close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Аналог уравнения Левнера для отображений полос.

код для вставкиСкачать
2007
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 8 (543)
УДК 517.546
Д.А. ДУБОВИКОВ
АНАЛОГ УРАВНЕНИЯ ЛЕВНЕРА ДЛЯ ОТОБРАЖЕНИЙ ПОЛОС
Уравнение Левнера возникло в знаменитой работе [1] в связи с попыткой решения проблемы
коэффициентов в классе однолистных в круге функций. Оно аналитически описывает стирание
разреза в терминах конформных отображений с нормировкой Римана. Впоследствии это уравнение обобщалось в связи с решением различных экстремальных задач. При переходе к граничным
нормировкам возникли аналоги уравнения Левнера для полуплоскости (с гидродинамической
нормировкой) и для полосы (при фиксации двух граничных точек [2]). Поскольку такие обобщения ориентировались на создание вариационного подхода в соответствующих классах конформных отображений, то конструкция, связанная со стиранием разреза, в них отсутствовала.
С другой стороны, новые приложения уравнения Левнера, такие как SLE (Shramm(stochastic){
Loewner evolution, напр., [3]), опираются на эту конструкцию.
В данной работе получен полный аналог уравнения Левнера для конформных отображений
полосы с конечными угловыми производными в бесконечно удаленных точках. В отличие от
классического случая, когда в качестве временного параметра выбирается конформный радиус переменной области, здесь течение времени связывается с характеристикой, выражающей
разность между угловыми производными в бесконечно удаленных точках. Это диктуется необходимостью следить за сохранением граничных условий. Специфика изучаемого случая проявляется также в том, что некоторые подходы, связанные с применением принципа симметрии
Римана{Шварца ([4], x 3.3, с. 84{87), не дают результата, поскольку приводят к отображениям
бесконечносвязных областей.
Пусть = fz : 0 < Im z < g, f | конформное отображение полосы в себя. Пределы
c (f ) = Re zlim
(z ; f (z ));
!1
где z меняется в подполосе = fz : < Im z < (1 ; )g, 2 (0; 1=2), называются угловыми
производными отображения f в бесконечно удаленных точках полосы .
Эти пределы (конечные или бесконечные) существуют и удовлетворяют неравенству c; (f ) 6
+
c (f ) ([2], с. 451; [4], с. 9).
Следующий результат дает альтернативные формулы для вычисления производных c (f ).
Теорема 1. Пусть f | конформное отображение полосы в себя с конечными угловыми
производными c (f ), тогда
Im ez ; c; (f ) = inf ln Im e;f (z) :
c+ (f ) = sup ln
z 2
Im e;z
z2 Im ef (z)
Совокупность всех конформных отображений f : ! с конечными угловыми производными c (f ) обозначим через T.
Через T0 обозначим подмножество функций f из T, которые, оставляя инвариантной вещественную ось, аналитически продолжаются через нее в полосу = fz : ; < Im z < g и
удовлетворяют условию f (0) = 0.
Конечность c (f ) влечет условие Re f (z ) ! 1 при Re z ! 1. Отметим, что c (f ) =
lim (x ; f (x)) в случае f 2 T0 .
x!1
77
Заметим, что класс T замкнут относительно операции композиции. Более того, T можно
рассматривать как топологическую полугруппу относительно операции композиции и топологии
локально равномерной сходимости. При этом T0 является подполугруппой.
Для каждой f из T рассмотрим функционал (f ) = c+ (f ) ; c; (f ).
Функционал обладает свойством аддитивности. Для f1; f2 2 T0 выполняется (f1 f2 ) =
(f1 ) + (f2 ).
Основным объектом исследований данной работы является семейство конформных отображений полосы , образ которой получается из вытиранием разреза. Более точно, пусть ;
| жорданова кривая в полосе с параметризацией = (t), 0 6 t 6 T , где (t) 2 при
0 6 t < T и Im (T ) = . Через Dt = n ;t , 0 6 t 6 T , обозначим семейство расширяющихся
областей, где под ;t понимается часть кривой ;, выделяемая параметризацией ;t : = (s),
t 6 s 6 T . Обозначим через gt конформное отображение на Dt с нормировкой Re gt (z ) ! 1
при Re z ! 1 и gt (0) = 0.
Используя разложение gt в композиции отображений на области с \малыми" разрезами и
мажорацию их \гиперболическими луночками", можно показать конечность c (gt ), а следовательно, и (gt ). Таким образом, gt 2 T0 при всех t 2 [0; T ]. Кроме того, имеет место
Предложение 1. Функция (gt ) является непрерывной и строго монотонно убывающей на
[0; T ].
Сформулированное утверждение позволяет выбрать параметризацию разреза ; так, чтобы
выполнялось соотношение (gt ) = T ; t; где T = (g0 ). В определенном смысле эта параметризация аналогична левнеровской, где в качестве параметра выбирался конформный радиус
расширяющейся области.
Основной результат работы представляет
Теорема 2. Семейство отображений gt : ! Dt из класса T0 с выбором параметра t
согласно условию (gt ) = T ; t, 0 6 t 6 T , дифференцируемо по t и является решением задачи
Коши
@
@
ez ; 1
1 ; g (z ) z;
gt (z ) = gt (z ) z k(t)
(1)
t
t=T
@t
@z
e + e 1 + e;k(t)
где k(t) | непрерывная вещественнозначная функция и gt;1 ( (t)) = k(t) ; i.
Уравнение (1) является аналогом классического уравнения Левнера, и его правая часть
также определяется прообразом конца разреза.
Центральным моментом исследования, как и в работе Левнера, является полугрупповая
структура изучаемого класса функций. В частности, Левнером было установлено, что близость
производной в нуле конформного отображения единичного круга в себя при нормировке Римана (с единицей) влечет близость отображения к тождественному. Аналогичный результат для
полугруппы T0 дает
Теорема 3. Пусть f 2 T0 , 0 < (f ) < ln 3, тогда для любого компакта K в полосе существует константа M (K ) такая, что jf (z ) ; z j 6 (f )M (K ) для всех z 2 K .
При доказательстве этой теоремы используются результаты из работы [5]. Таким образом, в
терминах функционала описывается окрестность единицы (тождественного преобразования) в
полугруппе T0 . Этот факт играет решающую роль в доказательстве дифференцируемости fgt g.
Для определения вида производной используется аналог формулы Шварца. Решение задачи
Шварца для полосы известно (напр., [6], гл. 3, п. 44). Однако понадобится вариант, учитывающий
специфику класса T.
Лемма 1. Пусть f (z ) = u(z )+ iv (z ) | аналитическая в функция, непрерывно продолжающаяся в , принимающая вещественные значения на вещественной оси, имеющая конечные
78
пределы при Re z ! 1 и удовлетворяющая условию Im f (z ) > 0 при z 2 . Тогда для всех
z2
1 Z ez ; 1 ex v(x + i) dx + f (0):
(2)
f (z ) =
ez + ex 1 + ex
R
При изучении семейства fgt g перенос рассуждений в окрестность тождественного преобразования позволяет осуществить понятие эволюционного семейства [2].
Двупараметрическое множество fwt;s ; 0 6 s 6 t 6 T g называется эволюционным семейством
полугруппы T0 , если выполняются следующие условия:
(i) wt;s 2 T0 , 0 6 s 6 t 6 T ,
(ii) wt;s = wt; w;s , 0 6 s 6 6 t 6 T ,
(iii) wt;s (z ) ! z локально равномерно в при t ; s ! 0.
Для 0 6 s 6 t 6 T , положив wt;s (z ) = gt;1 gs (z ), получаем эволюционное семейство в полугруппе T0 . С использованием теоремы 3 можно показать, что функция wt;s локально липшицева
по t и s, а значит, дифференцируема почти всюду. Заметим, что gt (z ) = wT; t (z ). По свойству (ii)
эволюционного семейства справедливо соотношение wT;0 = wT; t wt;0 , откуда следует
@
@
@
gt (wt;0 ) = ; gt (wt;0 ) wt;0 :
(3)
@t
@z
@t
Таким образом, задача нахождения производной gt по t сводится к определению вида производной wt;0 по t:
@
w (w ) ; wt;0
w = lim t+;t t;0
:
@t t;0 &0
Рассмотрим семейство функций
f (z ) =
z ; wt+;t (z )
; 0 < 6 0 :
(4)
Заметим, что f аналитична в , непрерывно продолжается в , принимает вещественные
значения на вещественной оси и имеет конечные пределы при Re z ! 1. В силу принципа
максимума для гармонических функций Im f (z ) > 0 при z 2 . Таким образом, выполнены
условия леммы 1. Представление (2) можно записать в виде
Z
(ez ; 1) ex d (x);
f (z ) =
(
ez + ex ) (1 + ex ) R
где | вероятностная мера, определяемая равенством
1
d (x) = Im f (x + i) dx:
Носитель меры сосредоточен на проекции на вещественную ось прообраза разреза, который определяет область wt+;t (). При & 0 носители мер стягиваются в точку. Для доказательства этого утверждения используется теорема Каратеодори о граничном соответствии при
конформном отображении и принцип длины и площади.
Используя теперь теорему Банаха{Алаоглу и свойства -слабой сходимости (напр., [7], гл. IV,
V), показываем, что сходятся к атомарной вероятностной мере при & 0.
Носитель предельной меры | это точка k(t) на вещественной оси, k(t) = gt;1 ( (t)) ; i.
Отсюда, используя определение -слабой сходимости, находим предел отношения (4) при & 0,
что позволяет определить вид производной wt;0 по t. Подставляя полученное выражение в (3),
приходим к формуле (1).
Автор выражает признательность рецензенту за ряд полезных замечаний, позволивших
улучшить первоначальный текст статьи.
79
Литература
1. Lowner K. Untersuchungen uber schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises. I // Math.
Ann. { 1923. { Bd. 89. { S. 103{121.
2. Горяйнов В.В. Полугруппы конформных отображений // Матем. сб. { 1986. { Т. 129. { Є 4. {
С. 451{472.
3. Rohde S., Schramm O. Basic properties of SLE // Ann. Math. { 2005. { V. 161. { Є 2. { P. 879{920.
4. Duren P.L. Univalent functions. { New York: Springer-Verlag, 1983. { 393 p.
5. Горяйнов В.В. Дробные итерации аналитических в единичном круге функций с заданными
неподвижными точками // Матем. сб. { 1991. { Т. 182. { Є 9. { C. 1281{1299.
6. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. { М.:
Наука, 1973. { 736 с.
7. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. { М.: Ин. лит., 1962. { 892 с.
Волжский гуманитарный институт
(филиал) Волгоградского
государственного университета
Поступила
01.12.2006
80
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
129 Кб
Теги
уравнения, аналоги, полоса, отображений, левнера
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа