close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Контактное взаимодействие кругового штампа со слоем при неидеальном тепловом контакте..pdf

код для вставкиСкачать
УДК 539.3
Б. С. ОКРЕПКИЙ, М. Я. ШЕЛЕСТОВСЬКА (Тернопільський національний
економічний університет)
КОНТАКТНА ВЗАЄМОДІЯ КРУГОВОГО ШТАМПА З ШАРОМ ПРИ
НЕІДЕАЛЬНОМУ ТЕПЛОВОМУ КОНТАКТІ
Побудовано розв’язок осесиметричної контактної задачі термопружності про тиск гарячого циліндричного кругового ізотропного штампа на пружний ізотропний шар з урахуванням неідеального теплового контакту між штампом і шаром. Одержано формули для визначення температурного поля і нормального напруження. Досліджено вплив контактної провідності на розподіл температурних полів і нормального напруження у зоні контакту.
Ключові слова: нормальне напруження, деформація, граничні умови, контактна задача
Построено решение осесимметрической контактной задачи термоупругости о давлении горячего цилиндрического кругового изотропного штампа на упругий изотропный слой с учетом неидеального теплового
контакта между штампом и слоем. Получены формулы для определения температурного поля и нормального напряжения. Исследовано влияние контактной проводимости на распределение температурных полей и
нормального напряжения в зоне контакта.
Ключевые слова: нормальное напряжение, деформация, граничные условия, контактная задача
Solution of the axis-symmetric contact task of thermo-elasticity of the hot cylinder circular punch stress on the
elastic isotropic layer taking into account a non-ideal heat contact between punch and layer is built. Formulas for
determination of the temperature field and normal stress in the contact area are obtained. The effect of the contact
elasticity on the temperature and normal stress distribution is investigated. Investigation was made on the influence
of the contact conductivity on distributing of the temperature fields and normal stress in the area of contact of two
bodies.
Keywords: normal stress, deformation, scope terms, contact task
Постановка проблеми
Визначення контактних деформацій і напружень з врахуванням температурних полів є
необхідним для дослідження міцності деталей
машин і елементів конструкцій у місцях їхньої
взаємодії, при розрахунку конструкцій на пружній основі з метою раціонального використання матеріалу конструкції і несучої здатності
основи.
Аналіз останніх досліджень і публікацій
В працях [1-5] досліджується вплив температурних факторів на характер контактної взаємодії тіл. Зокрема, в роботах [4, 6] розв’язані
осесиметричні контактні задачі термопружності про тиск циліндричного кругового штампа з
плоскою основою на пружний півпростір при
неідеальному тепловому контакті для ізотропних і трансверсально-ізотропних матеріалів.
Проте, недостатньо вивченим є вплив умов неідеального теплового контакту на величину і
характер температурних полів, а також контактного нормального напруження в системі тіл
циліндр-шар.
Мета роботи. Побудувати розв’язок осесиметричної контактної задачі термопружності
про тиск циліндричного кругового штампа з
плоскою основою на пружний шар з врахуванням неідеального теплового контакту. Необхідно знайти формули для визначення температури в циліндрі і шарі, а також нормальних напружень в зоні контакту та дослідити вплив
контактної провідності на розподіл температури і нормальних напружень.
Постановка задачі. Нехай циліндричний
круговий штамп радіусом R і довжиною L , з
плоскою основою, втискується силою P в ізотропний пружний шар скінченої товщини H .
Поверхня шару зовні площадки контакту вільна
від зовнішніх зусиль. На площадці контакту
дотичні напруження τrz = 0 . На вільному торці
циліндра задана постійна температура T0 . Бічна
поверхня циліндра теплоізольована. Тепловий
контакт між тілами припускається неідеальним.
На вільних поверхнях шару відбувається теплообмін із зовнішнім середовищем за законом
Ньютона. При зроблених припущеннях необхідно визначити температурні поля і контактні
нормальні напруження.
Введемо циліндричну систему координат
r , θ , z , центр якої лежить на поверхні шару, а
вісь Oz спрямована вздовж циліндра. Всі вели© Окрепкий Б. С., Шелестовська М. Я., 2011
110
чини, які позначені індексом «1», відносяться
до шару, без індексів – до циліндра.
Граничні умови для температури, напружень і переміщень матимуть вигляд:
(1)
0 ≤ z ≤ L) .
(2)
функції ϕ1 ( η) і ϕ2 ( η) :
∂T
= 0,
∂r
(r = R,
∞
T 1 ( ρ , ζ ) = ∫ ⎡⎣ ϕ1 ( η ) eηζ + ϕ2 ( η ) e −ηζ ⎤⎦ ⋅ J 0 ( ηρ ) d η (11)
∂T 1
∂T
= λz
,
∂z
∂z
0
∂T
= h0 T − T 1 , ( 0 ≤ r ≤ R , z = 0 ) . (3)
∂z
∂T 1
+ H 21T 1 = 0,
( R ≤ r < ∞, z = 0 ) . (4)
∂z
∂T 1
− H11T 1 = 0,
( 0 ≤ r < ∞, z = − H ) . (5)
∂z
u1z = −ε, ( 0 ≤ r ≤ R, z = 0 ) ;
λ1z
(
)
( R < r < ∞, z = 0 )
τ1rz = 0, ( 0 ≤ r < ∞, z = 0 ) ;
u1z = 0; τ1rz = 0, ( 0 ≤ r < ∞, z = − H )
σ1z = 0,
(7)
(8)
а температурні напруження і переміщення визначаються за формулами:
⎛ 1 ∂ϕ ∂ 2 ϕ ⎞
∂ϕ
T
T
u z( ) =
+ 2 ⎟,
, σ(z ) = −2µ ⎜
∂z
⎝ r ∂r ∂r ⎠
∂ 2ϕ
,
∂r ∂z
∞
k =1
∞
Відомо [3], що в осесиметричному випадку
термопружний потенціал і температурне поле
для ізотропного тіла знаходяться із рівнянь:
T
)
+ ∑ I 0 ( γ k r )( Ck sin γ k z + Dk cos γ k z ) ,
Розв’язування крайових задач для рівнянь
теплопровідності і термопружності
1+ σ
∇ ϕ = αT
T , ∇ 2T = 0 ,
1− σ
(
T ( r , z ) = A0 z + B0 + D0 r 2 − 2 z 2 +
+ ∑ J 0 ( βk r )( Ak shβk z + Bk chβk z ) +
міну і теплопровідності, h0 – контактна провідність, ε – величина вертикального переміщення штампа.
2
де J 0 ( ηρ ) – функція Бесселя першого роду
дійсного аргументу, ρ = r / R; ζ = z / R; η = ξR .
Температурне поле в циліндрі знаходимо
методом Фур’є. Загальний розв’язок має вигляд:
(6)
де H i1 ( i = 1, 2 ) , λ z , λ1z – коефіцієнти теплооб-
τ(rz ) = 2µ
(10)
0
z = L) .
(0 ≤ r ≤ R ,
1
T ( ξ, z ) = ∫ r T 1 ( r , z ) J 0 ( ξ r ) dr
за допомогою якої, із другого рівняння (8), знаходимо вираз для T 1 ( ρ, ζ ) через дві довільні
T = T0 ,
λ1z
∞
1
(9)
де – коефіцієнт лінійного температурного розширення; µ , σ – модуль зсуву і коефіцієнт Пуассона.
Для визначення температурного поля в шарі
введемо трансформанту Ганкеля функції
T 1 ( ξ, z ) нульового порядку
(12)
k =1
де Ak , Bk , Ck , Dk – довільні постійні; I 0 ( γ k r )
– функція Бесселя першого роду уявного аргументу; βk , γ k – власні значення, які знаходяться із граничних умов.
Термопружний потенціал ϕ визначається з
першого рівняння (8) у вигляді
ϕ(ρ , ζ ) =
1 1 + σ1
α 1ζ ×
2 1 − σ1 T
∞
1
×∫ ⎡⎣ ϕ1 ( η) eηζ + ϕ2 ( η ) e −ηζ ⎤⎦ J 0 ( ηρ ) d η
η
0
(13)
Компоненти температурних напружень і переміщень обчислюються за формулами (9).
Маючи формули для температурних напружень
і переміщень, можна знайти компоненти напружень та переміщень при контактній взаємодії циліндра і шара. Для цього необхідно до величин, обчислених за формулами (9), додати
компоненти напружень і переміщень від бігармонічного потенціалу [1].
Таким чином, для визначення переміщень і
напружень в ізотропному шарі маємо наступні
співвідношення:
∞
⎤
⎛
⎞
1 ⎧⎪ ⎡ 1
1
u1z = − ∫ ⎨ ⎢ 1 η F1 ( η ) + ⎜ 2 + 1 ηζ ⎟ F2 ( η) ⎥ ×
η ⎩⎪ ⎢⎣ b1 R
b1 R ⎠
⎥⎦
⎝
0
111
⎡ 1
⎤
⎛
⎞
1
×e −ηζ + ⎢ 1 η F3 ( η ) + ⎜ −2 + 1 ηζ ⎟ F4 ( η ) ⎥ ×
b1 R
⎝
⎠
⎣⎢ b1 R
⎦⎥
}
× eηζ J 0 ( ηρ ) d η +
1
1 1+ σ
α 1 R×
2 1 − σ1 T
1
× J 0 ( ηρ ) d η ;
1
1
∞
⎡
⎤
× ⎢T0 − A0lR − ∑ thµ kl J 0 ( µ k ρ ) Ak ⎥ , ( ρ < 1) ;
k =1
⎣
⎦
(16)
0
λ z1
⎤ −ηζ
1
⎨ ⎢ F1 ( η ) + b1 + ηζ F2 ( η ) ⎥ e +
∫
R 0 ⎩⎣ R
⎦
(
)
∞
×∫ η ⎡⎣ϕ1 ( η) e
ηζ
=
)
− ϕ2 ( η) e
0
× J 0 ( ηρ ) ⋅ d η + µ1
∞
−ηζ
0
(14)
)
1− σ
∞
αT 1 ∫ ⎣⎡ϕ1 ( η )(1 + ηζ ) e
ηζ
−
0
де u1z , σ1z , τ1rz – компоненти переміщення і на-
)
пружень в пружному шарі; Fi ( η) i = 1, 4 – довільні функції; λ1 , µ1 – коефіцієнти Ламе.
Для задоволення граничної умови (2) у формулі (12) необхідно покласти
D0 = 0 ,
(
)
Ck = 0, Dk = 0 k = 1, ∞ ; βk = µ k / R , де µ k –
корені рівняння J1 ( µ k ) = 0 .
Гранична умова (1), з урахуванням ортогональності функцій Бесселя, приводить до наступних співвідношень між постійними An і
(
)
Bn n = 0, ∞ :
L
B0 = T0 − A0lR , Bn = −thµ n lAn , l = . (15)
R
Задовольнивши граничні умови (3, 4, 5), з
урахуванням (15), одержимо систему інтегра-
112
∞
∫ ⎡⎣( η − K1 ) e
0
−ηh
( ρ > 1) ;
(
(18)
)
ϕ1 ( η ) − η + K11 eηh ϕ2 ( η ) ⎤ ×
⎦
J 0 ( ηρ ) d η = 0,
(0 ≤ ρ < ∞) ;
(19)
h = H / R; K11 = H11 R; K 21 = H 21 R, h01 = h0 R / λ1z .
Застосувавши формулу обернення інтегрального перетворення Ганкеля [7] до рівняння
(19)
і
ввівши
позначення
(
µ1
λ1
1
,
b
, b31 = λ1 + µ1.
=
2
1
1
1
1
λ +µ
λ +µ
(
(17)
)
(
)
ϕ ( η) = K 21 + η ϕ1 ( η) + K 21 − η ϕ2 ( η ) , одержи-
−ϕ2 ( η)(1 − ηζ ) e −ηζ ⎤⎦ J1 ( ηρ ) d η ,
b11 =
( ρ < 1) ;
1
J 0 ( ηρ ) d η = 0,
1
)
1 + σ1
−µ1
1
∞
⎞
λz ⎛
⎜ A0 R + ∑ µ k J 0 ( µ k ρ )Ak ⎟ ,
R⎝
k =1
⎠
1
⎡η
⎤ ⎫
+ ⎢ F3 ( η) + b21 + ηζ F4 ( η) ⎥ eηζ ⎬ J1 ( ηρ ) d η −
⎣R
⎦ ⎭
(
0
∫ ⎡⎣( K 2 + η) ϕ1 ( η) + ( K 2 − η) ϕ2 ( η)⎤⎦ ×
⎧⎡ η
⎤
τ1rz = 2b31 ∫ ⎨ ⎢ F1 ( η) + −b11 + ηζ F2 ( η) ⎥ e −ηζ +
R
⎦
0 ⎩⎣
(
⎣ 1 ( η) − ϕ2 ( η) ⎤⎦ J 0 ( ηρ )d η =
∫ η⎡ϕ
∞
⎤ J 0 ( ηρ ) d η×
⎦
1 + σ1
α 1ζ
1 − σ1 T
∞
R
⎡ η
⎤ ⎫
+ ⎢ − F3 ( η) + b11 − ηζ F4 ( η) ⎥ eηζ ⎬ ×
⎣ R
⎦ ⎭
(
)
∫ ⎣⎡( h0 + η) ϕ1 ( η) + ( h0 − η) ϕ2 ( η)⎦⎤J 0 ( ηρ ) d η = h0 ×
1
×∫ ⎡⎣ ϕ1 ( η )(1 + ηζ ) eηζ − ϕ2 ( η )(1 − ηζ ) e −ηζ ⎤⎦ ×
η
0
σ1z =
(
ϕ2 ( η) з коефіцієнтами Ak k = 0, ∞ :
∞
∞
∞
2b31 ⎧ ⎡ η
льних рівнянь, які зв’язують функції ϕ1 ( η) і
мо систему рівнянь відносно ϕ1 ( η ) і ϕ2 ( η ) ,
розв’язок якої має вигляд:
(
)
(
)
1
η + K11 eηh ϕ ( η ) / Q ( η ) ;
2
1
ϕ2 ( η) = η − K11 e −ηh ϕ ( η ) / Q ( η ) , (20)
2
2
Q ( η) = η + K11 K 21 shηh + η K11 + K 21 chηh .
ϕ1 ( η ) =
(
)
(
)
Підставивши функції ϕ1 ( η ) і ϕ2 ( η ) із (20) у
рівняння (18), одержимо:
∞
∫ ϕ ( η) J 0 ( ηρ ) d η = 0, ( ρ > 1) .
(21)
0
Задовольнивши граничним умовам (7), з
урахуванням (20), для напруження σ1z ( ρ,0 ) і
переміщення u1z ( ρ,0 ) на поверхні шару знайдемо формули:
∞
u1z
1 + b1
( ρ,0 ) = 1 1 R ∫ ⎡⎣1 − G ( 2ηh )⎤⎦ Φ ( η) J 0 ( ηρ ) ×
b1
0
1 Q2 ( η ) ϕ ( η)
J 0 ( ηρ ) d η, (22)
η Q ( η ) Q1 ( η)
0
∞
×d η + αT 1 Rδ ∫
∞
σ1z
2b31
( ρ,0 ) = ∫ ηΦ ( η) J 0 ( ηρ ) d η ,
R 0
RηΦ ( η) = ηR F1 ( η)
−1
−ηR F3 ( η)
−1
+ b11 F2
+ b11 F4
Q1 ( η ) = sh ηh + 2ηh,
2
(
Підставивши вираз (28) у формулу (27), з
врахуванням при цьому (25), одержимо інтегральне рівняння Фредгольма другого роду відносно функції f ( t ) :
f (t ) = −
( η) −
( η) ,
Q2 ( η) =
× cos ηtd η +
)
= ηshηh chηh + K11sh 2 ηh + η2 h shηh ,
1 + 2ηh − e −2ηh
1 + σ1
G ( 2ηh ) =
, δ=
1 + b11
Q1 ( η )
1 − σ1
(
)
Задовольнивши граничним умовам (6), приходимо до системи інтегральних рівнянь відносно функцій Φ ( η ) і ϕ ( η ) :
∞
∫ Φ ( η)J 0 ( ηρ ) d η = −
0
∞
2δ
1 Q2 ( η ) ϕ ( η)
αT 1 ∫
cos ηtd η,
π
η Q ( η ) Q1 ( η)
0
(29)
Контактні напруження під штампом
( ρ , 0 ) , з використанням (25), визначаються
формулою
σ1z
σ1z
∞
1 Q2 ( η ) ϕ ( η )
J 0 ( ηρ ) d η,
η Q ( η) Q1 ( η )
0
∞
( 0 ≤ t ≤ 1) .
ε
+ G ( 2ηh ) Φ ( η) J 0 ( ηρ ) ×
R ∫0
∞
×d η + α T 1 δ ∫
1
2ε 2
+
f ( x ) dx ∫ G ( 2ηh ) cos ηx ×
π R π ∫0
0
1
⎡ f (1)
f ′ ( t ) dt
⎢
−∫
( ρ , 0 ) = æ0
⎢⎣ 1 − ρ2 ρ t 2 − ρ2
2b1b1
æ 0 = 1 31 .
1 + b1
⎤
⎥,
⎥⎦
(30)
Використовуючи умову рівноваги штампа
1
( 0 ≤ ρ ≤ 1) .
(23)
p = −2πR 2 ∫ ρσ1z ( ρ ) d ρ і формулу (30), інтегра-
∫ ηΦ ( η)J 0 ( ηρ ) d η = 0, ( ρ > 1)
(24)
льне рівняння (29) зводиться до вигляду:
∞
0
0
Якщо ввести функцію f ( t ) співвідношенням
Φ ( η) =
b11
1
1 + b11 ∫0
f ( t ) cos ηtdt ,
(25)
то рівняння (24) задовольняється тотожньо, а
рівняння (23) зводиться до інтегрального рівняння Абеля
ρ
∫
0
f ( t ) dt
ρ2 − t 2
= g (ρ) ,
(26)
розв’язок якого згідно [8] визначається формулою
f (t ) =
t
2 d ρ g (ρ) dρ
,
π dt ∫0 t 2 − ρ2
(27)
1 Q2 ( η ) ϕ ( η )
J 0 ( ηρ ) d η .
η Q ( η ) Q1 ( η )
0
×d η −
=−
1
∞
⎛
2
sin η ⎞
f ( x ) dx ∫ G ( 2ηh ) cos ηx ⎜ cos ηt −
⎟×
∫
π0
η ⎠
⎝
0
∞
2δ
1 Q2 ( η ) ϕ ( η) ⎛
sin η ⎞
αT 1 ∫
⎜ cos ηt −
⎟ dη =
π
η Q ( η ) Q1 ( η) ⎝
η ⎠
0
p
, ( 0 ≤ t ≤ 1) .
2π R 2 æ 0
∞
(28)
(31)
Для визначення функції ϕ ( η ) продовжимо
рівняння (21) на весь інтервал ( 0 ≤ ρ < ∞ ) :
∞
∫ ϕ ( η)J 0 ( ηρ ) d η = U (1 − ρ ) X ( ρ )
0
(0 ≤ ρ < ∞)
(32)
де U ( x ) – функція Гевісайда, X ( ρ ) – невідома
функція, яку подамо співвідношенням
N1
⎧⎪
⎫⎪
X ( ρ ) = T0 ⎨a0 + ∑ ak J 0 ( µ kρ ) ⎬ , ( 0 < ρ < 1) ,
k =1
⎩⎪
⎭⎪
∞
ε
де g ( ρ ) = − + ∫ G ( 2ηh ) Φ ( η) J 0 ( ηρ ) d η +
R 0
+αT 1 δ ∫
f (t ) −
(33)
де ak ( k = 0, N1 ) – невідомі коефіцієнти, які необхідно визначити; значення N1 вибирається із
113
умови забезпечення необхідної точності
розв’язку.
Застосувавши до обох частин рівняння (32)
формулу обертання інтегрального перетворення Ганкеля, знайдемо функцію ϕ ( η) через невідомі коефіцієнти ak :
⎧⎪
a J ( µ ) ⎫⎪
ϕ ( η ) = T0 ⎨a0 J1 ( η ) + η2 J1 ( η ) ∑ k 2 0 2k ⎬
⎪
k =1 η − µ k ⎭
⎩⎪
Помноживши обидві частини рівностей
(35), (36) на ρ, ρ J 0 ( µ nρ ) і проінтегрувавши їх
по ρ в межах від 0 до 1, з врахуванням умов
ортогональності функцій Бесселя, прийдемо до
співвідношень:
A0 R = 2
N
(34)
Підставивши функцію ϕ ( η) (34) в інтегральні рівняння (16), (17), (31) з врахуванням (20),
прийдемо до співвідношень, які зв’язують між
собою функцію f ( t ) і коефіцієнти
(
)
(
An = 2
N
1
k =0
(
A0 R ∞ J 0 ( µ k ρ )
+∑
Ak = h01T0 ,
ε0
εk
k =1
λz
N
( 2)
T0 ∑ ak α k
k =0
f (t ) −
( ρ ) − A0 R − ∑ µ k J 0 ( µ k ρ )Ak = 0,
k =1
( ρ < 1) .
(36)
∞
1
⎛
2
sin η ⎞
f ( x ) dx ∫ G ( 2ηh ) cos ηx ⎜ cos ηt −
⎟⋅
∫
π0
η
⎝
⎠
0
⋅d η −
k =0
1
α(0 ) ( ρ ) = ∫
j
0
∞
j
α(k ) ( ρ ) = J 0 ( µ k ) ∫
(
d η,
j
+2∑
(
)
j
( ym ) K1 ( ym ) I1 ( ym )
, ( j = 1, 2 ) ;
ym Q′ ( iym )
( ym ) I1 ( ym ) K1 ( ym ) ( j ) ( j )
, α n,0 = α 0,n , ( j = 1, 2 )
( ym2 + µk2 ) Q′ ( iym )
⎧β(n ,jk) ,
k≠n
⎪
( j) ⎪
α n , k = ⎨ ( j ) 1 Pj ( µ n )
J 02 ( µ n ) , k = n;
⎪βn ,k +
2 Q ( µn )
⎪⎩
d η , (38)
J ( η ) Q2 ( η ) ⎛
sin η ⎞
δ0 ( t ) = ∫ 1
⎜ cos ηt −
⎟ dη ,
ηQ ( η ) Q1 ( η) ⎝
η ⎠
0
ηJ1 ( η) Q2 ( η )
)
− µ k 2 Q ( η) Q1 ( η )
⎛
sin η ⎞
× ⎜ cos ηt −
⎟ dη .
η ⎠
⎝
114
j
ym Pj∗
( j)
1
j
βn ,k = ∫ ρJ 0 ( µ n ρ ) α (k ) ( ρ ) d ρ = 2 J 0 ( µ k ) J 0 ( µ n ) ×
0
∞
(η
Pj∗
m =1
m =1
1
1
0
1
α(0,0) = ∫ ρα(0 ) ( ρ ) d ρ = ε(0,0) +
×∑
)
P ( η) = η ( η shηh + k chηh ) ;
2
)
0
(
∞
(
0
P1 ( η) = η + k11h01 shηh + k11 + h01 η chηh ;
δk ( t ) = J 0 ( µ k ) ∫
λ z ( 2)
l α 0,k , γ 0 = 1; γ n = 0 n = 1, N .
λ1z
Обчисливши невласні інтеграли (38), згідно [9],
одержимо:
∞
Q ( η ) η2 − µ 2k
2
λ z thµ n l ( 2 )
α n,k ,
λ1z µ n
1
η2 Pj ( η) J1 ( η ) J 0 ( ηρ )
)
+
h01
+
(40)
j
j
α(0,k) = ∫ ρα (k ) ( ρ ) d ρ = 2 J 0 ( µ k ) ×
Q ( η)
0
α(0,)k
1
α 0,k =
(37)
Pj ( η ) J1 ( η ) J 0 ( ηρ )
2
h01
∞
1
1
,
де ε0 = 1 , ε k = 1
lh0
h0thµ k l
∞
α(n ,)k
де α n , k =
N1
2δ
P
αT 1 T0 ∑ δk ( t ) ak = −
,
π
2πR 2 æ0
k =0
( 0 ≤ t ≤ 1) ,
( n = 0, N ) ,
∑ α n,k ak = γ n
(35)
∞
(39)
)
N
)
( ρ < 1) .
λ1z
N
λz
T
2
α (n , k) ak .
∑
1
2
λ z µ n J 0 ( µ n ) 0 k =0
і системи лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих ak k = 0, N :
Ak k = 0, ∞ , ak k = 0, N :
T0 ∑ ak α (k ) ( ρ ) +
N
λz
( 2)
T
0 ∑ α 0, k ak ,
λ1z k =0
∞
∑
m =1
×
(
ym3 Pj∗ ( ym ) I1 ( ym ) K1 ( ym )
(y
2
m
+ µ k2
1
1
ε(0,0) = r1 ,
2
)
)( y
2
m
)
+ µ n2 Q′ ( iym )
ε(0,0) =
2
(
;
1 1
K1 r2 ,
2
r1 = K11h + 1 r2 , r2 = K11 K 21 h + K11 + K 21
(41)
)
−1
;
(
)
де ym m = 1, ∞ – корені рівняння Q ( iym ) = 0 ;
(
)
(K
(
)
∞
in ,0 = ∫
1
1 cos
ym h − ym h sin ym h
∞
)
,
(
)
Q′ ( iym ) = ⎡ K11 K 21 − ym2 h + K11 + K 21 ⎤ cos ym h −
⎣
⎦
1
1
− ym ⎡ 2 + K1 + K 2 h ⎤ sin ym h .
⎣
⎦
(
)
Представимо функцію f ( t ) у вигляді:
P
f (t ) = −
2πR 2 æ 0
N1
2
k =0
(
)
+αT 1 T0 ∑ Pk 1 − 2t 2 ( 2k + 1) Yk ,
k =0
(
(42)
)
де X k , Yk – невідомі коефіцієнти; Pk 1 − 2t 2 –
функції Лежандра. Тоді рівняння (37), з урахуванням ортогональності функцій Лежандра
(
)
Pk 1 − 2t 2 на інтервалі (0, 1), зводиться до знаходження постійних xn , yn із системи лінійних
алгебраїчних рівнянь:
N1
∑ An,k X k = Pn , ( n = 0, N1 ) .
∑ An,k Yk = tn , ( n = 0, N1 ) ,
)
4
sin η
G ( 2ηh ) τ0 ( η )
dη ,
∫
π0
η
∞
( 2k + 1) ∫ G ( 2ηh ) τ0 ( η) ×
0
×J
1
k+
2
An( , k) = 2 ( −1)
1
k +1
0
⎞
1 ⎛ cos η 1 1
− + sin η ⎟ ,
⎜
η⎝ η
η 2
⎠
1
⎛ η⎞⎡
⎛ η⎞
⎛ η ⎞⎤
τn ( η ) = ηγ n ⎜ ⎟ ⎢ γ n −1 ⎜ ⎟ − γ n +1 ⎜ ⎟ ⎥ −
4
⎝ 2 ⎠⎣
⎝2⎠
⎝ 2 ⎠⎦
де γ n ( η) – сферичні функції.
Для обчислення температурних полів в циліндрі і шарі, з врахуванням співвідношень
(11), (12), (15), (20), (34), (35), матимемо наступні формули:
1) циліндрична область ( 0 ≤ ρ < 1,0 ≤ ζ ≤ A ) ,
λ
⎪⎧
T ( ρ, ζ ) = T0 ⎨1 + 2 ( ζ − A ) 1z
λz
⎪⎩
λ
N
N
∑ α(0,2k) ak + 2 λ1z ∑ ×
k =0
z k =0
2
shµ m ( ζ − A ) α (m ,)k ⎫⎪
⎬.
2
m =1 chµ m lJ 0 ( µ m ) µ m ⎪
⎭
+2∑
⎛ η⎞
⎛ η⎞
⎜ ⎟ J −k − 1 ⎜ ⎟ d η ,
2⎠
⎝2⎠
2⎝
4
sin η
G ( 2ηh ) τn ( η )
dη ,
∫
π0
η
τ0 ( η ) =
∞
m =1
∞
An ,0 = −
1
(46)
⎧⎪ ⎡⎛ 1 + K 1 ( h + ζ ) ⎞
+
T 1 ( ρ, ζ ) = T0 ⎨ ⎢⎜ 1 1 1 1
1 ⎟
⎜
⎟
⎪⎩ ⎣⎢⎝ K1 K 2 h + K1 + K 2 ⎠
∞ R∗ y , ζ ⎛ K ( y ) I ( y ρ ) ⎞ ⎤
(
) 1 m 0 m
+ 2∑ 1 m
⎜
⎟ ⎥ a0 +
⎜
⎟
m =1 Q′ ( iym ) ⎝ − K 0 ( ym ρ ) I1 ( ym ) ⎠ ⎥
⎦
N1
⎡⎛ R1 ( µ k , ζ ) J 0 ( µ k ρ ) ⎞
⎟+
+ ∑ ak J 0 ( µ k ) ⎢⎜
⎢⎣⎜⎝ Q ( µ k ) J 0 ( µ k ) ⎟⎠
k =1
)
k +1
d η,
( n = 0, N ; k = 0, N ) ;
2) шар ( −h ≤ ζ ≤ 0; 0 ≤ ρ < ∞ )
∞
A0,k = 2 ( −1)
)
− µ 2k Q ( η) Q1 ( η )
(44)
in ,k n = 0, N1 ,
A0,0 = 1 −
2
(43)
4δ N
де P0 = 1; Pn = 0 n = 1, N ; tn = ∑ ak ;
π k =0
(
(η
∞
k =0
(
0
ηJ1 ( η) Q2 ( η) τn ( η )
×ak ∑
k =0
N1
in , k = J 0 ( µ k ) ∫
d η,
n
−1) sin η
(
−
,
2 Ã (1 + n ) Ã (1 − n ) η
∑ ( 2k + 1)Pk (1 − 2t ) X k +
N1
ηQ ( η) Q1 ( η)
0
P1∗ ( ym ) = h01 K11 − ym2 sin ym h + K11 + h01 ym ×
× cos ym h, P2∗ ( ym ) = ym
J1 ( η) Q2 ( η) τn ( η)
(45)
∞
∫ G ( 2ηh ) τn ( η) ×
0
⎧⎪ An(1,k) ,
k≠n
⎛η⎞
⎛ η⎞
× J 1 ⎜ ⎟ J 1 ⎜ ⎟ d η , An , k = ⎨
(1)
k + ⎝ 2 ⎠ −k − ⎝ 2 ⎠
⎪⎩1 + An , k , k = n;
2
2
(y
y m2 R1∗ ( ym , ζ )
2
m
)
+ µ k2 Q′ ( iym )
×
⎛ K1 ( ym ) I 0 ( ym ρ ) ⎞ ⎤ ⎪⎫
×⎜
⎟⎥ ;
⎜ −K ( y ρ) I ( y ) ⎟⎥ ⎬
0
m
1
m
⎝
⎠ ⎦ ⎭⎪
(47)
R1 ( x, ζ ) = xchx ( h + ζ ) + K11shx ( h + ζ ) ,
R1∗ ( ym , ζ ) = ym cos ym ( h + ζ ) + K11 sin ym ( h + ζ ) .
115
Якщо товщина шару h → ∞ , то одержимо
розв’язок задачі про тиск циліндричного кругового штампа на пружний півпростір з врахуванням неідеального теплового контакту [4].
Рис. 1. Розподіл температури в шарі в зоні контакту
при різних значеннях контактної провідності:
1–
h01 = 0,1 ; 2 – h01 = 1 ; 3 – h01 = 5 ; 4 – h01 = ∞
При 0 ≤ ρ < 1 множником береться верхній
вираз в круглих дужках, при ρ > 1 – нижній.
Для визначення нормальних напружень під
штампом, з урахуванням (30), (42), отримаємо
наступний вираз:
(T 1 )
p
σ1z ( ρ,0 ) = σ(z ) ( ρ,0 ) + σ z ( ρ,0 ) ,
( 0 ≤ ρ < 1) ;
0,5 P
1
p
σ(z ) = −
⋅
×
2
πR
1 − ρ2
⎡
⎤
1 N1
k
× ⎢ x0 + ∑ ( −1) ( 2k + 1) xk T2 k +1 ( ρ ) ⎥ ; (48)
ρ k =1
⎣
⎦
1
æ0
(T )
σ z ( ρ,0 ) = αT 1 T0 ⋅
×
1 − ρ2
⎡
⎤
1 N1
+
Y
( −1)k ( 2k + 1) yk T2 k +1 ( ρ )⎥ ,
⎢ 0
∑
ρ k =1
⎣
⎦
p
де σ(z ) ( ρ,0 ) – силова складова напружень;
(T ) ρ,0 – температурна складова напружень;
( )
σz
1
T2 k +1 ( ρ ) – функція Чебишева.
Рис. 2. Розподіл силової частини контактних напружень для різних значень товщини шару:
1–
116
h = 2; 2 –h = 4; 3–h = ∞.
Рис. 3. Розподіл температурної складової контактних напружень для різних значень контактної
провідності:
1–
h01 = 0,1 ; 2 – h01 = 1 ; 3 – h01 = 5 ; 4 – h01 = ∞ .
Розглянуто числовий приклад для знаходження температури α1 = T 1 / T0 і напружень
(T 1 )
p
α 2 = −σ(z ) ( ρ,0 ) πR 2 / p , α3 = σ z ( ρ,0 ) / αT 1 T0
(
)
при δ = 0,3 ; l = 2 ; h = 2 ; K11 = ∞ , K 21 = 0,5 ,
λ z / λ z1 = 0,1 і різних значень контактної провідності h01 = 0,1; 1; 5; ∞ .
Висновки
Розроблено метод розв’язку контактних задач, який ґрунтується на застосуванні інтегральних перетворень Ганкеля і методу відокремлення змінних Фур’є для розв’язання рівнянь
термопружності.
При заданих температурних і силових граничних умовах одержано формули для визначення температурних полів і контактних нормальних напружень. Розв’язок температурної і
термопружної задач зводиться до визначення
деяких постійних із системи лінійних алгебраїчних рівнянь, через які знаходяться температурні поля в циліндрі і шарі, а також контактні
нормальні напруження.
Числові підрахунки і аналіз розв’язку показують, що контактна провідність h01 значно
впливає на розподіл температурних полів і нормальних напружень в зоні контакту двох тіл.
БІБЛІОГРАФІЧНИЙ СПИСОК
1.
Грилицкий, Д. В., Осесимметричные контактные задачи упругости и термоупругости [Текст]
2.
3.
4.
5.
/ Д. В. Грилицкий, Я. М. Кизыма. – Львов: Изд.во при Львов. ун.-те, 1981. – 135 с.
Грилицький, Д. В. Термопружні задачі в трибології [Текст] / Д. В. Грилицький – К.: ІЗМА,
1996. – 204 с.
Коваленко, А. Д. Основы термоупругости
[Текст] / А. Д. Коваленко – К.: Наукова думка,
1970. – 304 с.
Окрепкий, Б. С. Тиск циліндричного кругового
штампа на пружний півпростір з врахуванням
неідеального теплового контакту [Текст] / Богдан Окрепкий, Марія Шелестовська // Вісник
ТНТУ. – 2006. – № 3. – С. 26-33.
Окрепкий, Б. Осесиметрична температурна задача для системи тіл циліндр–півпростір при неідеальному тепловому контакті з урахуванням
аналізотропії матеріалів [Текст] / Богдан Окрепкий, Федір Мигович // Вісник ТНТУ. – 2009. –
№ 4. – С. 188-192.
6.
7.
8.
9.
Окрепкий, Б. С. Тиск циліндричного кругового
штампа на трансверсально-ізотропний простір
при неідеальному тепловому контакті [Текст] /
Богдан Окрепкий, Марія Шелестовська // Вісник
ТНТУ. – 2010. – № 1. – С. 32-40.
Снеддон, И. П. Преобразование Фурье [Текст] /
И. П. Снеддон – М., 1955, – 668 с.
Уиттекер, Э. Т. Курс современного анализа
[Текст] / Э. Т. Уиттекер, Г. М. Ват сон. – М.:
Физматгиз, 1963. – 343 с.
Мигович, Ф. М. Обчислення групи невласних
інтегралів, які містять функції Бесселя І–го роду
[Текст] / Федір Мигович, Богдан Окрепкий //
Збірник наукових праць академії наук України.
К., 1995. – №8 – C. 133–137.
Надійшла до редколегії 11.05.2011.
Прийнята до друку 16.05.2011.
117
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
2 685 Кб
Теги
контакты, штамп, взаимодействия, кругового, pdf, неидеальным, слоев, контактные, тепловой
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа