close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Алгебраичность решеток w-расслоенных формаций.

код для вставкиСкачать
УДК 512.542
АЛГЕБРАИЧНОСТЬ РЕШЕТОК -РАССЛОЕННЫХ ФОРМАЦИЙ

Ю.А. Еловикова

Исследуются решетка 
всех n-кратно -канонических формаций конечных групп. Доказано, что 
для
произвольного n и  такого, что 0≤ является алгебраической решеткой.
Ключевые слова: конечная группа, формация, решетка, n-кратно -расслоенная формация, алгебраичность
решетки.
Классом групп называется совокупность групп X, содержащая вместе с каждой своей группой
G и все группы, ей изоморфные. Через H(X) обозначается класс всех гомоморфных образов всех
групп из X, R0(X) – класс всех изоморфных копий конечных подпрямых произведений групп из X.
Формацией называется класс групп F, замкнутый относительно взятия гомоморфных образов и
конечных подпрямых произведений групп из F.
В рамках функционального подхода к заданию формаций конечных групп в работах В.А.
Ведерникова и М.М. Сорокиной (1999 г.) было введено понятие -расслоенных формаций с
различными направлениями. Оно позволило ввести в рассмотрение бесконечное множество новых
типов формаций, каждый из которых характеризуется определенным направлением . Частным
случаем -расслоенных формаций являются композиционные формации, играющие важную роль
при изучении конечных неразрешимых групп.
Через  обозначается непустой подкласс класса I всех конечных простых групп, а
направление формации определяется как отображение  класса I во множество всех непустых
формаций Фиттинга.
Результаты и методы общей теории решеток с успехом используются в различных областях
современной математики. Решеткой называется частично упорядоченное множество, в котором
каждое двухэлементное множество имеет как точную верхнюю, так и точную нижнюю грани.
Отсюда следует, что указанные грани имеет и каждое непустое конечное подмножество.
Рассматривая множество формаций , упорядоченное относительно включения «⊆», точную
нижнюю и точную верхнюю грань находят, соответственно, при помощи операций пересечения и
формационного
объединения,
и
обозначают:
inf
(F,
H)=FH=FH
и
sup (F, H)=FH=form(FH) – пересечение всех формаций из , содержащих FH. Если множество 
замкнуто относительно пересечения и в  имеется такая формация M, что L⊆M для любой L, то inf
(F, H) и sup (F, H), тем самым на множестве  задана структура решётки. В этом случае 
называется полной решеткой формаций.
В [3] исследуется полная решетка ln всех n-кратно локальных -замкнутых формаций. Ряд
работ автора [4-7] посвящен разработке специального аппарата для применения методов общей
теории решеток при изучении n-кратно -расслоенных формаций. Основной результат данной

работы – доказательство алгебраичности решетки 
всех n-кратно -расслоенных формаций для
произвольного n и  такого, что 0≤.
Все группы предполагаются конечными. Через G обозначают класс всех конечных групп.
Необходимые определения и обозначения можно найти в [1-3]. В частности, функция f:
{}{формации групп}, принимающая одинаковые значения на изоморфных группах из ,
называется
-формационной
функцией
или,
коротко,
F-функцией.
Функция
: I{непустые формации Фиттинга}, принимающая одинаковые значения на изоморфных группах
из I, называется формационно-радикальной функцией или, коротко, FR-функцией. Согласно [1],
формация F называется -расслоенной с направлением , если
F=F( f,  )=(GG| G/O (G) f (') и G/G(A)f (A) для всех AK(G)),
где f и  – некоторые F-функция и FR -функция соответственно. Функцию f называют спутником формации F.
Пусть  – полная решетка формаций. Будем называть -формационную функцию -значной
или, коротко, -функцией, если все ее значения принадлежат . Через F обозначим множество
всех -расслоенных формаций с направлением , обладающих хотя бы одним -спутником.
Обозначим также F(X ,)=Fform(X) – пересечение всех формаций, принадлежащих решетке
F, и содержащик класс групп X. Множество всех -расслоенных формаций с направлением 
обозначим через F.
Как показано в [4], F образует полную решетку формаций. Всякую формацию считают 0кратно F-формацией. Формацию F называют n-кратно F -формацией для некоторого
натурального n, если она обладает  -спутником, все непустые значения которого являются (n-1)
кратно F-формациями. Обозначим  – множество всех n-кратно -расслоенных формаций с

направлением . Если X – некоторый непустой класс групп, то Fn(X, )=  form(X) –

пересечение всех формаций из  , содержащих X.
Элемент F полной решетки формаций  называется компактным, если для любого
подмножества {Fi | iI }⊆ из F⊆sup (Fi | iI )=( Fi | iI )=form(Fi | iI ) вытекает существование
такого
конечного
подмножества
{Fj
|
j=1,2,…,
s}⊆{Fi
|
iI
},
что
F⊆sup (Fj | j=1,2,…, s)=( Fj | j=1,2,…, s)=form(F j | j=1,2,…, s). Полная решетка формаций называется
алгебраической, если любой ее элемент является решёточным объединением компактных элементов.
Лемма 1 ([4], лемма 1). Пусть X – непустой класс групп,  – полная решетка формаций. Тогда
-расслоенная формация F=F (X, ), где 0, обладает единственным минимальным спутником f таким, что
f () =form  G / O (G ) G X  ,


f (A)=form G / G ( A) G  X для всех A∈K(X), f (A)=, если A∈\K(X).
Лемма 2 ([1], стр 133). Пусть fi – минимальный -спутник -расслоенной формации Fi с
направлением , где 0, i=1,2. Тогда и только тогда F1⊆F2, когда f1≤f2.
Лемма 3. Пусть  – полная решетка формаций,  – направление -расслоенной формации,
0, fi – минимальный -спутник -расслоенной с направлением  формации Fi, i∈I. Тогда  ( fi |
i∈I
)
F=  F  (Fi | i∈I).
–
минимальный
-значный
-спутник
формации
Доказательство.
Пусть f - минимальный -значный -спутник формации F, а h =  ( fi | i∈I ) – спутник,
описанный в условии. Покажем, что f = h. Рассмотрим формацию H=F(h,). Поскольку fi≤h, то
Fi⊆H, значит F⊆H.
Заметим также, что из строения минимального -значного -спутника формации F=F (X,
)=F (F, ) (лемма 1) справедливо K(F)=K(X). В нашем случае
K(F)= K(∪iI Fi)= (∪iI K(Fi)).
С учетом этого, для любой простой группы AK(F) имеем AK(Fk) для некоторого kI.
Тогда fk (A) и
h(A)=form(∪iI fi (A))⊆ form(∪iI form(G/G(A) | GFi))=form(G/G(A) | G∪iI Fi)= f (A)
При A \K(F) получим h(A)=f (A)= для всех iI. Таким образом, h≤f и H⊆F.
По доказанному выше, H = F и F обладает спутником h.
Из минимальности f и условия h≤f заключаем, что f = h. Лемма доказана.
Теорема 1. Для произвольного n и направления -расслоенной формации  такого, что

0≤, решетка 
является алгебраической.

Доказательство. Применяя индукцию по n, покажем, что каждая однопорождённая  
формация F является компактным элементом в  . Пусть
F=Fn(G, )⊆H=Fn(∪iI Fi, ),
где Fi – n-кратно -расслоенная формация с направлением . Покажем, что существуют такие
j1, j2, …, jsI, что
s
F⊆Fn(
F
jr
, ).
r1
Пусть n=0. Тогда F=form(G)⊆H=form(∪iI Fi), следовательно,
Gform(∪iI Fi)= HR0(∪iI Fi)
Значит, GM/N для некоторой группы M  R0(∪iI Fi), и найдутся i1, i2, …, itI, такие что
GR0( Fi  Fi    Fit ). Отсюда следует, что Gform( Fi  Fi    Fit ) и
1
2
F⊆form( Fi  Fi   Fit ).
1
2
1
2

Пусть n >0 и однопорожденные 
1 формации являются компактными элементами в



1 . По лемме 1, существуют следующие спутники: f – минимальный 
1 -значный -спутник


формации F, h – минимальный 
1 -значный -спутник формации H, fi – минимальный 
1значный -спутник формации Fi. iI.

Принимая в лемме 1 =
1 , получим
f () =Fn-1  G / O (G ),  , f (A)= Fn-1  G / G ( A) ,   для всех A∈K(G),
f (A)=, если A∈\K(G).
Таким образом, все непустые значения -спутника f являются однопорожденными 
формациями. По лемме 2, f≤h. Для произвольной группы A{}, ввиду леммы 3,
h(A)= F ( fi | i I )(A)= Fn-1(∪iI fi (A), ).

1-
n1
Поскольку f (A)⊆h (A), то, по предположению индукции, для каждой группы AK(G)
можно найти такие индексы i1, i2, …, itI, что
t
G/G(A)f (A)⊆ F ( fi (A)| k=1,2,…, t )= Fn-1(
k
n1
 fi ( A), ) и
k
k 1
t
G/O (G)f ()⊆  F ( fi ()| k=1,2,…, t )= Fn-1(
k
n1
 fi (), ).
k
k 1
Так как G – конечная группа, то K(G) содержит конечное число попарно неизоморфных
простых
групп,
и
из
доказанного
выше
заключаем,
что
найдутся
индексы
j1, j2, …, jsI, такие что
t
G/O (G)f ()⊆  F ( fi ()| k=1,2,…, t )= Fn-1(
k
n1
 fi (), ),
k
k 1
t
G/G(A)f (A)⊆ F ( fi (A)| k=1,2,…, t )= Fn-1(
k
n1
 fi ( A), ) для всех AK(G).
k
k 1
Таким образом, G  F ( F j | k=1,2,…, s). Отсюда
k
n
s
F⊆ F ( F j | k=1,2,…, s)= Fn(
k
n
F
jr
, )
k 1

и F – компактный элемент решётки  .


Для доказательства алгебраичности решётки 
осталось показать, что каждая  

формация есть объединение в решетке 
своих однопорожденных  -подформаций.

Действительно, для любой формации L
справедливо L=  F (Fn(G, ) | GL).
n
Теорема доказана.
Как следствие из теоремы 1 можно установить алгебраичность решеток формаций,
рассматриваемых в работах [1-7].
Следствие 1. Для произвольного n и направления -расслоенной формации  такого, что

(A)=ScA при всех AI, решетка  =Cn всех n-кратно -композиционных формаций является
алгебраической.
Следствие 2. Для произвольного n и направления -расслоенной формации  такого, что

(A)=GAGA при всех AI, решетка  =Kn всех n-кратно -канонических формаций является
алгебраической.
Следствие 3. Для произвольного n и направления -расслоенной формации  такого, что

(A)=GA при всех A{}(\A) и (A)=GAGA при всех AA, решетка  =Bn всех n-кратно
-биканонических формаций является алгебраической.

The lattice  of all n-multiply - foliated formations of finite groups considered. It is proved, that the lattice 
algebraic for every natural n and  such that 0≤.
The key words: finite group, formation, lattice, n-multiply - foliated formation, algebraic lattice.

is
Список литературы
1. Ведерников В.А., Сорокина М.М. -расслоенные формации и классы Фиттинга//
Дискретная математика. 2001. Т.13, Вып.3. С.125-144.
2. Bедерников В.А. Максимальные спутники -расслоенных формаций и классов Фиттинга//
Труды ИММ УрО РАН. 2001. Т.8. С.1-23.
3. Скиба А.Н. Алгебра формаций. Мн.: Беларуская навука, 1997.
4. Скачкова Ю.А. Решетки -расслоенных формаций// Дискретная математика. 2002. Т.14,
Вып.2. С.85-94.
5. Скачкова Ю.А. Булевы решетки кратно -расслоенных формаций // Дискретная
математика. 2002. Т.14, Вып.3. С.42-46.
6. Еловикова Ю.А. G-отделимость решетки Kn // Вестник БГУ. 2004. Вып.4. С.95-98.
7. Еловикова Ю.А. Свойства решетки всех кратно -канонических формаций// Дискретная
математика. 2006. Т.18, Вып.2. С.146-158.
8. Скиба А.Н. О локальных формациях длины 5 // В сб. Арифметическое и подгрупповое
строение конечных групп. Минск: Наука и техника, 1986. С.135-149.
Об авторе
Еловикова Ю. А.- кандидат физ.-мат. наук, доцент Брянского государственного университета
имени академика И.Г. Петровского, elov77@yandex.ru
The algebraic lattices of -foliated formations.
Elovikova Iuliia
Bryansk State University, Bryansk, Bejitskaya str. 14, elov77@yandex.ru
Annotation.

The lattice  of all n-multiply - foliated formations of finite groups considered. It is proved, that

the lattice 
is algebraic for every natural n and  such that 0≤.
The key words: finite group, formation, lattice, n-multiply - foliated formation, algebraic lattice.
241036 г. Брянск, ул. Бежицкая, 16, кор. 2Б, к. 502/1. E-mail, тел. 8-919-191-53-93.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
180 Кб
Теги
решето, алгебраичность, расслоенном, формация
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа