close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Аналог задачи Трикоми с нелокальным интегральным условием сопряжения.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2009, № 4, c. 61–66
http://www.ksu.ru/journals/izv_vuz/
e-mail: izvuz.matem@ksu.ru
Краткое сообщение
Е.Р. МАНСУРОВА
АНАЛОГ ЗАДАЧИ ТРИКОМИ С НЕЛОКАЛЬНЫМ ИНТЕГРАЛЬНЫМ
УСЛОВИЕМ СОПРЯЖЕНИЯ
Аннотация. Для уравнения эллиптико-гиперболического типа доказывается однозначная разрешимость аналога задачи Трикоми с нелокальным интегральным условием сопряжения на
характеристической линии.
Ключевые слова: аналог задачи Трикоми, нелокальное условие сопряжения, существование,
единственность.
УДК: 517.956
Abstract. We prove the unique solvability of one analog of the Tricomi problem for an elliptichyperbolic equation with a nonlocal integral conjugate condition on the characteristic line.
Keywords: analog of the Tricomi problem, nonlocal conjugate condition, existence, uniqueness.
1. Постановка задачи
Рассмотрим уравнение
Lu ≡
∆u + c(x, y)u = 0, y > 0;
uxy + b(x, y)u = 0, y < 0,
(1)
в области D, ограниченной в полуплоскости y > 0 гладкой кривой Γ с концами A(0, 0),
B(1, 0) и отрезками A : x = 0, EC : y = −1, BC : x = 1 при y < 0.
Пусть D+ = D ∩ {y > 0}, D− = D ∩ {y < 0}.
Задача T. Найти функцию u(x, y) со свойствами
u(x, y) ∈ C(D) ∩ C 2 (D+ ),
Lu ≡ 0,
u(x, y)|Γ = ϕ(s),
uxy ∈ C(D− ),
(x, y) ∈ D+ ∪ D− ,
s ∈ [0, l],
u(1, y) = ψ(y),
l — длина кривой Γ,
y ∈ [−1, 0],
uy (x, +0) = a(x)v− (x),
x ∈ (0, 1),
Поступили: полный текст 20.04.2007, краткое сообщение 14.10.2008
61
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
62
Е.Р. МАНСУРОВА
где
d
v− (x) =
dx
x
−λ
(x − t)
x
u1 (t, 0)dt +
0
(x − t)−λ u2 (x, −t)dt, 0 < λ < 1,
(7)
0
ϕ(s), ψ(y), a(x) — достаточно гладкие заданные функции, по крайней мере, непрерывные,
причем ϕ(0) = ψ(0), u1 (x, y), u2 (x, y) — решения уравнения (1) в области D− с краевыми
условиями u1 (x, 0) = τ (x), x ∈ [0, 1], u1 (1, y) = 0, y ∈ [−1, 0], τ (1) = 0; u2 (x, 0) = 0, x ∈ [0, 1],
u2 (1, y) = ψ(y), y ∈ [−1, 0], ψ(0) = 0.
Ранее для уравнения (1) в области D рассматривался аналог задачи Трикоми с условием
сопряжения на характеристической линии в случаях, когда 1) b(x, y) = c(x, y) ≡ 0 [1],
2) −b(x, y) = c(x, y) ≡ −λ, где λ > 0, λ = const [2].
2. Единственность решения задачи
Рассмотрим в области D− для уравнения (1) вспомогательную задачу.
Задача Гурса. В области D− найти решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям
(2), (5) и условию u(x, 0) = τ (x), x ∈ [0, 1].
Теорема 1. Если b(x, y) ∈ C(D − ); τ (x) ∈ C[0, 1] ∩ C 1 (0, 1), τ (x) ∈ L[0, 1]; ψ(y) ∈ C 1 [−1, 0]
и τ (1) = ψ(0) = 0, то существует единственное решение задачи Гурса, которое определяется формулой
0
1
τ (t)R(t, 0; x, y)dt −
ψ (t)R(1, t; x, y)dt.
(8)
u(x, y) = −
x
y
Доказательство проводится методом Римана (напр., [3], c. 80), при этом функция Римана
R(x, y; x0 , y0 ) строится с помощью последовательных приближений.
Исходя из формул (7) и (8) при условии τ (0) = 0, вычислим
x
x
0
−λ
−λ
τ (t)(x − t) dt −
(x − t) dt
ψ (s)R(1, s; x, −t)ds.
(9)
v− (x) =
0
0
−t
Лемма 1. Пусть функция u(x, y) в области D− удовлетворяет условиям (2), (3), а также условию u(1, y) = 0, −1 y 0. Если функция u(x, 0) = τ (x) (где τ (x) ∈ C[0, 1] ∩
C 1 (0, 1), τ (x) ∈ L[0, 1], τ (0) = τ (1) = 0 ) достигает на [0, 1] наибольшего положительного
(наименьшего отрицательного) значения в точке x0 ∈ (0, 1), то v− (x0 ) > 0 (v− (x0 ) < 0).
Доказательство проводится интегрированием по частям в равенстве (9).
На основании принципа внутреннего экстремума для эллиптических уравнений, принципа Зарембы–Жиро ([4], с. 26), леммы 1 и условия (6) верна
Лемма 2. Пусть 1) c(x, y) 0 и a(x) ∈ C[0, 1], a(x) > 0 в (0, 1); 2) u(x, y) — решение
уравнения (1) в области D, равное нулю на характеристике BC. Тогда если max u > 0
D+
(min u < 0), то max u (min u) достигается на дуге Γ.
D+
D+
D+
Из теоремы 1 и леммы 2 следует
Теорема 2. Пусть c(x, y), a(x) удовлетворяют условиям леммы 2. Тогда задача T не
может иметь более одного решения.
АНАЛОГ ЗАДАЧИ ТРИКОМИ
63
3. Существование решения задачи
Для уравнения (1) в области D+ рассмотрим следующую вспомогательную задачу.
Задача N. В области D+ найти функцию u(x, y), удовлетворяющую условиям (2)–(4) и
(10)
uy (x, +0) = ν+ (x), 0 < x < 1,
где ϕ(s), ν+ (x) — заданные достаточно гладкие функции.
Теорема 3. Если c(x, y) ∈ C 1 (D+ ), c(x, y) 0 в D+ ; ν+ (x) ∈ C(0, 1) и абсолютно интегрируема на [0, 1]; ϕ(s) ∈ C[0, l], то существует единственное решение задачи N , которое
определяется формулой
Γ(x, y; ξ, η; 1)u0 (ξ, η)dξ dη,
(11)
u(x, y) = u0 (x, y) +
D+
где
1
∂
[G(x(s), y(s); x, y)]ds,
(12)
∂n
0
Γ
u0 (x, y) — решение задачи N в области D+ для уравнения Лапласа с граничными данными
∂
[G(x(s), y(s); x, y)] — производная по нормали к Γ; G(x, y; x0 , y0 ) — функция
(4) и (10); ∂n
Грина задачи N для уравнения Лапласа; Γ(x, y; ξ, η; 1) — резольвента ядра интегрального
уравнения
u0 (x, y) = −
ν+ (t)G(t, 0; x, y)dt −
u(x, y) −
ϕ(s)
c(ξ, η)G(ξ, η; x, y)u(ξ, η)dξ dη = u0 (x, y).
D+
В дальнейшем полагаем для простоты, что Γ совпадает с нормальной кривой Γ0 : y =
x(1 − x). Тогда, как известно ([5], с. 33), функция Грина G(x, y; x0 , y0 ) определяется в
явном виде и G(t, 0; x, 0) = π1 [ln(x + t − 2xt) − ln |x − t|].
Доказательство теоремы проводится методом Грина аналогично ([6], с. 92) с использованием теории потенциала для уравнения Лапласа ([7], гл. V, § 14, п. 5).
Подставляя (12) в (11) и меняя порядок интегрирования, будем иметь
1
1
ν+ (t)G(t, 0; x, y)dt −
ν+ (t)M (x, y; t)dt−
u(x, y) = −
0
0
1
1
ϕ(t)A(t; x, y)dt −
ϕ(t)N (x, y; t)dt, (13)
−
0
где
0
G(t, 0; ξ, η)Γ(x, y; ξ, η; 1)dξ dη,
M (x, y; t) =
D+
N (x, y; t) =
D+
1
N0 (x, y; t),
A(t; ξ, η)Γ(x, y; ξ, η; 1)dξ dη = π t(1 − t)
N0 (x, y; t) =
A0 (t; ξ, η)Γ(x, y; ξ, η; 1)dξ dη,
D+
A(t; x, y) =
1
∂
A0 (t; x, y),
G(x(s), y(s); x, y)|Γ = ∂n
π t(1 − t)
64
Е.Р. МАНСУРОВА
A0 (t; x, y) =
(x − x2 − y 2 )(x2 + y 2 − 2tx + t)
.
(x2 + y 2 − 2tx + t)2 − 4y 2 t(1 − t)
Полагая в (13) y = 0, получаем
1
1 1
ν+ (t) ln |t − x| − ln(x + t − 2xt) dt −
ν+ (t)M0 (x, t)dt−
τ (x) =
π 0
0
1
1
ϕ(t)A(t; x, 0)dt − ϕ(t)N (x, 0; t)dt, (14)
−
0
0
где M0 (x, t) = M (x, 0; t).
Лемма 3. Функция M0 (x, t) имеет непрерывную производную
0 x, t 1}.
∂M0 (x,t)
∂x
Лемма 4. Функция N0 (x, 0; t) имеет непрерывную производную
0 t 1.
∂
∂x N0 (x, 0; t)
Лемма 5. Функция Q(x) =
1
0
∂N0 (x,0;t)
dt
∂x
в квадрате {(x, t) |
при 0 < x < 1,
интегрируема на [0, 1].
Доказательство лемм 3–5 проводится с использованием интегрального уравнения резольвенты и определения равномерной сходимости по параметру кратного интеграла ([8], с. 163).
Подставим в (14) вместо ν+ (x) выражение из условия сопряжения (6). Используя (9) и
дифференцируя (14), приходим к уравнению
1
τ (s)K(x, s)ds + Q(x),
(15)
τ (x) =
0
где
Ki (x, s),
i=1
(1)
B1x (x, s), s x;
(2)
B1x (x, s), x s,
1
K(x, s) =
K1 (x, s) =
(1)
B1 (x, s)
1
=
π
x
−λ
a(t)(t − s)
s
3
ln(x − t)dt +
−λ
a(t)(t − s)
ln(t − x)dt ,
x
1 1
=
a(t)(t − s)−λ ln(t − x)dt,
π s
1 1 a(t)(t − s)−λ (1 − 2t)
dt,
K2 (x, s) = −
π s
x + (1 − 2x)t
1
∂M0 (x, t)
dt.
a(t)(t − s)−λ
K3 (x, s) = −
∂x
s
(2)
B1 (x, s)
Пусть a (x) ∈ C[0, 1].
Лемма 6. Функция K1 (x, s) интегрируема на Ω = {(x, s) | 0 x, s 1} и имеет место
оценка
c1 | ln(x − s)| c2 | ln(1 − x)|
+
,
|K1 (x, s)| |x − s|λ
|x − s|λ
АНАЛОГ ЗАДАЧИ ТРИКОМИ
65
ci — здесь и в дальнейшем положительные постоянные.
Лемма 7. K2 (x, s) интегрируема на Ω = {(x, s) | 0 x, s 1} и имеет место оценка
|K2 (x, s)| c3
c4 | ln(1 − x)|
+
.
(x + s − 2xs)λ
(1 − s)λ
Непрерывность K3 (x, s) в единичном квадрате Ω следует из леммы 3.
Справедлива также
Лемма 8. Функция K(x, s) непрерывна на Ω = {(x, s) | 0 x, s 1}, кроме линий x = s,
x = 1, s = 1, где имеет место оценка
c1 | ln(x − s)| c2 | ln(1 − x)| c3 | ln(1 − x)|
|K(x, s)| +
+
.
|x − s|λ
|x − s|λ
(1 − s)λ
Лемма 9. Пусть 1) ϕ(x) принадлежит C[0, 1] и удовлетворяет условию Гёльдера с показателем α ∈ [ 12 , 1] в достаточно малой окрестности точек x = 0 и x = 1, 2) ψ(y) ∈
C 1 [−1, 0], 3) a(x) ∈ C 1 [0, 1], a(x) > 0 на (0, 1). Тогда Q(x) ∈ C(0, 1) ∩ L[0, 1].
Доказательство основывается на утверждениях лемм 3, 5.
Уравнение (15) на основании лемм 8, 9 является уравнением Фредгольма II рода с ядром
со слабой особенностью и свободным членом Q(x) ∈ C(0, 1) ∩ L[0, 1]. Из единственности
решения задачи (2)–(6) следует, что соответствующее однородное уравнение имеет только
тривиальное решение. Таким образом, уравнение (15) имеет единственное решение, непрерывное на (0, 1) и интегрируемое на [0, 1] ([8], гл. 4, § 6).
Решение уравнения (15) запишем в виде
1
Q(s)Γ(x, s)ds,
(16)
τ (x) = Q(x) +
0
где Γ(x, s) — резольвента ядра K(x, s), τ (x) ∈ C(0, 1) ∩ L[0, 1].
С учетом условия сопряжения (6) и представления v− (x) по формуле (9) найдем
x
x
0
−λ
−λ
τ (t)(x − t) dt −
(x − t) dt
ψ (s)R(1, s; x, −t)ds .
ν+ (x) = a(x)
0
0
(17)
−t
Подставив (17) в (13), построим решение задачи T в D+ .
Теорема 4. Если коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют условиямтеорем 1, 3;
ϕ(x), ψ(y), a(x) — условиям леммы 9, ϕ(0) = ϕ(1) = ψ(0) = 0; Γ = Γ0 : y = x(1 − x), x ∈
[0, 1], то существует единственное решение задачи T, которое определяется формулами
(8), (16) в D− , (13), (16), (17) в D+ .
Литература
[1] Волкодавов В.Ф., Наумов О.Ю. Для уравнения смешанного типа задача с сопряжением специального
вида // Неклассические уравнения матем. физики. – Новосибирск: Ин-т матем. СО РАН, 2002. – С. 41–49.
[2] Волкодавов В.Ф., Илюшина Ю.А. Для уравнения смешанного типа единственность решения задачи T
с сопряжением производной по нормали с дробной производной // Изв. вузов. Математика. – 2003. –
№ 9. – С. 6–9.
[3] Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения математической
физики. – М.: Физматгиз, 1962. – 767 с.
[4] Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. – М.: Наука, 1981. – 448 с.
[5] Крикунов Ю.М. Краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа. – Казань: Изд-во Казанск.
ун-та, 1986. – 148 с.
[6] Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. – М.: Наука, 1966. – 292 с.
66
Е.Р. МАНСУРОВА
[7] Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т.1. – М.–Л.: ОГИЗ, Гостехиздат, 1951. –
525 с.
[8] Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения. – М.: Высшая школа,
2005. – 671 с.
Е.Р. Мансурова
доцент, кафедра алгебры, геометрии и методики преподавания математики,
Марийский государственный университет,
424001, г. Йошкар-Ола, пл. Ленина, д. 1,
e-mail: mansurovka@mail.ru
E.R. Mansurova
Associate Professor, Chair of Algebra, Geometry and Methods of Teaching Mathematics,
Mari State University, 1 Lenin Sq., Yoshkar-Ola, 424001 Russia,
e-mail: mansurovka@mail.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
151 Кб
Теги
сопряжение, аналоги, интегральная, задачи, условие, нелокальные, трикоми
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа