close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Исследование напряженного состояния в шестиугольной пластинке ослабленной центральным круглым отверстием с шероховатостью..pdf

код для вставкиСкачать
Известия Томского политехнического университета. 2006. Т. 309. № 1
потери через наружные поверхности бруса и бревна
(кривые 2) вначале резко растут, достигая при τ≈1 ч
максимальных значений, а затем уменьшаются,
стремясь к своим стационарным значениям. Тепло
вые потери через внутренние поверхности бруса и
бревна (кривые 1) с самого начала постоянно мед
ленно растут, также асимптотически стремясь к
своим стационарным значениям только снизу. По
сле выхода процесса теплопереноса на стационар
ный режим тепловые потери через внутреннюю и
наружную поверхности каждого из фрагментов ура
вниваются, что служит одним из подтверждений до
стоверности расчетов. При этом тепловые потери
через утепленный брус ниже, чем через утепленное
бревно: 6,3 Вт и 7,8 Вт соответственно.
Таким образом, на основании математического
моделирования процессов нестационарного тепло
переноса в неоднородных брусе и бревне выявлены
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. СНиП II379*. Строительная теплотехника / Госстрой Рос
сии. – М.: ГУП ЦПП, 2000. – 29 с.
2. Пат. 38793 Россия. МПК E04C 3/292. Деревянный брус /
А.Н. Хуторной, С.В. Хон, А.Г. Козырев, А.В. Колесникова,
О.И. Недавний, А.Я. Кузин, Н.А. Цветков. Приоритет
22.03.2004. Зарегистрирован 10.07.2004. Бюл. № 19. – 2 с.: 1 ил.
3. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных за
дач математической физики. – Новосибирск: Наука, 1967. –
195 с.
4. Гришин А.М., Берцун В.Н. Итерационноинтерполяционный
метод и теория сплайнов // Доклады АН СССР. – 1974. – Т.
214. – № 4. – С. 751–754.
закономерности распределения температур и плот
ностей тепловых потоков в их поперечных сече
ниях; проведен сравнительный анализ теплоза
щитной эффективности. Показано, что снижение
теплопроводности утеплителя и использование де
ревянных фрагментов в форме утепленного бруса
вместо утепленного бревна приводит к повыше
нию теплозащитной эффективности деревянных
наружных ограждений. Разработанная численная
технология позволяет проводить тепловую эк
спрессдиагностику наружных утепленных дере
вянных стен с различными теплофизическими и
геометрическими характеристиками древесины и
утеплителя в реальных условиях эксплуатации.
Работа выполнена по программе Федерального агентства по
образованию “Развитие научного потенциала высшей школы”
(Подпрограмма 2. Прикладные исследования и разработки по при
оритетным направлениям науки и техники), код проекта 7756.
5. Гришин А.М., Зинченко В.И., Ефимов К.Н., Субботин А.Н.,
Якимов А.С. Итерационноинтерполяционный метод и его
приложения. – Томск: Издво Томск. унта, 2004. – 318 с.
6. Гришин А.М., Кузин А.Я., Миков В.Л., Синицын С.П., Труш
ников В.Н. Решение некоторых обратных задач механики реа
гирующих сред. – Томск: Издво Томск. унта, 1987. – 247 с.
7. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных ра
ботников и инженеров. – М.: Наука, 1973. – 831 с.
8. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных
уравнений. – М.: Наука, 1978. – 592 с.
9. Богословский В.Н. Строительная теплофизика. – М.: Высшая
школа, 1970. – 376 с.
УДК 621.923
ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ В ШЕСТИУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНКЕ,
ОСЛАБЛЕННОЙ ЦЕНТРАЛЬНЫМ КРУГЛЫМ ОТВЕРСТИЕМ С ШЕРОХОВАТОСТЬЮ
Р.К. Калбиев
Азербайджанский архитектурностроительный университет, г. Баку
Email: elektroset@box.az
Работа посвящена изучению напряженного состояния шестиугольной пластинки, ограниченной снаружи шестиугольным конту
ром, а изнутри центрально расположенным отверстием, близким к круговому. На основе методов теории функции комплексно
го переменного и конформного отображения рассмотрено напряженное состояние для неодносвязных областей. Искомые функ
ции ищутся в виде степенных рядов, коэффициенты которых определяются решением совокупности некоторых бесконечных си
стем линейных алгебраических уравнений.
Работоспособность деталей машин и элементов
конструкций в виде пластин зависит от наличия в
них концентратов напряжений типа полостей, ще
лей, шероховатостей и т.д. Поэтому изучение ра
спределения напряжений и деформаций около та
ких дефектов представляет теоретический и прак
тический интерес.
142
Как известно, в отличие от идеальной, изобра
жаемой на чертежах, реальная поверхность тел (де
талей) никогда не бывает абсолютно гладкой, а
всегда имеет микро или макроскопические неров
ности, образующие шероховатость. Качество обра
ботки поверхности деталей машиностроении су
щественно влияет на их прочность. Так, например,
Технические науки
повышение чистоты обработки при прочих равных
условиях увеличивает статическую прочность, осо
бенно хрупкую, и, в большей степени, предел вы
носливости. Эти факты объясняются влиянием
микрогеометрии обработанной поверхности на на
пряженное поле. Таким образом, неровности, об
разующиеся при обработке рабочей поверхности,
являются эффективными концентраторами напря
жений и могут в несколько раз снижать прочность.
Исследуем однородную изотропную пластинку,
состоящую из двухсвязной области S, ограничен
ной снаружи шестиугольным контуром L1, а изну
три центрально расположенным отверстием, близ
ким к круговому L2 (рис. 1).
Рис. 2. Шероховатость внутреннего контура
Граничное условия на внешнем шестиугольном
контуре будут [1] в нулевом приближении такие же,
как в исходной задаче
f1(0)(t)=f1(t)
и в первом приближении будут нулевыми
f1(1)(t)=0.
Значения компонент напряжений (σr(0), σθ(0), τrθ(0),
(1)
σr , σθ(1), τrθ(1)) при r=ρ(θ) найдем, разлагая в ряд вы
ражения для напряжений в окрестности r= r2.
Рис. 1.
Шестиугольная пластинка, ослабленная централь
ным круглым отверстием с шероховатостью
Введем полярную систему координат. Предста
вим границу внутреннего контура пластинки в сле
дующем виде (рис. 2):
ρ(θ)=r2+δ(θ),
где θ – аргумент точки контура L2.
Запишем второе слагаемое в правой части ура
внения в виде δ(θ)=εH(θ). Здесь ε – малый пара
метр, равный отношению высоты наибольшего вы
ступа профиля к радиусу отверстия или отноше
нию глубины наибольшего отступа профиля к ра
диусу отверстия; H(θ) – функция, независимая от
малого параметра.
Компоненты тензора напряжений ищем в виде
разложений по малому параметру ε:
σr=σr(0)+εσr(1)+…,
σθ=σθ(0)+εσθ(1)+…,
(1)
(0)
(1)
τrθ=τrθ +ετrθ +…,
в которых для упрощения задачи пренебрегаем
членами, содержащими малый параметр ε в степе
ни выше первой. В соотношениях (1) σr(0), σθ(0) и τrθ(0)
– напряжения нулевого приближения, а σr(1), σθ(1) и
τrθ(1) – напряжения первого приближения. Каждое
из приближений удовлетворяет системе дифферен
циальных уравнений равновесия.
∂σ r(0)
r=ρ
r = r2
r= r2 ε Í (θ ) + ...
∂r
....................................................................
σ r(0)
= σ r(0)
+
(2)
∂τ
r= r2 ε Í (θ ) + ...
∂r
Граничные условия на контуре L2 представим в
виде
σ n = σ r cos 2 ϕ + σ θ sin 2 ϕ − 2τ r θ sin ϕ cosϕ = 0,
τ θ(1)r
r =ρ
= τθ(1)r
r = r2
+
(1)
θr
τ nt = (σ θ − σ r ) sin ϕ cos ϕ + τ r θ (sin 2 ϕ − cos 2 ϕ ) = 0. (3)
Если взять sinϕ и cosϕ с точностью до величин
первого порядка малости и подставить выражения
(2) в граничные условие (3), то после преобразова
ния краевые условия при r= r2 получим в следую
щем виде:
σ r(0) = 0; τ r(0)
θ = 0,
σ r(1) + Í (θ )
τ θ(1)r + Í (θ )
∂σ r(0)
1 dÍ (θ )
− 2τ r(0)
= 0,
θ
∂r
r2 dθ
∂τ θ(0)r
1 dÍ (θ )
- (σ θ(0) − σ r(0) )
= 0.
∂r
r2 dθ
(4)
Решение в нулевом приближении является из
вестным. При этом на контуры пластинки действу
ют кусочноравномерно распределенные нагрузки
с интенсивностями Р1 и Р2 соответственно под
углом 2α1 и 2α2 (рис. 1).
143
Известия Томского политехнического университета. 2006. Т. 309. № 1
Перейдем далее к представлению компонент
напряжения при помощи функций ϕ, ψ. С этой це
лью найдем выражение для усилия, действующего
на элемент какоголибо профиля, проведенного в
плоскости Oxy.
Рассмотрим на этой плоскости какуюлибо дугу
АВ. Для определенности припишем ей некоторое по
ложительное направление, а именно от А к В, и бу
дем проводить нормаль n к ней вправо по отноше
нию к наблюдателю, движущемуся в положительном
направлении. Иными словами, предположим, что
положительные направления нормали и касатель
ной расположены друг относительно друга так же,
как направления осей Ox, Oy (рис. 3). Под усилием
(Xnds, Ynds), действующим на элемент ds дуги конту
ра, будем, как всегда, подразумевать усилие, дей
ствующее со стороны положительной нормали [1].
Найдем выражение для главного вектора уси
лий, приложенных к данной дуге АВ, расположен
ной в области S, занятой телом. Обозначим через
(X, Y) главный вектор.
Если считать точку А зафиксированной, а точку
В – переменной, и обозначить ее аффикс через
z=x+iy, получим:
φ ( z ) + zφ '( z ) +ψ ( z ) = i ∫ ( X n + iYn )ds + const =
ÀÂ
= i ( X + iY ) + const,
(5)
где (X, Y) представляет собой главный вектор уси
лий, приложенных со стороны положительной нор
мали к произвольной дуге, соединяющей фиксиро
ванную точку А с переменной точкой В(x, y), при
чем положительная нормаль считается обращенной
вправо по отношению к наблюдателю, движущему
ся по рассматриваемой дуге от А к В (рис. 3).
На основании формулы (5) имеем:
t
φ (t ) + tφ '(t ) +ψ (t ) = i ∫ ( X n + iYn )ds =
t0
s
= i ∫ ( X n + iYn )ds.
Выражение в левой части формулы (6) следует
понимать как граничное значение выражения
φ (z) + zφ '( z ) +ψ ( z )
при стремлении z к точке t контура L. Это гранич
ное значение, как легко видеть, существует вслед
ствие принятого нами условия относительно непре
рывности компонент напряжения вплоть до конту
ра L. Заметим еще, что формулу (6) мы написали,
опираясь на формулу (5), которая была выведена в
предположении, что дуга, обозначенная через АВ,
целиком расположена в S. Однако, как легко ви
деть, в нашем случае последняя формула примени
ма и тогда, когда дуга АВ принадлежит границе L;
это вытекает из того же условия непрерывности
компонент напряжения вплоть до границы [1].
Таким образом, граничное условие задачи I вы
ражается формулой (6), понимаемой в указанном
выше смысле.
Как известно [1], определение напряженного
состояния в данной области приводиться к нахож
дению двух аналитических функций ϕ(z) и ψ(z)
комплексных переменных, удовлетворяющих
определенным граничным условиям на Lj:
φ (t ) + φ (t ) +ψ (t ) = f j (t ) + Ñ j , t ∈ L j , ( j = 1, 2). (7)
Здесь t – аффикс точек контура Lj; Сj – веще
ственные постоянные (одну из которых, например
С1, примем равной нулю, а С2 подлежит определе
нию). f1(t) примем в виде степенного ряда, т.е.
f 1 (t ) =
Рис. 3. Представление компоненты напряжений
В случае задачи I граничное условие можно вы
разить двумя различными способами. Мы укажем
только один из них. Способ, на котором мы оста
новимся, заключается в следующем. Пусть Xn(t),
Yn(t) или, при иных обозначениях, Xn(s), Yn(s), – за
данные значения компонент внешнего напряже
ния в данной точке t контура; через s обозначена,
как всегда, дуга контура, соответствующая точке t,
отсчитываемая в положительном направлении от
некоторой фиксированной точки t0. За положи
тельное направление на L примем то, что остается
в области S слева.
144
(6)
0
∞
∑Í
ν =−∞
(1) ν
ν
τ ,
f1 (t ) = 0,
(8)
где τ=eiθ, τ – аффикс, а θ – аргумент точки контура
единичной окружности, определяются из условия
непрерывности функций fj(t) на контуре L1.
Аналитические функции ϕ(z) и ψ(z) в трехсвяз
ной области S ищем в виде
ê
ê
N
∞
⎛r ⎞
⎛z⎞
φ ( z ) = Σ àê(1) ⎜ ⎟ + Σ åê(1) ⎜ 2 ⎟ ,
ê =0
⎝ À ⎠ ê= 1 ⎝ z ⎠
ê
ê
N
∞
⎛z⎞
⎛r ⎞
( z ) = Σ Àê(1) ⎜ ⎟ + Σ Åê(1) ⎜ 2 ⎟ .
ê =0
ê= 1
À
⎝ ⎠
⎝z⎠
(9)
На основе геометрических и силовых симметрий
(это есть условие равенства нулю главного момента
(1)
(1)
(1)
(1)
внешних
⎯ усилий) коэффициенты aк , eк , Aк , Eк
(к=0,∞ ) будут вещественными [1]. N – верхний пре
дел суммы. Выбирается в зависимости от точности,
с которой желательно получить искомое решение.
Формально, лишь с целью несколько облегчить ма
тематические выкладки, верхний предел возьмем
равным бесконечности, в последующем, для иллю
Технические науки
страции решения фактически будем рассматривать
à+â
лишь укороченные системы; À =
.
2
Внешность правильного многоугольника L1,
как известно, отображается на внешность единич
ного круга в плоскости ξ с помощью следующей
функции [3]
⎛ m ⎞
(10)
z = Àτ ⎜1 + q ⎟ ,
τ ⎠
⎝
à−â
, а и в соответственно радиусы
где m =
à+â
окружностей, описанных вокруг многоугольника и
вписанных в многоугольник L1; q – число осей
симметрии (число сторон), q=6.
Знак m определяет форму расположения конту
ра L1 в плоскости z=х+iу.
Когда m>0, большая ось симметрии много
угольника совпадает с осью абсцисс, а когда m<0,
то малая ось симметрии многоугольника совпадает
с осью абсцисс. Очевидно, что в (4) при m=0 кон
тур L0 превращается в окружность, а при q=2 в эл
липс. При q>2 абсолютное значение m может быть
определено по формуле:
1
m =
,
( q − 1) 2
и для шестиугольника q=6; m=1/25.
Далее, принимая во внимание (8), (9) и (10) в
граничных условиях (7) на Lj (j=1, 2), производятся
математические выкладки с таким расчетом, чтобы
из преобразованных краевых условий можно было
бы сравнить коэффициенты при одинаковых сте
пенях соответствующих переменных.
Таким образом, в конечном итоге, определение
⎯
коэффициентов aк(1), eк(1), Aк(1), Eк(1), (к=0,N ) разло
жений в (9), сведено к решению четыре групп вза
имосвязанных бесконечных систем линейных ал
гебраических уравнений.
После этого по формуле КолосоваМусхелеш
вили определяются компоненты напряжений σr, σθ
в точках произвольно взятых центральных сечений
пластинки:
σ r(0) + σ θ(0) = 4 Re[φ '( z)],
σ r(0) + σ θ(0) + 2iτ θ(0)
= 2[ zφ ''( z) + ψ ''( z)]e2 iθ .
r
(11)
Перейдем к решению задачи в первом прибли
жении [2].
Граничные условия этой задачи имеют вид
φ1 (t ) + φ1 (t ) +ψ 1 (t ) = f j(1) (t ) + Ñ (1)
j , t ∈ Lj , ( j = 1, 2),
θ
f1 (t ) = 0, f (1)
2 (t ) = −ir2 ∫ ( Õ n + iÓ n ) d θ , ( j = 1, 2),
0
iθ
где t=r2e .
Õ n + iÓ n = −( N + iÒ )å iθ .
Будем считать заданными нормальную и каса
тельную компоненты N и T внешнего напряжения,
действующего на границу L2 (если заданы Xn, Yn, то
тем самым будут заданы N, T, и обратно). Мы бу
дем считать, что N представляет собой проекцию
напряжения, приложенного к дуге границы, на
внешнюю нормаль n, а T – проекцию того же на
пряжения на касательную к границе, направлен
ную влево, если смотреть вдоль n.
При r=r2, из выражения (4)
N = σ r(1)
Ò = τ θ(1)r
r = r2
r = r2
= − Í (θ )
∂σ r(0)
1 dÍ (θ )
+ 2τ r(0)
,
θ
∂r
r2 dθ
= −(σθ(0) − σ r(0) )
∂τ (0)
1 dÍ (θ )
− Í (θ ) θ r .
r2 dθ
∂r
Для каждого профиля обработанной поверхно
сти (реализация шероховатой поверхности) вну
треннего контура пластинки функцию H(θ) можно
разложить в степенной ряд на отрезке [0; 2π]. Ис
пользуя формулы (11), разложение функции H(θ),
представим правую часть краевого условия f2(1)(t) в
виде степенного ряда при r=r2
f 2(1) (t ) =
∞
∑Í
ν =−∞
(2) ν
ν
τ ; τ = åiθ .
Исследование распределения напряжений воз
ле границ пластинки с неровностями на контуре
можно проводит в детерминистической и случай
ной постановке. Для расчетов и был принят сле
дующий закон распределения шероховатости:
2πθ
H (θ )=d cos
,
(12)
l
d – высота выступов, а l – шаг.
Дальнейший ход решения задачи аналогичен
нулевому приближению. Для удобства в первом
приближении сохранены обозначения для иско
мых коэффициентов. Таким образом, в первом
приближении для определения
коэффициентов
⎯
aк(1), eк(1), Aк(1), Eк(1), (к=0,N ) получены 4 групп беско
нечных систем линейно алгебраических уравне
ний, отличающихся от нулевого (что очень удобно
при расчетах на ПЭВМ) правых частей системы.
Полученные решения в зависимости от параме
тров шероховатости (12), геометрических (r2/в) и
силовых факторов (P1, P2, α1, α2) можно распро
странить на решение многочисленных частных за
дач.
В случае, когда пластинка подвержена наруж
ному давлению при α1=30°, α2=90°, P1=Р, P2=0, ε=0
(в нулевом приближении), ε=0,04, r2/в=0,5 (рис. 4)
определены компоненты напряжений σr, σθ в сече
нии х=0. В характерных точках проверены гранич
ные условия и выяснено, что наибольшее отклоне
ние не превышает 1 %.
Нами были рассмотрены следующие конкрет
ные примеры:
α1=90°, P1=Р, P2=0, ε=0,04, r2/в=0,5 (рис. 4, а).
α1=30°, P1=Р, P2=0, ε=0,04, r2/в=0,5 (рис. 4, б).
α1=30°, P1=Р, P2=0, ε=0, r2/в=0,5 (рис. 4, в).
145
Известия Томского политехнического университета. 2006. Т. 309. № 1
ɚ
ɛ
в
Рис. 4. Эпюры касательных напряжений
Выводы
Анализ численных примеров показывает, что
влияние шероховатости сказывается на увеличении
коэффициентов концентрации напряжений, это
влияние имеет место в поверхностном слое, не пре
вышающем утроенного размера максимальной впа
дины или выступа. Отношения кратчайшего рас
стояния от центра отверстий до наружного контура
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математиче
ской теории упругости. – М.: Наука, 1966. – 648 с.
2. Калбиев Р.К. Исследование напряженного состояние в ква
дратной пластинке, ослабленной двумя круглыми отверстиями
146
к радиусу отверстий (в/r2) имеют существенное
влияние на концентрацию напряжений. Когда от
ношение r2/в увеличивается, показатели шерохова
тости ε существенно влияют на концентрации на
пряжений. Показано, что с увеличением показателя
шероховатости ε концентрация напряжений внача
ле постепенно, а в дальнейшем резко увеличивает
ся. Это на внутреннем контуре более существенно.
с шероховатостью, под действием кусочноравномерно ра
спределенных контурных нагрузок // Ученые записки АзИСУ
(Баку). – 2000. – № 1, 2. – С. 240–244.
3. Кулиев С.А. Двумерные задачи теории упругости. – М.: Строй
издат, 1991. – 351 с.
Технические науки
УДК 621.833.3
РАСЧЕТ ОСНОВНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СТАНОЧНОГО ЗАЦЕПЛЕНИЯ
А.Б. Виноградов
Сибирский государственный университет путей сообщения, г. Новосибирск
Email: Vinogradov@mail.ru
Даны методика и вывод формул для расчета основных геометрических характеристик станочного зацепления глобоидного чер
вяка при шлифовании его витков плоскостным инструментом.
При теоретическом исследовании в качестве
расчетной схемы принята схема, рис. 1.
плоскости и нарезаемой поверхности червяка в не
подвижной системе координат. Методом винтово
го дифференциального комплекса [1] получено
уравнение контактной линии на производящей
плоскости:
⎫
⎪
⎪
x0 (1 + u10 sin ε 0 + u10 cos ε 0 tg β sin ϕ0 ) +
⎪
⎪
+ y0 [(1 + u10 sin ε 0 )tgα t − u10 cos ε 0 tg β cos ϕ0 ] +
⎬
cos(ϕ 0 − α t )
sin(ϕ 0 − αt ) ⎪ (1)
+ z0u10 cos ε 0
− aw01u10 [sin ε0
+⎪
cos α t
cos αt
⎪
⎪
+ tgβ cos ε 0 ] = 0.
⎭
− x0 tgα t + y0 + z0 tgβ +
e
= 0,
cos α n cos β
Последнее уравнение представляет собой так на
зываемое уравнение зацепления. Оно выведено из
условия взаимного огибания поверхностей П0 и П1:
⎛ ∂M 01
⎞
N Ï0 ⋅ dr0 = ⎜
⋅ M 01−1 ⋅ r0 ⎟ = 0,
∂
ϕ
0
⎝
⎠
где NП0{–tgαt,1,tgβ} – нормаль П0;
Рис. 1.
Расчетная схема шлифования витков глобоидного
червяка
В соответствии с этой схемой применены три
ортогональные системы координат: неподвижная
S(x,y,z); система S0(x0,y0,z0), жесткосвязанная с вра
щающейся вокруг оси z0 плоскостью П0 инстру
мента; подвижная система S1(x1,y1,z1) червяка. От
носительное движение систем S0 и S1 характеризу
ется углом ϕ0 и углом ϕ1 вращения червяка вокруг
оси z1. Управление геометрическими характеристи
ками осуществляем параметрами:
• aw01 – станочным межосевым расстоянием;
• β – углом наклона плоскости;
• е – удалением плоскости от оси вращения (ду
блировано углом αn);
• ε0 – углом отклонения от ортогональности осей
вращения инструмента и заготовкой червяка;
• u10 – станочным передаточным отношением
ϕ
(принято u10 = 1 = const ).
ϕ0
Поверхность станочного зацепления.
Поле зацепления
Поверхность станочного зацепления определя
ем как семейство линий контакта производящей
M 01 =
b11
b12
cos ε 0 cos ϕ0
aw01 sin ϕ0
b21
b22
cos ε 0 sin ϕ0
− aw01 cos ϕ0
− sin ε 0
0
0
1
− cos ε 0 sin ϕ1 cos ε 0 cos ϕ1
0
0
– матрица преобразования от системы S1 к системе S0;
M 01−1 =
b11
b21
− sin ϕ1 cos ε 0 aw01 cos ϕ1
b12
b22
cos ϕ1 cos ε 0
cos ε 0 cos ϕ0 cos ε 0 sin ϕ0
0
0
aw01 sin ϕ1
− sin ε 0
0
0
1
– матрица обратная M01;
b11 = −sinϕ0sinϕ1 − sinε 0 cosϕ0sinϕ1 ;
b12 = sinε 0 cosϕ0 cosϕ1 − sinϕ0sinϕ1 ;
b21 = cosϕ0 cosϕ1 − sinε 0sinϕ0sinϕ1 ;
b22 = cosϕ0sinϕ1 + sinε 0sinϕ0 cosϕ1;
x0
y
r0 = 0
z0
1
– столбцовая матрица радиусвектора
текущей точки в системе S0.
Переписав выражение (1) в неподвижную си
стему координат S, получаем уравнение поверхно
сти зацепления:
147
Известия Томского политехнического университета. 2006. Т. 309. № 1
лее удаленными являются точки контактной ли
нии, расположенной на входе витка червяка в заце
плении с плоскостью П0 (ϕ0=104°24'). Проекция
контактных линий на плоскость y0z, перпендику
лярную оси червяка, выявляет важную особен
ность: линия контакта при ϕ0=104°24' быстро пере
мещается по производящей плоскости; по мере
приближения к горловине червяка (ϕ0=90°) ско
рость движения контакта падает. Однако угол меж
ду вектором относительной скорости и контактной
линией следует считать наиболее благоприятным
(приближающимся к 90°) на участке, отвечающем
выходу витков червяка из зацепления.
xb1 + yb3 + zb2 + c1 = 0,
⎫
⎪
xb3 cos ε 0 − y (b4 + u10b2 ) + ⎬
+ z (u10 + sin ε 0 )b3 − c2 = 0, ⎪⎭
(2)
где
b1 = b4 cosε 0 − tgβ sinε 0 ; b2 = b4sinε 0 + tgβ cosα 0 ;
cos(ϕ0 − α t )
sin(ϕ 0 − αt )
b3 =
; b4 =
;
cosα t
cos αt
e
c1 =
; c = aw 01u10 (b4 sin ε 0 + tgβ cos ε 0 ).
cosα n cos β 2
Поле зацепления – это рабочая часть поверхно
сти зацепления, заключенная между внешним ци
линдром шлифовального круга
( x cos ε 0 + z sin ε 0 ) 2 + y 2 = R 2
и наружным глобоидом червяка
( y + aw 01 ) 2 + z 2 = (aw 01 − Ra21 − x 2 ) 2 .
Границы поля зацепления обусловлены сов
местным решением двух следующих систем:
( x cos ε 0 + z sin ε 0 ) 2 + y 2 = R 2 , ⎫
⎪
xb1 + yb3 + zb2 + c1 = 0,
⎪
(3)
⎬
xb3 cos ε 0 − y (b4 + u10b2 ) +
⎪
⎪
+ z (u10 + sin ε 0 )b3 − c2 = 0;
⎭
( y + aw01 ) 2 + z 2 = (aw01 − Ra21 − x 2 )2 , ⎫
⎪
⎪
xb1 + yb3 + zb2 + c1 = 0,
⎬
xb3 cos ε 0 − y (b4 + u10b2 ) +
⎪
⎪
+ z (u10 + sin ε 0 )b3 − c2 = 0.
⎭
(4)
Расчет и выбор корней зависимостей (3 и 4) вы
полняем следующим образом. Решаем (3) относи
тельно x, y, z. Действительный корень берем со зна
чением y<0.
Из (4) определяем вторую часть границы заце
пления с координатами x, y, z. Из четырех корней
принимаем корень при y<0 и близкий по числово
му значению к координатам, определяемым (3).
Данные поля зацепления позволяют рассчитать
рабочую длину контактной линии:
L = ( x '− x ") 2 + ( y '− y ") 2 + ( z '− z ") 2 ,
Рис. 2. Поле станочного зацепления
(5)
где x', y', z' и x", y", z" – координаты граничных то
чек контактной линии, вычисляемые соответ
ственно по (3 и 4).
По формулам (2) произведен расчет контактных
линий для передачи: aw01=aw=160 мм, u10=u12=50/1,
β=8°19', ε0=0°, e=47,7 мм.
По ур. (3 и 4) вычислены координаты точек гра
ницы поля зацепления. По полученным значениям
построены контактные линии в пределах поля за
цепления и в проекциях на две координатные пло
скости (рис. 2).
Поле зацепления оказывается смещенным в
сторону от оси вращения червяка. При этом наибо
148
2.
Рис. 3. Изменение длины активной контактной линии
Технические науки
Результаты расчета абсолютной длины L по
формуле (5) представлены на рис. 3. По мере пере
мещения контакта с входа на выход наблюдается
изменение L с максимума до минимума.
Исследование передач с двух и трехзаходным
червяком показало, что с увеличением заходности
поле зацепления и длина контактных линий изме
няются незначительно.
Поверхность витков червяка. Осевое сечение витков
В процессе обработки шлифовальный круг пе
ремещается относительно заготовки червяка, обра
зуя семейство плоскостей параметра ϕ0. Обрабаты
ваемая винтовая поверхность П1 является огибаю
щей однопараметрического семейства плоскостей.
Из дифференциальной геометрии известно, что
огибающая однопараметрического семейства пло
скостей является линейчатой развертывающейся
поверхностью. Уравнение винтовой поверхности
витка червяка получаем, переписав контактную
линию на производящей плоскости (1) в систему
заготовки червяка, используя матрицу M01:
x1 (b3 cos ϕ1 − b2 sin ϕ1 ) + y1 (b3 sin ϕ1 + b2 cos ϕ1 ) + ⎫
⎪
+ z1 (b4 cos ε 0 − tgβ sin ε 0 ) − aw01b3 + C1 = 0,
⎪
⎬ (6)
− x1 (b5 cos ϕ1 + b6 sin ϕ1 ) + y1 (b6 cos ϕ1 − b5 sin ϕ1 ) + ⎪
⎪⎭
+ z1b3 cos ε 0 + aw01b4 = 0,
где b5=b4+b2u10; b6=b3(u10+sinε0).
Из (6) видно, что поверхность зависит от пяти
параметров: двух наладок станка – aw01, u10 и трёх
установочных углов шлифовального круга – αn, β,
ε0. Заметим, что в работах [2, 3] учитывались не все
перечисленные выше параметры при формообра
зовании поверхности витка червяка. При фиксиро
ванном угле ϕ1 (6) является уравнением контакт
ной линии на огибающей поверхности. Для опре
деления координат точек осевого сечения витков
червяка решаем выражение (6) при y1=0 относи
тельно x1, z1:
⎫
⎪
⎪
⎬ (7)
aw 01[b3c4 + b4 (b2 sin ϕ1 − b3 cos ϕ1 )] − c1c4 ⎪
z1 =
,
⎪⎭
b9 sin ϕ1 + c3 cos ϕ1
x1 =
aw 01 (b32 cos ε 0 + b1b4 ) − c1b3 cos ε0
,
b9 sin ϕ1 + c3 cos ϕ1
где b7=b4+b2u10; b8=b3(u10+sinε0); b9=b1b8–b2b3cosε0;
c3=b1b7+b32cosε0; c4=b7cosϕ1+b8sinϕ1.
С помощью выражений (7) установлена специ
фика геометрии поверхности витков червяка. Ре
шены вопросы определения максимальной величи
ны «накопленного» припуска под шлифовку. Эти
данные позволили сделать вывод о практической
целесообразности использования заготовки типа
классического червяка для получения глобоидного
червяка со шлифованными плоскостью рабочими
витками. Более того, при нарезании заготовки мож
но ввести модификацию [4], в результате чего мак
симальное значение припуска (с учетом профиль
ного угла αn и угла подъема винтовой линии) на
шлифование витков одно, двух и трехзаходного
червяка (ГОСТ 9369–77) выравнивается по всей
длине червяка и достигает допустимое значение.
Подрезание поверхности витков червяка
Исследование зоны подрезания поверхности
витков червяка выполняется методом, разработан
ным Н.И. Колчиным [5]. Идея этого метода состоит
в том, что подрезание выявляется путём расчета в
неподвижной системе координат точек предельной
линии, соответствующей ребру возврата рассматри
ваемой поверхности. Дифференцируем второе ура
внение системы (2) по координатам и параметру ϕ0:
dxb3 cos ε 0 − dyb5 + dzb6 − [ xb4 cos ε 0 +
+ y (1 + u10 sin ε 0 )b3 + z (u10 + sin ε 0 )b4 +
+ a w 01b5 u10 sin ε 0 ]dϕ0 = 0.
⎫
⎪
⎬
⎭⎪
(8)
Условие, необходимое для определения границ
поверхности витка червяка в неподвижной системе
координат, найдём, подставив в (8) значения диф
ференциалов dx, dy, dz, выраженных из условия
приравнивания нулю элементарного перемещения
dS1=0 контактной точки по поверхности витка чер
вяка. Последнее отыскивается при помощи диф
ференцирования формул преобразования rS=MS1r1.
Проекции этого перемещения в дифференциаль
ной форме имеют вид:
dx = dx1 ,
⎫
⎪
dy = dy1 + zu10 d ϕ0 ,
⎬
dz = dz1 − u10 ( y + a w01 )d ϕ . ⎪⎭
Введя условие dS1=0, получаем
dx = 0,
⎫
⎪
dy = zu10 d ϕ0 ,
⎬
dz = −u10 ( y + a w01 )d ϕ0 . ⎪⎭
(9)
Подставляя (9) в (8) и рассматривая совместно с
(2), запишем
xb1 + yb3 + zb2 + C1 = 0,
⎫
⎪
(10)
xb3 cos ε 0 − yb5 + zb6 − C4 = 0,
⎬
⎪
xb4 cos ε 0 + yk1 + zk2 + aw01k3 = 0, ⎭
где k1=u10b6+b3(1+u10sinε0);
k3=u10(b6+b3sinε0).
k2=u10b5(u10+sinε0);
Таблица. Параметры передач с номинальными наладками
Вариант
передач
aw, мм
z
u12=z_12
β, град
8
160
50
1
50
2
37
3
1
2
3
αn, град
e, мм
20
16
20
47,414
27
Уравнения (10) позволяют получить данные о
зоне подрезания витков червяка производящей
плоскостью.
149
Известия Томского политехнического университета. 2006. Т. 309. № 1
Рис. 4. Проекция предельных линий
Для передач, параметры которых указаны в та
блице, по уравнениям (10) произведен расчет коор
динат точек предельных линий (рис. 4).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Колчин Н.И. Метод винтового комплекса в теории простран
ственных зацеплений // Теория передач в машинах: Тр. III со
вещ. по основным проблемам теории машин и механизмов. –
М., 1953. – С. 7–18.
2. Акулич В.К. Аналитическая геометрия и кинематика контакта
в глобоидном зацеплении со шлифованным червяком и неко
торые вопросы модификации зацепления: Дис. ... канд. техн.
наук. – Л., 1969. – 313 с.
Расположение линий 1, 2, 3 за пределами поля за
цепления указывает на отсутствие опасности подреза
ния ножки витка червяка производящей плоскостью.
3. Акулич В.К. Глобоидное зацепление с поверхностью витков
червяка, шлифуемой плоскостью // Изв. вузов. Машиностро
ение. – 1975. – № 1. – С. 81–84.
4. Сагин Л.И. Улучшение методов производства и эксплуата
ционных качеств глобоидных передач // Тр. ЦНИИТМАШ. –
1960. – № 14. – С. 6–63.
5. Колчин Н.И. Аналитические основы дифференциального ме
тода исследования зубчатых зацеплений // Тр. Инта машино
ведения АН СССР. Семинар по теории машин и механизмов. –
1957. – Т. 16. – Вып. 64. – С. 26–53.
УДК 622.233.5
РАСЧЕТНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ СТАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РАБОЧИХ ПРОЦЕССОВ
ПНЕВМОУДАРНОГО МЕХАНИЗМА
А.Н. Глазов
Томский политехнический университет
Email: ZVM@tpu.ru
Рассматривается статическая модель рабочих процессов в камерах пневмоударного механизма. Получены расчетные зависимо
сти для определения характеристик рабочих камер и пневмоударного механизма по теоретическим индикаторным диаграммам.
Даны уравнения для определения оптимальной степени наполнения рабочих камер. Приведены результаты расчетов на ПЭВМ
оптимальной степени наполнения и минимального удельного расхода газа задней от штанги камеры для показателей политро
пы равных 1,4 и 1,0 для процессов расширения и сжатия. Представлены формулы для определения удельного расхода воздуха.
В основу методики исследования пневматиче
ских бурильных машин входит анализ индикатор
ных диаграмм [1]. Теоретическая индикаторная ди
аграмма идеального механизма является предель
ной статической моделью процессов в рабочей ка
мере. Целью данной работы является получение
150
расчётных зависимостей характеристик рабочих
камер и пневмоударного механизма от параметров
статической модели процессов.
При рассмотрении теоретического рабочего
процесса делаются следующие допущения: рабочее
тело – идеальный газ; отсутствуют потери на тре
Технические науки
ние и утечки сжатого воздуха; процесс расширения
сжатого воздуха протекает при неизменном пока
зателе политропы; воздух в цилиндре не содержит
влаги; неизменное состояние воздуха в камере во
время наполнения и выхлопа. Рабочие процессы
пневмоударного механизма в определенной степе
ни идеализируются и отождествляются с обрати
мыми термодинамическими процессами.
из (1) имеем
⎡ ε − ε 1,4
⎤
LT 3 = p1V2 ⎢ 1 1 + ε1 − ε 0 − λ0 (ε ln εε 0 − εε 0 + 1)⎥ .
⎣ 0, 4
⎦
Теоретическое среднее индикаторное давление
равно
−1
pi 3T = LT 3Vp −1 = LT 3 [V2 (1 − ε 0 )] ,
где Vp=V2–V0 – рабочий объем камеры.
Массовый расход воздуха за цикл
GTÇ = p1V1 ( RT1 ) −1 − p0 'V3 ( RT0 )− 1 ,
(2)
где R – универсальная газовая постоянная, T1 – тем
пература воздуха в процессе наполнения, T0 – темпе
ратура воздуха в момент окончания выталкивания.
Используя зависимости между параметрами
процессов цикла, можно записать
T1
T0 =
,
m −1
⎡ p1 ⎛ V0 ⎞ m ⎤ m ⎛ V3 ⎞m −1
⎢ p ⎜V ⎟ ⎥
⎜V ⎟
⎝ 0⎠
⎣⎢ 0 ⎝ 3 ⎠ ⎦⎥
или, выделяя безразмерные параметры,
Â
c
Рис. 1.
Обобщенная диаграмма (1) и расчетные оптималь
ные циклы процессов для ε0=0,12, λ0=0,185, 2) ε=4,3
3) ε=5,7 4) ε=2,1
Обобщенная теоретическая индикаторная диа
грамма процессов для задней камеры пневмоудар
ного механизма (ПУМ) имеет вид, приведенный на
рис. 1 [1 и др.]. Она состоит из фаз: ab – наполне
ние воздухом камеры; bc – процесс расширения
воздуха; cd – выхлоп сжатого воздуха в атмосферу;
de – выталкивание воздуха из цилиндра, при кото
ром состояние рабочего тела не изменяется, а уме
ньшается его масса в камере; ef – процесс сжатия
газа; fa – впуск сжатого воздуха. Давление воздуха
в задней камере в период его выталкивания p'0, как
правило, выше атмосферного p0.
Параметрами цикла процессов являются: сте
пени сжатия ε=V3/V0 и наполнения камеры
ε1=V1/V2; относительные величины вредного про
странства ε0=V0/V2 и давления наполнения λ0=p'0/p1.
Здесь p1 – давление воздуха при наполнении;
объём воздуха: V3 – в момент окончания выталки
вания, V0 – вредного пространства, V1 – при напол
нении; V2 – объем камеры.
Индикаторная работа задней камеры LT3 за цикл
с учетом политропного характера процессов
⎡ ε 1 − ε 1m
⎤
+ ε1 − ε 0 −
⎢
⎥
mp −1
⎢
⎥,
LT 3 = p1V2
(1)
m
⎢
⎥
ε
−
ε
⎢ −λ0 (
⎥
ε 0 − εε 0 + 1)
mc − 1
⎣⎢
⎦⎥
p
C
где mр, mс – показатели процессов расширения и
сжатия воздуха. Если положить mр=1,4, mс=1 [2] и
учесть, что
lim (ε m − ε )( mc − 1) −1 = ε ln ε ,
c
mc →1
T0 = T1λ0
c
Â
m −1
mÂ
ε
1− mc
mÂ
,
(3)
где mВ – показатель процесса в период впуска воздуха.
С учетом (3), формулу (2) можно представить в виде
m
1
⎛
⎞
(4)
GTÇ = p1V2 ( RT1 ) −1 ⎜ ε1 − λ0 m ε m ε 0 ⎟ .
⎜
⎟
⎝
⎠
Если mВ→∞, mс=1, то
c
Â
Â
GT 3 = p1V2 ( RT1 ) −1 (ε − ε 0 ).
Теоретический удельный расход, т.е. полезный
расход воздуха в задней камере на единицу теоре
тической индикаторной мощности равен
G ' GT 3
=
qT 3 =
,
(5)
NT LT 3
где G' – расход воздуха в единицу времени, NT –
теоретическая индикаторная мощность.
После подстановки GT3, LT3 из (4), (1) и некото
рых преобразований формула (5) принимает вид
qT 3 =
1
=
mc
ε1 − λ0 m ε m ε 0
m
⎡
mp
ε p
⎛ mc
⎞⎤
RT1 ⎢ε1
− 1 − ε 0 − λ0 ⎜ ε − ε ε 0 − εε 0 + 1⎟ ⎥
m
−
1
m
−
1
m
−
1
p
p
⎝ c
⎠⎦
⎣
.
На рис. 2 представлены два вида цикла передней
камеры. Диаграмма, рис. 2, а, характерна для ПУМ,
у которых управление выпуском воздуха осущест
вляется специальным распределителем. Это приво
дит к усложнению структуры механизма. При этом
трудно обеспечить быстрый выхлоп воздуха, осо
бенно у мощных ПУМ. Поэтому такой цикл приме
няется редко.
151
Известия Томского политехнического университета. 2006. Т. 309. № 1
а
Теоретический цикл (рис. 2, б) осуществляется
на части длины хода поршня и имеет 4 фазы: fb –
наполнение камеры воздухом; bc – процесс рас
ширения воздуха; ce – выхлоп воздуха; ef – про
цесс сжатия воздуха. Его характеризуют параме
тры: ε'1=V'1/V'3, ε'=V'3/V'0, ε'0=V'0/V'3.
Работа теоретического цикла рабочих процес
сов в передней камере определяется как алгебраи
ческая сумма работ с учетом политропного харак
тера процессов.
LTÏ = 1 ( p3′V1′ − p2′V3′) −
mp −1
− 1 ( p3′V0′ − p0V3′) + p3 (V1′ − V0′)
mc − 1
LTÏ
или
⎡ ε ′mc ε 1′(1 − ε ′ m p −1 )
⎤
−
⎢
⎥
mp −1
⎥.
= p0V3′ ⎢
⎢ − ε ′mc −1 − 1 + ε ′mc (ε ′ − ε ′ −1 )⎥
1
⎢⎣ mc − 1
⎥⎦
При mp=mc=1,4 работа равна
LTÏ
б
Рис. 2. Теоретические диаграммы передней камеры пнев
моударного механизма
Возможен цикл процессов без сжатия воздуха в
передней камере в период прямого хода поршня.
Но это приводит к усложнению структуры управле
ния механизмом и к необходимости быстрой пода
чи довольно большого объема сжатого воздуха в
начале обратного хода поршня. Поэтому в извест
ных нам промышленных образцах ПУМ такой
цикл не применяется.
Цикл с выталкиванием (рис. 2, а) характеризу
ется следующими параметрами: ε'1=V'1/V'2 – сте
пень наполнения камеры; ε'=V'3/V'0 – степень сжа
тия; ε'0=V'0/V'2 – относительная величина вредного
пространства передней камеры.
Работа теоретического цикла камеры LТП выра
жается площадью, ограниченной контуром инди
каторной диаграммы (рис. 2, а).
LTÏ = 1 ( p3′V1′− p2′V2′) −
mp −1
1
( p′V − p0V3′) + p3′ (V1′ − V0′) − p0 (V2′ − V3′).
−
mc − 1 3 0
После введения безразмерных параметров ци
кла и некоторых преобразований, с учетом поли
тропного характера процессов, получим
⎡ ε ′m ε ′(1 − ε 1′m −1 ) ε 0′ε ′(ε ′m −1 − 1) ⎤
−
+⎥
LTÏ = p0V2′ ⎢
.
mp −1
mc − 1
⎢
⎥
⎢⎣ +ε ′m (ε1′ − ε 0′ ) − 1 + ε ′ε 0′
⎥⎦
p
c
c
152
c
⎡ ε ′1,4ε 1′(1 − ε ′0,4 )
⎤
−
⎥.
= p0V3′ ⎢
0, 4
⎢
−1 ⎥
0,4
1,4
⎣ −2,5(ε ′ − 1) + ε ′ (ε 1′ − ε ′ )⎦
Среднее индикаторное давление воздуха
piÏ T = LTÏ / V3′(1 − ε ′).
Массовый расход воздуха равен
p′V ′ p V ′ p V ′ε ′ m
(ε 1′ − ε ′−1 ).
GTÏ = 3 1 − 0 3 = 0 3
RT1 RT0
RT1
c
При анализе работы и проектировании пневма
тического механизма представляет значительный
интерес определение оптимального значения сте
пени наполнения. Как и при всякой оптимизации,
результат может зависеть от выбора критерия опти
мальности. Разумным критерием служит теорети
ческий удельный расход воздуха qT.
Очевидно, что при ε1=1 достигается максимум
индикаторной работы цикла, но при этом увеличи
вается и расход сжатого воздуха. Представляет ин
терес, при каком значении ε1 достигается мини
мальный удельный расход воздуха. Математически
задача оптимизации сводится к определению зна
чения ε1, минимизирующего qT(ε1). Эта задача ре
шена в работе [3] и получено уравнение
ε1=f(ε1),
1
где
mc
m p λ0 m ε m ε 0
+
f (ε 1 ) =
mp −1
⎡
⎛ ε mc − ε
⎞ ⎤
⎢ε 0λ0 ⎜ m − 1 ε 0 − εε 0 + 1⎟ − ⎥
⎝ c
⎠ ⎥ m p −1
+⎢
ε
.
mc
1
⎢ ⎛ m m ⎞ m p
⎥ 1
⎢ − ⎜⎜ λ0 ε ε 0 ⎟⎟ m − 1
⎥
⎠ p
⎣ ⎝
⎦
Для его решения применяется метод последова
тельных приближений (метод итераций). Алгоритм
Технические науки
итераций сводится к вычислению по схеме
(ε1)i=f[(ε1)i–1], i=1,2…; (ε1)0 – начальное значение ε1.
В соответствии с алгоритмом проведены расче
ты на ПЭВМ оптимального параметра ε1опт и мини
мального удельного расхода воздуха qmin для широ
кого диапазона значений параметров цикла. Фраг
менты результатов исследования представлены на
рис. 3, 4 для случая mp=1,4; mB=∞; mc=1. Такие по
казатели близки к фактическим для ударного узла
перфоратора [4].
большем значении ε1 получается цикл процессов 3
(рис. 1) с неполным расширением воздуха. Умень
шение ε1 против предельного значения приводит к
диаграмме с отрицательной петлей работы или к
циклу работы на части рабочей длины цилиндра.
Из графика (рис. 3) видно, что только при ε выше
предельной величины, увеличение ε0 приводит к
возрастанию ε1 и qmin.
Рис. 4. Зависимость оптимальной степени наполнения от от
носительной величины вредного пространства
Увеличение относительной величины давления
выхлопа λ0, степени обратного сжатия ε при постоян
ном ε0 приводит к увеличению ε1опт и qmin. Интенсив
ность возрастания ε1опт и qmin по ε тем выше, чем боль
ше исходная величина ε0. Это объясняется тем, что
большим значениям ε0 соответствуют более высокие
величины объема воздуха в начале его сжатия V3=εV0,
что увеличивает работу обратного сжатия.
Рис. 5. Зоны существования ε1опт
Рис. 3. Зависимости а) оптимальной степени наполнения ка
меры и б) минимального удельного расхода воздуха
от параметров цикла: 1–6) ε0=0,06; 0,09; 0,12; 0,15;
0,18; 0,21
Точка пересечения кривых соответствует пре
дельному значению ε1, при котором происходит
полное расширение сжатого воздуха от начального
давления p1 до конечного p'0 (диагр. 2 на рис. 1). При
Расчеты показали, что есть область значений
параметров цикла, заштрихованная на рис. 5, в ко
торой qmin и ε1опт не существуют, т.е. задача оптими
зации цикла не решается.
Степень наполнения передней камеры ε'1 мож
но определить методом итераций из следующего
уравнения
m
ε′
L ⎞
⎛
ε 1′ = 1 + ⎜ γ + TÏ ⎟ α −1 ,
mp ⎝
p0V3′ ⎠
p
153
Известия Томского политехнического университета. 2006. Т. 309. № 1
⎞
m −1 ⎛ m
где γ = ε ′ ⎜ c ⎟ − 1 ,
⎝ mc − 1 ⎠ mc − 1
при mc=1,4 γ=3,5ε' 0,4–2,5;
mp
α = ε ′m
, при mp=1,4 α=3,5ε' 1,4.
mp −1
c
c
Теоретическая индикаторная работа сжатого
воздуха по совершению прямого хода поршня равна
LTp = L1 + L3 − L0 − Lñæ ,
(6)
где L1=p1V2(mp–1)–1(ε1–ε1mp) – работа расширения
сжатого воздуха в задней камере, L3=p1V2(ε1–ε0) – ра
бота наполнения воздухом задней камеры, L0=p0V2 –
работа газа при изменении объема с V2 до V0,
Lñæ = p0V3′(mc − 1) −1 (ε ′ m −1 − 1) − p0V3′(1 − ε ′− 1 ).
или с учетом того, что часть энергии удара отража
ется
GT 3 + GTÏ
q=
,
Àó (1 − k0 2 )η ó ρí
где GT – теоретический расход воздуха ПУМ,
ηу=GT/G – коэффициент утечек, G – фактический
расход воздуха, ρн – плотность воздуха при нор
мальных атмосферных условиях, k0=(A0/Ay)1/2 – ко
эффициент отскока, А0 – энергия отскока поршня.
Если принять КПД равными единице, то получат
ся значения энергетических параметров и удельно
го расхода воздуха идеального пневмоударного ме
ханизма, что позволяет, в частности, оценить со
вершенство реального устройства.
c
После подстановки в зависимость (6) выраже
ний ее составляющих работ получим
m
ε −ε
LT = p1V2 ( 1 1 + ε1 − ε 0 ) − p0V2 (1 − ε 0 ) −
mp −1
m −1
− 1 − 1 + ε ′−1 ).
− p0V3′( ε ′
mc − 1
p
p
c
Энергия удара равна
Aó = LT pη ìåõ .çηÏ′ ,
где ηмех.з – механический КПД прямого хода пор
шня, η'П – коэффициент полноты силовой диа
граммы, равный отношению действительной и
теоретической работ сжатого воздуха по перемеще
нию поршня в период прямого хода.
Работа теоретического цикла передней камеры
связана с индикаторной работой задней камеры
Aó
− LT 3 ,
LTÏ =
η ìåõ
где ηмех – механический КПД ПУМ.
Удельный расход воздуха пневмоударного меха
низма
GT 3 + GTÏ
GT
q=
=
Aóη ó ρí LT ηìåõ .çηÏ′ ηó ρí
p
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Алимов О.Д., Басов И.Г., Горбунов В.Ф., Маликов Д.Н. Бу
рильные машины. – М.: Госгортехиздат, 1960. – 360 с.
2. Глазов А.Н. Снижение удельного расхода воздуха пневматиче
ских машин ударного действия // Известия вузов. Горный жур
нал. – 1977. – № 2. – С. 102–105.
154
Выводы
Получены зависимости для определения энер
гетических и расходных характеристик рабочих ка
мер и пневмоударного механизма.
Показано, что задача определения оптимальной
степени наполнения задней камеры имеет реше
ние. Получены графические зависимости опти
мальной степени наполнения и минимального
удельного расхода воздуха от параметров цикла
процессов. Увеличение объёма вредного простран
ства приводит к возрастанию минимального удель
ного расхода при определённом интервале значе
ний степени сжатия. Зависимость степени напол
нения и удельного расхода воздуха от степени сжа
тия тем значительней, чем выше значение относи
тельного давления вредного пространства и давле
ние недовыхлопа. Показано, что существует
область значений параметров цикла, при котором
задача определения оптимальной степени напол
нения и минимального расхода не имеет решения.
Получено уравнение для определения степени
наполнения передней камеры, которая зависит от
параметров и индикаторной работы задней камеры.
Представленные результаты будут полезны при
синтезе и оценке совершенства конструкций пнев
моударных механизмов.
3. Глазов А.Н., Глазов Г.Н. Оптимальная степень наполнения ка
меры сжатым воздухом // Известия вузов. Горный журнал. –
1988. – № 6. – С. 84–87.
4. Глазов А.Н. Рабочие процессы пневмоударного механизма
перфоратора // Известия Томского политехнического универ
ситета. – 2005. – Т. 308. – № 6. – С. 132–136.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа