close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Аналог теоремы Пикара для уравнения 1-го рода в свертках с гладким ядром.

код для вставкиСкачать
2002
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 7 (482)
УДК 517.968
А.Ф. ВОРОНИН
АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ ПИКАРА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
1-ГО РОДА В СВЕРТКАХ С ГЛАДКИМ ЯДРОМ
В данной работе методами теории уравнений в свертках на полубесконечном интервале [1],
[2] получен некоторый аналог теоремы Пикара ([3], c. 231{232) для уравнения
Z b
0
при условиях
k(x ; t)u(t)dt = f (x); x 2 [d; c];
k; k0 2 L1 (d ; b; c); k(c) 6= 0; k(d ; b) 6= 0; b > 0; d < c;
f; f 0 2 L1 (d; c); f (c) = f (d) = 0:
(1)
(2)
(3)
Положим k(t) := 0 при t 2= [d ; b; c],
F k(p) :=
Z
1
;1
eipt k(t)dt =
d;b
eipt k(t)dt | преобразование Фурье функции k;
+ (p) := ;ipe;ip(d;b) F k(p); ; (p) := ipe;ipc F k(p):
Лемма. Пусть ядро
2 (0; ) такие, что
Z c
k
(2).
удовлетворяет условиям
Тогда существуют числа
+ (p) 6= 0; Im p ; ; (p) 6= 0; j Im p ; j < ; ; (p) 6= 0; Im p ;;
а в полосе
j Im pj < число нулей функции
> 0
и
(4)
; (p) конечно или счетно. Единственная предельная
точка этого множества | бесконечно удаленная точка.
Обозначим через p1 ; p2 ; : : : все нули функции ; (p) в полосе j Im pj < , пусть 1 ; 2 ; : : : |
кратность этих нулей соответственно. Положим
ulj (t) := e;itpj tl;1 ; wlj (x) :=
S (t; cb) :=
где
j
X
X
j =1 l=1
Z b
0
k(x ; t)ulj (t)dt;
b
cblj ulj (t); S1 (t; cb) := lim
!1 S (t; c);
j
1 X
X
j =1 l=1
jcblj j < 1:
(5)
(6)
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант Є 02-01-00296.
3
Теорема. Пусть выполняются условия
(2), (3) и cуществует натуральное n0 2 такое,
что
jpj j; n ; = O(j ; )
( 0
и для
1)
j ! 1, где > 1;
(7)
n = 2; : : : ; n0
Тогда для
@n
k(t) = k(n) 2 L1 (d ; b; d); f (n;1)(d + 0) = 0:
@tn
существования решения уравнения (1) в L1 (0; b) необходимо
правая часть уравнения
(1) имела вид
f (x) = lim
!1
где
при
j
X
X
j =1 l=1
(8)
и достаточно, чтобы
cblj wlj (x); x 2 [d; c];
cb = fcblj g, l = 1; : : : ; j , j = 1; 2; : : : ; , | последовательность
! 1 неравенству (6).
(9)
комплексных постоянных,
удовлетворяющая при
(9) выполнено, то решением уравнения (1) является
u(t) = S1 (t; cb); t 2 [0; b]:
(10)
Решение (10) единственно в классе L1 (0; b), если при ! 1 система функций
fwlj (x)g; l = 1; : : : ; j ; j = 1; 2; : : : ; ;
является линейно независимой на интервале (d; c).
;
Cледствие. Пусть выполнены условия (2), (3). Если число нулей функции (p) в полосе
j Im pj < конечно и равно 0, то теорема также выполняется.
Заметим, что формула для вычисления нулей целой функции ( ; (p) ) имеется в [4].
Если условие
По формуле интегрирования по частям имеем
Z c
; ipc
1
ip
(d;b)
F k(p) = ip e k(c) ; e
k(d ; b) ;
eipt k0 (t)dt:
Доказательство леммы.
d;b
Тогда для p = x + iy получим два асимптотических соотношения:
+ (p) = k(d ; b) ; eipq k(c) +
Z q
; (p) = k(c) ; e;ipq k(d ; b) ;
0
Z
eipt k0 (t + d ; b)dt ! k(d ; b) 6= 0 при y ! 1;
0
;q
eipt k0 (t + c)dt ! k(c) 6= 0
при y ! ;1;
где сходимость равномерная по x 2 R. Cледовательно, существует 0 > 0 такое, что (p) 6= 0
при Im p 0 . Положим 1 := ; q1 ln jk(d ; b)=k(c)j, тогда из второго асимтотического соотношения и неравенства треугольника имеем неравенство
Z
j; (x + iy)j eyq jk(d ; b)j ; jk(c)j ; 0
;q
eixt e;yt k0 (t + c)dt:
Из неравенства для 2 max(0 ; 1 ), y > 2 + 0 , где 0 > 0, получим j; (x + iy)j jk(c)j(e(y;1 )q ;
1) > jk(c)j(e0 ; 1) при jxj ! 1. Следовательно, для любого y0 > 2 + 0 все нули функции
; (x + iy) в полосе 2 + 0 < Im p < y0 ограничены по модулю. Тогда по теореме единственности
для аналитических функций число нулей в этой полосе конечно.
4
Доказательство теоремы. Пусть решение уравнения (1) существует в L1 (0; b). Продолжим u и f нулем вне области определения. Положим
v(x) :=
Z b
0
k(x ; t)u(t)dt при x 2= [d; c]; v(x) := 0 при x 2 [d; c]:
(11)
Тогда уравнение (1) распространяется на всю вещественную прямую R следующим образом :
Z
1
;1
k(x ; t)u(t)dt = f (x) + v(x); x 2 R:
(12)
Функции u и v в (12) будем искать с помощью задачи Римана ([1], с. 30).
Из (11) согласно свойству свертки интегрируемых функций имеем
[
v(t) 2 L1 (R); v(x) = 0 при x 2= (d ; b; d) (c; c + b):
Положим v1 (x) := v(x)[d;b;d] (x), v2 (x) := v(x)[c;c+b] (x), где [a;b] (x) | xарактеристическая
функция отрезка [a; b]. Тогда, применив к уравнению (12) преобразование Фурье, получим
F k(p)F u(p) = F f (p) + F v1 (p) + F v2(p); p 2 R:
Из леммы (cоотношения (4)) для всех x 2 R имеем
+ (x + i ) 6= 0; ; (x + i ) 6= 0; (x + i )F k(x + i ) 6= 0:
(13)
Для p = x + i положим
pF v (p)
pF v (p)
V1 (x) := ie;ipc ; 1 ; V2 (x) := ;ie;ip(d;b) + 2 ;
(14)
(p)
(p)
F f (x + i )
(15)
H1 (x) :=
(x + i )F k(x + i ) при d > 0; H1(x) := 0 при d 0:
Из теоремы Винера ([2], c. 4) и Пэли{Винера ([1], c. 23) из (15) с учетом последнего неравенства
в (13) следует cуществование функции h1 2 L1 (R) такой, что
h1 (x) := F ;1 H1(t) = 0 при t < b; h1 ; h01 2 L1 (R):
(16)
Из (16) по формуле интегрирования по частям с учетом равенства h1 (b) = 0 получим
1
i Z 1 ipt 0
H1 (x) =
e h1 (t)dt; p = x + i:
1 (t)dt =
x b
b
Вернемся к уравнению (13). Разделив его на F k, согласно (14) получим
F u(x + i ) = (x + i )H1(x) + V1 (x) + V2 (x); x 2 R:
Приведем уравнение (18) к простейшей краевой задаче Римана на R. Положив
F + (x) := F u(x + i ) ; (x + i )H1 (x) ; V2 (x); x 2 R;
F ; (x) := V1 (x); x 2 R;
Z
eipt h
получим искомое краевое условие
(17)
(18)
(19)
(20)
F + (x) = F ; (x); x 2 R:
(21)
Из финитности ядра, условия (3) и соотношений в (12) имеем v(d) = v(d ; b) = v(с) = v(c + b) = 0.
По формуле интегрирования по частям получим
Z q+b
Z q+b
1
ipt
e v (t + d ; b)dt = ;
eipt v0 (t + d ; b)dt;
(22)
q
Z
ip
2
;(c;d)
;q
eipt v1 (t + c)dt = ;
5
q
2
1 Z ;(c;d) eipt v0 (t + c)dt:
ip ;q
1
(23)
Тогда из (19), (17) и (14), (22) следует, что функция F + (z ), аналитическая в полуплоскости
Im z > 0, непрерывна, включая границу, и исчезает на бесконечности в этой полуплоскости.
Из (20) и (14), (23) следует, что функция F ; (z ), аналитическая в полуплоскости Im z < 0 за
исключением полюсов в точках z1 ; z2 ; : : : (zj = pj ; i , j = 1; 2; : : : ), непрерывно продолжима на
границу и исчезает на бесконечности в этой полуплоскости.
Для простоты рассуждений будем считать сначала, что число нулей функции ; (p) в полосе
j Im pj < конечно и равно 0. Тогда из краевого условия (21) по теореме об аналитическом
продолжении и обобщенной теореме Лиувилля ([1], c. 29{30) имеем
F + (x) = F ; (x) = Sb (x + i; C );
где
Sb (x + i; C ) :=
j
X
X
j =1 l=1
(24)
clj (x + i ; pj );l ;
C = fclj g (l = 1; : : : ; j , j = 1; 2; : : : ; ) | произвольная последовательность комплексных чисел.
Из (24) и (19), (20) для p = x + i имеем соответственно
F u(p) ; pH (p ; i ) ; V (p ; i ) = Sb (p; C ); V (p ; i ) = Sb (p; C ):
1
2
1
(25)
Тогда из (25) получим
F u(p) ; pH (p ; i ) + ip(p)
1
+
Z q+b
q
eipt v2 (t + d ; b)dt = Sb (p; C );
ip Z ;(c;d) ipt
e v1 (t + c)dt = Sb (p; C ):
; (p) ;q
Рассмотрим уравнение (26). Умножим его на e;ipb и, положив
Z 1
1
dt
;ib(t+i) Sb (t + i; C )
b
S (x; С) :=
;
2i ;1 e
t ; (x i0)
H2+ (x) := e;ib(x+i) H1 (x);
F1; (p) := e;ipb F u(p) + Sb; (p ; i; C ); Im p ;
p Z q ipt
F1+ (p) := ;i +
e v2 (t + d)dt + pH2+(p ; i ) + Sb+ (p ; i; C ); Im p ;
(p)
получим краевое условие
q ;b
(26)
(27)
(28)
(29)
F1+ (x + i ) = F1; (x + i ); x 2 R:
Имеем ([1], c. 29{30)
F1+ (p) = F1; (p) = 0; p = x + i; x 2 R:
(30)
Из (30), учитывая (28), (29), получим
p
;i (p)
+
Z q
q;b
e;ipb F u(p) = ;Sb; (p ; i; C ); Im p ;
(31)
eipt v2 (t + d)dt + pH2+(p ; i ) + Sb+ (p ; i; C ) = 0; Im p :
Из определения функции Sb следует
Sb (p; C ) =
j
X
X
j =1 l=1
cblj
1
Z
0
eipt ulj (t)dt; где cclj = i;l
6
clj
(l ; 1)! :
Тогда из (27) по интегральной формуле Коши получим
Sb; (x; C ) = e;ipb
Из (32) и (5) следует
F ; f ei x
1
i )b Sb; (x; C )
( +
Тогда из (31) и (33) имеем
j
X
X
j =1 l=1
cblj
Z b
0
eipt ulj (t)dt:
(32)
g(t) = S (t; cb) ;b (t); t 2 R:
(33)
[0 ]
u(t) = S (t; cb); t 2 [0; b]:
(34)
Из (34) и (1) получим необходимое условие существования
f (x) =
j
X
X
j =1 l=1
cblj wlj (x); x 2 [d; c]:
(35)
Из (35) при f = 0 вытекает требуемое условие на единственность решения. Теорема доказана
для случая < 1, тем самым доказано следствие.
Пусть теперь = 1. Проинтегрируем краевое условие (21) по x от ;1 до 1 с весом (x;z );1 ,
где Im z > 0. По интегральной формуле Коши с учетом теории вычетов получим
1
1 X
X
F ; (zj ) X
F + (x) = Res
=
c (x ; z );l ; x 2 R:
(36)
j
j =1
Покажем, что в (36) для любого l
zj ; x
j =1 l=1
lj
j
clj = o(jzj j;(n0 ;1) ) при j ! 1:
(37)
Из (12) и условия (8) следует, что v1(n) (d + 0) = v1(n) (d ; b ; 0) = 0, n = 1; : : : ; n0 ; 1. Тогда из
формулы интегрирования по частям имеем
Z d
d;b
eixt v10 (t)dt = o(jxj;(n0 ;1) ) при jxj ! 1:
(38)
Из (22), (23) и (38) получим V1 (x) = o(jxj;(n0 ;1) ) при jxj ! 1. Из равенств (20) и (36) вытекают
соотношения (37). Следовательно, ряд в правой части (36) равномерно сходится для всех x 2 R
ввиду соотношения (8) и неравенства jx ; zj j > для всех j . Таким образом, все выкладки
вышеприведенного доказательства, начиная с цепочки (24), также будут верны и для ! 1.
Литература
1. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. { М.: Наука, 1978. { 296 с.
2. Крейн М.Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядром, зависящим от разности аргументов // УМН. { 1958. { Т. 13. { Вып. 5. { С. 3{120.
3. Краснов М.Л. Интегральные уравнения; введение в теорию. Учеб. пособие. { М.: Наука, 1975.
{ 304 с.
4. Товмасян Н.Е., Кошелева Т.М. Об одном методе нахождения нулей аналитических функций
и его применение для решения краевых задач // Сиб. матем. журн. { 1995. { Т. 36. { Є 5. {
C. 1146{1156.
Институт математики им. С.Л. Соболева
Поступили
26:12:2000
04:06:2001
Сибирского отделения
первый вариант
Российской Академии наук
окончательный вариант
7
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
141 Кб
Теги
рода, пикара, уравнения, теорема, аналоги, свертка, гладких, ядро
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа