 1⎟ .
⎝
⎠
Тогда исходное уравнение имеет вид:
d
∗ + а1α ∗ + а2α∗ = а3h ⎛⎜ K α α∗ + K α α∗ ,
α
( K α α + K α α ) , 1⎞⎟ ,
dt
⎝
⎠
(11)
где α∗ = α Δ л .
Решение такого уравнения в общем виде для построения границ областей устойчивости
и автоколебаний при наличии люфта, даже с учетом подобия по характерному параметру Δ л ,
связано с большими трудностями из-за того, что при наличии люфта в процедуре припасовывания на фазовой плоскости необходимо задавать в качестве начальных условий последующего
участка не только значения регулирующих параметров α и α предыдущего участка, но и их
сумму ( α + K α ) .
Если принять z = α∗ + K α ∗ = (1 + Kp ) α∗ , где K = K α K α , то будем иметь:
z + a1z + a2 z = a3 ⎡⎣ h ( z , z, 1) + Kh ( z , z, 1) ⎤⎦ .
(12)
Для вывода уравнений границ устойчивости нужно рассмотреть участок фазовой траектории СDА (см. рис. 2, б) и равенство zС = − z А .
В точке С t = 0 z = z − h = z + 1, h = 0, тогда уравнение для участка СD имеет вид:
3
3
z + a1z + a2 z = a3 ( z + 1)
(13)
z + a1z + ( a2 − a3 ) z = a3 .
(14)
или
В точке D t = 0; z4 = z3 + 2;
будем иметь на участке DA
z = z4 ;
h = z − 1; h = z и, следовательно, из уравнения (14)
z + a1z + a2 z = a3 ( z − 1) + a3 Kz
или
z + ( a1 − a3 K ) z + ( a2 − a3 ) z = −a3 .
(15)
91
Последовательное решение этих уравнений с учетом равенства z А = − zС позволяет построить границы устойчивости и автоколебаний. При построении таких границ в общем виде с использованием этих двух уравнений возможно в качестве обобщающих параметров использовать
два обобщающих коэффициента A1 и A2 , полученные в уравнении (5) при введении масштаба
времени
t1 =
a2 − a3
a −a K
t или t = 1 3 t1 .
a1 − a3 K
a2 − a3
Тогда
at1
d 2 z dz1
+
+ z = 0,
dt12 dt1
(16)
где
at1 =
a2 − a3
( a1 − a3 K )
;
2
A1 =
a12
;
a2 − a3
2
⎛ a
⎞
A2 = ⎜ 1 − 3 K ⎟ ;
a
1
⎠
⎝
аt1 =
1
.
А1 А2
Использование таких параметров позволит рассмотреть их влияние в зависимости от сочетаний коэффициентов исходных уравнений.
Автор выражает благодарность В. К. Святодуху за ряд рекомендаций, сделанных им при
обсуждении статьи.
ЛИТЕРАТУРА
1. А н д р о н о в А. А., Б а у т и н Н. Н., Г о р е л ь н и к Г. С. Теория непрямого регулирования при учете кулоновского трения в ЧЭ // АиТ 1946. № 1.
2. Аэродинамика, устойчивость и управляемость сверхзвуковых самолетов / Под ред.
Г. С. Бюшгенса. — М.: Наука, 1988.
3. Аэродинамика и динамика полета магистральных самолетов / Под ред. Г. С. Бюшгенса. — М. — Пекин: ЦАГИ, 1995.
4. Г у с ь к о в Ю. П., З а г а й н о в Г. И. Управление полетом самолетов. — М.: Наука,
1980.
5. Д е д е ш В. Т. Об автоколебаниях в простейших нелинейных системах регулирования с акселерометром // Техн. отч. № 308, ЛИИ, 1966.
6. Д е д е ш В. Т. Некоторые случаи подобия переходных процессов в одноконтурных
нелинейных системах регулирования // ИАТ. 1961. № 5.
7. Д е д е ш В. Т. Динамика систем регулирования числа оборотов ТВД с дифференциальным редуктором и раздельными регуляторами оборотов без акселерометров // Труды ЛИИ.
1957. № 76.
8. Д е д е ш В. Т. Динамика систем регулирования числа оборотов авиационных газотурбинных двигателей // Труды ЛИИ. 1964. № 132.
9. Д е д е ш В. Т., Л а р и о н о в а Н. С., Т у м а н о в Ю. А. Методы оценки устойчивости и качества переходных процессов в САУ газотурбинных двигателей // Учебное пособие,
С-П, БГТУ «Военмех», 2000.
10. К а з а к е в и ч В. В. Об автоколебаниях, порождаемых в системах регулирования
падающими характеристиками трения в сервомоторах // АиТ. 1965. № 6.
11. К о с т и н С. В., П е т р о в В. И., Г а м ы н и н Н. С. Рулевые приводы. — М.: Машиностроение, 1976.
12. Точные методы исследования нелинейных систем автоматического управления /
Под ред. Р. А. Нелепина. — М.: Машиностроение, 1971.
13. Н е л е п и н Р. А. Точные аналитические методы в теории нелинейных автоматических систем. — Л.: Судостроение, 1969.
14. С м и р н о в В. П. Условия абсолютной устойчивости систем регулирования с двумя
нелинейными последовательно включенными приводами в системе управления // Труды ЛИИ.
1966. № 144.
_________________
Рукопись поступила 13/III 2009 г.
92
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
509 Кб
Теги
нелинейные, автоматическая, система, pdf, управления, устойчивость, одноконтурную, автоколебаний
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа