close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

N-решения уравнения минимальных поверхностей.

код для вставкиСкачать
МАТЕМАТИКА
УДК 517.956
ББК 22.161.6
N-РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ
МИНИМАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
И.А. Романова
Работа посвящена исследованию решений уравнения минимальных поверхностей, полученных методом, разработанным в [3].
Ключевые слова: квазилинейные уравнения, уравнение минимальных поверхностей,
проблема Бернштейна, целые решения, минимальные поверхности.
Рассмотрим квазилинейное уравнение
Lγ,ε [u] = uxx 2ε + (γ + 1) u2x + (γ − 1)u2y + 4uxy ux uy +
+ uyy 2ε + (γ + 1) u2y + (γ − 1) u2x = 0, (1)
где |γ| ≥ 1, ε = 0, 1 или −1. Это уравнение обобщает многие известные уравнения
геометрии и теории потенциала.
Для уравнения (1) в работе [3] была исследована проблема существования целых
решений для случая |γ| > 1. Для одного предельного случая γ = 1, ε = 1, соответствующего уравнению Саймона
L1,1 [u] = (1 + u2x ) uxx + 2ux uy uxy + (1 + u2y ) uyy = 0,
проблема Бернштейна была рассмотрена в [4]. Другой предельный случай γ = −1,
ε = −1 соответствует уравнению минимальных поверхностей
© Романова И.А., 2011
L−1,−1 [u] = (1 + u2y ) uxx − 2ux uy uxy + (1 + u2x ) uyy = 0.
(2)
Хорошо известно (см. [2]), что целыми решениями уравнения минимальных поверхностей являются только линейные функции. Для уравнений (1) и уравнения Саймона свойство Бернштейна не выполняется, поскольку существуют счетные семейства
нетривиальных решений, заданных в виде явной параметризации в терминах гипергеометрических функций [3; 4].
Тем не менее метод построения этих решений может быть применен для исследования уравнения минимальных поверхностей. В данной работе приводятся результаты
этого исследования.
1. Замечания о методе построения решений
Опишем кратко суть метода построения решений уравнения (1).
C помощью преобразования Лежандра [5, с. 43]
ISSN 2222-8896. Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2011. № 2 (15)
75
МАТЕМАТИКА
ξ = ux (x, y), η = uy (x, y),
v(ξ, η) = xξ + yη − u(x, y)
преобразуем квазилинейное уравнение (1) в линейное
vξξ 2ε + (γ + 1)η 2 + (γ − 1)ξ 2 − 4ξηvξη + vηη 2ε + (γ + 1)ξ 2 + (γ − 1)η 2 = 0.
Будем искать решение последнего в виде функций с разделенными полярными переменными
ξ = ρ cos τ, η = ρ sin τ, v = f (ρ) cos(kτ ).
Непосредственными вычислениями можно установить, что
v(ρ, θ) = ρk F (a, b; c; −
|γ − 1| 2
ρ ) cos Nθ,
2
где θ = τ /(N − 1), k = N/(N − 1), а
|γ − 1| 2
|γ − 1| 2
ρ ) = 2 F1 (a, b; c; −
ρ)—
2
2
гипергеометрическая функция с параметрами, заданными равенствами
p
1
1
1
2
2
a = 2 k + γ−1 − |γ−1| k (γ − 1) + 1 ,
p
1
1
1
2
2
b = 2 k + γ−1 + |γ−1| k (γ − 1) + 1 ,
F (a, b; c; −
c = k + 1.
Напомним, что гипергеометрическая функция F (a, b; c; t) является решением уравнения
t(1 − t) F ′′ + [c − (a + b + 1) t] F ′ − ab F = 0
и при c 6= −1, −2, . . . представима в виде ряда
F (a, b; c; t) =
∞
X
(a)k (b)k
k=0
где
(c)k
·
tk
,
k!
(3)
Γ(a + k)
,
(a)0 = 1.
Γ(a)
Таким образом, поскольку преобразование Лежандра является инволюцией, решение квазилинейного уравнения (1) будет определяться параметризацией
(a)k = a · (a + 1)(a + 2) . . . (a + k − 1) =
x = vξ (ξ, η),
y = vη (ξ, η),
u = xξ + yη − v(ξ, η).
И будет справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Пусть |γ| > 1, N ≥ 2 — произвольное натуральное число, k =
k
F (a, b; c; − |γ−1|
ρ2 ),
2
f (ρ) = ρ
параметрами
и
где F (a, b; c; t) — гипергеометрическая функция Гаусса c
a =
k+
b = 12 k +
1
2
c = k + 1.
76
N
N −1
1
γ−1
1
γ−1
−
− 1) + 1 ,
p
1
2
2
+ |γ−1| k (γ − 1) + 1 ,
1
|γ−1|
p
k 2 (γ 2
(4)
И.А. Романова. N -решения уравнения минимальных поверхностей
МАТЕМАТИКА
Тогда параметрическое представление
x = A(ρ) cos(2N − 1)θ + B(ρ) cos θ,
y = A(ρ) sin(2N − 1)θ − B(ρ) sin θ,
uN = M(ρ) cos Nθ
(5)
задает непрерывную функцию uN (x, y), являющуюся решением уравнения (1). Здесь
A(ρ) = 12 f ′ (ρ) − kρ f (ρ) ,
(6)
B(ρ) = 12 f ′ (ρ) + kρ f (ρ) ,
M(ρ) = ρ f ′ (ρ) − f (ρ).
Решения вида (5) будем называть N -решениями.
Отметим, что из метода построения не следует, что полученные решения являются
целыми или даже, что они определяют функциональную зависимость uN (x, y). Доказательство этих фактов требует более тонкого анализа и базируется на исследовании
свойств гипергеометрических функций и их комбинаций специального вида. В частности, принципиальную роль играет доказательство того факта, что градиентное отображение
W = (x, y) = ∇ξη v(ξ, η)
(7)
является гомеоморфизмом плоскости на себя.
2. N -решения уравнения минимальных поверхностей
Чтобы получить параметрическое представление N -решений уравнения минимальных поверхностей, можно проделать все действия предыдущего параграфа применительно к (2). С другой стороны, можно воспользоваться полученной параметризацией
(4)–(6). Используя и тот, и другой подход, мы получим одинаковый результат, что означает непрерывность решений по параметру γ в предельных точках γ = −1 и γ = 1.
Отметим, что непрерывность в γ = 1 установлена в [3].
Таким образом, можно сформулировать теорему.
Теорема 2. Пусть N ≥ 2 — произвольное натуральное число, k =
N
N −1
и
k 1 k
f (ρ) = ρk F ( − , ; k + 1; −ρ2 ),
2 2 2
где F (a, b; c; t) — гипергеометрическая функция Гаусса. Тогда параметрическое представление
x = A(ρ) cos(2N − 1)θ + B(ρ) cos θ,
y = A(ρ) sin(2N − 1)θ − B(ρ) sin θ,
uN = M(ρ) cos Nθ,
задает непрерывную функцию uN (x, y), являющуюся решением уравнения (1). Здесь
A(ρ) = 12 f ′ (ρ) − kρ f (ρ) ,
B(ρ) = 12 f ′ (ρ) + kρ f (ρ) ,
M(ρ) = ρ f ′ (ρ) − f (ρ).
ISSN 2222-8896. Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2011. № 2 (15)
77
МАТЕМАТИКА
Отметим одну особенность полученной параметризации. В случае, когда пара первых параметров гипергеометрической функции отличается на 21 , определено квадратичное преобразование Гаусса (см. [1, с. 77]), а именно:
!
√
i−2a
h
√
1
−
1
1
−
z
√
.
F 2a, 2a − c + 1; c;
F (a, a + ; c; z) = 22a 1 + 1 − z
2
1+ 1−z
Таким образом, после надлежащих преобразований, имеем
√
k 1 k
2k−1
1 − 1 + ρ2
2
√
√
F ( − , ; k + 1; −ρ ) =
· F (k − 1, −1; k + 1;
).
2 2 2
(1 + 1 + ρ2 )k−1
1 + 1 + ρ2
Поскольку, в силу (3),
F (a, −1; c; t) =
то
∞
X
(−1)n (a)n tn
n=0
(c)n
n!
=1−
a
t,
c
√
(k − 1) 1 − 1 + ρ2
k 1 k
2k−1
2
√
√
.
· 1−
F ( − , ; k + 1; −ρ ) =
·
2 2 2
(k + 1) 1 + 1 + ρ2
(1 + 1 + ρ2 )k−1
Используя полученное параметрическое представление N -решений уравнения минимальных поверхностей, можно получить большинство результатов [3]. Перечислим
те, которые потребуются нам в дальнейшем.
Лемма 1. Пусть |γ| > 1, k = N/(N − 1) и N — натуральное число, N ≥ 2. Пусть
также параметры a, b и c удовлетворяют (4), а A(ρ) и B(ρ) определены равенствами
(6). Тогда
(i) функция B(ρ) положительна при всех ρ > 0, а A(ρ) сохраняет знак, причем
sgnA(ρ) = sgnγ ;
(ii) справедливы неравенства B ≥ |A| ≥ 0,
чим
B ′ ≥ |A′ | ≥ 0.
Учитывая изложенное выше, оценим |W |. Из (7) и параметризации решения полу-
|W |2 = x2 + y 2 = A2 + B 2 + 2AB cos 2Nθ.
В силу пункта (i) леммы 1 справедливо A < 0 и B > 0 для ρ > 0, а значит,
(A + B)2 ≤ |W |2 ≤ (B − A)2 ,
где
√
k
1 + ρ2 + 1
k
√
B − A = f (ρ) = k · 2k
ρ
(k + 1)(1 + 1 + ρ2 ) 1
ρ
+
q
1
1+
1
ρ2
k−1 .
Из последнего представления, в силу возрастания функции B − A, следует, что
p
x2 + y 2 6
k2
· 2k .
k+1
Таким образом, минимальная поверхность, имеющая структуру N -решений, будет
k2
· 2k .
являться C 2 -гладким графиком, заключенным в цилиндр радиуса k+1
В качестве примера на рисунке на плоскости переменных x, y изображены прообразы кривых вида ρ = const и проекция цилиндра радиуса 16/3 для N = 2.
|W | =
78
И.А. Романова. N -решения уравнения минимальных поверхностей
МАТЕМАТИКА
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. — М. : Наука, 1965. — 296 с.
2. Бернштейн, С. Н. Об одной геометрической теореме и ее приложениях к уравнениям
в частных производных эллиптического типа / С. Н. Бернштейн // УМН. — 1941. —
№ 8. — C. 75–81.
3. Зорина, И. А. О целых решениях квазилинейных уравнений с квадратичной главной
частью / И. А. Зорина, В. Г. Ткачев // Вестник СамГУ. Серия «Математика». — 2008. —
№ 3. — C. 108–123.
4. Зорина, И. А. Целые решения уравнения Саймона / И. А. Зорина, В. Г. Ткачев //
Геометрический анализ и его приложения : труды международной школы-конференции,
г. Волгоград, 24–30 мая 2004 г. — Волгоград : Изд-во ВолГУ, 2005. — С.55–74.
5. Курант, Р. Методы математической физики / Р. Курант, Д. Гильберт. — М. : ОГИЗ,
1945. — Т. 1. — 538 с.
N-SOLUTIONS OF MINIMAL SURFACE EQUATION
I.A. Romanova
In current paper we apply the method of [3] to research a structure properties of MSEsolutions.
Key words: quasilinear differential equation, minimal surface equation, Bernstain problem, entire solution, minimal surface.
ISSN 2222-8896. Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2011. № 2 (15)
79
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
159 Кб
Теги
решение, уравнения, поверхности, минимальное
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа