close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Априорные оценки решений краевых задач в полосе для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2012, № 7, c. 50–53
http://www.ksu.ru/journals/izv_vuz/
Гос. номер статьи по НТЦ "Информрегистр" 0421200123 \0067
А.Д. БАЕВ, С.С. БУНЕЕВ
АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В ПОЛОСЕ
ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
Аннотация. В работе исследованы две краевые задачи в полосе для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка. Уравнения вырождаются на одной из границ полосы
в уравнение третьего порядка по одной из переменных. Задачи исследуются в весовых пространствах, аналогичных весовым пространствам С.Л. Соболева, нормы в которых построены
с помощью специального интегрального преобразования. Получены априорные оценки в этих
весовых пространствах решений краевых задач в полосе для эллиптических уравнений высокого порядка, вырождающихся на одной из границ полосы в уравнение третьего порядка по
одной из переменных.
Ключевые слова: априорная оценка, вырождающееся эллиптическое уравнение, весовые пространства С.Л. Соболева.
УДК: 517.946
Теория вырождающихся эллиптических уравнений в настоящее время интенсивно развивается. Такие уравнения описывают математические модели, в которых граница области
оказывает существенное влияние на процессы, происходящие вблизи границы. В этом случае на границе области может меняться как тип уравнения, так и его порядок. В работе
рассматриваются эллиптические уравнения высокого порядка, вырождающиеся на границе
в уравнение третьего порядка по одной из переменных. Краевые задачи для таких уравнений относятся к неклассическим задачам математической физики. Одна из главных трудностей, возникающих в теории вырождающихся эллиптических уравнений, связана с влиянием младших (в смысле теории регулярных эллиптических операторов) членов уравнения
на постановку граничных задач и их коэрцитивную разрешимость.
Исследование вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка при “степенном” характере вырождения было начато в работах М.И. Вишика и В.В. Грушина [1], [2].
Затем ряд результатов для некоторых классов вырождающихся эллиптических уравнений
высокого порядка был получен В. П. Глушко [3], С.З. Левендорским [4], С.А. Исхоковым [5].
В работе [3] были получены априорные оценки краевых задач в полосе для уравнений, вырождающихся на границе в уравнение первого порядка по одной из переменных. В работах
А.Д. Баева [6]–[7] были получены априорные оценки и теоремы о существовании решений
краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка при произвольном сильном характере вырождения. В частности, были исследованы краевые задачи
для эллиптических уравнений высокого порядка, вырождающихся на границе области в
уравнение четного порядка.
Поступила 18.01.2012
50
АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В ПОЛОСЕ
51
В данной работе получены априорные оценки решений краевых задач в полосе для эллиптических уравнений высокого порядка, вырождающихся на границе t = 0 в уравнение
третьего порядка по одной из переменных.
Рассмотрим в полосе Rdn = {x ∈ Rn−1 , 0 < t < d}, где d > 0 — некоторое число, уравнение
(1)
A(Dx , Dα,t , ∂t )v(x, t) = F (x, t),
j
где A(Dx , Dα,t , ∂t )v = L2m (Dx , Dα,t )v − b∂t3 v, L2m (Dx , Dα,t ) =
aτ j Dxτ Dα,t
, b, aτ j —
|τ |+j≤2m
τ
∂
, Dxτ = i|τ | ∂xτ11 ∂xτ22 . . . ∂xn−1
комплексные числа, Im ba02m = 0, Dα,t = 1i α(t)∂t α(t), ∂t = ∂t
n−1 .
n
На границе t = 0 полосы Rd задаются условия
bτ j Dxτ ∂tj−1 v|t=0 = Gj (x), j = 1, 2,
(2)
Bj (Dx )v|t=0 =
|τ |≤mj
с комплексными коэффициентами bτ j , а на границе t = d — условия
v|t=d = ∂t v|t=d = · · · = ∂tm−1 v|t=d = 0.
(3)
Пусть выполнены
Условие 1. При всех (ξ, η) ∈ Rn справедливо неравенство Re bL2m (ξ, η) ≥ c(1+ |ξ|2 + |η|2 )m ,
где постоянная c > 0 не зависит от (ξ, η).
Условие 2. Для некоторого s ≥ 2m + max(m1 , m2 ) функция α(t) принадлежит C s−1 [0, d],
причем α(0) = α (0) = 0, α(t) > 0 при t > 0.
Условие 3. Bj (ξ) = 0, j = 1, 2, при всех ξ ∈ Rn−1 .
Введем пространства, в которых будет изучаться задача (1)–(3). Рассмотрим интеграль1 ) может быть записано в виде
ное преобразование Fα , которое на функциях u(t) ∈ C0∞ (R+
d
+∞
dt
dρ
.
u(t) exp iη
Fα [u(t)](η) =
α(t)
0
t α(ρ)
В [3] показано, что для этого преобразования можно построить обратное Fα−1 , которое
−1 [w(η)]
−1 — обратное преоб, где Fη→τ
можно записать в виде Fα−1 [w(η)](t) = √ 1 Fη→τ
τ =φ(t)
α(t)
разование Фурье. В работе [3] для преобразования Fα доказан аналог равенства Парсеваля,
1 ),
что дает возможность рассмотреть это преобразование не только на функциях из L2 (R+
но и на некоторых классах обобщенных функций. Кроме того, из определения преобразования Fα следует, что если u (t) ∈ C s [0, d] и удовлетворяет условиям u (d) = ∂t u (d) = · · · =
j
u] (η) = η j Fα [u] (η) при всех j = 0, 1, 2, . . . , s.
∂ts−1 (d) = 0, то справедливо равенство Fα [Dα,t
Определение. Пространство Hs,α, 2m (Rdn ) (s ≥ 0 — целое число) состоит из тех функций
3
v(x, t) ∈ L2 (Rdn ), для которых конечна норма
vs,α, 2m =
3s
]
[
2m
3
где
3s 2m
2
−1 −1
2
2 12 (s− 2m
l)
F
3
Fα Fx→ξ [∂tl v(x, t)]]L2 (Rn )
ξ→x Fα [(1 + |ξ| + |η| )
d
l=0
— целая часть числа
3s
2m .
−1
) — прямое (обратное) преобразование Фурье.
Здесь Fx→ξ (Fξ→x
1
2
,
52
А.Д. БАЕВ, С.С. БУНЕЕВ
3s
Если s — такое натуральное число, что число 2m
является целым числом, то эта норма
эквивалентна
1
2
τ j l Dx Dα,t ∂t v L (Rn ) .
vs,α, 2m =
3
2
d
|τ |+j+ 2m
l≤s
3
Доказана
m
— целое число, m ≥ 3 и выТеорема 1. Пусть s ≥ max 2m, max(m1 , m2 + 2m
3 )+ 3
полнены условия 1–3. Тогда для любого решения v(x, t) задачи (1)–(3), принадлежащего
пространству Hs,α, 2m (Rdn ) справедлива априорная оценка
3
vs,α,m
2
Bj v|t=0 ≤ c Avs−2m,α,m +
s−m
j=1
j−
2m(j−1)
−m
3
3
,
где постоянная c > 0 не зависит от v.
Соболева–Слободецкого
Hs (Rn−1 ), определенная раЗдесь ·s — норма
−1 в пространстве
s
венством gs = Fξ→x [(1 + |ξ|) Fx→ξ [g(x)]]L2 (Rn−1 ) .
Наряду с уравнением (1) в полосе Rdn рассмотрим уравнение
A(Dx , Dα,t , ∂t )v(x, t) = F (x, t),
где A(Dx , Dα,t , ∂t )v = L2m (Dx , Dα,t )v + b∂t3 v, L2m (Dx , Dα,t ) =
|τ |+j≤2m
комплексные числа, Im ba02m = 0.
На границе t = 0 полосы Rdn задается условие
bτ Dxτ v|t=0 = G(x)
B(Dx )v|t=0 =
(4)
j
aτ j Dxτ Dα,t
,
b, aτ j —
(5)
|τ |≤m1
с комплексными коэффициентами bτ , а на границе t = d — условия
(6)
v|t=d = ∂t v|t=d = · · · = ∂tm−1 v|t=d = 0.
— целое число, m ≥ 3 и выполнены услоТеорема 2. Пусть s ≥ max 2m, m1 + m
3
вия 1–3. Тогда для любого решения v(x, t) задачи (4)–(6), принадлежащего пространству
Hs,α, 2m (Rdn ) справедлива априорная оценка
3
vs,α,m ≤ c Avs−2m,α,m + Bv|t=0 s−m1 − m ,
3
где постоянная c > 0 не зависит от v.
Литература
[1] Вишик М.И., Грушин В.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе
области, Матем. сб. 80 (4) (112), 455–491 (1969).
[2] Вишик М.И., Грушин В.В. Вырождающиеся эллиптические дифференциальные и псевдодифференциальные операторы, УМН 25 (4), 29–56 (1970).
[3] Глушко В.П. Априорные оценки решений краевых задач для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка, Деп. в ВИНИТИ, № 1048-79 (Воронежск. гос. ун-т, 1979).
[4] Левендорский С.З. Краевые задачи в полупространстве для квазиэллиптических псевдодифференциальных операторов, вырождающихся на границе, Матем. сб. 111 (4), (153), 483–501 (1980).
[5] Исхоков С.А. О гладкости решения эллиптического уравнения с нестепенным вырождением, Докл.
РАН 378 (3), 306–309 (2001).
[6] Баев А.Д. Об одной краевой задаче в полосе для вырождающегося эллиптического уравнения высокого
порядка, Вестн. Самарск. ун-та. Сер. естеств. науки. 3 (62), 27–39 (2008).
АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В ПОЛОСЕ
53
[7] Баев А.Д. Об общих краевых задачах в полупространстве для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка, Докл. РАН 422 (6), 727–728 (2008).
А.Д. Баев
профессор, заведующий кафедрой математического анализа,
Воронежский государственный университет,
Университетская пл., д. 1, г. Воронеж, 394006, Россия,
e-mail: alexsandrbaev@mail.ru
С.С. Бунеев
аспирант, кафедра вычислительной математики и информатики,
Елецкий государственный университет,
ул. Коммунаров, д. 28, г. Елец, 399771, Россия,
e-mail: limes88@mail.ru
A.D. Baev and S.S. Buneev
A priori estimates of solutions of boundary value problems in a band for a class of
degenerate elliptic equation of higher order
Abstract. In this paper we consider two boundary value problems in a band for degenerate elliptic
equations of higher order. These equations degenerate on one boundary of a band into the thirdorder equation in one variable. Problems are investigated in weight spaces, similar to weight
Sobolev spaces, which norms are built using a special integral transform. We obtain a priori
estimates in weight spaces of solutions of boundary value problems in a band for higher order
elliptic equations degenerating at one boundary of a band into the third-order equation in one
variable.
Keywords: a priori estimate, degenerate elliptic equation, Sobolev weight spaces.
A.D. Baev
Professor, Head of the Chair of Mathematical Analysis,
Voronezh State University,
1 Universitetskaya sq., Voronezh, 394006 Russia,
e-mail: alexsandrbaev@mail.ru
S.S. Buneev
Postgraduate, Chair of Computational Mathematics and Information Science,
Elets State University,
28 Kommunarov str., Elets, 399771 Russia,
e-mail: limes88@mail.ru
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа