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Аналог задачи Трикоми для нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа с переменными коэффициентами.

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?????. ???. ???. ????. ??-??. ???.: ???.-???. ?????. ? 2007. ? ? 2 (15). ? ?. 155?158. ? ISSN 1991?8615
??????? ?????????
???????????????? ?????????
??? 517.946
?. ?. ??????
?????? ?????? ??????? ??? ???????????? ?????????
?????????-??????????????? ???? ? ??????????? ??????????????
??????????? ?????? ?????? ??????? ??? ???????????? ????????? ?????????-??????????????? ???? ? ??????????? ??????????????. ???????? ??????? ? ????????????? ? ?????????????? ??????? ??? ???????????? ????????, ????????????? ?? ????????????.
?????????? ??????????? [1] ????????? ?????????-??????????????? ????
u xx ? H (?y)u y y + au x + bu y + cu + d u(x + H (?y)y, 0) = f
(1)
? ??????? ?, ???????????? ????????? A A 0 , B B 0 , A 0 B 0 ?????? x = 0, x = 1, y = T > 0 ??????????????,
? ???????????????? AC : x + y = 0 BC : x ? y = 1. ????? ?+ ? ?? ????????? ??????????????
? ??????????????? ????? ????????? ??????? ? ??????????????, ? ????? I ? ???????? 0 < x < 1
?????? y = 0; a = a(x, y), b = b(x, y) < 0, c = c(x, y), d = d (x, y), f = f (x, y) ? ???????? ???????????
???????; H (y) ? ??????? ?????????.
?????????? ???????? ????????? (1) ? ??????? ? ??????? ??????? u(x, y) ? C (?) ? C 1 (?) ?
2
+
?
? C (?\I ), ??????????????? ?????????
б x (1)x ?
в ? ?? .
?????? [2], ????????? ????? ?0 (x) = 2 , ? 2 ?????? ????? x .
??????. ????? ?????????? ? ??????? ? ??????? u(x, y) ????????? (1), ???????????????
??????? ????????
u(0, y) = ?1 (y), u(1, y) = ?2 (y), 0 ╔ y ╔ T,
(2)
u [?0 (x)] = ?(x),
0 ╔ x ╔ 1,
(3)
??? ?1 (y), ?2 (y) ? ???????? ??????????? ???????, ?(x) ? ?????? ?????????? ???????????????? ???????, ?????? ?1 (0) = ?(0).
????? ?????????? ??????? u(x, y) ?????? (1)?(3). ????????? u(x, 0) = ?(x), u y (x, 0) = ?(x). ?????
?(0) = ?(0), ?(x) ? C (I ) ? C 1 (I ), ?(x) ? C (I ).
?????????? ??????? w(x, y) = u(x, y)+?(x, y)u(x + y, 0) = u(x, y)+?(x, y)?(x + y). ???????, ??? ???
?(x, y)
?(x,0) 6= ?1 ??? ?????? ???????? ?????????, ? u(x, y) = w(x, y) ? 1+?(x+y, 0) w(x + y, 0).
????????? (1) ????????? ? ????
f =
???
╜
г
д
w xx + aw x + bw y + cw + F 1 ?(x + y)
г ,
д y > 0,
w xx ? w y y + aw x + bw y + cw + F 2 ?(x + y) , y < 0,
г
д
г
д
F 1 ?(x + y) = d ?(x) ? ?xx (x, y)г + a?x (x, y) + b? y (x, y) + дc?(x, y) ?(x + y)?
??
? 2?x (x, y) + (a + b)?(x, y) ?? (x + y) ? ?(x, y)?
г
д б
г
дв (x + y),
F 2 ?(x + y) = d ? ?xx (x, y) ? ? y y (x, гy) + a?x (x, y) + b? y (x, y) + c?(x, y) д?(x + y)?
? 2?x (x, y) ? 2? y (x, y) + (a + b)?(x, y) ?? (x + y).
?????????, ????? ? ??????? ? ??????????? ????????? ???????:
?xx (x, y) ? ? y y (x, y) + a?x (x, y) + b? y (x, y) + c?(x, y) = d ,
?x (x, y) ? ? y (x, y) +
a +b
?(x, y) = 0.
2
(4)
(5)
155
?. ?. ??????
??????? ????????? (5) ????? ????????? ????????? ???????:
?
1
?(x, y) = ? exp ??
4
x?y
Z
x+y
?
h б
в б
вi
a x + y, t + b x + y, t d t ? ,
(6)
??? ? ? ???????????? ?????????.
?????????? ???????? ?(x, y) ?? (6) ? (4), ???????, ??? ? ??????? ? ???????????? ????????? (1) ?????? ????????????? ???????
?
? x?y
Zh
i
б
в
б
в
4
1
a 2 ? b 2 + 2a x + 2a y + 2b x + 2b y ? 4c = d exp ?
a x + y, t + b x + y, t d t ? ,
?
4
x+y
??? ? 6= 0.
г
д
??? ?????????? ????? ??????? ? ??????? ? ? ??????? F2 ?(x + y) ? 0 ????????? ?????? ???
f =
╜
г
д
w xx + aw x + bw y + cw + F 1 ?(x + y) ,
w xx ? w y y + aw x + bw y + cw,
y > 0,
y < 0,
(7)
? ??????? ??????? (3)?
│x
│x
г
д
x┤
x┤
w ?0 (x) = ?(x) + ? , ? ?(0) = ?(x) + ? , ? ?(0) = ?1 (x),
2
2
2
2
?
?
Zx
бx
в
г
д
x
1
?
??? ? 2 , ? 2 = ? exp ? 4 a(0, t ) + b(0, t ) d t ?.
0
????????, ??? ?(x, 0) = ?, ?x (x, 0) = ?xx (x, 0) = 0, ? y (x, 0) =
?г
2 a(x,
(8)
д
x) + b(x, x) , ?????????
г
д
г
д
w(x, 0) = 1 + ?(x, 0) ?(x) = 1 + ? ?(x) = ?1 (x),
д
?г
w y (x, 0) = ?(x) + a(x, x) + b(x, x) ?(x) + ??? (x) = ?1 (x).
2
???????? ? ????????? (7) ? ??????? ??? y ? +0 ? ????????, ???
╢
╡
д
г
д
?b(x, 0) г
a(x, x) + b(x, x) ?(x) ? ? a(x, 0) + b(x, 0) ?? (x) ? ???? (x),
F 1 [?(x)] = d (x, 0) ? ?c(x, 0) ?
2
(9)
(10)
?1 (x) = (1 + ?)?(x), ??1 (x) = (1 + ?)?? (x), ???1 (x) = (1 + ?)??? (x), ? 6= ?1, ????? ????????? ??????????????
???????
???1 (x) + a 2 ??1 (x) + c 2 ?1 = f 2 ? b 2 ?1 (x),
(11)
г
д
?
??? a 2 = a(x, 0) ? ?b(x, 0), c2 = c(x, 0) + d (x, 0) ? 2 b(x, 0) a(x, x) + b(x, x) , b2 = (1 + ?)b(x, 0), f 2 = (1 + ?) f (x, 0).
??? ???? ?1 (0) = (1 + ?)?1 (0), ?1 (1) = (1 + ?)?2 (0).
????? ?????? ???? (9), (10) ??? ????????? (7) ? ??????? ?? [3], ???????
1
1
w(x, y) = [R(x, y; x + y, 0)?1 (x + y) + R(x, y; x ? y, 0)?1 (x ? y)] +
2
2
1
?
2
x+y
Z
x?y
x+y
Z
x?y
R(x, y; ?, 0)?1 (?)d ??
1
[R ? (x, y; ?, 0) + b(?, 0)R(x, y; ?, 0)]?1 (?)d ? +
2
Z
Zy x?y+?
R(x, y; ?, ?) f (?, ?)d ?d ?, (12)
0 x+y??
??? R(x, y; ?, ?) ? ??????? ??????, ???????????? ??? ??????? ?????? ?????
156
п
п
R 1 = R(x, y; ?, ?)п
?
1
= exp ?
?=x+y??
2
Z?
x
б
в
б
в
?
a t, x + y ? t +b t, x + y ? t dt?,
?????? ?????? ??????? ??? ???????????? ????????? . . .
п
п
R 2 = R(x, y; ?, ?)п
?=??x+y
?
1
= exp ?
2
Z?
x
б
в
б
в
?
a t, t ? x + y +b t, t ? x + y dt?,
??? ????????? R?? ? R?? ? (aR)? ? (bR)? + cR = 0.
???????? (12) ??????? (8), ????? ????????? ?????????????? ???????
R2
Zx h │
┤
┤
│x
┤i
x
x
x
x
, ? ; x, 0 ?1 (x) +
R ? , ? ; x, 0 + b(?, 0)R , ? ; ?, 0 ?1 (?)d ? = 2?1 (x)?
2
2
2
2
2
2
│x
0
? R1
? x x+?
Zx │
Z2 Z │
┤
┤
┤
x
x
x
x
x
, ? ; 0, 0 ?1 (0) +
R , ? ; ?, ? f (?, ?)d ?d ? + R , ? ; ?, 0 ?1 (?)d ?. (13)
2
2
2
2
2
2
│x
0 ??
0
?????????? ?????? ? ??????? ? ??? ?????????
╜
z xx + a 1 (x, y)z x + b 1 (x, y)z y + c 1 (x, y)z = f 1 (x, y),
z xx ? z y y + a(x, y)z x + b(x, y)z y + c(x, y)z = f (x, y),
y > 0,
y < 0,
(14)
??????:
z(0, y) = (1 + ?)?1 (y), z(1, y) = (1 + ?)?2 (y),
г
д
z ?0 (x) = ?1 (x), 0 ╔ x ╔ 1,
(15)
0 ╔ y ╔ T,
(16)
??? a 1 (x, 0) = a 2 , b1 (x, 0) = b2 , c1 (x, 0) = c2 , f 1 (x, 0) = f 2 .
????????? z(x, 0) = ?2 (x), z y (x, 0) = ?2 (x). ???????? ????? ?? ???????, ??? ? ????, ???????
????? ????? ?? ?????????????? ????????? ????? ?2 (x) ? ?2 (x), ??? ? (11), (13) ??? ?1 (x)
? ?1 (x):
???2 (x) + a 2 ??2 (x) + c 2 ?2 = f 2 ? b 2 ?2 (x),
(17)
R2
Zx h │
┤
┤
│x
┤i
x
x
x
x
, ? ; x, 0 ?2 (x) +
R ? , ? ; ?, 0 + b (?, 0) R , ? ; ?, 0 ?2 (?)d ? = 2?1 (x)?
2
2
2
2
2
2
│x
0
? R1
? x x+?
Z2 Z │
Zx │
┤
┤
┤
x
x
x
x
R , ? ; ?, ? f (?, ?)d ?d ? + R , ?; ?, 0 ?2 (?)d ?. (18)
, ? ; 0, 0 ?1 (0) +
2
2
2
2
2
│x
0 ??
0
?????? (14)? (16) ????? ????? ???????????? ??????? ??? ?????????? ????????? ??????? [4]:
+
1) ? ? ??????? a 1 (x, y), b1 (x, y), c1 (x, y), f 1 (x, y) ?????????? ? ????????????? ?? x ???????
????????, ?????? b1 ????????????? ??????? ???????? ??? ? ?? y ; ????? ????,
+
?(x, y) ? ? :
?
b 1 (x, y) ╔ const < 0,
(19)
c 1 (x, y) < 0;
?
2) ??????? a(x, y), b(x, y) ? C 2 (? ), c(x, y) ? C 1 (? ), f (x, y) ? C (?? ) ? ????????????? ????????
a 2 ? b 2 + 2a x + 2a y + 2b x + 2b y ? 4c > 0,
a(x, y) + b(x, y) > 0,
c ╩ 0.
(20)
???? ?????? (14)? (16) ????? ????? ???????????? ???????, ?? ??????? (17), (18) ????? ????????? ???????????? ???????. ?? ??????????? ???????????? ??????? ????????? (17), (18) ???????
??????????? ???????????? ??????? ????????? (11), (13) ??? ???????, ??? ??????? a 2 , b2 , c2 ,
f 2 ????????????? ??????? (19), ? a , b , c , f ? ??????? (20). ????? ?????????? ?1 (x) ????? ?????
?(x), ? ?????, ??????????? ? ??????? u(x, y), ??????? ?????? (1)? (3) ???????? ? ????????????????? ??????? ?????? ??????? ?????? ??? ????????? (1) ? ??????? ?+ ?, ??????????????,
?????? ?????? ????? ??? ????????? (1) ? ??????? ?? .
????? ???????, ???????? ????????? ???????????.
157
?????. ???. ???. ????. ??-??. ???.: ???.-???. ?????. ? 2007. ? ? 2 (15). ? ?. 158?161. ? ISSN 1991?8615
???????. ???? ???????????? ????????? (1) ??????, ???
1) ? ??????? ?
a 2 ? b 2 + 2a x + 2a y + 2b x + 2b y ? 4c =
?
1
4
d exp ?
?
4
x?y
Z
x+y
?
h б
в б
вi
a x + y, t + b x + y, t d t ? ,
??? ? ? ???????????? ??????????, ??????????????? ???????? ? 6= 0 ? ? > ?1;
+
2) ? ??????? ? ??????? a(x, y), c(x, y), d (x, y), f (x, y) ?????????? ? ?????????????
??????? ???????? ?? x , b(x, y) ╔ const < 0 ?????????? ? ????????????? ??????? ???????? ?? x
? ?? y , ????? ????
?
h б
в б
вi
?
c(x, 0) + d (x, 0) ? b(x, 0) a x, x + b x, x < 0,
2
?
c(x, y) < 0;
?
3) ? ??????? ? a(x, y), b(x, y) ? C 2 (? ), c(x, y) ? C 1 (? ), d (x, y), f (x, y) ? C (?? ), a(x, y) + b(x, y) > 0,
?d (x, y) ╩ 0, c ╩ 0; ?? ?????? (1)?(3) ?????, ? ?????? ????????????, ???????.
????????????????? ??????
1. ???????, ?. ?. ????????? ?????????????? ???????? [?????] / ?. ?. ???????. ? ?.: ????. ??., 1995. ? 301 ?.
2. ???????, ?. ?. ????? ??????? ?????? ??? ?????? ?????????????? ???????????????? ????????? [?????] /
?. ?. ???????. // ????. ?? ????. ? 1969. ? ?. 187. ? ? 4. ? ?. 736-739.
3. ???????, ?. ?. ????????? ?????????????? ?????? [?????] / ?. ?. ???????, ?. ?. ?????????. ? ?.: ?????, 1977. ?
735 ?.
4. ???????, ?. ?. ??????? ?????? ??? ????????? ????????-???????????????? ???? [?????] / ?. ?. ???????, ?. ?. ??????, ?. ?????????. ? ???????: ???, 1986. ? 220 ?.
??? ?????????? ?????????? ? ????????????? ???? ???, ?. ???????
hubiev1976@mail.ru
????????? 07.11.2006
??? 517.927.25+517.984.5
?. ?. ??????
??????????? ??????? ?????????????? ????????? ?????? ???????????
??????? ????????????????? ????????? ??????? ???????
???????? ??????????? ??????? ?????????????? ?????? ??????????? ??????? ????????????? ?????????
?????????????????? ????????????????? ????????? ??????? ??????? ??? ???????, ??? ?????? ????? ???????????? ?????????? ?????????? ?????? ?? ??????.
????? H ? ??????????? ????????????, ? {un }?
n=1 ? ????????? ??????? ????????? ????? ???????????????
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n=1 . ??? ?????? ???????? ??????? ?????????????? ?????
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????? ?????? H = L 2 (G), ??? G ? ????????? ???????? ???????????? ???, ? {un }?
n=1 ? ???????
??????????? ??????? (????? ???) ?????????? ????????? ????????????? ?????????????????
????????? (????? ??) ??????? ???????
Lu = u ?? + q(x)u,
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(2)
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