close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Аналитическое решение задачи взаимодействия межфазной трещины с отслоившимся межфазным включением при наличии сосредоточенных сил.

код для вставкиСкачать
УДК 539.375
А.К. Ярдухин
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
МЕЖФАЗНОЙ ТРЕЩИНЫ С ОТСЛОИВШИМСЯ МЕЖФАЗНЫМ
ВКЛЮЧЕНИЕМ ПРИ НАЛИЧИИ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ СИЛ
В рамках линейной теории упругости решается задача взаимодействия межфазной трещины и
полностью отслоившегося тонкого жесткого гладкого остроугольного межфазного включения,
расположенных на линии соединения двух разных по упругим свойствам полуплоскостей. Рассматривается плоское напряженное состояние при наличии нагрузок на бесконечности и конечного числа сосредоточенных сил, приложенных к внутренним точкам упругих полуплоскостей. В явной
форме строятся комплексные потенциалы, описывающие напряженное состояние составной плоскости.
Пусть в кусочно-однородной упругой плоскости, составленной из двух различных по упругим свойствам верхней и нижней полуплоскостей, на линии раздела сред расположены открытая трещина [ a, b] , берега которой свободны от напряжений
(σ y − iτ xy ) ± (t ) = 0, t ∈ ( a, b),
(1)
и полностью отслоившееся тонкое жесткое остроугольное включение [c, d ]
±
τ xy
(t ) = 0,
(v ′x )± (t ) = 0,
t ∈ (c, d ) .
(2)
Верхняя полуплоскость имеет модуль сдвига µ1 и коэффициент Пуассона ν 1 , нижняя – µ 2
и ν 2 . Вне трещины и включения полуплоскости жестко соединены друг с другом. В конечном
числе точек z k , k = 1, 2,..., n, не лежащих на линии раздела сред ( Im z k ≠ 0 ), приложены сосредоточенные силы X k + iYk и сосредоточенные пары сил с моментами M k относительно точки
приложения. Также известны значения напряжений и вращения на бесконечности:
σ y∞1 = σ ∞y 2 = σ ∞y ; τ xy∞ 1 = τ xy∞ 2 = τ xy∞ ; σ x∞1 , σ x∞2 и ε x∞1 , ε x∞2 ,
связанные между собой условиями неразрывности [1].
Требуется найти плоское напряженное состояние составной плоскости.
Частный случай поставленной задачи решен в работе [2].
Рассмотрим сначала случай, когда в единственной точке z0 ( Im z 0 ≠ 0 ) приложена сосредоточенная сила X 0 + iY0 и сосредоточенная пара сил с моментом M 0 относительно z0 . Воспользуемся формулами Колосова-Мусхелишвили для кусочно-однородной плоскости [3]:
σ x + σ y = 4 Re Φ ( z );
σ y − iτ xy = Φ ( z ) + Ω( z ) + ( z − z )Φ′( z );
(3)
2µ1ε = (1 + κ1 ) Im Φ ( z );
2 µ1 (u + iv)′x = κ1Φ ( z ) − Ω( z ) − ( z − z )Φ′( z )
в верхней полуплоскости Im z > 0 ,
σ x + σ y = 4 Re F ( z );
σ y − iτ xy = F ( z ) + s3 Ω( z ) + s4 Φ( z ) + ( z − z ) F ′( z );
(4)
2µ 2ε = (1 + κ 2 ) Im F ( z ); 2 µ2 (u + iv)′x = κ 2 F ( z ) − s3 Ω( z ) − s4 Φ( z ) − ( z − z ) F ′( z );
µ1 + µ 2κ1
µ − µ2
µ + µ1κ 2
µ κ − µ2κ1
; s2 = 1
; s3 = 2
; s4 = 1 2
µ1 (1 + κ 2 )
µ1 (1 + κ 2 )
µ1 (1 + κ 2 )
µ1 (1 + κ 2 )
в нижней полуплоскости Im z < 0. Функции Φ( z ), Ω( z ) – кусочно-голоморфные с линией разрыва L = [a, b] ∪ [c, d ] , допускающие на концах линии особенности интегрируемого характера
и имеющие в окрестности ∞ вид:
µ1
X + iY0
µ1κ 2
X + iY0
Φ( z) = γ 1 −
⋅ 0
+ O( z − 2 ) ; Ω( z ) = γ 2 +
⋅ 0
+ O ( z −2 ) ;
µ1 + µ 2κ 1
2πz
µ 2 + µ1κ 2
2πz
F ( z ) = s1Φ ( z ) + s2 Ω( z );
s1 =
γ 1 = (σ x∞1 + σ y∞ ) / 4 + i ⋅ 2µ1ε1∞ (1 + κ1 ) −1 ;
∞
γ 2 = σ ∞y − iτ xy
−γ1 .
Кроме того, если Im z0 > 0 , то в окрестности точки z 0 имеем
X + iY0
P1
s
P
Φ( z) =
+ O(1) , Ω( z ) = − 4 ⋅ 1 + O (1) ; P1 = − 0
,
z − z0
s3 z − z 0
2π (1 + κ 1 )
а в окрестности точки z 0 –
107
Φ( z) = −
s2
iM
P − κ 1 P1 ( z 0 − z 0 ) P1 − Q
Ω( z ) + O(1) ; Ω( z ) = 1
+ O(1) , Q = − 0 .
+
2
s1
2π
z − z0
(z − z0 )
Если же Im z0 < 0 , то в окрестности точки z 0 функция Ω(z ) голоморфна,
Φ ( z ) = s1−1 P2 ( z − z 0 ) −1 + O(1) ,
а в окрестности точки z 0 функция Φ(z ) голоморфна, функция
Ω( z ) =
X 0 + iY0
1  P2 − κ 2 P2 ( z0 − z0 ) P2 − Q 
+
.

 + O (1) ; P2 = −
2
π (1 + κ 2 )
s3  z − z0
( z − z0 ) 2

На основании формул (3), (4) из условий (1), (2) для нахождения функций Φ( z ), Ω( z ) получим краевые условия вида
Φ + (t ) + Ω − (t ) = 0; s1Φ − (t ) + s 2 Ω − (t ) + s3 Ω + (t ) + s 4 Φ + (t ) = 0 при t ∈ ( a, b);
Im ( Φ + (t ) + Ω − (t ) ) = 0;
Im (κ1Φ + (t ) − Ω − (t ) ) = 0;
Im ( s1Φ − (t ) + s2 Ω − (t ) + s3 Ω + (t ) + s4 Φ + (t ) ) = 0;
(
)
(5)
Im κ 2 s1Φ − (t ) + κ 2 s 2 Ω − (t ) − s3 Ω + (t ) − s4 Φ + (t ) = 0 при t ∈ (c, d ).
Введем в рассмотрение новые функции:
F1 ( z ) = s1Φ( z ) − s3 Ω( z ); F2 ( z ) = Φ ( z ) + Ω( z ) .
Тогда если Im z0 > 0 , то
F1 ( z ) = P1 ( z − z0 ) −1 + O (1);
F2 ( z ) = (1 − s4 s3−1 ) ⋅ F1 ( z ) + O(1) при z → z 0 ;
κ1 P1 − P1 Q − ( z0 − z0 ) P1
+
+ O (1);
z − z0
( z − z0 ) 2
а если Im z0 < 0 , то
F1 ( z ) =
F1 ( z ) = P2 ( z − z0 )−1 + O(1);
F2 ( z ) = (1 − s4 s3−1 ) ⋅ F1 ( z ) + O(1) при z → z 0 ;
(6)
F2 ( z ) = s1−1 ⋅ F1 ( z ) + O(1) при z → z 0 ;
κ 2 P2 − P2 Q − ( z0 − z0 ) P2
+
+ O (1);
z − z0
( z − z0 ) 2
В окрестности ∞ эти функции имеют вид
F1 ( z ) =
F2 ( z ) = −
1
F1 ( z ) + O(1) при z → z0 .
s3
X 0 + iY0
+ O( z −2 );
2π z
X + iY0
µ1µ 2 (κ1κ 2 − 1)
F2 ( z ) = σ y∞ − iτ xy∞ +
⋅ 0
+ O( z −2 ).
( µ1 + µ 2κ1 )( µ 2 + µ1κ 2 ) 2π z
Из (5) для нахождения функций F1 ( z ), F2 ( z ) следуют две отдельные краевые задачи:
(7)
F1 ( z ) = s1γ 1 − s3γ 2 −
F1+ (t ) − F1− (t ) = 0, t ∈ (a, b),
Im F1± (t ) = 0, t ∈ (c, d ) ;
(8)
(9)
F2+ (t ) + mF2− (t ) = 0, t ∈ ( a, b),
Im F2± (t ) = 0, t ∈ (c, d ) .
(10)
Обе задачи представляют собой комбинацию краевой задачи Римана и краевой задачи
Гильберта. Для решения задачи (9), следуя [4], на двулистной римановой поверхности ℜ для
функции w( z ) = ( z − c )( z − d ) , листы которой склеены друг с другом крест-накрест вдоль берегов разреза [c, d ] , введем функцию
z ∈ C1 ,
 F1 ( z ),
F1 ( z ) = 
(11)
 F1 ( z* ), z ∈ C2 ,
где C1 и C 2 – верхний и нижний листы поверхности соответственно; z∗ – точка, симметричная
с точкой z относительно линии L соединения листов поверхности, состоящей из верхнего
[c, d ] + и нижнего [ d , c]− берегов разреза [c, d ] , обходимых так, что при этом верхний лист поверхности остается слева.
Тогда для нахождения функции F1 ( z ) на поверхности ℜ получим
F1+ (t ) = F1− (t ), t ∈ γ ∪ γ ∗ ∪ L, γ = (a, b) ⊂ C1 , γ∗ = (a, b) ⊂ C 2 , L = [c, d ] + ∪ [ d , c ]− ,
т. е. F1 ( z ) является мероморфной функцией на ℜ, имеющей полюсы второго порядка в точках с
аффиксами z0 , z0 на обоих листах поверхности и простые полюса в точках ветвления поверхности. Такая функция имеет вид
108
F1 ( z ) = A1 +
A2 + A3 z
B
B
C1
C2
+ 1 + 2 +
+
+
2
w( z )
z − z0 z − z0 ( z − z0 )
( z − z0 ) 2
 D
D2
E1
E2 
+ w( z )  1 +
+
+
.
2
( z − z0 ) 2 
 z − z0 z − z0 ( z − z0 )
Из условия симметрии F1 ( z* ) = F1 ( z ) следует, что A1 = A1 , A2 = − A2 , A3 = − A3 , B 2 = B1 ,
C 2 = C1 , D2 = − D1 , E 2 = − E1 . Тогда, в силу (11) имеем
F1 ( z ) = A1 + i
A2 + A3 z
B
B
C1
C1
+ 1 + 1 +
+
+
2
w( z )
z − z0 z − z0 ( z − z0 )
( z − z0 ) 2
 D
D1
E1
E1 
+ w( z )  1 −
+
−
,
2
( z − z0 ) 2 
 z − z0 z − z 0 ( z − z 0 )
где A1 , A2 , A3 – действительные числа; B1, C1 , D1 , E1 – комплексные. Разлагая функцию F1 ( z ) в
ряд Лорана в окрестности ∞ и используя условия (6) – (8), найдем
A1 = Re( s1γ 1 − s 3 γ 2 ) ; A3 = Im( s1γ 1 − s 3 γ 2 − 2 D1 ) ;
A2 = −Y0 /( 2π ) − c+2d Im( s1γ 1 − s3γ 2 − 4 D1 ) − 2 Im( B1 + z 0 D1 + E1 ) ;
B1 =
P0 + Q0
R
w′( z 0 ) 
R0
1 
 P0 − Q0 +
R0  ; E1 = −
;
; C1 = 0 ; D1 =
2
2
2w( z 0 )
2w( z 0 ) 
w( z 0 )

iY0 X 0 κ1 − 1
−
⋅
;
2π 2π κ1 + 1
iY X κ − 1
P0 = P2 , Q0 = 0 − 0 ⋅ 2 ;
2π 2π κ 2 + 1
Аналогично, вводя на ℜ функцию
P0 = P1 ,
Q0 =
iM 0
+ ( z 0 − z 0 ) P1 , если Im z 0 > 0 ;
2π
iM 0
R0 =
+ ( z0 − z 0 ) P2 , если Im z 0 < 0 .
2π
R0 =
z ∈ C1 ;
 F2 ( z ),
F2 ( z ) = 
 F2 ( z* ), z ∈ C2 ,
из (10) для ее нахождения получим однородную краевую задачу Римана
F2+ (t ) + mF2− (t ) = 0, t ∈ γ ,
mF2+ (t ) + F2− (t ) = 0, t ∈ γ ∗ ,
F2+ (t ) − F2- (t ) = 0, t ∈ L .
Решение этой задачи, ограниченное на бесконечности, удовлетворяющее условию симметрии F2 ( z* ) = F2 ( z ) , имеющее полюсы второго порядка в точках с аффиксами z0 , z0 на обоих
листах поверхности и простые полюса в точках ветвления поверхности, имеет вид

A′ + A4′ z + A5′ z 2
B′
B′
F2 ( z ) = χ ( z )  A1′ + A2′ z + i 3
+ 1 + 1 +
w( z )
z − z0 z − z 0

+
 D′
C1′
C1′
D1′
E1′
E1′  
+
+ w( z )  1 −
+
−
,
2
2
2
2 
( z − z0 )
( z − z0 )
 z − z0 z − z0 ( z − z0 ) ( z − z0 )  
iβ
 z − a − w( z ) + w( a) z − b + w( z ) + w(b) 
 ,

χ ( z) =
⋅
( z − a )( z − b)  z − b − w( z ) + w(b) z − a + w( z ) + w( a) 
где β = (ln m) /( 2π ), все Ak′ – действительные, B1′ , C1′ , D1′ , E1′ – комплексные числа. Снова, разлагая функцию F2 ( z ) в ряд Лорана в окрестности ∞ и используя условия (6) – (8), найдем,
1
∞
∞
A2′ = σ ∞y H 0′ − τ xy
H 0′′ ; A5′ = −τ xy
H 0′ − σ ∞y H 0′′ ; A1′ = H 1 H 0′ + H 2 H 0′′ ;
(
A4′ = H 2 H 0′ − H1 H 0′′ − c + d A5′ − 2 Im D1′ ; C1′ = R0′ 2 χ ( z 0 )
2
)
−1
(
; E1′ = − R0′ 2w( z 0 ) χ ( z 0 )
)
−1
;
iβ
 T
 c + d − 2a − 2ω (a ) 
T 
T 
1  T
1
B1′ = ⋅  1 + 2  ; D1′ =
⋅  1 − 2  ; H 0 = H 0′ + iH 0′′ = 
 ;




2  χ ( z 0 ) χ ( z0 ) 
2w( z 0 )  χ ( z 0 ) χ ( z 0 ) 
 c + d − 2b − 2ω (b) 
H1 = − A2′ N 0′ + A5′ N0′′ − s5 X 0 /(2π ) ; H 2 = − A5′ N0′ − A2′ N 0′′ + s5Y0 /(2π ) ;
N0′ + iN 0′′ =
H0
2



(c − d ) 2
a
+
b
+
i
β
(
a
−
b
+
ω
(
a
)
−
ω
(
b
))
1
+


 ;
 (c + d − 2a − 2ω ( a))(c + d − 2b − 2ω (b)) 

109
µ1µ 2 (κ1κ 2 − 1)
;
( µ1 + µ 2κ1 )( µ 2 + µ1κ 2 )
T1 = P0′ − C1′ χ ′( z 0 ) − E1′ (χ ′( z 0 ) w( z 0 ) + χ ( z 0 ) w′( z 0 ) ) ;
ω( z) =
( z − c)( z − d ) ; s5 =
(
)
T2 = Q0′ − C1′ χ ′( z 0 ) − E1′ χ ′( z 0 )w( z 0 ) + χ ( z 0 )w′( z 0 ) ;
P0′ = (1 −
s 4 s3−1 ) P1 ,
′
Q0 =
−1
− s3 Q0 ,
( s 2 s1−1
− 1)Q0 , R0′ =
( s2 s1−1
− 1) ⋅ (iM 0 /( 2π ) + ( z0 − z 0 ) P1 ) , если Im z0 > 0 ;
P0′ = s P , Q0′ =
R0′ =
⋅ (iM 0 /(2π ) + ( z 0 − z 0 ) P2 ) , если Im z0 < 0 .
Для нахождения последней постоянной A3′ используется условие однозначности горизонтальных смещений при обходе трещины или включения:
−1
1
2
− s3−1
( (
)
)
Re ∫ s5 F1+ (t ) − F1− (t ) + F2+ (t ) − F2− (t ) dt = 0 ,
(12)
где интеграл берется по отрезку [ a, b] или [c, d ] .
В общем случае, при наличии конечного числа точек z k , k = 1, 2,..., n, к которым приложены сосредоточенные силы X k + iYk и сосредоточенные пары сил с моментами M k относительно точки приложения, функции F1 ( z ) и F2 ( z ) будут иметь вид
F1 ( z ) = A1 + i

A2 + A3 z n  Bk
Bk
Ck
Ck
+ ∑
+
+
+
+
2
2 
( z − zk ) 
w( z )
z − zk ( z − zk )
k =1  z − z k
n
 Dk

Dk
Ek
Ek
+ w( z ) ⋅ ∑ 
−
+
−
;
2
2 
( z − zk ) 
z − zk ( z − zk )
k =1  z − z k

A′ + A4′ z + A5′ z 2 n  Bk′
B′
Ck′
Ck′ 
F2 ( z ) = χ ( z )  A1′ + A2′ z + i 3
+ ∑
+ k +
+
+
2
w( z )
z − zk ( z − zk )
( z − zk ) 2 
k =1  z − zk

n
 D′
Dk′
Ek′
Ek′  
+ w( z ) ⋅ ∑  k −
+
−
 .
2
z − zk ( z − zk ) ( z − zk ) 2  
k =1  z − z k
Для нахождения постоянных, входящих в решение задачи, используются представления
этих функций в окрестности каждой из точек z k , в окрестности ∞, а также условие (12).
Полученные результаты можно использовать для исследования на прочность слоистых
композиционных материалов с трещинами и отслоившимися включениями на линии раздела
сред, которые, как правило, остаются в материале при его изготовлении и/или появляются в
процессе его эксплуатации, например из-за отслоения армирующих элементов.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.
2.
3.
4.
Rice J.R., Sih G.C. Plane problems of cracks in dissimilar media // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1965. V. 32. № 2. P. 418-423.
Сильвестров В.В., Ярдухин А.К. Межфазная трещина и отслоившееся тонкое жесткое гладкое межфазное включение при сложном нагружении // Проблемы механики неупругих деформаций: Сб. науч. ст. к 70-летию Д.Д.
Ивлева. М.: Физматлит, 2001. С. 301-313.
Черепанов Г.П. Механика разрушения композиционных материалов. М.: Наука, 1983. 296 с.
Зверович Э.И. Краевые задачи теории аналитических функций в гельдеровских классах на римановых поверхностях // УМН. 1971. Т. 26. Вып. 1. С. 113-179.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований,
проекты 01-01-00720 и 03-01-06275.
Поступила 7.06.2003 г.
110
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа