close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Большие прогибы жесткопластической защемленной балки нагруженной продольной силой несимметрично распределенной нагрузкой и опорными моментами..pdf

код для вставкиСкачать
УДК 539.52
БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ
ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКОЙ ЗАЩЕМЛЕННОЙ БАЛКИ,
НАГРУЖЕННОЙ ПРОДОЛЬНОЙ СИЛОЙ,
НЕСИММЕТРИЧНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКОЙ
И ОПОРНЫМИ МОМЕНТАМИ
И.А.Монахов1, Л.В. Савченкова2
1
Кафедра строительного производства
Строительный факультет
2
Кафедра транспортно-технологических машин и систем
Факультет автомобилей и тракторов
Московский государственный машиностроительный университет
ул. Павла Корчагина, 22, Москва, Россия,129626
В статье разработана методика решения задач о больших прогибах балок из идеального жесткопластического материала при действии несимметрично распределенных нагрузок с учетом предварительного растяжения-сжатия. Разработанная методика применена для исследования напряженнодеформированного состояния однопролетных балок.
Ключевые слова: балка, нелинейность, аналитическое.
Ранее нами были рассмотрены малые прогибы балки. При расчете конструкций с помощью модели жесткопластического тела необходимо учитывать
геометрическую нелинейность (большие прогибы) работы конструкции.
Расчет балок и круглых пластинок с учетом геометрической и физической
нелинейности рассмотрен в работах [1; 2; 4], а работа [3] посвящена решению
аналогичных задач для конструкций из стеклопластика.
Рассмотрим второй этап деформирования — большие прогибы. Решение
задач на втором этапе также разбивается на два случая: x2 ≤ l1 и x2 ≥ l1. Рассмотрим случай, когда x2 ≤ l1. В зоне x1 ≤ x ≤ x3 cоблюдается условие пластичности:
n = const, m = 1 – (n ± n1)2. Если x3 ≤ l1, то при x1 ≤ x ≤ x3 из уравнения равновесия
вытекают выражения для прогибов и скоростей прогибов:
p
2
w = w0 −
( x2 − x ) ,
2 ( n ± n1 )
(1)
•
⎧⎪
⎫⎪
p
p
2
w = w 0 − ⎨
( x − x ) x 2 .
⎬ ( x2 − x ) +
( n ± n1 ) 2
⎪⎩ 2 ( n ± n1 ) ⎪⎭
Зоны 0 ≤ x ≤ x1 и x3 ≤ x ≤ 2 — жесткие, откуда распределение скоростей
прогибов в этих зонах равно
•
⎧w ⎫
w = ⎨ 1 ⎬ x ,
⎩ x1 ⎭
где w1 и w3 — прогибы при x = x1 и x = x3.
142
•
⎧ w ⎫
w = ⎨ 3 ⎬ (2 − x ),
⎩ 2 − x3 ⎭
Монахов И.А., Савченкова Л.В. Большие прогибы жесткопластической защемленной балки...
Условия для слабых разрывов при x = x1 меют вид
[ w x ] + x1 [ w xx ] = 0, [ w ] + x1 [ w x ] = 0,
а также при x = x3, если поменять индекс «1» на «3».
Разрывы при x = x3 равны
•
•
⎧ w3 ⎫ ⎧ p ⎫
p
⎡ dw ⎤
⎢ dx ⎥ = − ⎨ 2 − x ⎬ + ⎨ n ± n ⎬ ( x3 − x2 ) − n ± n x2 ,
⎣ ⎦
⎩
⎩
3⎭
1⎭
1
•
[ w xx ] = n ± n
p
1
•
⎧ w ⎫ ⎧ p
⎫
p
или ⎨ 3 ⎬ = ⎨
( x3 − x2 )⎬ откуда w3 =
( x3 − x2 )( 2 − x3 ).
n ± n1
⎩ 2 − x3 ⎭ ⎩ n ± n1
⎭
Разрывы при x = x1 равны:
•
•
⎧w ⎫ ⎧ p ⎫
p
[ wx ] = ⎨ x1 ⎬ − ⎨ n ± n ⎬ ( x2 − x1 ) − n ± n x2 ,
1⎭
1
⎩ 1⎭ ⎩
•
p
[ wxx ] = n ± n
1
•
⎧w ⎫ ⎧ p
⎫
px
или ⎨ 1 ⎬ = ⎨
( x2 − x1 )⎬ , откуда w1 = 1 ( x2 − x1 )
n ± n1
⎩ x1 ⎭ ⎩ n ± n1
⎭
p
2
или, используя выражение (1), получим: w1 = w0 −
( x2 − x1 ) , откуда
2 ( n ± n1 )
w0 =
(
)
p
x22 − x12 .
2 ( n ± n1 )
Также, используя (1), получим w3 = w0 −
w0 =
p
2
( x3 − x2 ) , откуда
2 ( n ± n1 )
(
)
p
x22 − x32 + 4 x3 − 4 x2 .
2 ( n ± n1 )
(2)
Из уравнения равновесия при 0 ≤ x ≤ x1 получаем:
p
2
2
2
m = 1 − ( n ± n1 ) − ( x1 − x ) , m |x =0 = − ⎡1 − ( n ± n1 ) ⎤ ± α,
⎣
⎦
2
откуда
2
2 ⎡ 2 1 − ( n ± n1 ) ∓ α ⎤
⎢⎣
⎥⎦
p=
.
(3)
2
x1
При x3 ≤ x ≤ l1
px 2
px 2
p
2
2
2
m=−
+ px3 x − 3 + 1 − ( n ± n1 ) = 1 − ( n ± n1 ) − ( x − x3 ) .
2
2
2
При l1 ≤ x ≤ 2
p
2
m = 1 − ( n ± n1 ) − k1 x 2 − 2 x ( x3 + l1 ( k1 − 1) ) + l12 ( k1 − 1) + x32 ,
2
p
2
2
m x = 2 = ⎡1 − ( n ± n1 ) ⎤ ± α = 1 − ( n ± n1 ) − 4k1 − 4 ( x3 + k1l1 − l1 ) + l12 ( k1 − 1) + x32 ,
⎣
⎦
2
{
}
{
}
{
}
143
Вестник РУДН, серия Инженерные исследования, 2014, № 1
откуда
{
}
2
2 ⎡ 2 1 − ( n ± n1 ) ∓ α ⎤
⎢⎣
⎥⎦
p=
.
2
4 k1 − 4 ( x3 + k1l1 − l1 ) + l1 ( k1 − 1) + x32
(4)
Безусловная функция согласно (2) и (4) имеет вид
{
}
2
2 ⎡ 2 1 − ( n ± n1 ) ∓ α ⎤
⎢
⎣
⎦⎥
∅=
+
2
4k1 − 4 ( x3 + k1l1 − l1 ) + l1 ( k1 − 1) + x32
( 2{1 − ( n ± n ) } ∓ α ) ( x − x
2
+λ
2
2
1
2
3
+ 4 x3 − 4 x2
)
( n ± n1 ){4 k1 − 4 ( x3 + k1l1 − l1 ) + l12 ( k1 − 1) + x32 }
− λ w0 .
Дифференцируя безусловную функцию по x3 и n и приравнивая результаты
к нулю, получим выражения для нагрузки:
{
} (
2 1 − ( n ± n1 ) ∓ α
d∅
x22 − x32 + 4 x3 − 4 x2 = 0,
= −8 ( n ± n1 ) − л
2
dn
( n ± n1 )
2
)
d∅
= 2 ( n ± n1 ) + λx22 = 0,
dx3
откуда λ = −
2 ( n ± n1 )
l12
⎪⎧
⎪⎫
⎨k1 + l1 (1 − k1 ) − (1 − k1 )⎬
4
⎩⎪
⎭⎪
( n ± n1 )
2
=
2
=−
2 ( n ± n1 )
( 2 ± α ) ( x22 − x32 + 4 x3 − 4 x2 )
{x
2
2
+ x32 − 4 x3 + 4 x2
}
x22
и
.
Тогда из (4) получаем выражение для нагрузки:
4(2 ∓ α)
(5)
p= 3
.
x2 + x32 − 4 x3 + 4 x2
Приравнивая равносильные выражения для w и p (2), (3), (4), получим
l2
x2 = k1 + l1 (1 − k1 ) − 1 (1 − k1 ) .
(6)
4
Если x3 ≥ l1, то при x1 ≤ x ≤ l1 должно соблюдаться условие пластичности:
m = 1 – (n ± n1)2, n = const.
Из уравнения равновесия получаем выражение для прогибов и скоростей
прогибов:
p
2
w = w0 −
(7)
( x2 − x ) ,
2 ( n ± n1 )
144
Монахов И.А., Савченкова Л.В. Большие прогибы жесткопластической защемленной балки...
•
⎧⎪
⎫⎪
p
p
2
2
w = −⎨
( x2 − x ) x2 + w0 .
⎬ ( x2 − x ) −
n ± n1
⎩⎪ 2 ( n ± n1 ) ⎭⎪
kp
d 2w
=− 1
, откуда по2
dx
( n ± n1 )
лучаем выражение для прогибов и скоростей прогибов:
p
w = w0 −
k1 x 2 + 2 x ( l1 − x2 − k1l1 ) + x22 + l12 ( k1 − 1) ,
(8)
2 ( n ± n1 )
При l1 ≤ x ≤ x3 уравнение равновесия имеет вид
{
•
}
p
p
⎪⎧
⎪⎫
2
2
2
w = −⎨
( x − x2 ) + w0 .
⎬ k1 x + 2 x ( l1 − x2 − k1l1 ) + x2 + l1 ( k1 − 1) +
n ± n1
⎩⎪ 2 ( n ± n1 ) ⎭⎪
{
}
При 0 ≤ x ≤ x1 и x3 ≤ x ≤ 2 (жесткие зоны) выполняются равенства
•
•
⎧ w ⎫
w = − ⎨ 3 ⎬ ( 2 − x ).
⎩ 2 − x3 ⎭
⎧w ⎫
w = − ⎨ 1 ⎬ x,
⎩ x1 ⎭
Подставляя w1 и w3 в выражения для (7) и (8), получаем:
p
x = x3
при x = x1 → w0 =
x22 − x12 , а при x = x3:
2 ( n ± n1 )
(
w0 =
)
{
}
p
4k1x3 + 4l1 (1 − k1 ) − 4 x2 + x22 + l12 ( k1 − 1) − k1 x32 .
2 ( n ± n1 )
(9)
Рассматривая зону 0 ≤ x ≤ x1 из уравнения равновесия, получаем изгибающие
p
2
2
моменты: m = 1 − ( n ± n1 ) − ( x1 − x ) , а из граничного условия получаем выра2
жения для нагрузки:
2
2 ⎡ 2 1 − ( n ± n1 ) ∓ α ⎤
⎢
⎣
⎦⎥ .
(10)
p=
2
x1
{
}
Рассматривая зону x3 ≤ x ≤ 2, получаем выражение для изгибающего момента:
k p
2
2
m = 1 − ( n ± n1 ) − 1 ( x − x3 ) , откуда с учетом граничного условия получаем
2
нагрузку
2
2 ⎡ 2 1 − ( n ± n1 ) ∓ α ⎤
⎢
⎣
⎦⎥ .
(11)
p=
2
k1 ( 2 − x3 )
{
}
Используя полученные равносильные выражения для w0 и p, получим:
x2 = k1 + l1 (1 − k1 ) −
l12
(1 − k1 ) .
4
(12)
145
Вестник РУДН, серия Инженерные исследования, 2014, № 1
Безусловная функция в этом случае из (11) и (9) имеет вид:
{
}
2
2 ⎡ 2 1 − ( n ± n1 ) ∓ α ⎤
⎢⎣
⎥⎦
∅=
+
2
k1 ( 2 − x3 )
{
} {
}
⎡ 2 1 − ( n ± n )2 ∓ α ⎤ 4k x + x 2 − k x 2 − 4 k1
1
2
1 3
⎢
⎥⎦ 1 3
+λ⎣
− λ w0 .
2
k1 ( 2 − x3 ) ( n ± n1 )
Дифференцируя безусловную функцию по x3 и n и приравнивая производные
к нулю, получим выражения для нагрузки:
p=
{
}=
2
2 2 ⎡1 − ( n ± n1 ) ⎤ ∓ α
⎣
⎦
k1 ( 2 − x3 )
2
4(2 ∓ α)
x22
+ k1 ( 2 − x3 )
2
(13)
.
Далее рассматривается второй случай деформирования балки, когда x2 ≥ l1.
В зоне x1 ≤ x ≤ x3 при x1 ≥ l1 из уравнения равновесия и условия пластичности
следуют выражения для прогибов и скоростей прогибов:
k1 p
2
w = w0 −
( x − x2 ) ,
2 ( n ± n1 )
•
⎧⎪ k1 p ⎫⎪
k1 p
2
w = w0 − ⎨
( x − x2 ) x2 .
⎬ ( x − x2 ) +
( n ± n1 )
⎪⎩ 2 ( n ± n1 ) ⎪⎭
Условия для слабых разрывов (при x = x1 и x = x3) дают:
k px
k1 p
w1 = 1 1 ( x2 − x1 ) , w3 =
( x − x )( 2 − x3 ).
( n ± n1 ) 3 2
( n ± n1 )
(14)
Подставляя выражения w1 и w3 в (14) при x = x1 и x = x3, получим:
k1 p
k1 p
4 x3 − 4 x2 + x22 − x32 .
w0 =
x22 − x12 =
2 ( n ± n1 )
2 ( n ± n1 )
(
)
(
)
(15)
Из уравнений равновесия и условия пластичности получаем выражение для
изгибающего момента при l1 ≤ x ≤ x1 и 0 ≤ x ≤ l1:
k p
2
2
m = 1 − ( n ± n1 ) − 1 ( x − x1 ) ,
2
pl12 k1 p 2 2
px 2
2
m = 1 − ( n ± n1 ) −
+ p ( k1x1 + l1 − k1l1 ) x −
−
x1 − l1 .
2
2
2
2
Откуда при соблюдении граничного условия m x =0 = − ⎡1 − ( n ± n1 ) ⎤ ± α получим:
⎣
⎦
(
p=
146
{
}.
2
2 2 ⎡1 − ( n ± n1 ) ⎤ ∓ α
⎣
⎦
k1 x12 + l12 (1 − k1 )
2
)
(16)
Монахов И.А., Савченкова Л.В. Большие прогибы жесткопластической защемленной балки...
Далее — аналогичные математические выкладки при x3 ≤ x ≤ 2. Получим:
k p
2
2
2
m = − ( n ± n1 ) − 1 ( x − x3 ) и тогда при m x =0 = − ⎡1 − ( n ± n1 ) ⎤ ± α получим
⎣
⎦
2
2
2 ⎡ 2 1 − ( n ± n1 ) ∓ α ⎤
⎢⎣
⎥⎦
(17)
p=
.
2
k1 ( 2 − x3 )
{
}
Приравнивая равносильные выражения для w0 и p из (15), (16), (17) получим:
l2
(18)
x2 = 1 − 1 (1 − k1 ) .
4k1
Составляя и дифференцируя безусловную функцию, получаем:
p=
4 (2 ∓ α)
2
2
k1 ⎡( 2 − x2 ) + ( 2 − x3 ) ⎤
⎣
⎦
•
(19)
.
Если x1 ≤ l1 и l1 ≤ x3, то в зонах 0 ≤ x ≤ x1и x3 ≤ x ≤ 2 справедливы выражения:
•
•
⎧ w ⎫
⎧w ⎫
w = ⎨ 1 ⎬ x, w = ⎨ 3 ⎬ ( 2 − x ) .
⎩ x1 ⎭
⎩ 2 − x3 ⎭
В зоне x1 ≤ x ≤ x3 верно, что n = const, m = 1 – (n ± n1)2, Q = 0.
В зоне l1 ≤ x ≤ x3 из уравнения равновесия получаем:
•
⎧ kp ⎫
k1 p
k p
2
2
w = w0 −
( x − x2 ) , w = w0 − ⎪⎨ 1 ⎪⎬ ( x − x2 ) + 1 ( x − x2 ) x2 ,
2 ( n ± n1 )
n ± n1
⎩⎪ 2 ( n ± n1 ) ⎭⎪
а на участке x1 ≤ x ≤ l1:
p
p
p
w = w0 −
x2 +
k1x22 − k1l12 + l12 .
{k1x2 − k1l1 + l1} x −
2 ( n ± n1 )
n ± n1
2 ( n ± n1 )
{
}
Из условия слабых разрывов для w (20) получим:
k1 p
p
4 x3 − x32 − x22 − 4 x2 .
w0 =
k1 x22 − x12 + l12 (1 − k1 ) =
2 ( n ± n1 )
2 ( n ± n1 )
{
}
(
)
(20)
(21)
Из уравнения равновесия, условия пластичности и граничных условий m =
= [1 – (n ± n1)2] ± α при x = 0 и x = 2 получаем выражение для изгибающего момента и нагрузки:
p
2
2
при 0 ≤ x ≤ x1 m = 1 − ( n ± n1 ) − ( x1 − x ) ,
2
k p
2
2
при x3 ≤ x ≤ 2 m = 1 − ( n ± n1 ) − 1 ( x − x3 ) ,
2
2
2
2 2 ⎡1 − ( n ± n1 ) ⎤ ∓ α
2 2 ⎡1 − ( n ± n1 ) ⎤ ∓ α
⎣
⎦
⎣
⎦
(22)
, p=
.
p=
2
2
x1
k1 ( 2 − x3 )
{
}
{
}
147
Вестник РУДН, серия Инженерные исследования, 2014, № 1
Составляя безусловную функцию и дифференцируя ее, получим выражение:
p=
4(2 ∓ α)
l12
− k1l12 + k1 x22 + x12
(23)
.
В результате получено аналитическое решение поставленной задачи.
По полученным аналитическим зависимостям были построены графические
зависимости прогиба w0 от нагрузки p для разных значений l1, α, k1 (рис. 1—6).
148
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
Монахов И.А., Савченкова Л.В. Большие прогибы жесткопластической защемленной балки...
Рис. 5
Рис. 6
Разработанная методика решения может быть распространена на другие виды
балок и нагрузок. Полученные решения благодаря аналитической форме могут
найти непосредственное применение в практике проектирования стержневых конструкций.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Басов Ю.К., Монахов И.А. Аналитическое решение задачи о больших прогибах жесткопластической защемленной балки под действием локальной распределенной нагрузки,
опорных моментов и продольной силы // Вестник РУДН. Серия «Инженерные исследования». — 2012. — № 3. — С. 120—125. [Basov Yu.K., Monakhov I.A. Analiticheskoe reshenie zadachi o bolshih prigibah zhestkoplasticheskoj zashcemlennoj balki pod dejstviem lokalnij raspredelennoj nagruzki, opornyh momentov I prodolnoj sily // Vestnik RYDN. Seriya
«Inzhenernye issledovaniya». — 2012. — № 3. — S. 120—125].
[2] Савченко Л.В., Монахов И.А. Большие прогибы физически нелинейных круглых пластинок // Вестник ИНЖЕКОНА. Серия «Технические науки». — Вып. 8(35). — СПб., 2009. —
С. 132—134. [Savchenko L.V., Monakhov I.A. Bolshie progiby fizicheski nelinejnyh kruglyh
plastinok // Vestnik INZHEKONA. Seria «Tehnicheskie nauki». — Vyp. 8(35). — SPb.,
2009. — S. 132—134.]
[3] Галилеев С.М., Салихова Е.А. Исследование частот собственных колебаний элементов
конструкции из стеклопластика, углепластика и графена // Вестник ИНЖЕКОНА. Серия
«Технические науки». — Вып. 8. — СПб., 2011. — С. 102. [Galileev S.M., Salihova E.A.
Issledovanie chastot sobstvennyh kolebaniy elementov konstruktsiy iz stekloplastika, ugleplastika I grafena // Vestnik INZHEKONA. Seria «Tehnicheskie nauki». — Vyp. 8. — SPb.,
2011. — S. 102.]
[4] Ерхов М.И., Монахов А.И. Большие прогибы предварительно напряженной жесткопластической балки с шарнирными опорами при равномерно распределенной нагрузке и краевых
моментах // Вестник отделения строительных наук Российской академии архитектуры
и строительных наук. — 1999. — Вып. 2. — С.151—154. [Erhov M.I., Monakhov A.I.
Bolshie progiby predvaritelno napryazhennoj zhestkoplasticheskoj balki s sharnirnymi oporami
pri ravnomerno raspredelennoj nagruzke I kraevyh momentah // Vestnik otdeleniya stroitelnyh
nauk Rossijskoj akademii arhitektury I stroitelnyh nauk. — 1999. — Vyp. 2. — S. 151—154].
149
Вестник РУДН, серия Инженерные исследования, 2014, № 1
THE LARGE DEFLECTIONS
OF THE PREVIOUSLY INTENSE IDEAL PLASTIC BEAMS
WITH THE REGIONAL MOMENTS
I.A. Monakhov1, L.V. Savchenkova2
1
Department of Building production manufacture
Faculty Building
Moscow State Machine- building University
Pavla Korchagina str., 22, Moskow, Russia, 129626
2
Department of Transport-technological machines and systems
Faculty Automobiles and tractors
Moscow State Machine-building University
Pavla Korchagina str., 22, Moskow, Russia, 129626
In the work up the technique of the decision of problems about the large deflections of beams
from ideal hard-plastic material, with various kinds of fastening, for want of action of the asymmetrically distributed loads with allowance for of preliminary stretching-compression is developed. The developed technique is applied for research of the strained-deformed condition of beams, and also for calculation of a deflection of beams with allowance for of geometrical nonlinearity.
Key words: beam, analytic, nonlinearity.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа