close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об одной задаче индентификации..pdf

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ
ЗАПИСКИ
Том Х
удк
ЦАГИ
Мб
1979
629.7.015.4:533.6.0J3.43
ОБ одной ЗАДАЧЕ ИДЕНТИФИКАЦИИ
Г. А. Бу л ы ч ев
Излагается решение
задачи
идентификации характеристик пу­
тем анализа результатов частотных испытаний упругозакрепленного
плоского те ла , имеющего одну непо движную точку . Приводятся
ф о р му лы для в ы ч и с ле н и я матрицы ине рции на осн ове информации
о колеёа н иях те ла.
При исс ле довании аэроупр угой
паратов
часто
возникает
у с т о й ч и в о с т и летательных ап­
необходимость
в
экспериментальном
ут о ч н е н и и
инерционных
характеристик
п лоских (или
близких
к плоским) твер дых тел. Под этим обычно понимается определе­
ние
с приемлемой
ЦИИ : двух осевых
для
l.x, Iy
практики
точностью
трех
моментов инер ­
и центробежного I.ху относительно заданной
системы коор дин ат хОу (рис .
путем
1)
анализа измерений колеба­
те л ь н ы х движени й тела.
Теоретиче ски это требует д ля упругозакрепленного п лоского
твер дого тела, имеющего одну н еподвижную точку, решения об­
ратно й задачи о его колебаниях. Задача свод и т с я к определению коэффициентов у р а в н е ­
ний
движения
по
измеренным характерис­
тикам
движения
или,
ненной терминологие й
нейной
2].
идентификации
пользуясь
[1],
распростра­
осуществления
ли­
системы.
Известен ряд методов идентификации [1,
Эти методы ориентированы в основном на
анализ
ненонсервативных
динамических
сис­
тем со многими степенями свободы, а по том у
д о ст а т о ч н о сложны и, естественно , требую т
применения ЭВМ.
ДЛЯ решения данной з а ­
да ч и
ввиду ее специфичности пре дстав лялась
целесообразной разра ботка б о л е е простых и
у д о б н ы х для инженерно й практики методов
решения.
В данной работе выведены
вычисления
ма трицы
инерции
информации о колебаниях тела.
формулы для
по
исходной
п
у
Рис.
1
75
Уравнение
крепленного
имеет
консервативных
т вердого
тела,
свободных
имеющего
одну
колебаний
упругоза­
неподвижную
точку,
вид:
Cq+Aq=O,
-
(1)
где q =(~:) вектор обобщенных координат, ва которые примем
углы поворота тела относительно осей координат (см. рис.
1), С­
матрица инерции, структура которой зависит (при выбранных
обобщенных координатах) от распределения массы тела, А - мат­
рица
жесткости,
определяемая
параметрами
упругого
крепления.
Рассмотрим плоское тело, симметричное относительно плоско­
сти хОу. Тогда элементы матрицы
=С 32 = 0 И матрица С примет вид
инерции
С 1 З=СЗ 1
=0,
С2 3 =
(2)
где
Ix=JJm(x, y)y 2dxdy,
s
1)'= SS
s
I XY =
р
= Ix
+ Iy -
деления
m(х, y)x 2dxdy.
JSт (х, у) xydxdy,
полярный момент инерции, т (х, у)
-
функция распре­
масс.
Бу дем полагать, что матрица жесткости и матрица инерции по
структуре одинакова, т. е. а 1з = а 3 1 =0, а 2з = а З2 = О. Для практики
именно этот случай представляет обычно наибольший интерес.
Это означает отсутствие связи между колебаниями тела в своей
плоскости и в плоскости ей перпендикулярной,
что
дает
возмож­
ность эти колебания рассматривать раздельно. Рассмотрим задачу
определения для такой системы матрицы С по зарегистрированным
формам и частотам собственных колебаний. Рассматриваемая ко­
лебательная система имеет три степени свободы и соответственно
три тона собственных колебаний. Из них форма одного тона всегда
известна - это колебания тела в своей ПЛОСКОСТИ. Частота этих
колебаний определяется жесткостью Czz и значением Ip '
Два других тона собственных колебаний характеризуют дви­
жение ПЛОского тела в боковом направлении. Формы и частоты
этих колебаний зависят от жесткостей С хх' С уу и С;у упругого
узла крепления и значений
Ix' I y, I x y'
Узловые линии 01 и 011 (см . рис. 1) этих тонов являются
прямыми, проходящими через неподвижную точку О.
Известно [31, что формы собственных колебаний консерватив­
ной
системы
•
удовлетворять
условию
ортогональности.
Величина Сху характеризует упругую связь при перемешении тела по ко­
ординатам
76
должны
ql и
Q2' С х у
=
О, когда ось жесткости совпадает с осью Оу.
При
малых
о структуре
колебаниях
и
системы форма
сделанных
выше
колебаний тела в
всегда ортогональна к двум другим формам.
для ортогональности последних друг к
предположениях
своей плоскости
другу
необходимо,
чтобы
SSffi (х,
у)
ffj
(х, У) т (х, у) dxdy = О,
г де ffi' ql j - смещения точек тела,
его собственных ко лебаний.
Покажем, что у с л о в и е
Для этого
мой
проведем
системы
и
допускает
запись
колебаниями
поперечными
2,
координатами
q2,
и
соответствующие
в
аналогию между колебаниями
жестко й балки (рис.
Если учитывать
ql
(3)
(3)
а).
только
то
i
и
j
другом
тонам
виде.
рассматривае­
упр угозакрепленной
две степени свободы, описываемые
уравнение
свободных
колебаний как
балки, так и плоского тела будут иметь вид (1) с матрицами С и
А второго порядка. Выберем для балки за обобщенные коорди­
наты
q~ -
смещение точки балки, отстоящей от ее центра тяжести
на расстоянии а, q~
-
угол поворота балки вокруг этой ТОЧКИ.
Тогда получим матрицу инерции вида:
(1
Сб= т
Пер епишем
а
г2
а
+ 02
) .
(4)
•
(2), сделав для приведения в соответствие размернос­
тей обобщенных к о о р д и н а т д л я ба лки и исходной системы замену
переменной q ~
=
Уо
q" q; = q2
С*
=
И положив
/ (
2-
y~
1
/ху
-/
. Уо
х
q; =
i~/у уо)
О:
.
(5)
туо
х
1)
Рис.
2
77
Из сравнения
(4)
и
следует,
(5)
ского тела можно сопоставить
ной
в
сечении
тела,
что
по
аналогии
ко лебания п ло­
с колебаниями балки, расположен­
параллельном
оси
Ох,
на
расстоянии
уо
2, б). Параметры балки: масса т = 1х/У6' расположенная на
расстоянии a=l xy/lx 'YO от точки пересечения сечения осью Оу,
квадрат радиуса инерции г2 = Iy/lx·(l -l;у!Iх·lу)У~. Узловые точки
(рис.
собственных тонов колебаний такой балки, соответствующиесобст­
венным тонам
колебаний
плоского
тела,
определяются точками
пересечения выбранного сечения с узловыми линиями тела.
Для балки условие ортогональности форм имеет вид
Х2
.r 'Р1 (х)
'f2
(х) т (х) dx = О,
где 'Р! (х), 'Р 2 (х) - смещения точек балки при колебаниях ее по
соответствующему собственному тону, Х!, Х 2 - координаты начала
и конца балки. В [4] показано, что при любом распределении т (х)
масс по длине
балки
это условие
выполняется,
если
(6)
г де [l> [2 - расстояния от центра масс до узлов собственных тонов
колебаний. Учитывая отмеченную аналогию, это условие можно
распространить и на случай колебаний плоского тела, если по д [
и r понимать обобщенные параметры эквивалентной балки, опре­
деленные
выше.
Можно получить также соотношение, связывающее
частоты и
формы собственных колебаний плоского тела. Рассмотрим случай,
когда параметры упругого узла крепления таковы, что С ху =0,
т. е. ось
Оу
является осью
жесткости.
Тогда
центр
жесткости
сечения тела, рассматриваемого как балка, совпадает (рис. 2, б)
с точкой ее пересечения Оу. Учитывая это обстоятельство и ис­
ходя из очевидных для балки соотношений для собственных час­
тот,
можно
записать
2_
pi\
"lt с - -
Pf
или с учетом
= \ -12 \ г 2 + [;
г 2 + [~
11
условия оргогональности
"It~ =1~::::
(6)
1,
(7)
I! , 12 -
где
расстояния от оси Оу до точек пересечения сечения
узловыми линиями собственных колебаний (рис. 2, б); Р!' РII- низ­
шая и высшая
частоты
ченные результаты,
собственных
выведем
инерции в зависимости
колебаний.
формулы
от характера
для
Используя полу­
определения
исходной
матрицы
информации о ко- .
лебаниях системы. Рассмотрим два варианта.
Вариант 1. Известны (например, из частотных испытаний)
частоты и формы двух собственных тонов колебаний упругоза­
крепленного плоского тела (рис . 3, а).
Из выражения для положения обобщенного центра масс плос­
кого тела (параметр а) С учетом (7) получим:
'X.~-I
I
'g <11
2
-g<12
, - 'Х.с+1
I
78
(8)
'
х
а)
/
1
л
3
Р и с.
г д е СХ!, СХ 2 - - у гл ы ме жду осью Оу и у зловыми линиями низшего и
высшего тон а собственных колебаний соответственно (положи­
те льные в квадранте хОу).
Тогда и з у сл о в и я (6) следует, что :
l' tgtg cx, I
I:::: I~~ + 1
2 ...L
У· с ,
cx~
(9)
Для реш ения а а д а ч и необходимо определить еще значение IX! что
тр ебует проведения
некоторых
дополнительных
измерении
при
частОТНЫХ
и спытаниях.
Таким
и змерением
может
явиться,
например,
определение
в какой-либо точке тела обобщенной массы тОб' соответствующей
одному и з тонов собственных колебаний (рис. 3, а). Это дает воз­
можность
вычис лить
момент
инерции
относительно
оси,
проходя -
щей через у зл о ву ю линию расчетного тона 1" = тоб [~б, а зате м,
исполь з уя форм улы пересчета моментов инерции
осей, и значение, например, I x по формуле:
1х =
при
повороте
'II ~y
--;----------,---~
-
'х
cos 2 ~
+ sln 2 СХ2 -
--
'х
sin
(1О)
2СХ2
Можно использовать и следующий прием. Измеряются частоты
собственных колебаний тела в своей плоскости в исходном ва­
рианте и
в варианте
с дополнительной
массой
тд,
закрепленной
на плоскости на расстоянии [д от точки О пересечения уаловых
линий (рис. 3, а) .
По резу льтатам измерений частот Рисх и РД определяется зна­
чение I p
2
1р = (
Так как
к
Ip=lx(l
однозначному
Вариант
П.
+ Iy/lx),
решению
Заданы
2
p~
Рис х -
то
(11)
(11)
2) тд [2д .
Рд
совместно
с
(8)
и
(9)
приводит
з а да ч и .
n
пар
в заимно
ортогональных узловых
.1 И Н И Й собственных тонов колебаний плоского тела (рис.
3,
б), что
79
можно достигнуть,
изменяя
жесткости СХХ ' Сху , Суу
крепления.
Для
решения
задачи
воспользуемся
сти (6). Используя обозначения на рис .
из н пар
можно
представить
(12),
если его
узловых
щим
линий.
иметь
Iy/l x
в явном
и
Ixy/I
A •
виде,
для
является урав­
только д в е пары в заимно ортогональных
определения
1
/(1) /(1) _
1
ху
( / Р)
1; =
(12)
Поэтому для их опре­
Непосредственно вычисления
выражениям
ортог онально­
i=l, 2, . . . , п ,
записать
нением с двумя неизвестными
деления достаточно
условием
б, условие (6) для любой
в виде
(,_I!i»)(I~i)_a)=r2,
Выражение
3,
его упругого
2
этих
)
1
/(2) [(2)
1
при во дят к сле дую­
величин:
2
I
I
+ 1~1») - (zf2)+ [~2» ) 'у;'
}
(13)
J
(знаки
11
Формулу
и
12
(13)
выбираются в соответствии с направлением оси Ох) .
можно упростить специальным выбором пар узловых
л и н и й . Так, если узловая л и н и я низшего тона одной пары совпа­
дает с осью Оу, а другой пары с осью Ох, чему будет соответст­
вовать в
I~1) = О И
(13)
1
/(2)
~ __2__
1х
-
~
Для определения
-
Ip
1\2) =
tg
то
00,
1
а (2)
можно
принимает вид
z(I) 1(2)
у
-1 =
2'
(13)
х
2.2
2
~
= tg N'" (21) .tg N!.•
(14)
2) •
"'~
восполь зоваться формулой (11), либо,
если удается вызвать свободные колебания плоского те ла
физического маятника, вычислить I p по известной формуле
Ip
=
ОТ2!
4.. 2 ,
как
(15)
г де О - вес тела, 1- расстояние от шарнира до центра тяжести
тела, Т - период свободных колебаний тела.
На практике вариант I идентификации может быть применен
при анализе результатов частотных испытаний .
Применение варианта II представляется целесообразным при
разработке стендов ДЛЯ определения инерционных характеристик
плоских (или близко к плоским) твердых тел. Вариант 11 прежде
всего позволяет исключить из анализа частоты собственных коле­
баний, измерение которых с высокой точностыо обычно довольно
сложно. На его основе можно обеспечить и надежный контроль
ре зультатов измерений. Для этого след ует измер ения проводить
не менее, чем для трех пар взаимно ортогона льных уз л о в ы х линий
и отношения Ixy/lx, Iy/lx определять для всех во зможных их по­
парных сочетаний. Значения отношений, вычисленные для различ­
ных сочетаний пар узловых линий, должны
Была
проведена
обработка
совпадать.
результатов
частотных
испыта­
ний ря да плоских несущих элементов типа стаби лизаторов ле­
тательных аппаратов, КОНСОЛЬНО закрепленных в одной точке на
упругом узле, предоставляющем плоскости свободу перемещений
на изгиб
тельно
80
и
вращение.
малыми,
так
При
что
этом
жесткости
практически
узла
исключалась
были
сравни­
возможность
О,5...-----r--.------г-~
Жест ll а я
пло скост ь
Ii
:~~
0,1f I---+--t----+--x'\;~
tJ:;
:::.
....
'"
';, 0,3 I---+.-тr-t----..~'Тt_--i
..,:z::
~ О, 2t----+--~!S"-+tt--+t+'_-'-----_,
Е>
....
...,".
.
~ 0, 11---I---t--tJt--tt-h
х с = 2,17
2,G
2,9
11,1
Рис.
4
деформации плоскости элемента при его колебаниях и,
таким об­
ра зом, дово льно точно реализовалась расчетная схема . Положение
у зловых л и н и й, соответствующих низшему (с частотой Р/) и выс-
шему (с частотой Р/I) тонам собственных колебани й, определялось
по распре де лению амплитуд колебаний точек элемента.
На рис.
4
в форме диагонального
графика
представлены
р е-
з ультаты определения для одного из элементов з н а ч е н и й ~=Ixy/lx
и 1; = Iy/Ix (относительно заданных осей хОу) по и змерениям форм
и соотношению частот )Се = Р/I !Р/
собственных колебаний,
т. е. ис­
пользовался описанный выше вариант 1 идентификации . Расчет
проведен по формулам (8), (9) для трех пар различных в заимно
ортогональных форм собственных колебаний, соответствующих
)Се
2, 17; 2,6; 2,9, которые были получены при частотных испыта­
ниях с помощью и зменения соотношения жесткостей узла на и згиб
=
и
вращение.
И з рис.
4
видно, что
удов летворительная
при
точность.
идентификации достигае тся вполне
Замечено,
что
дл я
обследуемого
',о ...----т----т--------.
[i
ох
0,5
Иdенml1Фl1l(оцt1я
Рис .
б- У чены е
з апис ки
N. 5
lc
1,0
5
81
интервала положений узловых линий (а 1
результаты
идентификации
=750 -+-81),
существенно
зависят
(Х2 =
16° + 18°)
от точности оп­
ределения положения узловой линии низшего тона .
На рис. 5 представлены результаты идентификации для слу­
чая, ког да при колебаниях имели место заметные деформации
плоскости элемента. Для такого упругого элемента узловые ли­
нии уже имели вид кривых . Поэтому для идентификации потре­
бовалось сначала аппроксимировать их прямыми, чтобы з а т е м по
форм улам (8), (9) определять значения Т;
В з а в и с и м о с т и от способа
знач ений
7z.
аппроксимации имел место разброс
Однако, как видно из рис. 5, этот разброс не превы­
шал в рассматриваемом случае
::-1:: 10%.
Примечательно, что д о ста­
точ но хорошее приближение дают средние значения
Был апробирован
1;.
и вариант ' II идентификации. Он применялея
для определения сравнительно малых величин~. Измерения про­
водилась
на
специальном стенде,
позволяющем с
высокой точ­
ностью получать различные взаимно ортогональные формы собст­
венных колебаний. Измерения показали, что данный метод даже
при значениях I~ = 0,05 -.- 0,1 позволяет обеспечить точность в пре­
делах
3-5%.
ЛИТЕРАТУРА
1. И л ь И ч е в В. д . Линейная идентификация в аэроупругосг и .
• Ученые записки UАГИ ·. т. З, N! 4, 1972.
2. Н а зар о в В . В . Идентификация неконсервагивной упругой
конструкции . • Ученые записки UАГИ', т. 3, N2 4, 1972.
З. С т р е л к о в С. П. Введение в теорию колебаний. М., Физ­
матгиа, 1964.
4. Т и м о ш е н к о С . П . Колебания в инженерном деле. М., Физ­
матгиэ, 1959.
Рукопись поступила
2{ Х
1978
г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
2 827 Кб
Теги
одной, pdf, задачи, индентификация
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа