close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Метод автоматизированной вибродиагностики механических систем на основе исследования колебаний внешнего кольца подшипника..pdf

код для вставкиСкачать
Машиностроение
УДК 621.822.6
А.А. Никитин, Г.М. Цимбалов
МЕТОД АВТОМАТИЗИРОВАННОЙ ВИБРОДИАГНОСТИКИ
МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ИССЛЕДОВАНИЯ КОЛЕБАНИЙ
ВНЕШНЕГО КОЛЬЦА ПОДШИПНИКА
Показана возможность использования динамической теории упругости для исследования вибраций подшипников. Рассмотрены примеры упругих колебаний точек наружного кольца подшипника.
Вибродиагностика, упругие колебания, кольцо подшипника.
A.A. Nikitin, G.M. Tsimbalov
AUTOMATED VIBRATION-BASED DIAGNOSTICS METHOD
OF MECHANICAL SYSTEMS ON THE BASES OF BEARINGS'
EXTERNAL RING VIBRATION RESEARCH
The article studies the possibility of use of the dynamic theory of elasticity
for bearings' vibrations research. Examples of elastic fluctuations of points of the
external ring of a bearing are considered.
Vibration-based diagnostics, elastic fluctuations, bearing ring.
59
Вестник СГТУ. 2010. № 1 (44).
Введение. Данное исследование проводилось с целью теоретической проверки возможностей измерения вибрационных смещений внешнего кольца подшипника новым сверхвысокочастотным вибропреобразователем (СВЧ–ВП)[1]. С теоретической точки зрения, подшипник с телами качения представляет чрезвычайно сложную динамическую систему, которая не поддается точному количественному описанию. До сих пор расчет вибраций его элементов проводился на качественном уровне, опирающемся на математический аппарат разработанной для описания колебаний системы связанных гармонических осцилляторов. Однако, при всем желании, невозможно получить достаточно точное количественное описание
упругих колебаний точек кольца подшипника, представляя его какой-либо совокупностью
связанных осцилляторов. Единственный надежный путь решения этой задачи – использование динамических уравнений классической теории упругости. Однако, выбрав этот путь,
необходимо осознавать, что проторенных дорожек на этом пути нет, и излагаемый ниже материал – это первый опыт использования динамической теории упругости для исследования
вибрации подшипников.
1. Постановка задачи. Если пренебречь кривизной дорожек качения, то внешнее
кольцо подшипника можно представить в виде полого цилиндра (см. рис. 1). На внутреннюю
поверхность этого цилиндра действуют динамические упругие силы давления со стороны
шариков. Эти силы очень сложным образом зависят от времени t и цилиндрических координат поверхности z и ϕ. Пусть нас интересуют упругие колебания точек внешней поверхности
цилиндра, тогда, используя принцип Сен-Венана [2], можно усреднить силы давления со стороны шариков по угловой координате ϕ и представить вектор плотности поверхностной силы, действующей на кольцо подшипника со стороны i-го шарика в виде
F (i ) = [ f r(i ) (t )er + f z(i ) (t )ez ] δ( z − z0(i ) ) / 2πR1 ,
где δ( z − z0i ) – одномерная дельта-функция Дирака, описывающая точечное взаимодействие шарика с поверхностью кольца на окружности с координатой центра z0( i ) ; f r(i ) , f z( i ) – радиальная и
осевая компоненты силы, действующие в данный момент времени t на внутреннюю поверхность
кольца со стороны i-го шарика. Очевидно, что суммарный вектор плотности поверхностной силы, действующей со стороны всех шариков подшипника, будет определяться в виде
F = Fr (t , z )er + Fz (t , z )ez ,
1 N (i )
1 N (i )
(i )
f
(
t
)
δ
(
z
−
z
);
F
(
t
,
z
)
=
∑ r
∑ f z (t )δ( z − z0(i ) ) ; N – общее число
0
z
2π R1 i=1
2π R1 i=1
шариков в подшипнике.
Определение явного вида функций Fr и Fz – очень
сложная задача. Она может быть решена тем или иным методом только приближенно. Если эта задача успешно решена, тогда упругие колебания внешнего кольца подшипника определяются из решения системы динамических
уравнений классической теории упругости [2], в правые
части которых входят компоненты плотности силы давления шариков Fr и Fz.
2. Определение смещений из решения уравнений
Рис. 1. Представление
теории
упругости. Для полого цилиндра, изображенного на
внешнего кольца подшипника
полым цилиндром
рис. 1, при нагрузках, описанных выше, система динамических уравнений классической теории упругости имеет вид
2
∂U
∂ σ rr ∂ σ rz δ rr − δ ϕϕ
ρ 2r =
+
+
+ Φ r (t , z , r ) ;
(1)
∂t
∂r
∂z
r
где Fr (t , z ) =
60
Машиностроение
∂ 2U z ∂ σ zr 1
∂σ
=
+ σ zr + zz + Φ z (t , z , r ) ;
(2)
2
∂t
∂r
r
∂z
R1 < r < R2 , 0 < z < h, 0 < t < ∞ ,
где ρ – плотность материала кольца; Ur и Uz – компоненты вектора упругих смещений точек
кольца ( U = U r er + U z ez ); Φz и Φr – компоненты вектора объемной плотности внешней силы в
кольце; σrr, σrz, σzr, σϕϕ и σzz – компоненты тензора напряжений, вычисляемые по формулам:

∂U r
 U ∂ U z 
σ rr = γ1 − α{T (t , r , z ) − θ0 }+ γ 2
+ γ3  r +
(3)
 ;
∂r
∂z 
 r

ρ

U
∂U z
∂ U r 
 ;
σ zz = γ1 − α{T (t , r , z ) − θ0 }+ γ 2
+ γ 3  r +
∂z
∂ r 
 r


 ∂U
U
∂U z 
 ;
σϕϕ = γ1 − α{T (t , r , z ) − θ0 }+ γ 2 r + γ 3  r +
r
∂z 
 ∂r

(4)
(5)
 ∂U
∂U z 
σ zr = σ rz = γ 4  r +
.
(6)
∂ r 
 ∂z
Функция T(t, r, z) описывает распределение температуры в кольце; α – коэффициент
термического расширения материала кольца; θ0 – температура окружающей среды. Постоянные γi вычисляются по формулам:
E
1− σ
σ
E
γ1 =
; γ2 =
; γ3 =
; γ4 =
,
1 − 2σ
1+ σ
1+ σ
1 + 2σ
где Е – модуль упругости; σ – коэффициент Пуассона.
Подставим (3)-(6) в (1)-(2), получим уравнения упругости в перемещениях:
∂ 2U r ∂ 2U r 1 ∂U r U r
∂ 2U r
∂ 2U z
∂T
=
+
−
+
γ
+
γ
+ γ 7 Φ r (t , z , r ) − γ 8
;
6
5
2
2
2
2
∂t
∂r
r ∂r
r
∂z
∂r ∂ z
∂r
(7)
 ∂ 2U z 1 ∂U z 
 ∂ 2U r 1 ∂U z 
∂ 2U z ∂ 2U z
∂T


 + γ 7 Φ z (t , z , r ) − γ 8
=
+
γ
+
+
γ
+
;
6
5
2
2
2


∂t
∂z
r ∂r 
∂z
 ∂r
 ∂r ∂ z r ∂ z 
(8)
ργ 7
ργ 7
1
1 − 2σ
(1 + σ)(1 − 2σ)
1+ σ
.
; γ6 =
; γ7 =
; γ8 = α
E (1 − σ)
2(1 − σ)
2(1 − σ)
1− σ
Для периодической нагрузки из уравнений (1)-(2) можно получить усредненные по
периоду колебаний и объему кольца уравнения равновесия. Для этого проинтегрируем (1)-(2)
по объему цилиндра и по времени t в интервале 0 < t < T0, где T0 – период колебаний нагрузки. В результате получим уравнения:
где γ 5 =
T0
h
∫ {2πR ∫ σ
2
0
rr
h
R2
o
R1
( R2 , z , t ) dz − 2πR1 ∫ σ rr ( R1 , z , t ) dz + 2π ∫ σ rz (r , h, t )r dr −
o
 h R2

− 2π ∫ σ rz (r ,0, t ) r dr − 2π ∫ ∫ σϕϕ (r , z , t ) dr dz}dt + 2π ∫ ∫ ∫ Φ r (r , z , t ) dz r dr  dt = 0 ;

R1
R1 0
0
 0 R1
R2
R2 h
T0
T0
h
h
R2
0
o
o
R1
(9)
∫ {2πR2 ∫ σ zr ( R2 , z, t ) dz − 2πR1 ∫ σ zr ( R1 , z, t ) dz + 2π ∫ σ zz (r , h, t ) r dr −
 R2

− 2π ∫ σ zz (r ,0, t ) r dr} dt + 2π ∫  ∫ Φ z (r , z , t ) rd r dz dt = 0.

R1
0
 R1
R2
T0
(10)
61
Вестник СГТУ. 2010. № 1 (44).
Из (9)-(10) следует, что при заданных напряжениях на границах кольца и величины
радиальной компоненты объемной плотности внешней силы, из уравнения (9) можно определить среднюю по сечению кольца величину окружного напряжения σϕϕ , а из (10) – среднюю z – компоненту объемной силы Φz. Следовательно, зависимость Φz от координат r, z и
времени t при заданных напряжениях на границах не может быть произвольной. В частном
случае, когда σzz и σrz равны нулю на границах, функция Φz должна зависеть от r, z, t таким
образом, чтобы интеграл
R2 h

(
,
,
)
Φ
r
z
t
rd
r
dz

dt = 0 .
∫0  R∫ ∫0 z

1
Нарушение этого условия приведет к тому, что центр масс кольца будет перемещаться
в направлении оси z, т.е. кольцо не будет находиться в динамическом равновесии. Последнее
утверждение имеет важное значение для разработки корректной схемы расчета упругих колебаний кольца подшипника. Действительно, внешнее кольцо реального подшипника непрерывно подвергается очень сложным по времени воздействиям со стороны шариков, сепаратора, внешней обоймы. Тем не менее, центр масс кольца колеблется около точки равновесия,
не перемещаясь в пространстве, т.е. для кольца реального подшипника, закрепленного тугой
посадкой на валу, заведомо выполняется уравнение (10). Очевидно, что это происходит в результате сложного взаимодействия сил, возникающих со стороны всех вышеперечисленных
элементов. Чтобы описать это взаимодействие, необходим детальный расчет динамики подшипника в целом, что практически невозможно.
Мы хотим определить колебания наружного кольца подшипника, не закрепленного в
обойме, т.е. когда динамические внешние силы воздействуют только на внутреннюю поверхность кольца. Чтобы при этом не нарушить динамического равновесия кольца, представим
функцию Φz в виде
Φ z = Fz ( z , t ) δ (r − R1 ) + Wz ,
где Fz – z компонента поверхностной плотности силы, возникающей в результате динамического давления шариков на внутреннюю поверхность кольца; δ(r–R1) – функция Дирака, переводящая поверхностную силу в объемную; Wz – постоянная, которая в среднем учитывает
все остальные воздействия на внутреннюю поверхность кольца в подшипнике, и введение
которой позволяет добиться выполнения равенства (10), т.е. обеспечить динамическое равновесие кольца подшипника. Ясно, что все вышеизложенное не касается компоненты плотности
объемной силы Φr. Так как в осесимметричной задаче произвол в задании радиальной компоненты внешней силы не может нарушить равновесия кольца, она может изменить только
среднее значение окружного напряжения. Учитывая это, положим
T0
Φ r = Fr ( z , t )δ (r − R1 ) ,
где Fr – радиальная компонента плотности поверхностной силы, действующей на внутреннюю поверхность кольца при движении шариков.
Сделаем еще одно очевидное упрощение. При определении упругих колебаний точек
кольца можно пренебречь его разогревом в процессе работы подшипника. Разогрев целесообразно учитывать, когда ставится задача расчета напряжений в элементах подшипника. Потому в дальнейшем мы не будем учитывать слагаемых, содержащих температурное поле
кольца.
Таким образом, для определения упругих колебаний точек кольца необходимо решить
систему уравнений
ργ 7
62
∂ 2U r ∂ 2U r 1 ∂U r U r
∂ 2U r
∂ 2U z
=
+
−
+
γ
+
γ
+ γ 7 Fr ( z , t )δ(r − R1 ) ;
6
5
∂t 2
∂r 2
r ∂r
r2
∂z 2
∂r∂z
(11)
Машиностроение

 + γ 7 Fr ( z , t )δ(r − R1 ) + γ 7Wz . (12)

Известно [2], что пространственные задачи динамической теории упругости с конечными границами не поддаются точному аналитическому решению. Приближенное аналитическое решение уравнений (11)-(12) было получено в виде:
ργ 7
 ∂ 2U z 1 ∂U z 
 ∂ 2U r 1 ∂U r
∂ 2U z ∂ 2U z


=
+
γ
+
+
γ
6
5
2
 ∂r ∂ z + r ∂r
∂t 2
∂z 2
r ∂ r 
 ∂r

∞
[
]
(13)
[
]
(14)
U r ≈ ∑ am(1) (r , z ) cos ν mt + am( 2 ) (r , z ) sin ν mt + U r( 0) (r , z ) ;
m =0
∞
U z ≈ ∑ bm(1) (r , z ) cos ν mt + bm( 2) (r , z ) sin ν mt + U z( 0) (r , z ) ,
m=0
где ν m = 2πm / T0 ; T0 – средний период обращения шариков в подшипнике.
Ниже приведены результаты вычислений радиальных смещений точки внешней поверхности кольца подшипника с координатами z = h/2 и z = R2, при разных условиях нагружения. Расчет проводился по формуле (13). Схема вычислений функций am(1) , am( 2) , bm(1) , bm( 2)
очень сложна. Была разработана специальная компьютерная программа для их вычисления.
3. Примеры упругих колебаний
точек наружного кольца подшипника.
На рис. 2 приведено изменение радиальных смещений двух точек наружной поверхности кольца за время одного оборота шариков подшипника типа А206. Первая точка с координатами (z = h/2, z = R2)
находится в срединной плоскости подшипника, вторая – на краю (z = 0, z = R2).
Траектории движения шариков лежат в
окрестности срединной плоскости, поэтому следует ожидать, что амплитуда
колебаний первой точки должна быть
больше, чем второй. Зависимости, приведенные на рис. 2, подтверждают этот вывод. На графиках отчетливо видно девять
горбов, что соответствует общему числу
t, мкс
шариков в подшипнике (N = 9). Каждый
шарик, попадая в зону нагружения подшипника, вызывает резкое увеличение
смещений точек кольца.
Рис. 2. Упругие колебания двух точек наружного
кольца идеального подшипника:
Зависимости, представленные на
1
–
серединная
точка; 2 – крайняя точка
рис. 2, соответствуют идеальному подшипнику, в котором все шарики абсолютно идентичны по воздействию на наружное кольцо подшипника. В действительности, существует определенный разброс в параметрах шариков, приводящий к тому, что каждый шарик
по-разному воздействует на наружное кольцо подшипника. На рис. 3 приведены смещения
срединной точки внешнего кольца для случая, когда амплитуда силового давления шариков
на поверхность колеблется в пределах 10% от шарика к шарику. Указанные колебания задавались с помощью генератора случайных чисел и соответственно этому были хаотичны. Мы
видим, что идеальность картины рис. 2 сильно нарушается. Таким образом, по отклонению
реальных зависимостей (подобных приведенным на рис. 3) от идеальных, можно судить о
степени «одинаковости» тел качения в подшипнике.
63
Вестник СГТУ. 2010. № 1 (44).
Другой интересный пример
упругих колебаний точек кольца – характер их зависимости от угловой
скорости ω движения шариков в подшипнике. Если принять, что в зоне
нагружения подшипника амплитуда
силового давления шариков в первом
приближении не зависит от их скоро сти (в действительности это, конечно,
не так), то получим картину колебаний, представленную на рис. 4. Две
кривые колебаний соответствуют разным значениям угловой скорости
вращения шариков: ω1 = 2π/T1 и
ω2 = 2π/T2, где T1 = 0,07895 с и
T2 = 0,1579 с. Во втором случае смеt, мкс
щения должны быть больше, так как
шарики больше времени проводят в
зоне нагружения, что и подтверждают
Рис. 3. Упругие колебания срединной точки
зависимости,
представленные
на
наружного кольца подшипника:
рис
.
4.
1 – случайные колебания амплитуды нагрузки
Во всех вышеприведенных
от шарика к шарику; 2 – все шарики одинаковы
примерах угловой размер ∆ϕ зоны
нагружения кольца был выбран равным π/2. Максимальная величина динамического «давления» Pmax в этой
зоне выбиралась из условия, чтобы
упругие смещения были порядка
1 мкм. Получилось, что Pmax ≈ 2000 H.
Если оставить последнюю величину
без изменения, а угловой размер зоны
∆ϕ уменьшить в 50 раз, то получим
характерные колебания срединной
точки, представленные на рис. 5.
Сравнивая кривые рис. 2 и 5, обнаруживаем характерные отличия в кривых колебаний. Вместо плавных куполов появляются резкие пики и,
кроме этого, наблюдаются сложные
колебания малой амплитуды, напоминающие колебания шумов. Что касается величины абсолютных смещеРис. 4. Упругие колебания срединной точки
ний, то при малой зоны нагружения
наружного кольца для двух значений периода
оборота шариков: 1 – Т0 = 0,07895 с; 2 – Т0 = 0,1579 с
∆ϕ они уменьшились где-то в 2,5 раза. Причина очевидна. В этом случае
каждый шарик проводит в зоне
нагружения гораздо меньше времени, чем в случае, когда ∆ϕ ≈ π/2.
Зависимость, представленная на рис. 5, имеет важное значение для анализа экспериментальных данных по измерению смещений СВЧ-ВП. Объясняется это тем, что базовые
64
Машиностроение
эксперименты проводятся путем создания искусственных дефектов на кольцах и шариках
подшипника путем нанесения тонких царапин (рисок) на их поверхности. Теоретически этот
дефект может быть задан очень малым угловым размером зоны нагружения ∆ϕ на внутренней поверхности кольца подшипника.
t, мкс
Рис. 5. Упругие колебания
срединной точки наружного кольца
для зоны нагружения ∆ϕ = 0,01π
t, мкс
Рис. 6. Упругие колебания срединной точки
наружного кольца с двумя зонами нагружения:
∆ϕ1 = π/2; ∆ϕ2 = 0,01π. Одна зона примыкает
к другой
Следует отметить, что экспериментальный подшипник, кроме искусственных рисок,
может содержать достаточно большие по размеру зоны нагружения, образовавшиеся естественным путем (перекосы при сборке, отклонения элементов подшипника от идеальной
геометрии и т.д.). В этих зонах величина Pmax может быть в несколько раз меньше, чем в области царапины. Однако эти слабонагруженные естественные зоны могут несколько исказить
идеальные кривые рис. 5. Примеры такого искажения показаны на рис. 6 и 7, приведены колебания срединной точки наружного кольца с двумя зонами нагружения: ∆ϕ1 = 0,01π (царапина) и ∆ϕ2 = π/2 (естественная зона).
На рис. 6 приведена зависимость для случая, когда царапина находится на краю естественной зоны; кривая рис. 7 – царапина смещена на угол π от края естественной зоны. В
зоне царапины Pmax = 2000 H, в естественной зоне Pmax = 500 H. Из этих данных видно, что
смещения, вызванные искусственным дефектом, по-прежнему четко выделяются на фоне
естественных колебаний. Следовательно, искусственные дефекты можно использовать для
определения расположения естественных зон нагружения в подшипнике.
Наличие дефекта на внутренней поверхности кольца размером порядка одного микрометра и попадание на него только одного шарика приводит колебания точки поверхности
кольца к виду, представленному на рис. 8. В данном случае учитывался только радиальный
импульс нагрузки. Внешняя нагрузка отсутствовала.
При прохождении через дефект всех шариков колебания точки кольца принимают вид
(см. рис. 9), отличный от изображенного на рис. 8. Колебания точки кольца в увеличенном
масштабе (40 мс < t < 45 мс) приведены на рис. 10.
На рис. 11 представлен временной сигнал реального подшипника 206 с одним дефектом наружного кольца.
65
Вестник СГТУ. 2010. № 1 (44).
t, мкс
t, мкс
Рис. 7. Упругие колебания срединной точки
наружного кольца с двумя зонами нагружения:
∆ϕ1 = π/2; ∆ϕ2 = 0,01π. Зоны смещены
относительно друг друга на угол π
Рис. 8. Изменение колебаний точки кольца
с координатами z = h/2, r = R2
Рис. 9. Изменение колебаний точки
поверхности наружного кольца
Рис. 10. Колебания точки кольца
в увеличенном масштабе
Сопоставление временных сигналов, приведенных на рис. 10 и 11, демонстрирует высокую степень сходимости расчетной модели с экспериментальными данными.
Заключение. Подводя итоги теоретической части работы, можно сделать вывод, что
созданная компьютерная программа по расчету упругих колебаний наружного кольца подшипника вполне работоспособна и ее можно применить к анализу результатов измерения
66
Машиностроение
Амплитуда, м
упругих смещений СВЧ-ВП при автоматизированном контроле дефектов механических систем.
Рис. 11. Виброграмма наружной поверхности кольца в радиальном направлении
Время, с
ЛИТЕРАТУРА
1. Никитин А.А. Радиоволновый бесконтактный вибропреобразователь перемещений /
А.А. Никитин, В.А. Засорин // Тяжелое машиностроение. 2001. № 9. С. 5-6.
2. Амензаде Ю.А. Теория упругости / Ю.А. Амензаде. М.: Высшая школа, 1976. 272 с.
Никитин Анатолий Александрович –
кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры «Биомедицинская физика»
Саратовского государственного университета
им. Н.Г. Чернышевского
Nikitin Anatoliy Aleksandrovich –
Candidate of Sciences in Physics & Mathematics,
Assistant Professor of the Department
of «Biomedical Physics» of Saratov State
University in the name of N.G. Chernyshevskiy
Цимбалов Геннадий Михайлович –
кандидат физико-математических наук,
старший научный сотрудник СФ ИРЭ РАН
Tsimbalov Gennadiy Mikhaylovich –
Candidate of Sciences in Physics & Mathematics,
Senior Scientific Researcher of SF IRE
of Russian Academy of Sciences
Статья поступила в редакцию 19.10.09, принята к опубликованию 27.01.10
67
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа