close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Асимптотика решения бисингулярно возмущенного эллиптического уравнения. Случай особой точки на границе

код для вставкиСкачать
Математика и механика. Физика
УДК 517.955.8
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ БИСИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ.
СЛУЧАЙ ОСОБОЙ ТОЧКИ НА ГРАНИЦЕ
Турсунов Дилмурат Абдиллажанович,
канд. физ.мат. наук, доцент кафедры алгебры и геометрии
Ошского государственного университета, Республика Кыргызстан, 714000,
г. Ош, ул. Ленина, 331. Email: d_osh@rambler.ru
При математическом моделировании процессов конвективнодиффузионного переноса, химической кинетики и др. возникают
краевые задачи для уравнений эллиптического типа второго порядка с малым параметром при старших производных. Явное ре
шение этих задач построить в общем случае не удается, поэтому используют разные асимптотические методы. Основополагаю
щими в этом направлении являются работы А.Н. Тихонова, А.Б. Васильевой, С.А. Ломова, В.Б. Бутузова, Л.И. Люстерника,
М.И. Вишика, A.M. Ильина. В случае, когда соответствующее невозмущенное уравнение имеет негладкое решение, эти задачи,
по терминологии A.M. Ильина, называют бисингулярными. Ранее для построения асимптотики бисингулярно возмущенных за
дач применялся метод сращивания, а метод пограничных функций не использовался напрямую. В работе предложена модифи
кация метода пограничных функций, благодаря которой стало возможным построить асимптотику решения бисингулярно воз
мущенного эллиптического уравнения. Целью исследования является развитие асимптотического метода пограничных функций
для бисингулярно возмущенных задач. Применяя обобщенный метод пограничных функций, построено асимптотическое раз
ложение решения бисингулярно возмущенного эллиптического уравнения в случае, когда предельное уравнение имеет особен
ность на граничных точках области. Задача рассматривается в круге.
Ключевые слова:
Асимптотика, бисингулярное возмущение, эллиптическое уравнение, особая точка, задача Дирихле, малый параметр, уравне
ние Эйри, функции Эйри.
Введение
Как нам известно, многие задачи физики, тех!
ники и других наук приводятся к сингулярно воз!
мущенным уравнениям эллиптического типа.
Сингулярно возмущенные уравнения эллиптиче!
ского типа рассматривались многими авторами,
например в работах [1–10] и в цитируемых ими ра!
ботах. Впервые В. Вазов в работе [1] изучил асим!
птотику решения первой краевой задачи для про!
стейшего эллиптического уравнения внутри обла!
сти. Левинсон [2] в двумерном случае исследовал
асимптотику решения задачи Дирихле для общего
эллиптического уравнения второго порядка с ма!
лым параметром ε, вырождающейся при ε=0 в за!
дачу Коши для уравнения первого порядка с регу!
лярным полем характеристик. Им был построен
для этой цели пограничный слой вблизи соответ!
ствующей части границы. Предельный переход в
этой задаче с любым полем характеристик прове!
ден в работе С. Л. Каменомостской [8]. А.М. Ильин
в работе [10] рассматривал различные задачи, в
том числе бисингулярно возмущенные эллиптиче!
ские уравнения. А.М. Ильин, применяя метод сра!
щивания асимптотических разложений, построил
формальные асимптотические разложения (ФАР)
решений и привел их строгие обоснования. В дан!
ной работе для построения полного асимптотиче!
ского разложения мы используем аналог метода
погранфункций [11–13] (обобщение метода по!
гранфункций). Обобщенный метод пограничных
функций ранее применялся для сингулярно возму!
щенных обыкновенных дифференциальных ура!
внений с точками поворота. В работе [11] обобщен!
ным методом пограничных функций построена
асимптотика решения уравнения Лайтхилла пер!
вого порядка. В работе [12] построено асимптоти!
ческое разложение решения сингулярно возму!
щенных обыкновенных дифференциальных ура!
внений второго порядка с одной точкой поворота в
действительной оси. В работе [13] построено равно!
мерное асимптотическое разложение решения
сингулярно возмущенных обыкновенных диффе!
ренциальных уравнений второго порядка с двумя
точками поворота в действительной оси.
Постановка задачи
Рассмотрим задачу Дирихле для бисингулярно
возмущенного эллиптического уравнения
εΔu(x,y)–q(x)u(x,y)=f(x,y),(x,y)∈D={(x,y)| x2+y2<1}, (1)
u|Г =0, Г={(x,y)| x2+y2=1},
(2)
–
где f(x,y)∈С (D) – заданная функция.
I. Рассмотрим случай, когда q(x)=(1–x). В этом
случае уравнение имеет простую точку поворота в
точке (1,0). Для начала рассмотрим структуру вне!
шнего разложения решения задачи (1), (2), кото!
рое будем искать в виде:
(∞)
∞
V = ∑ ε k vk ( x , y ), ε → 0,
(3)
k =0
после подстановки (3) в (1) и приравнивания коэф!
фициентов при одинаковых степенях ε получим
рекуррентную систему уравнений:
–(1–x)~v 0(x,y)=f(x,y),
(1–x)~v k(x,y)=Δv~k–1(x,y), k∈N.
–
Отсюда определяются все ~v k(x,y)∈C(∞)(D\(1,y)):
~v 0(x,y)= –f(x,y)/(1–x),
~v 0(x,y)=Δv~k–1(x,y)/(1–x), k∈N, т. е.
31
Известия Томского политехнического университета. 2014. Т. 324. № 2
V =−
f ( x, y )
ε
F1 ( x, y ) +
+
(1 − x ) (1 − x) 4
εn
Fn ( x, y) + ..., ε → 0,
(1 − x) 3n +1
–
где Fk(x,y)∈С(∞)(D), k∈N.
В граничной точке (1,0) все эти функции v~k (x,y)
имеют нарастающие особенности:
F ( x, y )
v k ( x, y ) = k 3k +1 .
(1 − x )
Построение ФАР решения. Решение задачи (1),
(2) ищем в виде:
u(х,у)=v0(х,у)+π0(η,φ)+w–2(τ,ξ)/μ–2+
+w–1(τ,ξ)/μ–1+w0(τ,ξ)+R(х,у),
(4)
где η=(1–r)/λ, τ=(1–x)/μ2, ξ=y/μ, ε=λ2, ε=μ6,
x=rcosφ, y=rsinφ.
Подставляя (4) в (1) получим:
εΔv0–(1–х)v0+μ2Δτξ(w–2+μw–1+μ2w0)–τ(w–2+μw–1+μ2w0)+
+εΔηφπ0–(1– cos(φ)+ληcos(φ))π0+εΔR–(1–х)R=
+... +
=f(х,у)–H(y)+H(ξμ),
(5)
где
Δ τξ =
Δ ηφ =
2
1 ⎛ ∂2
2 ∂ ⎞
+
,
μ
∂ξ 2 ⎟⎠
μ 4 ⎜⎝ ∂τ 2
∂
∂2 ⎞
1 ⎛ ∂2
λ
λ2
−
+
.
λ 2 ⎜⎝ ∂η2 (1 − λη) ∂η (1 − λη) 2 ∂φ 2 ⎟⎠
Здесь мы ввели новую неизвестную функцию
Н(y), которую определяем ниже.
Из равенства (5) имеем:
–(1–х)v0=f(х,у)–H(y),
Отсюда
v0(x y)=–(f(x,y)–H(y))/(1–x),
и здесь мы –определим функцию Н(y) так, чтобы
v0(x,y)∈C(∞)(D). Пусть H(y)=f(1,y), тогда
∞
v0 ( x, y ) = − ∑ f j ( y )(1 − x ) j −1.
j =1
Из равенства (5) для π0 получим задачу:
∂ 2π 0
− (1 − cos φ )π 0 = 0,
∂η 2
π 0 (0, φ ) = − v0 (1, φ ), lim π 0( η, φ) = 0.
η→∞
Отсюда
π 0 (η, φ ) = − e −
1− cos φ η
v0 (1, φ ).
Для функций w–2(τ,ξ), w–1(τ,ξ), w0(τ,ξ) составим
следующие задачи:
∂ 2 w−2
− τ w−2 = H 0 , lim w−2 (τ , ξ ) = 0,
τ →∞
∂τ 2
(6)
w−2 (0,0) = 0,
∂ 2 w−1
− τ w−1 = ξ H1 , lim w−1 (τ , ξ ) = 0,
τ →∞
∂τ 2
w−1 (0,0) = 0,
32
(7)
∂ 2 w0
− τ w0 = ξ 2 H 0 , lim w−2 (τ , ξ ) = 0,
τ →∞
∂τ 2
w0 (0,0) = − v0 (0,0),
(8)
1 (k )
H (0), k = 0,1,2.
k!
Задачи (6)–(8) имеют следующие решения:
где H k =
τ
⎡
⎤
Ai
(
τ
)
⎢
∫0 Bi( s)ds + ⎥
⎢
⎥
∞
⎢
⎥
w−2 (τ , ξ ) = −π H 0 ⎢ + Bi(τ ) ∫ Ai( s )ds − ⎥ ,
⎢
⎥
τ
⎢
⎥
∞
⎢ − 3 Ai (τ ) Ai ( s )ds ⎥
∫0
⎢
⎥
⎣
⎦
τ
⎡
⎤
⎢ Ai (τ ) ∫ Bi ( s )ds + ⎥
0
⎢
⎥
∞
⎢
⎥
w−1 (τ , ξ ) = −π H1ξ ⎢ + Bi(τ ) ∫ Ai( s )ds − ⎥ ,
⎢
⎥
τ
⎢
⎥
∞
⎢ − 3 Ai (τ ) Ai ( s )ds ⎥
∫0
⎢
⎥
⎣
⎦
τ
⎡
⎤
⎢ Ai (τ ) ∫ Bi ( s )ds + ⎥
0
⎢
⎥
∞
⎢
⎥
w0 (τ , ξ ) = −π H 2ξ 2 ⎢ + Bi (τ ) ∫ Ai ( s )ds − ⎥ −
⎢
⎥
τ
⎢
⎥
∞
⎢ − 3 Ai (τ ) Aivds ⎥
∫0
⎢
⎥
⎣
⎦
Ai (τ )
− v0 (0,0)
.
Ai (0)
Асимптотику решений задачи (6)–(8) при τ→∞
ищем в виде
a (ξ )
a (ξ )
(9)
wk (τ , ξ ) = a0 (ξ ) + 1
+ ... + n n + ...
τ
τ
Подставляя (9) в (6), имеем:
a (ξ )
a (ξ )
wk (τ , ξ ) = a0 (ξ ) + 1
+ ... + n n + ...
τ
τ
Отсюда
a0(ξ)≡0, a1(ξ)=–Н0, a2(ξ)≡0, a3(ξ)≡0, a4(ξ)=2a1(ξ),... .
Следовательно,
H ⎛
1
1
⎞
w−2 (τ , ξ ) = − 0 ⎜ a1 + 3 a4 ... + 3m a3 m +1 + ... ⎟ .
⎠
τ ⎝
τ
τ
Аналогично получим:
Hξ⎛
1
1
⎞
w−1 (τ , ξ ) = − 1 ⎜ a1 + 3 a4 ... + 3m a3 m +1 + ...⎟ ,
⎠
τ ⎝
τ
τ
H 2ξ 2 ⎛
1
1
⎞
⎜ a1 + 3 a4 ... + 3 m a3 m +1 + ...⎟⎠ .
τ ⎝
τ
τ
Оценка остаточного члена R(x,y). Для R(x,y)
получим следующую задачу:
εΔR–(1–х)R=О(μ3), RГ=0.
w0 (τ , ξ ) = −
Математика и механика. Физика
Применяя принцип максимума [14], имеем:
–.
|R |≤сμ в области D
Нами доказана следующая теорема
–), f(1,0)≠0, тогда
Теорема 1. Пусть f (x,y)∈C(∞)(D
для решения задачи (1), (2) справедливо асимпто!
тическое разложение
u(х,у)=v0(х,у)+π0(η,φ)+w–2(τ,ξ)/μ–2+
+w–1(τ,ξ)/μ–1+w0(τ,ξ)+О (μ),
где η=(1–r)/λ, τ=(1–x)/μ2, ξ=y/μ, ε=λ2, ε=μ6,
x=rcosφ, y=rsinφ.
II. Пусть q (x)=(1–x2). В этом случае предель!
ное уравнение имеет особенность в двух гранич!
ных точках (–1,0) и (1,0).
Структура внешнего разложения примет вид:
f ( x, y )
ε
V =−
F1 ( x, y ) +
+
2
(1 − x ) (1 − x 2 ) 4
εn
Fn ( x, y ) + ..., ε → 0,
(1 − x 2 ) 3n +1
–), k∈N.
где Fk(x,y)∈С(∞)(D
Построение ФАР решения. Решение задачи (1),
(2) ищем в виде:
u(х,у)=v0(х,у)+π0(η,φ)+g–2(γ,ξ)/μ–2+
+g–1(γ,ξ)/μ–1+g0(γ,ξ)+w–2(τ,ξ)/μ–2+
+w–1(τ,ξ)/μ–1+w0(τ,ξ)+R(х,у),
(10)
2
2
где η=(1–r)/λ, γ=(1+x)/μ , τ=(1–x)/μ , ξ=y/μ,
ε=λ2, ε=μ6, x=rcosφ, y=rsinφ; g(γ,ξ) – обобщенная
погранфункция в окрестности точки (–1,0), а
w(τ,ξ) – обобщенная погранфункция в окрестности
точки (1,0).
Подставляя (10) в (1), получим:
εΔv0–(1–х2)v0+μ2Δγξ(g–2+μg–1+μ2g0)–t1(g–2+μg–1+μ2g0)+
+μ2Δγξ(w–2+μw–1+μ2w0)–τ(w–1+μw1+μ2w0)+
+εΔγξπ0–(1– cos2(φ)+2ληcos2(φ)–λ2η2cos2(φ))π0+
(11)
+εΔR–(1–х2)R=f(х,у)–H(х,y)+H(х,у).
Как всегда мы здесь ввели новую функцию
Н(х,y), которую определим ниже.
Из равенства (11) имеем:
–(1–х2)v0=f(х,у)–H(х,y).
Тем самым
v0(x,y)=–(f(x,y)–H(х,y))/(1–x2).
Определим неизвестную функцию Н(х,y) так,
–). Пусть
чтобы v0(x,y)∈C(∞)(D
H(y)=(f(1,y)(1+х)+f(–1,y)(1–х))/2,
тогда
v0(x,y)=–(f(x,y)–(f(1,y)(1+х)+f(–1, y)(1–х))/2)/(1–x2).
+... +
Из равенства (11) для π0 получим задачу:
∂ 2π 0
− (1 − cos 2 φ )π 0 = 0,
∂η 2
π 0 (0, φ ) = − v0 (1, φ ), lim π 0( η, φ) = 0,
η→∞
решение которой имеет вид:
π 0 (η, φ ) = − e − sin φ ηv0 (1, φ ).
Для функции w–2(τ,ξ), w–1(τ,ξ), w0(τ,ξ), g–2(γ,ξ),
g–1(γ,ξ), g0(γ,ξ)) составляются аналогичные (6)–(8)
задачи.
При τ→∞, γ→∞, ξ→∞ имеем:
w–2=O(τ–1), w–1=O(ξτ–1), w0=O(ξτ–1),
g–2=O(γ–1), g–1=O(ξγ–1), g0=O(ξ2γ–1).
Оценка остаточного члена R(x,y). Для R(x,y)
получим следующую задачу:
εΔR–(1–х2) R=О(μ3), RГ=0.
Учитывая результат работы [13] и применяя
принцип максимума [14], имеем:
–.
|R |≤сμ в области D
Нами доказана следующая теорема.
Теорема 2. Пусть q(x)=(1–x2), f(1,0)≠0,
f(–1,0)≠0, тогда для решения задачи (1), (2) спра!
ведливо асимптотическое разложение
u(х,у)=v0(х,у)+π0(η,φ)+g–2(γ,ξ)/μ–2+g–1(γ,ξ)/μ–1+
+g0(γ,ξ)+w–2(τ,ξ)/μ–2+w–1(τ,ξ)/μ–1+w0(τ,ξ)+O(μ),
где η=(1–r)/λ, γ=(1+x)/μ2, τ=(1–x)/μ2, ξ=y/μ,
ε=λ2, ε=μ6, x=rcosφ, y=rsinφ, g(γ,ξ), w(τ,ξ) – обоб!
щенные погранфункции, соответственно в окрест!
ности точек (–1,0) и (1,0).
Заключение
Обобщением метода пограничных функций по!
строены асимптотические разложения решения
задачи Дирихле для эллиптических уравнений
второго порядка в круге. Рассмотрены два случая:
1) особенность появляется в одной граничной точ!
ке; 2) особенность появляется на двух граничных
точках. Обобщенный метод пограничных функций
можно применять при построении асимптотичес!
ких разложений решения задачи Дирихле для би!
сингулярно возмущенных эллиптических уравне!
ний. Причем асимптотическое разложение пред!
ставляется в явном виде по дробным степеням ма!
лого параметра ε. Формальное асимптотическое
разложение обосновано применением принципа
максимума.
33
Известия Томского политехнического университета. 2014. Т. 324. № 2
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Wasow W. Asymptotic solution of boundary value problems for
the differential equation ΔU+λ∂U/∂x=λf(x,y) // Duke
Math. J. – 1944. – V. 11. – P. 405–415.
2. Levinson N. The first boundary value problem for
εΔu+Aux+Buy+Cu=D for small ε // Ann. of Math. – 1950. –
V. 51. – P. 428–445.
3. Eckhaus W., De Jager E.M. Asymptotic solutions of singular per!
turbation problems for linear differential equations of elliptic ty!
pe // Arch. Rat. Mech. Anal. – 1966. – V. 23. – № 1. – P. 26–86.
4. Eckhaus W. Boundary Layers in Linear Elliptic Singular Perturba!
tion Problems // SIAM Review. – 1972. – V. 14. – № 2. – P. 225–270.
5. De Jager E.M. Singular elliptic perturbations of vanishing first
order differential operators // Lecture Notes in Math. – 1972. –
№ 280. – P. 73–86.
6. De Groen P.P.N. Turning points in second order elliptic singular
perturbation problems // Lecture Notes in Math. – 1972. –
№ 280. – P. 273–278.
7. Shagi!di Shih, Кellogg R.B. Asymptotic analysis of a singular
perturbation problem // SIAM J. Math. Anal. – 1987. – V. 18. –
№ 5. – P. 1467–1511.
8. Каменомостская С.Л. Об уравнениях эллиптического и парабо!
лического типа с малым параметром при старших производ!
ных // Мат. сб. – 1952. – № 31 (73):3. – C. 703–708.
9. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и по!
граничный слой для линейных дифференциальных уравнений
с малым параметром // УМН – 1957. – № 12:5 (77). – C. 3–122.
10. Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений крае!
вых задач. – М.: Наука, 1989. – 334 с.
11. Alymkulov K. Analog of Method of Boundary Layer Function for
the Solution of the Lighthill’s Model Equation with the regular
Singular Point // American J. Math. & Statistics. – 2013. –
V. 3. – № 1. – P. 53–61.
12. Алымкулов К., Асылбеков Т.Д., Долбеева С.Ф. Обобщение мето!
да погранфункций для решения краевой задачи для бисингу!
лярно возмущенного дифференциального уравнения второго по!
рядка // Матем. Заметки. – 2013. – Т. 94. – Вып. 3. – С. 483–487.
13. Турсунов Д.А. Асимптотическое разложение решения сингу!
лярно возмущенного дифференциального уравнения второго
порядка с двумя точками поворота // Вестник Томского госу!
дарственного университета. Математика и механика. – 2013. –
№ 1 (21). – С. 34–40.
14. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные
уравнения с частными производными второго порядка. – М.:
Наука, 1989. – 464 с.
Поступила 12.07.2013 г.
UDC 517.955.8
ASYMPTOTIC SOLUTIONS OF THE BISINGULAR PERTURBED ELLIPTIC EQUATION.
CASE OF A SINGULAR POINT ON THE BOUNDARY
Dilmurat A. Tursunov,
Cand. Sc., Osh State University, Kyrgyz Republic, 714000,
Osh, Lenin street, 331. Email: d_osh@rambler.ru
For mathematical modeling the convectivediffusive transport, chemical kinetics the boundary value problems occur for elliptic equations
of the second order with a small parameter in the highest derivatives. The explicit solution of these problems can be constructed in a ge
neral case using different asymptotic methods. The fundamental work in this direction was done by A.N. Tikhonov, A.B. Vasilyeva,
S.A. Lomov, V.B. Butuzov, L.I. Lyustemik, M.I. Vishik, A.M. Ilin. When the corresponding unperturbed equation has a smooth solution
these problems are called bisingular in A.M. Ilin terminology. The method of matching was applied before to construct the asymptotic
of bisingularly perturbed problems, but the method of boundary functions was not used directly. The author has proposed to modify the
method of boundary functions that makes possible the construction of the asymptotic solutions of bisingularly perturbed elliptic equa
tion. The aim of the study is to develop the asymptotic method of boundary functions for bisingularly perturbed equations. Applying the
generalized method of boundary functions, the author constructed the asymptotic expansion of the solution for bisingularly perturbed
elliptic equation in the case when the limit equation has a singularity at the boundary points of the region. The problem is considered in
the circle.
Key words:
Asymptotics, bisingular perturbation, elliptic equation, singular point, Dirichlet problem, small parameter, Airy equation, Airy functions.
REFERENCES
1. Wasow W. Asymptotic solution of boundary value problems for
the differential equationΔU+λ∂U/∂x=λf(x,y). Duke Math. J.,
1944, vol. 11, pp. 405–415.
2. Levinson N. The first boundary value problem for
εΔu+Aux+Buy+Cu=D for small ε. Ann. of Math., 1950, vol. 51,
pp. 428–445.
3. Eckhaus W., De Jager E.M. Asymptotic solutions of singular per!
turbation problems for linear differential equations of elliptic ty!
pe. Arch. Rat. Mech. Anal., 1966, vol. 23, no. 1, pp. 26–86.
34
4. Eckhaus W. Boundary Layers in Linear Elliptic Singular Perturba!
tion Problems. SIAM Review, 1972, vol. 14, no. 2, pp. 225–270.
5. De Jager E.M. Singular elliptic perturbations of vanishing first
order differential operators. Lecture Notes in Math., 1972,
no. 280, pp. 73–86.
6. De Groen P.P.N. Turning points in second order elliptic singular
perturbation problems. Lecture Notes in Math., 1972, no. 280,
pp. 273–278.
7. Shagi!di Shih, Кellogg R.B. Asymptotic analysis of a singular
perturbation problem. SIAM J. Math. Anal., 1987, vol. 18, no. 5,
pp. 1467–1511.
Математика и механика. Физика
8. Kamenomostskaya S.L. Ob uravneniyakh ellipticheskogo i parabo!
licheskogo tipa s malym parametrom pri starshikh proizvodnykh [On
equations of elliptic and parabolic type with a small parameter in the
highest derivatives]. Mat. sb., 1952, no. 31 (73): 3, pp. 703–708.
9. Vishik M.I., Lyusternik L.A. Regulyarnoe vyrozhdenie i pogra!
nichny sloy dlya lineynykh differentsialnykh uravneniy s malym
parametrom [Regular degeneration and boundary layer for linear
differential equations with a small parameter]. UMN (Successes
of Mathematical Sciences), 1957, no. 12:5 (77), pp. 3–122.
10. Ilin A.M. Soglasovanie asimptoticheskikh razlozheniy kraevykh
zadach [Matching of asymptotic expansions of boundary value
problems]. Moscow, Nauka, 1989. 334 p.
11. Alymkulov K. Analog of Method of Boundary Layer Function for
the Solution of the Lighthill’s Model Equation with the regular
Singular Point. American J. Math. & Statistics, 2013, vol. 3,
no. 1, pp. 53–61.
12. Alymkulov K., Asylbekov T.D., Dolbeeva S.F. Obobshchenie metoda
pogranfunktsiy dlya resheniya kraevoy zadachi dlya bisingulyarno
vozmushchennogo differentsialnogo uravneniya vtorogo poryadka
[Generalization of the boundary functions for solving boundary value
problem for Bisingular perturbed second order differential equation].
Matem. Zametki (Mat. Notes), 2013, vol. 94, no. 3, pp. 483–487.
13. Tursunov D.A. Asimptoticheskoe razlozhenie resheniya singulyarno
vozmushchennogo differentsialnogo uravneniya vtorogo poryadka s
dvumya tochkami povorota [Asymptotic expansion of the solution of
a singularly perturbed second order differential equation with two
turning points]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta.
Matematika i mekhanika (Bulletin of the Tomsk State University.
Mathematics and mechanics), 2013, no. 1 (21), pp. 34–40.
14. Gilbarg D., Trudinger N. Ellipticheskie differentsialnye uravneni
ya s chastnymi proizvodnymi vtorogo poryadka [Elliptic partial dif!
ferential equations of second order]. Moscow, Nauka, 1989. 464 p.
УДК 514.757.2
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ РАНГА r АФФИННОГО Qm
И ПРОЕКТИВНОГО Pn ПРОСТРАНСТВ
Аль^Хассани Мудхар Аббас,
преподаватель кафедры математики Университета Басры, Ирак;
аспирант кафедры высшей математики Физикотехническсго института ТПУ
Россия, 634050, г. Томск, пр. Ленина, д. 30. Email: mudhar73@mail.ru
Лучинин Анатолий Алексеевич,
канд. физ.мат. наук, доцент, доцент кафедры высшей математики
Физикотехнического института ТПУ,
Россия, 634050, г. Томск, пр. Ленина, д. 30. Email: luchinin@tpu.ru
Актуальность работы вызвана необходимостью дополнительного изучения специального отображения V m,r n ранга r<min (m, n)
аффинного Qm и проективного Pn пространств.
Цель работы. В предыдущих работах были рассмотрены отображения Vm, n, когда r<min (m, n) в случаях m=n, m<n, m>n. В дан
ной работе рассматривается дифференцируемое отображение V m,r n ранга r<min (m, n) аффинного пространства Qm и проектив
ного пространства Pn.
Методы исследования. Основными методами исследования являются метод внешних форм Картана в локальной дифферен
циальной геометрии и теоретикогрупповой метод Г.Ф. Лаптева. Эти методы предполагают локальное изучение рассматривае
мого объекта и использование функций класса C∝.
Результаты. Рассмотрено регулярное отображение ранга r аффинного и проективного пространств. Дана геометрическая харак
теристика этого отображения. С отображением V m,r n инвариантно ассоциируется отображение mмерного пространства в много
образие невырожденных нульпар. Доказано (геометрически и методом Кэлера) существование данного отображения. Изуче
на аналитически и геометрически структура внутреннего фундаментального геометрического объекта.
Ключевые слова:
Дифференцируемые отображения, многомерные пространства и поверхности, геометрические объекты.
1. Аналитический аппарат
1.1. Как и в [1–3] рассматривается m!мерное
аффинное пространство Qm и n!мерное эквипроек!
тивное пространство Pn, отнесенные к подвижному
аффинному реперу Q и подвижному эквипроектив!
ному реперу P с соответствующими деривацион!
ными формулами и структурными уравнениями:
Qm : Q = {B , εa }, dB = Θ a εa , d εa = Θab εb ,
DΘ a = Θb ΛΘab , DΘba = Θca ΛΘbc , ( a, b, c = 1, m); (1)
Pn : P = { AI }, dAI = ω IJ AJ , DωIJ = ωIK ∧ ωKJ ,
ω KK = 0, ( I , J , K = 0, n).
(2)
Предполагается, что между пространствами су!
ществует дифференцируемое отображение
Vm ,n : Qm → Pn .
(3)
Дифференциальные уравнения этого отображе!
ния с учетом (1) и (2) запишутся в виде
(4)
ω 0i = Aai Θa , (i , j , k = 1, n ).
35
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
151 Кб
Теги
граница, бисингулярно, решение, уравнения, точка, эллиптического, возмущенного, асимптотики, особо, случай
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа