close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Исследование изгиба прямоугольной пластины приближёнными методами с учётом деформаций сдвига..pdf

код для вставкиСкачать
Механика и машиностроение
11. Результаты испытаний отечественных и зарубежных
шарошечных долот на карьерах АК «АЛРОСА» / Ю.В. Филипповский [и др.] // Актуальные проблемы разработки кимберлитовых месторождений: Современное состояние и пер-
спективы решения: сб. докл. / АК «АЛРОСА». М.: Руда и
металлы, 2002. С.64–70.
12. Буровое и горнотранспортное оборудование железорудных карьеров России и стран СНГ / С.П. Решетняк [и др.]
// Горная промышленность. 2009. №5. С.18–29.
УДК 539.3
ИССЛЕДОВАНИЕ ИЗГИБА ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ ПРИБЛИЖЁННЫМИ
МЕТОДАМИ С УЧЁТОМ ДЕФОРМАЦИЙ СДВИГА
© Н.В. Осадчий1, В.Т. Шепель2
ОАО «Научно-производственное объединение «Сатурн»,
152903, Россия, г. Рыбинск, Ярославская обл., пр. Ленина, 163.
Представлено исследование изгиба прямоугольной пластины приближенными методами с учетом деформации
сдвига. В данном случае рассмотрен поперечный изгиб прямоугольной, жестко закрепленной по кромкам пластины методом Бубнова-Галёркина при условии того, что угол поворота кромок пластины от сдвига не ограничен.
Выполненный анализ точности показал, что при вычислении прогибов предлагаемая методика позволяет достигнуть приемлемой точности при малом количестве членов рядов. При вычислении изгибающих моментов сходимость хуже, чем при вычислении прогибов.
Ил. 3. Библиогр. 3 назв.
Ключевые слова: пластина; метод Бубнова-Галёркина; изгиб; прогиб; моменты.
RECTANGULAR PLATE BENDING STUDIES BY APPROXIMATE METHODS WITH REGARD TO SHEAR STRAIN
N.V. Osadchy, V.Т. Shepel
NPO Saturn JSC,
163 Lenin pr., Rybinsk, Yaroslavl region, 152903, Russia.
The paper presents a research of rectangular plate bending with the use of approximate methods with regard to shear
strain. Using the Bubnov-Galyorkin method, it examines a lateral bending of the rectangular plate rigidly fixed on the
edges provided that the plate edge rotation angle is not limited from the shear. The performed accuracy analysis showed
that when calculating deflections the proposed methods allow to achieve the adequate accuracy with a small number of
the term of a series. It is noted that convergence is worse under the calculation of bending moments than under the calculation of deflections.
2 figures. 3 cources.
Key words: plate; Bubnov-Galyorkin method; bending; deflection; moments.
Введение. В основу данной работы положена система дифференциальных уравнений поперечного изгиба
прямоугольной пластины (1) [3], которая имеет аналитическое решение лишь для ограниченного круга условий
закрепления кромок пластины. Кроме этого, её решение связано с трудоёмкими и длительными вычислениями.
 2  2
3
 2 
 q,
2
x
y
2h
(1)
 1
DY  4 
4w
4w
4w
4  DX  4
1   4

2

D


D


q




D




 4 ,



0
y
0
2
2
x 4
x 2y 2
y 4
5  GXZ x 4
 GXZ GYZ  x y GYZ y 
где DX , DY – цилиндрические жесткости пластины при изгибе относительно осей OX и OY; D0 – жесткость пластины при кручении; GXZ , GYZ – модули сдвига пластины в плоскостях XZ и YZ; h – толщина пластины; q – распределенная поперечная нагрузка.
В ряде случаев задачу о поперечном изгибе пластины проще решить с помощью приближённых методов.
Поэтому в статье рассмотрен поперечный изгиб прямоугольной, жёстко защемлённой по кромкам пластины методом Бубнова–Галёркина [2, 3] при условии, что поворот кромок пластины от сдвига ничем не ограничен.
Приближенное решение. В данной задаче координата пластины X изменяется в интервале [0…а], а координата Y – в интервале [0…b], где a и b – размеры пластины в плане (рис. 1).
DX 
___________________________
1
Осадчий Николай Васильевич, кандидат технических наук, эксперт по прочности, тел.: 89206522794.
Osadchy Nikolai, Candidate of technical sciences, Expert on durability, tel.: 89206522794.
2
Шепель Вячеслав Тимофеевич, доктор технических наук, профессор, начальник КО Сертификации, тел.: 89605386407,
e-mail: sshepel@yandex.ru
Shepel Vyacheslav, Doctor of technical sciences, Professor, Head of the Construction Department of Certification, tel.:
89605386407, e-mail: sshepel@yandex.ru
ВЕСТНИК ИрГТУ №2 (85) 2014
49
Механика и машиностроение
Рис. 1. Координаты и размеры пластины в плане
Правая часть второго уравнения (1) представляет собой сумму двух функций:
FB ( x, y)  q( x, y) ,
 1
DY  4 
4  D  4
1   4
FS ( x, y )    X  4  D0  

 4.
 2 2 
5  GXZ x
 GXZ GYZ  x y GYZ y 
(2)
Поэтому решение уравнения (1) можно представить как сумму решений двух уравнений:
- первое из них описывает поперечный изгиб ортотропной пластины без учёта деформаций сдвига
DX 
 4 wb
 4 wb
 4 wb

2

D


D

q,
0
y
x 4
x 2y 2
y 4
(3)
- второе уравнение – уравнение поперечного изгиба пластины от распределённой нагрузки Fs  x, y  – описывает поперечный прогиб пластины, обусловленный деформацией сдвига
 1
4w
4w
4w
DY  4 
4  D  4
1   4
DX  4s  2  D0  2 s 2  Dy  4s    X  4  D0  



 2 2 
x
x y
y
5  GXZ x
GYZ y 4 
 GXZ GYZ  x y
(4)
Таким образом, полный прогиб пластины, равный сумме решений уравнений (3) и (4), будет представлять
собой сумму прогибов от изгиба и сдвига.
В результате систему (1) можно переписать в виде
 2  2
3


 q,
x 2 y 2
2h
DX 
DX 
 4 wb
 4 wb
 4 wb

2

D


D

 q,
0
y
x 4
x 2y 2
y 4
 1
 4 ws
4w
 4 w 4  D  4
1
 2  D0  2 s 2  Dy  4s    X  4  D0  

4
x
x y
y
5  GXZ x
 GXZ GYZ
(5)
  4
DY  4 
 4 .
 2 2 
 x y GYZ y 
w( x, y )  wb ( x, y )  ws ( x, y ).
Решение первого уравнения системы (5) включает одну неизвестную функцию – функцию сдвига
n,m ( x, y)
и решается независимо от остальных уравнений. Уравнения метода Бубнова–Галёркина для данного случая запишем в виде
  2  2

3
0 0  x2  y 2  2  h  q  n,m ( x, y)  dx  dy  0 .
b a
Причём функции
n,m ( x, y)
представим в виде двойного тригонометрического ряда, который получается при
решении задачи о поперечном изгибе пластины с учётом сдвига методом Навье [2]:
50
(6)
ВЕСТНИК ИрГТУ №2 (85) 2014
Механика и машиностроение
 n   x 
 m   y 
  sin 
,
 a 
 b 
k
k
 n   x 
 m   y 
 ( x, y )   Bn,m  sin 
  sin 
.
 a 
 b 
n 1 m 1
Используя свойство ортогональности функции n,m ( x, y)
n,m ( x, y )  sin 
b a
 
n,m
( x, y)   j ,k ( x, y)  dx  dy 
0 0
(7)
Bn,m при n  j ,m  k,
0 при n  j , m  k,
(8)
можно получить формулу для любого члена ряда (7)
 m 
 n 
96  a  b  q  sin 
  sin 

 2 
 2 
 2
  h   a 2  m2  b2  n2    2    m  sin  2    m     2    n  sin  2    n  
2
2
Bnm
2
2
(9)
В [1] выполнено исследование изгиба удлинённой пластинки по цилиндрической поверхности. Согласно [1]
полный прогиб пластинки складывается из прогиба, обусловленного изгибом, и прогиба, обусловленного сдвигом. Причём вид уравнения, описывающего прогиб, обусловленный изгибом, совпадает с уравнением для балки,
жёстко заделанной по концам. При этом вид уравнения прогибов, обусловленных сдвигом, совпадает с уравнением для прогибов от сдвига для шарнирно-опёртой балки. В соответствии с этим функцию, описывающую прогиб пластины от изгиба, выберем в виде двойного степенного ряда (аналогичного уравнению прогибов при изгибе
удлинённой пластинки по цилиндрической поверхности):
k
k
wb ( x, y )   An ,m 
n 1 m 1
1
1
 
2

 xn   a  x   y m  b  y 
2m  2n
 a 2n  b 2m
n
m
.
(10)
Функцию, описывающую прогиб, обусловленный сдвигом, запишем в виде двойного тригонометрического ряда:
k
k
 n   x 
 m   y 
ws ( x, y )   Cn,m  sin 
  sin 
.
 a 
 b 
n 1 m 1
(11)
Граничные условия можно представить в виде

w( x, y )  0,
x

y  0, y  b  w( x, y )  0,
w( x, y )  0.
y
x  0, x  a  w( x, y )  0,
(12)
Члены ряда (11) удовлетворяют граничным условиям (12). Действительно, подставляя значения координат
x  0 , x  a и y  0 , y  b в выражения для углов поворота
n 1
m
m
wb x  y   a  x   (b  y )  n   a  2  x 

,
2m  2n
x
1
2n
2m
 a b
 
2
n 1
n
m 1
m 1
wb x  y   a  x   (b  y )  n   b  2  y 

,
2m  2n
y
1
 a 2n  b 2m
 
2
 
(13)
n
(14)
получим равенства (12).
Члены ряда (11) удовлетворяют условию отсутствия прогиба на кромках пластины. В этом можно убедиться,
подставив координаты кромок пластины в выражения (11).
Найдём выражения для коэффициентов ряда (10). Для этого ограничимся пятью первыми членами ряда (10).
Причём будем рассматривать случай, когда n  m . Уравнения метода Бубнова–Галёркина будут иметь вид


 4 wb
 4 wb
 4 wb
D


2

D


D

 q   wbn,m ( x, y )  dx  dy  0. (15)
0
y
2
2
4
0 0  X x4
x y
y

b a
ВЕСТНИК ИрГТУ №2 (85) 2014
51
Механика и машиностроение
Функция
wbn,m ( x, y) имеет вид
wbn,m ( x, y)  x n   a  x   y m   b  y  .
n
m
Подставляя функции из ряда (10) в уравнение (15), получим систему уравнений, линейных относительно коэффициентов An , m . Матрица коэффициентов при неизвестных и матрица свободных членов определяются с
помощью выражения (15).
Коэффициенты Cn , m в выражении прогиба от сдвига (11) найдём из уравнений метода Бубнова-Галёркина,
которые будут иметь вид

Dy  4  
 1
 4 ws
 4 ws
 4 ws 4  Dx  4
1   4
D


2

D


D





D




 4    wsn,m ( x, y )  dx  dy  0. (16)




0
y
0
2
2
4
4
2
2
0 0  X x4

x

y

y
5
G

x
G
G

x

y
G
y  
XZ

XZ
YZ

YZ


b a
Используя равенства (16) и (11) и свойство ортогональности (7), (8), можно получить общую формулу для
коэффициентов ряда (11):
 m 
 n 
4
4
4
4
2
2
2
2
2
2
2
2
384  a 2  b2  q  sin 
  sin 
   DY  GXZ  a  m  DX  GYZ  b  n  D0  GXZ  a  b  m  n  D0  GYZ  a  b  m  n 
(17)
2 
2 



.
5   4  GXZ  GYZ  h  (a 2  m2  b 2  n 2 )   sin  2    m   2    m    sin  2    n   2    n   ( DY  a 4  m 4  2  D0  a 2  b 2  m 2  n 2  Dx  b 4  n4 )
2
Cn,m
2
Изгибающие моменты для пластины равны [2]:
- относительно оси OX
 1  2  XY  2 
 2w
2w  4
M X   DY   2   XY  2    DY  
 2
 2,
 x 5
 y
 GYZ y GXZ x 
(18)
- относительно оси OY
 1  2 YX  2 

 2
 2 .
(19)
 GXZ x GYZ y 
Подставив выражение для полного прогиба как суммы прогиба от изгиба wb ( x, y) и прогиба от сдвига
ws ( x, y) в (18) и (19), получим следующие выражения для изгибающих моментов:
 2w
2w  4
M Y   DX   2  YX  2    DX
 y 5
 x
 1  2  XY  2 
 2w
 2w
2w 
2w  4
M X   DY   2 b   XY  2 b   DY   2 s   XY  2 s    DY  
 2
 2  , (20)
 x
 x 5
 y
 y
 GYZ y GXZ x 
 2w
2w 
M Y   DX   2 b  YX  2 b   DX
 y
 x
 2w
2w  4
  2 s  YX  2 s    DX
 y 5
 x
 1  2 YX  2 

 2

.
GYZ y 2 
 GXZ x
(21)
Анализ выражений (20) и (21) показывает, что первое слагаемое в этих выражениях определяет изгибающий
момент, обусловленный изгибом пластины. Два других слагаемых определяют изгибающие моменты, связанные
с деформациями сдвига. Таким образом, мы имеем равенства:
- для моментов, обусловленных деформациями изгиба:
52
 2w
2w 
M bX   DY   2 b   XY  2 b  ,
 x
 y
(22)
 2w
2w 
M bY   DX   2 b  YX  2 b  ;
 y
 x
(23)
ВЕСТНИК ИрГТУ №2 (85) 2014
Механика и машиностроение
- для моментов, обусловленных деформациями сдвига:
 1  2  XY  2 
 2w
2w  4
M sX   DY   2 s   XY  2 s    DY  
 2
 2 ,
 x 5
 y
 GXZ y GXZ x 
(24)
 1  2 YX  2 
  2 ws
 2 ws  4
  DX   2  YX  2    DX  
 2
 2 .
 y 5
 x
 GXZ x GYZ y 
(25)
M sY
Анализ полученных выражений позволяет сделать вывод, что изгибающий момент в пластине в общем случае зависит от жёсткости пластины на сдвиг.
Выясним, при каких условиях изгибающий момент в пластине не зависит от жёсткости пластины на сдвиг и
определяется только деформациями изгиба, то есть определим условия, при которых выполняются равенства
 1  2  XY  2 
  2 ws
 2 ws  4
DY   2   XY  2    DY  
 2
 2 ,
 x 5
 y
 GYZ y GXZ x 
(26)
 1  2 YX  2 

 2
 2.
(27)
 GXZ x GYZ y 
Для этого проанализируем выражения в квадратных скобках. Функции ws ( x, y) и  ( x, y ) являются ряда 2w
2w  4
DX   2 s  YX  2 s    DX
 y 5
 x
ми, поэтому их можно сравнивать почленно. Кроме того, эти функции одинаковы. Поэтому можно сравнивать
только коэффициенты при членах рядов. Таким образом, равенства (26) и (27) будут выполняться, если
GXZ   DY  a 4  m4  DX  b 4  n 4  2  D0  a 2  b 2  m2  n 
Cn,m   Bn,m 
, (28)
DY  GXZ  a 4  m4  DX  GYZ  b 4  n 4  D0  GXZ  a 2  b 2  m 2  n 2  D0  GYZ  a 2  b 2  m 2  n 2
GYZ   DY  a 4  m4  DX  b 4  n 4  2  D0  a 2  b 2  m2  n 
Cn,m   Bn,m 
. (29)
DY  GXZ  a 4  m4  DX  GYZ  b 4  n 4  D0  GXZ  a 2  b 2  m 2  n 2  D0  GYZ  a 2  b 2  m 2  n 2
Уравнения (28) и (29) тождественны для случая, когда пластина изготовлена из изотропного материала
GXZ  GYZ  G .
Достоверность приближенного решения оценивалась путем его сравнения с точным решением для частного
случая изгиба и прогиба прямоугольной пластины без учета эффекта сдвига [2]. Для расчета принималась прямоугольная квадратная пластина с размерами 100×100 мм, толщиной 1 мм, при равномерно распределённой
2
4
2
нагрузке 0,02 кгс/мм , с модулем упругости 2·10 кгс/мм , коэффициентом Пуассона 0,3 и модулем сдвига
E / 2  1    = 7692 кгс/мм2. Величина прогиба в этом случае равна 1,385 мм. Точное значение прогиба
1,376 мм. Погрешность не превышает 0,65 %.
Расчёты показывают, что для квадратной пластины изгибающие моменты MbX, MbY равны (24), (25):
2
2
- для центра пластины – 0,0296·q·a (точное решение [2] 0,0231·q·a );
2
2
- для точки, расположенной посередине края пластины, – 0,05399·q·a (точное решение [2] 0,0513·q·a ).
Ошибка при вычислении изгибающих моментов не превышает 5,2%. Следует заметить, что ошибку вычисления
изгибающих моментов можно уменьшить, увеличив количество членов ряда (10). Однако для практических вычислений полученная погрешность вполне приемлема.
Исследование точности вычисления прогибов и изгибающих моментов, обусловленных сдвигом, удобнее
производить, построив зависимость значения прогиба и изгибающего момента от количества удерживаемых членов ряда. Будем рассматривать квадратную прямоугольную пластину размерами 100×100 мм, толщиной 5 мм, с
4
2
2
модулем упругости 2·10 кгс/мм , коэффициентом Пуассона 0,3 и модулем сдвига 79,6 кгс/мм .
Для оценки точности вычисления прогиба от сдвига использовано выражение
s 
где
k  1,3...n(m) .
ws ( x, y, k )  ws ( x, y, k  1)
ws ( x, y, k )
100% ,
(30)
На рис. 2 показана зависимость Δ s от числа удерживаемых членов ряда. Видно, что при трёх членах ряда
ошибка в вычислении прогиба равна 1%, а при восьми членах ряда она не превышает 0,1%.
ВЕСТНИК ИрГТУ №2 (85) 2014
53
Механика и машиностроение
Рис. 2. Зависимость точности вычисления прогибов, обусловленных сдвигом, от количества
удерживаемых членов ряда
Оценку точности вычисления изгибающих моментов, обусловленных деформациями сдвига, производить
аналогично.
Для расчёта изгибающих моментов, обусловленных сдвигом, зададим значения модулей сдвига равными
GXZ = 769,2 кгс/мм2, GYZ = 76,9 кгс/мм2. Исследование зависимостей (24) и (25) показывает, что ряд для изгибающих моментов сходится медленно. Например, для получения точности 6% необходимо удержать 75 членов
ряда (24, 25) (рис. 3), а для получения точности 2% необходимо удержать не менее 200 членов ряда.
Рис. 3. Зависимость точности вычисления изгибающих моментов, обусловленных сдвигом, от количества
удерживаемых членов ряда
54
ВЕСТНИК ИрГТУ №2 (85) 2014
Механика и машиностроение
Заключение. Выполненный анализ точности показал, что при вычислении прогибов предлагаемая методика
позволяет достичь необходимой точности при малом количестве членов рядов. При вычислении изгибающих
моментов сходимость рядов хуже, чем при вычислении прогибов. Однако, имея общую формулу для коэффициентов при членах ряда, можно достичь необходимой точности расчёта. Данный метод позволяет оценить величину прогибов и изгибающих моментов квадратной пластины с учётом деформаций сдвига.
Таким образом, предложенный приближенный метод расчета пластины методом Бубнова–Галёркина с учетом деформаций сдвига имеет важное практическое значение для тестирования конечно-элементных моделей
композитных панелей сложной геометрии и структуры.
Статья поступила 9.12.2013 г.
Библиографический список
1. Осадчий Н.В., Шепель В.Т. Аналитическое исследование цилиндрического изгиба пластин с учетом деформаций сдвига при
различных условиях закрепления их кромок // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2013. №9(80).
С.82–89.
2. Тимошенко C.П., Войновский–Кригер С. Пластины и оболочки. М.: Наука, 1966. 635 c.
3. Справочник по строительной механике корабля / Г.В. Бойцов [и др.]. В 3 т. Т. 2: Пластины. Теория упругости, пластичности
и ползучести. Численные методы. Л.: Судостроение, 1982. 464 с.
УДК 621.914.1
ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТИ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ ОТ ПАРАМЕТРОВ РЕЗАНИЯ
ПРИ ВЫСОКОПРОИЗВОДИТЕЛЬНОМ ФРЕЗЕРОВАНИИ АЛЮМИНИЕВЫХ СПЛАВОВ*
© А.В. Савилов1, С.А. Тимофеев2
Иркутский государственный технический университет,
664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Рассматривается зависимость электропроводности в образцах из деформируемого алюминиевого сплава от режимов резания при фрезеровании концевыми и торцевыми фрезами.
Ил. 7. Табл. 2. Библиогр. 8 назв.
Ключевые слова: авиационные детали; высокопроизводительное фрезерование; алюминий; неразрушающий
контроль; вихретоковый контроль; электропроводность.
STUDYING ELECTRICAL CONDUCTIVITY DEPENDENCE ON CUTTING PARAMETERS UNDER
HIGH-PERFORMANCE MILLING OF ALUMINUM ALLOYS *
A.V. Savilov, S.A. Timofeev
Irkutsk State Technical University,
83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.
The article deals with the dependence of electrical conductivity of wrought aluminum alloy samples on cutting modes
under face and end milling.
7 figures. 2 tables. 8 sources.
Key words: aircraft parts; high-performance milling; aluminum; non-destructive testing; eddy current testing; electrical
conductivity.
При механообработке авиационных деталей
большое внимание уделяется обеспечению прочности, коррозийной стойкости материала, отсутствию в
нём дефектов. Эти процедуры регламентируются соответствующей нормативной документацией. Для
проведения контроля механических свойств и структуры материала деталей применяются различные методы. Например, для контроля алюминиевых деталей
применяется измерение электропроводности методом
вихревых токов. Этот метод неразрушающего контроля отличается точностью, оперативностью, низкой
стоимостью применяемой аппаратуры и простотой её
использования. Измерение электропроводности может производиться в производственных условиях без
специальных подготовительных мероприятий.
Вихретоковый метод уже довольно долгое время
применяется для эффективного контроля электропроводных материалов. В общем виде данный метод выглядит следующим образом (рис. 1). При воздействии
переменного электромагнитного поля в металле исследуемой детали возникают так называемые вихревые токи. Они создают собственное электромагнитное
поле, которое противодействует внешнему полю. Появление поля вихревых токов фиксируется измери-
___________________________
1
Савилов Андрей Владиславович, кандидат технических наук, доцент кафедры оборудования и автоматизации машиностроения, тел.: (3952)481859, e-mail: saw@istu.edu
Savilov Andrei, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Machinery and Automation of Mechani cal
Engineering, tel.: (3952) 481859, e-mail: saw@istu.edu
2
Тимофеев Сергей Анатольевич, аспирант, тел.: 8(3952)405280, e-mail: sevans@istu.edu
Timofeev Sergey, Postgraduate, tel.: 8(3952) 405280, e-mail: sevans@istu.edu
ВЕСТНИК ИрГТУ №2 (85) 2014
55
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
2 587 Кб
Теги
изгиб, приближёнными, пластины, прямоугольный, методами, сдвигу, pdf, учётов, деформация, исследование
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа