close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Аналитическое исследование температур при правке шлифовального круга..pdf

код для вставкиСкачать
В.И. Малышев
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУР…
УДК 621.9
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУР
ПРИ ПРАВКЕ ШЛИФОВАЛЬНОГО КРУГА
© 2009
В.И. Малышев, кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой
«Оборудование и технологии машиностроительного производства»
Тольяттинский государственный университет, Тольятти (Россия)
Ключевые слова: Температура; правка круга; дискретность; однокристальный инструмент; правящий
ролик; алмаз.
Аннотация: Математические модели правки шлифовального круга методами обтачивания и шлифования основаны на решении задачи, связанной с движением по адиабатической поверхности дискретного
источника тепла, в качестве которой принята площадка контакта абразивного зерна с алмазом правящего
инструмента.
Введение
Повышение окружной скорости круга, интенсификация режимов а6разивной обработки, наложение вибраций на правящий инструмент, использование правящих инструментов, оснащенных синтетическими алмазами, применение новых абразивных материалов, обладающих повышенными физико-механическими свойствами, вызывают необходимость определения режимов
правки, при которых температура в зоне контакта «круг
– правящий инструмент» не превышает критических
значений для алмаза.
Цель работы – разработать математические модели
правки шлифовального круга методами обтачивания и
шлифования, учитывающие дискретность контакта
взаимодействующих объектов.
Методика проведения исследований
Расчет контактных температур проведен для двух
основных методов правки, отличающихся характером
взаимодействия правящего инструмента со шлифовальным кругом:
– правка методом обтачивания стержневым алмазным правящим инструментом;
– правка методом шлифования вращающимся алмазным правящим роликом.
На рис. 1а представлена принципиальная схема
правки круга методом обтачивания алмазным правящим
инструментом стержневого типа. Рабочая поверхность
круга 1 представляет собой чередующиеся выступы а6разивные зерна размером ℓ1, и впадины. Среднее расстояние между осями зерен равно ℓ0. Кристалл алмаза 2
укреплен с помощью теплопроводной связки 3 в корпусе 4 правящего инструмента.
На рис. 1в приведена схема пpaвки круга методом
шлифования алмазным правящим роликом, содержащая
два одновременно вращающихся диска - круг и ролик.
Как круг 1, так и ролик 6 имеют на рабочей поверхно-
14
сти взаимно контактирующие выступы - зерна с размерами соответственно ℓ1 и d1, расстояние между которыми равно ℓ0 и d0.
Из анализа рассмотренных схем видно, что процесс
правки шлифовального круга является достаточно
сложным многофакторным процессом. В работе участвует одновременно большое число зерен, причем как
зерна алмазного правящего инструмента, так и абразивные зерна круга имеют различныe размеры и расположены на разном расстоянии друг от друга. Тепло выделяется в контакте алмазов правящего инструмента с
зернами шлифовального круга, поэтому одновременно
действует относительно большое число тепловых импульсов, интенсивность которых непрерывно меняется
во времени.
Для решения задачи о температуре при правке схематизируем процесс, приняв ряд допущений:
– полагаем правящий инструмент полубесконечным телом;
– теплофизические свойства алмаза и абразивного
материала круга полагаем не зависящими от температуры;
– поверхности контакта пpaвящего инструмента и
круга считаем адиабатическими;
– пятна контакта алмазов правящего инструмента с
абразивными зернами шлифовального круга считаем
равномерно расположенными по номинальной площадке контакта круга с правящим инструментом;
– тепловой источник принимается периодическим
и действующим в течение времени контакта абразивного круга с алмазом прaвящего инструмента;
– интенсивность тепловых источников, расположенных на контактной поверхности правящего инструмента, полагаем равномерно распределенной и действующей в течение времени правки;
– среднеинтегральные температуры на пятне контакта зерен круга и правящего инструмента пpинимаются равными;
Вектор науки ТГУ. № 6(9). 2009
В.И. Малышев
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУР…
– при каждом проходе пpaвящего инструмента с
зернами шлифовального круга температура их рабочей
поверхности, как и круга при подходе к зоне контакта,
принимается равной начальной температуре, т.е. рассматривается процесс однопроходной правки.
б)
а)
Рис. 1. Принципиальная схема правки:
а − однокристальным инструментом методом обтачивания; б − правящим роликом методом шлифования.
Результаты
С учетом приведенных допущений задачу о температуре при правке круга математически можно сформулировать следующим образом: по адиабатической поверхности Z=0 полубесконечного твердого тела, теплофизические характеристики которого не зависят от температуры, в направлении, обратном оси Х, с постоянной
высокой скоростью V движутся источники тепла разме-
ром d1 x d1, отстоящие друг от друга на расстоянии ℓ0 с
равномерно распределенной по пятну контакта, постоянной во времени интенсивностью q1 (рис. 2).
Здесь и далее индекс «1» относится к правящему
инструменту, а индекс «2» – к шлифовальному кругу.
Рис. 2. Расчетная схема теплового нагружения правящего инструмента
Формулировку аналитического решения задачи распространения тепла в правящем инструменте можно представить в виде дифференциального уравнения теплопроводности:
∂θ1 ∂ 2θ1 ∂ 2θ1 ∂ 2θ1
−
−
−
= Ki1 H (Fo )δ (ψ )χ (ξ − FoPe )χ (η ),
∂Fo ∂ξ 2 ∂η 2 ∂ψ 2
Вектор науки ТГУ. № 6(9). 2009
(1)
15
В.И. Малышев
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУР…
и краевых условий
Ѳ1 = 0 Ѳ1 = 0 Fo = 0 ∂ψ ψ = 0
Здесь Ѳ1 = Т/Тм – безразмерная температура; Т –
температура в точке с координатами х, у, z; Тм – масштабная температура; Ре = Vℓ0 / a1 – критерий Пекле –
безразмерная скорость; V – скорость перемещения источников в направлении оси Х (скорость круга); a1 –
температуропроводность алмаза; Fo = a1τ/ ℓ02 – критерий Фурье – безразмерное время; Кi1 = q1ℓ0 / λ1Tм –
критерий Кирпичева – безразмерная интенсивность; q1
= Ω1 q – интенсивность теплового потока в правящий
(2)
инструмент; q = РzV / Fн – суммарная мощность теплового потока - интенсивность тепловыделения в контакте
правящего инструмента с кругом; Ω1 – доля от суммарной мощности теплового потока, идущая в правящий
инструмент; Рz – главная составляющая силы резания
при правке; Fн – номинальная площадь контакта правящего инструмента с кругом; λ1 – теплопроводность
алмаза; ξ=х/ℓ0; η=у/ℓ0; ψ=z/ℓ0 – безразмерные координаты.
⎧1
⎪ μ , при
χ (ξ − FoPe ) = ⎨
⎪
⎩0, при
m < ξ − FoPe < m + μ
m + μ < ξ − FoPe < m + 1;
Здесь μ = d1/ℓ0 – коэффициент дискретности контакта правящего инструмента с кругом; m = 0, ±1, ±2 …;
⎧1
⎪ , ïðè
χ (η ) = ⎨ μ
⎪
⎩0, ïðè
n <η < n + μ
n + μ < n < n + 1;
Здесь H(Fo) – единичная функция Хевисайда, характеризующая момент начала действия источника,
⎧
⎪1, при
Н (Fo ) = ⎨
⎪0, при
⎩
Fo > 0
Fo < 0;
Здесь δ(ψ) – обобщенная дельта-функция Дирака, характеризующая сосредоточенность источника
⎧
⎪⎪ ∞, ïðè
δ (ψ ) = ⎨
⎪0, ïðè
⎪⎩
ψ =0
∞
ψ ≠ 0 , ∫ δ (ψ )dψ = 1
−∞
На основе [1, 2] решение системы (1 и 2) представим в виде суммы постоянной
риодической
~
θ1 (ξ ,η ,ψ , Fo ) составляющих температурного поля
~
θ 1 (ξ ,η ,ψ , Fo ) = θˆ1 (ψ , Fo ) + θ 1 (ξ ,η ,ψ , Fo )
θˆ1 (ψ , Fo ) и переменной пе-
(3)
Решение для постоянной составляющей температурного поля θˆ1 (ψ , Fo ) в данном случае представляет собой
решение от сплошного источника тепла, действующего в плоскости ψ = 0, интенсивностью Кi1.
Математическая постановка задачи для определения постоянной составляющей температуры
виде дифференциального уравнения
16
θˆ1
запишется в
Вектор науки ТГУ. № 6(9). 2009
В.И. Малышев
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУР…
∂θˆ1 ∂ 2θˆ1
−
= H (Fo )Êi1δ (ψ ),
∂Fo ∂ψ 2
(4)
и краевых условий
∂θˆ1
∂ψ
=0
θˆ
Fo = 0
где
θˆ1 (ψ , Fo ) =
1
Fí
ψ = 0,
1
Fí
θˆ1 (ψ , Fo ) = 2 Í (Fo )Êi1 Fo ierfc
∞
ierfcZ =
(5)
∫ ∫ θ (ξ ,η ,ψ , Fo)dξdη
Решение системы (4 – 5) известно в виде [7];
где
=0
∫ erfcõdõ =
−∞
1
ψ
2 Fo
,
(6)
2
π
e − Z − ZerfcZ
функция интеграла вероятности.
На поверхности ψ = 0 выражение (6) упрощается, в результате чего формула, описывающая постоянную составляющую температуры контакта, получает вид:
θˆ1 (0, Fo ) = 2 Í (Fo )Êi1
Fo
π
,
(7)
Переменная составляющая температурного поля
делится из решения дифференциального уравнения
~
θ1 (ξ ,η ,ψ , Fo ) , учитывающая дискретность контакта, опре-
~
~
~
~
∂θ1 ∂ 2θ1 ∂ 2θ1 ∂ 2θ1
= Ki1 χ (Fo )χ (ξ )χ (η )χ (ψ ),
−
−
−
∂Fo ∂ξ 2 ∂η 2 ∂ψ 2
при краевых условиях
~
θ1 = 0
~
∂θ1
∂ψ
=0
Fo = 0
где
⎧1, ïðè
⎩0, ïðè
χ (Fo) = ⎨
⎧1
⎪ , ïðè
χ (ξ ) = ⎨ μ
⎪0, ïðè
⎩
(8)
ψ=0
ψ=∞,
êFo < Fo < kFo + Fo1
kFo + Fo1 < Fo < (k + 1) Foo ;
(9)
m <ξ < m+μ
m + μ < ξ < m + 1; m = 0,1,2...
Здесь Fo1 = а1τ1 / ℓо2 – продолжительность действия теплового импульса на зерне; τ1 = ℓ1/V – время действия
теплового импульса на зерне; Foo = a1τo/ℓo2 – период действия источника; τ0 = ℓ0/V - время между прохождением над
элементарным участком поверхности правящего инструмента двух соседних зерен круга.
Решение для переменной периодической составляющей температурного поля
~
θ1 (ξ ,η ,ψ , Fo )
формально за-
пишется в виде свертки правой части оператора (8) с фундаментальным периодическим решением Е (ξ ,η ,ψ , Fo ) .
Имеем
Вектор науки ТГУ. № 6(9). 2009
17
В.И. Малышев
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУР…
∂Å ∂ 2 Å ∂ 2 Å ∂ 2 Å
= γ (Fo)δ 1 (ξ )δ 1 (η )δ 1 (ψ ),
−
−
−
∂Fo ∂ξ 2 ∂η 2 ∂ψ 2
(11)
∞
∞
1
; δ1 (ξ ) = ∑ δ (ξ − m ) ;
где γ (Fo) = ∑ δ (Fo − kFoo ) −
Foo
k =−∞
m=−∞
δ 1 (η ) =
∞
∑ δ (η − n ) - периодические обобщенные функции с периодом соответственно Fo и 1 [3].
o
n = −∞
Применяя к уравнению (11) преобразование Фурье [4] по ψ, получим
∂Å ∂ 2 Å ∂ 2 Å
− 2 −
+ u 2 E = γ (Fo ) δ1 (ξ ) δ1 (η ),
2
∂Fo ∂ξ
∂η
(12)
где принято:
Å (ξ ,η , u , Fo ) =
∞
∫ E (ξ ,η ,ψ , Fo)
eiuψ dψ
−∞
Решение уравнения (12) найдем в форме тригонометрического ряда. Учитывая [3], что
1
γ (Fo ) =
Foo
∞
∑` e
i 2πk
Fo
Foo
k = −∞
; δ 1 (ξ ) =
∞
∑` e
i 2πm
m = −∞
∞
; δ1 (η ) = ∑ `e i 2πnn
(13)
n = −∞
где штрих у знака суммы означает суммирование без нулевого члена, представим решение в виде:
Å (ξ ,η , u , Fo ) =
∞
∞
∑`∑
∞
∑
ê = −∞ m = −∞ n = −∞
⎡ ⎛ Fo
⎞⎤
E k ,m ,n (u ) exp ⎢i 2π ⎜⎜ k
+ mξ + nη ⎟⎟⎥
⎠⎦
⎣ ⎝ Foo
(14)
Представляя выражение (13) и (14) в (12), получим:
E k ,m ,n =
1
1
Foo u 2 + i 2πk 1 + 4π 2 m 2 + n 2
Foo
(
)
(15)
Обращая выражение (15) по ψ с помощью таблиц интегральных преобразований [4], имеем:
⎤
⎡
1
exp ⎢− ψ i 2πk
+ 4π 2 m 2 + n 2 ⎥
Foo
1
⎦
⎣
Ek ,m ,n (ψ ) =
2 Foo
1
i 2πk
+ 4π 2 m 2 + n 2
Foo
(
(
)
(16)
)
Фундаментальное периодическое решение задачи (14) с учетом (16) получено для бесконечного пространства ψ Є [-∞,∞]. Для полупространства ψ Є [0,∞] решение (16) следует удвоить. Тогда
Å (ξ ,η ,ψ , Fo ) =
1
Foo
∞
∞
∞
∑` ∑ ∑
ê = −∞ m = −∞ n = −∞
⎡
⎤
Fo
+ 4π 2 m 2 + n 2 ⎥
exp ⎢− ψ i 2πk
Foo
⎣
⎦×
2
2
2
i 2πk + 4π m + n Foo
(
(
)
)
(17)
⎡ ⎛ Fo
⎞⎤
× exp ⎢i 2π ⎜⎜ k
+ mξ + nη ⎟⎟⎥.
⎠⎦
⎣ ⎝ Foo
18
Вектор науки ТГУ. № 6(9). 2009
В.И. Малышев
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУР…
При правке нас интересует температура на поверхности алмазного инструмента ψ=0. Поэтому выражение (17)
упрощается и для реальных условий правки, когда Fo → 0 и с учетом (13) принимает вид:
Å (ξ ,η , O, Fo ) =
⎛ 1 Fo ⎞
1
⎟δ1 (ξ )δ1 (η )
ζ ⎜⎜ ,
πFoo ⎝ 2 Foo ⎟⎠
(18)
⎛
Fo ⎞
⎟
exp⎜⎜ i 2πk
Foo ⎟⎠
⎛ 1 Fo ⎞
1
⎝
⎟⎟ =
Здесь ζ ⎜⎜ ,
- формула Гурвица для обобщенной дзета-функции Римана [5].
∑
2
Fo
2 k = −∞
ik
o ⎠
⎝
∞
Подставляя в формулу (10) выражение (18), получим периодическую переменную составляющую температурного поля на поверхности ψ=0 в виде:
ki1
θ (ξ ,η ,ψ , Fo ) =
πFoo
∞
∞
∞
−∞
−∞
−∞
∫ dξ ' ∫ dη ' ∫ χ (Fo')χ (ξ − ξ ')×
(19)
⎛ 1 Fo − Fo' ⎞
⎟⎟δ (ξ ') δ (η ') dFo'
× χ (η − η ')ζ ⎜⎜ ,
2
Fo
o
⎝
⎠
Используя фильтрующее свойство дельта-функции [3]:
в
⎧1, а < х < в
⎩0, х < а, х > в
∫ δ (х )dx = χ (a, в ) = ⎨
а
и свойства дзета-функции Римана [5]
d
ζ (α ,τ ) = −αζ (α + 1,τ );
dτ
1
∫ ζ (α ,τ ) dτ = α − 1 ζ (α − 1,τ ); ζ (α ,0) = ζ (α ,1) = ζ (α ),
(20)
применим способ интегрирования периодических функций [1]
Fo1
⎧F0 ⎛ 1 Fo − F ' o ⎞
⎛ 1 Fo − F ' o + Foo ⎞
⎟⎟dFo'+ ∫ ζ ⎜⎜ ,
⎟⎟dF ' o
⎪ ∫ ζ ⎜⎜ ,
Foo ⎠
2
Foo
⎠
Fo ⎝
⎪0 ⎝2
Fo1
⎪
0 < Fo < Fo1
⎛ 1 Fo − F ' o ⎞
⎪
⎜
⎟
=
dF
o
,
'
ζ
⎨
∫0 ⎜⎝ 2 Foo ⎟⎠
⎪
⎪Fo1 ⎛ 1 Fo − F ' o ⎞
⎪∫ ζ⎜ ,
⎟dF ' o
Fo1 < Fo < Foo
Foo ⎟⎠
⎪⎩ 0 ⎜⎝ 2
Тогда выражение (19) для периодической переменной составляющей температуры контакта примет вид:
Вектор науки ТГУ. № 6(9). 2009
19
В.И. Малышев
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУР…
~
θ1 (ξ ,η ,ψ , Fo) = 2 Ki1
⎧ ⎛ 1 Fo ⎞
⎛ 1 Fo − Fo1 ⎞
⎟⎟ − ζ ⎜⎜ − ,
+ 1⎟⎟,
⎪ζ ⎜⎜ − ,
Fo
Fo
2
2
o ⎠
o
⎝
⎠
⎪ ⎝
⎪
0 < Fo < Fo1
⎪
Fo
χ (ξ )χ (η )⎨
π
⎪ζ ⎛⎜ − 1 , Fo ⎞⎟ − ζ ⎛⎜ − 1 , Fo − Fo1 ⎞⎟,
⎜ 2
⎪ ⎜ 2 Fo ⎟
Foo ⎟⎠
o ⎠
⎝
⎪ ⎝
⎪
Fo1 < Fo < Fo0
⎩
(21)
Таким образом, температурное поле на поверхности правящего инструмента запишется в виде суммы решений
для постоянной (7) и переменной (21) составляющих температуры контакта.
θ1 (ξ ,η ,ψ , Fo) = 2 Ki1
+ 2 Ki1
Fo2
π
+
⎧ ⎛ 1 Fo ⎞
⎞
⎛ 1 Fo − Fo1
⎟⎟ − ζ ⎜⎜ − ,
+ 1⎟⎟
⎪ζ ⎜⎜ − ,
Foo
⎠
⎝ 2
⎪ ⎝ 2 Foo ⎠
⎪
0 < Fo < Fo1
Foo
⎪
χ (ξ )χ (η )⎨
,
π
⎪ζ ⎛⎜ − 1 , Fo ⎞⎟ − ζ ⎛⎜ − 1 , Fo − Fo1 ⎞⎟
⎜ 2
⎪ ⎜ 2 Fo ⎟
Foo ⎟⎠
o ⎠
⎝
⎝
⎪
Fo1 < Fo < Fo0
⎩⎪
(22)
где Fo 2 – безразмерное время правки круга за один проход правящего инструмента.
Выражение (22) описывает распределение температуры по длине площадки контакта правящего инструмента с
кругом в различные моменты времени от начала взаимодействия. Первое слагаемое соответствует постоянной
составляющей температуры контакта, второе – переменной периодической составляющей. Верхняя строка
описывает температуру в пределах площадки контакта зерна круга с правящим инструментом, нижняя –
температуру поверхности правящего инструмента между зернами абразивного круга.
Среднеинтегральная температура на пятне контакта за время взаимодействия зерен правящего инструмента и
круга τ1 с учетом [1] свойства дзета-функции Римана (20) запишется в виде
1
θ1ñð =
Fo1
Ki1 { 2
Fo1
∫ θ (ξ ,η ,ψ , Fo )
1
0
Fo2
π
dFo =
+
4
3μ 2ν
Fo0 ⎡ ⎛ 3 ⎞
⎛ 3
⎞
⎛ 3 ⎞⎤
ζ ⎜ − ,ν ⎟ + ζ ⎜ − ,1 − ν ⎟ − 2ζ ⎜ − ⎟⎥ },
⎢
π ⎣ ⎝ 2 ⎠
⎝ 2
⎠
⎝ 2 ⎠⎦
(23)
где ν=ℓ1/ℓ0=Fo1/Foo,
или, обозначив
4 ⎡ ⎛ 3 ⎞
⎞
⎛ 3 ⎞⎤
⎛ 3
ζ − ,ν ⎟ + ζ ⎜ − ,1 − ν ⎟ − 2ζ ⎜ − ⎟⎥ = А(ν ),
3 ⎢ ⎜
3ν ⎣ ⎝ 2 ⎠
⎠
⎝ 2 ⎠⎦
⎝ 2
получим вместо (23)
20
Вектор науки ТГУ. № 6(9). 2009
В.И. Малышев
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУР…
θ1ñð = Ki1 [ 2
Fo2
π
ν
μ
+ ( )2
Fo0
π
À(ν )
]
(24)
Учитывая асимптотическое представление дзета-функции Римана при малых значениях ν [6] и ограничиваясь в
разложении дзета-функции по ν в (24) двумя членами ряда, с погрешностью не более 3%, получим
À(ν ) =
1 ⎛ 1,33
⎞
− 1,46 ⎟
⎜
ν⎝ ν
⎠
(25)
Тогда выражение для (23) примет вид
θ1ñð = Ki1 [ 2
Fo2
π
ν 1 ⎛ 1,33
⎞ Fo0 ⎤
− 1,46 ⎟
⎜
⎥
μ ν⎝ ν
⎠ π ⎦
+ ( )2
(26)
Первые члены в выражениях (22) и (26) соответствуют значению температуры при сплошном контакте.
Вторые члены учитывают степень дискретности контакта и характеризуют повышение температуры на пятне
контакта алмаза с абразивным зерном круга относительно температуры сплошного контакта.
Рассмотрим на основе (22) и (26) тепловые модели для обоих конкретных случаев правки круга. Решение для
однокристального правящего инструмента и правящего ролика, учитывая приведенную интерпретацию (22)-(26),
будет отличаться от них только первыми членами, соответствующими температурами для сплошного контакта,
особенности которого зависят от характера кинематического взаимодействия шлифовального круга и правящего
инструмента.
Среднеинтегральные температуры на пятне контакта однокристального правящего инструмента с
кругом для установившегося теплового режима определяются по формуле
θ1ñð = Ki1 [
где
Ki1
Вi
ν 1 ⎛ 1,33
1
⎞ Fo0 ⎤
+ ( )2 ⎜
− 1,46 ⎟
⎥,
μ ν⎝ ν
Âi
⎠ π ⎦
(27)
– соответствует известному [7] решению (при сплошном контакте) для торца кристалла единич-
ного алмаза при установившемся режиме нагрева, характерном для АО;
αPl o 2
Вi =
λ1 f
– критерий Био, характе-
ризующий теплоотвод от кристалла алмаза в связку; f – площадь торца кристалла алмаза; Р – периметр; ν = μ.
Коэффициент теплоотдачи α определяется, например, из работы [8]. Формула для количества тепла Q, отдаваемого цилиндром размерами dэ и h в среду, в которую он погружен, при перепаде температур между цилиндром
и средой ∆Т, имеет вид:
Q = αFΔÒ = 2πhλc ΔÒ /(
где
ln 4 h
),
dý
(28)
dэ
) – поверхность погруженного в среду (связку) цилиндра; λC – коэффициент теп4h
4f
dý =
- эквивалентный диаметр. Тогда выражение для α из (2.28) примет вид
P
F = πdэh (1 +
лопроводности связки;
α = 2λc /[ d ý (1 +
dý
4h
)ln
4h
dý
]
(29)
Среднеинтегральная температура на пятне контакта правящего ролика и круга за время взаимодействия
Вектор науки ТГУ. № 6(9). 2009
21
В.И. Малышев
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУР…
зерен с учетом известного квазиустановившегося решения для охлаждаемого вращающегося цилиндра при сплошном контакте [1] запишется следующим образом:
θ1ñð =
где
β1 =
терий Био;
[8],
Ki1
β1
β1
ν 1 ⎛ 1,33
4 β1
⎞ Fo
+
+ ( )2 ⎜
− 1,46 ⎟ 0
2πBi 3 πPe μ ν ⎝ ν
⎠ π
[
lê
– угол контакта ролика и круга (рис. 1б);
Rð
Rð
– радиус правящего ролика;
VP – окружная скорость ролика.
Используя соотношение
Êi1 =
Pe =
VP R
a1
,
(30)
– критерий Пекле;
Bi =
α1 R
λ1
α 1 – коэффициент теплоотдачи, определяемый, например, из работы
Ω1 PzVl 0
λ1 FíÒì
, приведем выражения (27) и (30) к размерному виду. Здесь Fн –
номинальная площадь контакта. Для однокристального правящего инструмента значение Fн будет равно
для правящего ролика
Fí = Í
1
– кри-
D1 Dê t ï
, где
D1 + Dê
da
d a2 , а
– размер контактной площадки кристалла алмаза, D1 и Н1 –
диаметр и высота ролика, Dк – диаметр шлифовального круга.
Долю тепла Ω, поступающую в правящий инструмент, определяем из условия равенства среднеинтегральных
температур контактирующих тел [2]. В качестве дискретной модели шлифовального круга можно использовать
модель полубесконечного стержня, имитирующего работу отдельного абразивного зерна круга в контактной зоне.
Это отвечает физике процесса, т.к. круг подходит к контактной зоне с нулевой избыточной температурой, и каждое
его активное зерно контактирует с алмазом правящего инструмента за относительно короткий промежуток
времени. Среднеинтегральное значение температуры на поверхности зерна круга будет равно
θ 2 ср
Fo '
4 Ki2
1 1
θ
=
(
0
,
Fo
)
dFo
=
2
3 μ2
Fo1 ' ∫0
С учетом соотношений Fo1 ' =
деляется следующим выражением:
Fo1 '
(31)
π
a2τ 2 / lo 2 ; Ki2 = Ω 2 Кi = (1 − Ω1 ) Ki в размерном виде это значение опре-
θ 2 = (1 − Ω1 )
4 Pz 'V
3 λ F μ 32
2
н
а2 l 0
πV
(32)
Итогом аналитического исследования являются математические модели, позволяющие определить температуру контакта абразивного зерна с алмазом при правке в размерном виде:
1) на контактной поверхности однокристального правящего инструмента, исходя из (27):
θ ÏÈ =
Ω1ÏÈ PzV
{
λ1 Fí
⎡
⎢
2λÑ Ð
⎢
dý
4h
⎢
+
(
1
)ln( )λ1 f
d
ý
⎢
4h
dý
⎣
−1
⎤
⎥
⎥ + (ν ) 2 1 (1,33 − 1,46) a1l 0
μ ν ν
πV
⎥
⎥
⎦
}
(33)
2. на контактной поверхности правящего ролика, исходя из (30), в виде:
θ ÏÐ =
22
Ω1ÏÐ PzV
λ1 Fí
[
al
β1λ1 4 β1à1 R ð
ν 1 1,33
+
+ ( )2 (
− 1,46) 1 0
2πα1 3
πV ð
μ ν ν
πV
},
(34)
Вектор науки ТГУ. № 6(9). 2009
В.И. Малышев
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУР…
Приравнивая выражение (32) к (27) или к (30), определим в размерном виде долю тепла Ω1, поступающую соответственно в однокристальный правящий инструмент:
Ω1ÏÈ = { 1 +
à1 3 2 ⎡
dý
λ F V
4h 1 1
μ ⎢0,53 1 Í (1 + )ln
+ ( − 1,1)]
l
à2
à
h
λ
d
μ μ
4
1 0
C
Ý
⎣⎢
λ2
λ1
}−1
(35)
в правящий ролик
Ω1ÏÐ = { 1 +
λ2
λ1
à1 3 2 ⎡
βλ
μ ⎢0,375 1 1 +
à2
α 1 πà1
⎢⎣
β1 RV
l 0V p
+ À(ν )
] }−1
(36)
Итак, формулы (35) и (36) дают возможность рассчитать температуру на поверхности алмазных зерен при
правке шлифовального круга. Формулы учитывают теплофизические свойства инструментов ( a1 , a 2 , λ1 , λ 2 , λC ),
их геометрические характеристики ( F1 ,
p, h, d 3 , d 0 ), а также режим правки ( VP ,V ) и главную составляющую
силы правки PZ . При учете доли тепла, поступающего в круг, следует учитывать повышенный теплоотвод за счет
подачи смазочно-охлаждающей жидкости (СОЖ) с помощью приведенного коэффициента теплопроводности
λ2 = λ ⋅ λ ⋅ λ
Ð1
3
где
λ3
и
λÑ
Ð2
C
Ð3
ÑÎÆ
,
λ2
[8].
(36)
– соответственно коэффициенты теплопроводности абразивного зерна и связки, а
λÑÎÆ
– СОЖ,
заполнившая поры круга. Показатели степени представляют собой относительные концентрации зерен, связки и
пор в объеме круга и определяются по формуле:
ϖ
Ð1, 2,3 = 2,3 ,
100ϖ 1
где ϖ 1, 2 – соответственно объемные части связки, пор и зерен шлифовального круга [8].
Обсуждение результатов
Возможность использования справочных данных,
например [8; 9; 10; 11] обеспечивает сравнительную
универсальность расчетных формул и позволяет применять их для определения температур при правке одно- и многокристальным инструментом (алмаз в оправе, алмазный карандаш, алмазная гребенка, алмазный
правящий ролик любых типоразмеров и характеристик)
методами обтачивания и шлифования.
Так, например, для расчета контактных температур при правке круга 24А 16-Н С27К5 алмазом в оправе использовали приведенные в работе [11] значения
Вектор науки ТГУ. № 6(9). 2009
силы
PZ , а также следующие исходные данные: λ1 =
146 Вт/(м·ºС);
λÑ = 100 Вт/(м·ºС); λ2 = 40 Вт/(м·ºС);
α 1 = 0,83 ⋅ 10 −4 ì 2 / ñ ; α 2 = 0,28 ⋅ 10 −4 ì 2 / ñ
h = 1,5 ⋅ 10 −3 м; d1 = 0,1 ⋅ 10 −3 м]; l1 = 0,1 ⋅ 10 −3 м;
FH = 0,38 ⋅ 10 −6
м
[9];
м²;
l0 = 0,4 ⋅ 10 −3
[8];
−3
p = 2,2 ⋅ 10 −3 м; d = 0,7 ⋅ 10 м;
VP = 5
м/с.
23
В.И. Малышев
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУР…
Из рис. 3 видно, что экспериментальные температуры
удовлетворительно (с погрешность до 15 %) совпадают с
расчетными значениями.
Контактная температура зависит не только от типа
правящего инструмента, но и от параметров режима правки.
Так, увеличение производительности правки за счет повышения её режима неизбежно приводит к росту температур.
В этом случае расчет контактных температур позволяет
определить предельно допустимый режим правки, при котором температура еще не превышает критическую для алмаза, т.е. оптимизация по температурному критерию позволяет достичь наибольшей производительности правки,
не допуская интенсивного износа алмазов.
Рис. 3. Зависимость расчетной контактной
температуры при правке однокристальным инструментом от глубины правки:
о – экспериментальные значения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Дилигенский Н.В. Асимптотические расчеты тепловых режимов технологических процессов механической обработки и сварки: автореф. дис. … д-ра техн.
наук. – Киев, 1973. – 42 с.
2. Дилигенский Н.В., Камаев Ю.П. Установившийся теплообмен вращающихся цилиндров // Физика и
химия обработки материалов. – 1971. – №1. С. 13-18.
3. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1976. – 280 с.
4. Брычков Ю.А., Прудников А.П. Интегральные
преобразования обобщенных функций. – М.: Наука,
1977. – 286 с.
5. Уитеккер Э.К., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. Трансцендентные функции. Ч. 2. – М.:
Физматиздат, 1963. – 515 с.
6. Дилигенский Н.В., Камаев Ю.П. О теплофизике
процессов шлифования // Физика и химия обработки
материалов. 1969. №1. С. 43-50.
7. Лыков А.В. Теория теплопроводности. – М.:
Высшая школа, 1967. – 599 с.
8. Резников А.Н. Теплофизика резания. – М.: Машиностроение, 1969. – 288 с.
9. Калинин Е.П. Теория и практика управления
производительностью шлифования без прижогов с учетом затупления инструмента. – СПб.: Изд-во политех.
ун-та, 2009. – 358 с.
10. Старков В.К. Шлифование высокопористыми
кругами. – М.: Машиностроение, 2007. – 688 с.
11. Малышев В.И. и др. Прогрессивная технология
правки абразивных кругов. – Киев: Технiка, 1985 – 112
с.
ANALYTICAL RESEARCH OF TEMPERATURES
AT EDITING OF THE GRINDING WHEELS
© 2009
V.I. Malyshev, Candidate of technical science, Assistant Professor, the head of the chair
«Equipment and technologies machine-building production»
Togliatti State University, Togliatti (Russia)
Keywords: Temperature, wheels editing, step-type behaviour, single-crystal, editing roller, diamond.
Annotation: Mathematical models of editing of grinding wheels turning and grinding methods are based on
the decision of the problem connected with movement on adiabatic surface of discrete source of heat in which
quality the platform of contact piece of abrasive grain with diamond of the ruling tool is accepted.
24
Вектор науки ТГУ. № 6(9). 2009
В.И. Малышев
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУР…
LITETATURE
1. Diligensky N.V. Asimptotichesky calculations of
thermal modes of technological processes of machining and
welding: – the Author's abstract of the dissertation of a
Dr.Sci.Tech. Sciences. – Kiev, 1973 – 42 p.
2. Diligensky N.V. Establish heat exchange of rotating
cylinders / N.V.Diligensky, J.P.Kamayev // Physics and
chemistry of processing of materials. 1971, №1. p. 13 – 18.
3. Vladimirov V.S. The generalised functions in the
mathematical physics. – М: the Science, 1976 – 280 p.
4. Brychkov J.A. Integrated of transformation of the
generalised functions / J.A. Brychkov, A.P. Prudnikov. – М:
the Science, 1977. – 286 p.
5. Uitteker E.K. Course of the modern analysis. Transcendental functions. A part 2. / E.K.Uitteker, J. N.Watson.
– М: Fizmatizdat, 1963. – 515 p.
Вектор науки ТГУ. № 6(9). 2009
6. Diligensky N.V., Kamayev J.P. About thermophysics of processes of grind // Physics and chemistry of processing of materials, 1969, №1, p. 43-50.
7. Lykov A.V. Theory of heat conductivity. – М: the
Higher school, 1967 – 599 p.
8. Reznikov A.N. Thermophysics of cutting. – М: mechanical engineering, 1969. – 288 p.
9. Kalinin E.P. Тheory and practice of steering by productivity of grinding. – SPb, Izd. Polytechnical university,
2009 – 358 p.
10. Starkov V.K. The grinding by highporous wheels.
– М: Mechanical engineering, 2007 – 688 .
11. Malyshev V.I. and [other] Progressive te of editing
of grinding wheels. – Kiev. Tehnika, 1985. – 112 p.
25
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
3 268 Кб
Теги
аналитическая, круг, температура, шлифовального, pdf, правка, исследование
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа