close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Асимптотика функции объема множества меньших значений полинома в rn.

код для вставкиСкачать
2000
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 6 (457)
УДК 517.551
А.В. ПУТИЛИНА
АСИМПТОТИКА ФУНКЦИИ ОБЪЕМА МНОЖЕСТВА
МЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ ПОЛИНОМА В
Rn
Введение
Исследуется функция V = V (), выражающая объем множества
= fx 2 Rn : f (x) < g;
в котором значения заданного полинома f меньше . Основной результат гласит, что для эллиптического полинома f функция V () разлагается в ряд Лорана{Пюизо, сходящийся для достаточно больших , а коэффициент при главном члене ряда, определяющий асимптотику функции
объема на бесконечности, выражается интегралом по пространству Rn от рациональной функции. Показано, что в общем случае (при отсутствии свойства эллиптичности) для вычисления
функции объема, кроме процедуры интегрирования, требуется дополнительная операция предельного перехода. Приведены примеры вычисления объемов фигур .
1. Общие формулы
Речь идет о формулах для вычисления объемов фигур вида
= fx 2 Rn : f (x) < g
в пространстве Rn , где f (x) = f (x1 ; : : : ; xn ) | многочлен от n переменных с вещественными
коэффициентами. Будем предполагать, что степень f четная и f (x) > 0 в Rn . В этом случае для
объема имеем
V () =
Z
f (x)<
dx =
Z
0<f (x)<
dx1 ^ ^ dxn:
(1)
По теореме Фубини интеграл (1) можно свести к повторному, в котором сначала интегрируем
вдоль гиперповерхностей уровня ff (x) = tg, а затем по оставшейся переменной t. Для этого
вначале воспользуемся очевидным равенством
Z
0<f (x)<
dx1 ^ dx2 ^ dxn =
Z
0<f (x)<
dx1 ^ ^ dxn;1 ^ fx0 n dxn :
fx0 n
Кроме того, заметим, что
dx1 ^ ^ dxn;1 ^ fx0 n dxn = dx1 ^ ^ dxn;1 ^ df:
Теперь сделаем замену переменных x1 = x1 ; : : : ; xn;1 = xn;1 , f (x) = t, в результате которой
получаем dx = fdxxn ^ dt, где x0 = (x1 ; : : : ; xn;1 ), а dx0 = dx1 ^ ^ dxn;1 . Форма dx0 =fx0 n называется
0
0
16
формой Гельфанда-Лере
V ( ) =
и обозначается dx=df ([1], с. 146). Таким образом, имеем
Z
0<f (x)<
dx1 ^ dx2 ^ dxn =
Z
0<f (x)<
dx0 ^ df = Z dt Z dx :
fx0 n
df
0
f (x)=t
(2)
Обозначив через '(t) внутренний интеграл в (2), получим следующую лемму.
Лемма 1. Объем множества
R
f (x)=t
dx .
df
выражается формулой
V ( ) =
R
0
'(t)dt,
где
'(t) =
Заметим, что dx=df = res(dx=(f ; t)), где res | операция взятия формы-вычета Лере. В
работах [2], [3] была доказана формула
Z
1 ;I + (t) ; I ; (t);
res f dx
=
; t 2i
f (x)=t
где t { некритическое значение полинома f степени 2q > n, а
I (t) = "lim
!0
Z
Rn
dx
f (x) ; t i" :
По теореме Сарда почти все значения t некритические для f , поэтому из леммы 1 следует
Лемма 2. Объем множества выражается формулой
Z
Z
Z
dx
dx
V ( ) = 21i "lim
;
dt:
!0
f
(
x
)
;
t
;
i"
f
(
x
)
;
t
+
i"
0
Rn
Rn
2. Случай однородного эллиптического полинома
Будем рассматривать случай, когда f | однородный эллиптический многочлен степени 2q
и = R2q , где R | новый параметр.
Однородность означает f (x) = 2q f (x), а эллиптичность | f (x) = 0 лишь при x = 0.
Напомним, что предполагаем f (x) > 0 для всех x 2 Rn .
Теорема 1. Если f | однородный эллиптический многочлен степени 2q > n, то
V (R2q ) = kRn;
(3)
где
Z
2
q
n
k = n sin 1 ; 2q f (xdx
) + 1:
Rn
Доказательство.
Ввиду однородности полинома f аналитический элемент
(4)
I (t) = f (xdx) + t ;
Rn
заданный
в окрестности точки t = 1 своим значением I (1), определяет многозначную функцию
I (1)t nq ;1 [2]. Поэтому для
Z
dx
I (t) = "lim
!0 f (x) ; t i"
Z
2
Rn
17
справедливо равенство
I
t) ; I ;(t) = t 2nq ;1(I + (1) ; I ;(1)) = t 2nq ;1 2i sin
+(
Z
n
dx =
1 ; 2q
f (x) + 1
Rn
Z
n
dx :
= 2i sin 1 ; 2q
f (x) + t
Rn
Тогда согласно (1) и лемме 1 имеем
Z
1 sin 1 ; n Z dx Z t 2nq ;1 dt = k 2pq tn = k 2pq n :
=
dx = dt
res f dx
;
t
2
q
f
(
x
)
+
1
0
n
0
0
R
0<f (x)<
f (x)=t
Z
Z
Учитывая, что = R2q , придем к формуле (3), где коэффициент k вычисляется по формуле (4).
Таким образом, для вычисления объема (1) в случае однородного эллиптического многочлена f достаточно вычислить константу k по формуле (4), которая представляется интегралом по
всему пространству Rn .
3. Случай общего эллиптического полинома
Напомним, что полином f (x) называется эллиптическим, если его старшая однородная составляющая Q(x) обращается в нуль лишь при x = 0.
Теорема 2. Пусть f (x) = P (x)+ Q(x) | эллиптический многочлен, где Q(x) | неотрицательный однородный многочлен старшей степени 2q , а P (x) | многочлен, степень которого
меньше 2q . Тогда
V (R2q ) = kRn + o (Rn );
где
Z
2
q
n
dx ;
k = n sin 1 ; 2q
Q(x) + 1
Rn
(5)
o (Rn) представляет собой ряд Лорана, сходящийся при достаточно больших R.
2q
Замечание. Объем V ( ), где = R , как функция параметра разлагается при достаточно больших в ряд Лорана{Пюизо по дробным степеням 2kq .
Доказательство. Представим f (x) суммой однородных многочленов
f (x) = P0 + P1 (x) + + P2q (x);
где P2q (x) = Q(x). Согласно (1) доказательство сводится к вычислению интеграла
а величина
Z
dx:
P0 +P1 (x)++P2q (x)<R2q
Для этого воспользуемся сферической заменой координат, положив x = x(r; ') = x(r; '1 ; :::; 'n;1 ),
или покоординатно
xj = rj ('1 ; : : : ; 'n;1 ); j = 1; : : : ; n;
(6)
где j | многочлен от тригонометрических функций (тригонометрический многочлен), r > 0,
а 0 6 '1 6 ; : : : ; 0 6 'n;2 6 , 0 6 'n;1 6 2 ([4], c. 401).
18
Обозначим через D = [0; ] [0; ] [0; 2] область изменения угловых параметров. В
результате такой замены переменных f перейдет в
f (x(r; ')) = P0 + rPe1 (') + r2 Pe2 (') + + r2q Pe2q (');
где Pej (') | тригонометрические многочлены.
Заметим, что в силу эллиптичности рассматриваемого полинома Pe2q (') 6= 0 при любом ' 2 D,
а т. к. D | компакт и Pe2q (') | непрерывная функция, то Pe2q (') > c > 0.
Для исследования решения r = r(R; ') уравнения f (x(r; ')) = R2q будем пользоваться диаграммой Ньютона, позволяющей алгебраическую функцию, определенную уравнением
f (z; w) = a0(z) + a1 (z)w + + an (z)wn = 0;
где коэффициенты
ak (z) = ck0 zk + ck1 zk + q1 + (ck0 6= 0; q 2 N );
разлагать в сходящийся ряд по степеням z : z + 0 z + ([5], с. 235). Диаграмма Ньютона
приспособлена для отыскания малых значений решения вблизи малых значений аргумента.
Поэтому обозначим u = 1r , v = R1 . В результате указанное уравнение запишется в виде
0
P0 v2q u2q + Pe1 (')v2q u2q;1 + + Pe2q (')v2q ; u2q = 0:
(7)
Согласно общей теории диаграммы Ньютона решения u(v; ') последнего уравнения можно представить рядами по дробным степеням v, коэффициенты которых будут функциями от '. Однако
в нашем случае все решения вблизи v = 0 будут аналитическими по v, среди которых нас интересуют положительные решения при v > 0. Для уравнения (7) диаграмма Ньютона имеет лишь
одно ребро (см. рис. 1).
Рис. 1.
Следовательно, первый член разложения u(v; ') в ряд по степеням v имеет вид k1 (')v, где k1 (')
является действительным корнем уравнения
Pe2q (') ; k2q (') = 0:
;
1
Таким образом, k1 (') = Pe2q (') 2q | арифметическое значение корня.
Для получения следующего члена разложения произведем подстановку u(v; ') = k1 (')v +
u1 (v; ') в (7), после чего получим уравнение относительно переменных u1 и v
P0 v2q (k1 v + u1 )2q + Pe1 (')v2q (k1 v + u1 )2q;1 + + Pe2q (')v2q ; (k1 v + u1 )2q = 0;
которое может быть записано в виде
F (u1 ; v) + Pe2q (')v2q ; (k1 v + u1)2q = 0;
19
причем F представляет собой многочлен, имеющий суммарную степень по u1 и v, большую 2q.
Поскольку k12q = Pe2q ('), то получаем
Pe2q v2q ; (k1 v + u1)2q = ;l0 u21q ; l1 k1 vu21q;1 ; ; l2q;1 (k1 v)2q;1 u1 ;
где lj = C22qq;j | биномиальные коэффициенты. Заметим, что коэффициент при v2q;1 u1 , равный
;k12q;1 l2q;1, отличен от нуля, поэтому диаграмма Ньютона второго шага будет иметь два звена,
одно из которых наклонено под углом 450 и потому не вносит решений. Другое же звено (см.
рис. 2) дает всего одно решение, причем неразветвленное, т. е. аналитическое.
Рис. 2.
;
Второй член в разложении u будет k2 (')v2 , где k2 (') = Pe2q;1 (')= 2qk12q;2 (') . Таким образом,
u(v; ') = k1 (')v + k2 (')v2 + u2 (v; '):
Продолжая этот процесс, получим, что u разлагается по целым степеням v. А именно, исходя из
общей теории, для получения каждого следующего члена разложения будем иметь уравнение
a0(v) + a1 (v)ui + + a2q;1 (v)u2i q;1 + a2q (v)u2i q = 0;
в котором
a0(v) = c00 vp + c01 vp1 + : : : при 2q < p < p1 < ;
ak (v) = ck0 vt + ck1 vt1 + : : : при 2q ; k = t < t1 < Отсюда, возвращаясь к переменным r, R, получаем
1 = k (') 1 + k (') 1 + r 1 R 2 R2
Теперь уже легко видеть, что r = r(R; ') допускает разложение вида
r(R; ') = b1(')R + b0 (') + b;1R(') + b;R2 (2') + b;R3 (3') + ;
1
сходящееся при достаточно больших R, причем b1 (') = 1= Pe2q (') 2q .
Возвращаясь к (1), будем иметь
V (R2q ) =
Z Z
0 0
Z2
J (')d'
0
20
r(ZR;')
0
rn;1 dr;
причем J (') = sinn;2 '1 sinn;3 '2 sin 'n;2 , а J (')rn;1 | якобиан полярного преобразования (6). Внутренний интеграл по r равен
1 rn r(R;') = 1 b (')R + b (') + b;1 (') + n :
Поэтому
n
n
0
1
R
0
V (R2q ) = mn (')Rn + mn;1 (')Rn;1 + mn;2(')Rn;2 + ;
(8)
где mn;j | интеграл по ' 2 D выражений, полиномиально зависящих от b1 ('); b0 ('); b;1 ('); : : : ;
b;j+1 ('). В частности,
Z
Z
mn (') = n1
Теперь осталось заметить, что интеграл
0 0
Z
Rn
Z2
J (')bn1 (')d':
0
dx
Q(x) + 1
с помощью сферической замены координат представляется в виде
Z Z
0 0
;
Z2
Z1
n;1
J (') r2q Qr(x(r;dr'd'
;
))
+
1
0
0
1
и поскольку b1 (') = 1= Pe2q (') 2q , легко видеть, что коэффициент при Rn в разложении (8)
равен k = m0 (') в форме (5).
4. Примеры вычислений объемов фигур
в R n
Рассмотрим фигуру в Rn , ограниченную поверхностью
fx 2 Rn : f (x) = R2q g;
где f (x) = x21q + x22q + + x2nq . Согласно формуле (4)
Z
2
q
n
dx
k = n sin 1 ; 2q
:
2q
2q
2q
x
+
x
+
x
+
1
n
1
2
n
R
n
1
;
Последний интеграл равен q1n B 2nq ; 1 ; 2nq [;(;(22qnq))] ([6], c. 9), где ; и B | гамма- и бета-функции
Эйлера. Тогда
in
h
1)
;(
k = nq2n;1 ;(2qn ) :
2q
Cледовательно, по формуле (3)
h
i
1) n
;(
2
2
q
V (f (x) < R2q ) = nqn;1 ;( n ) Rn:
2q
2
Пример 2. Найдем площадь фигуры в R , ограниченной кривой, которая задается уравнением x4 + x2 y2 + y4 = R4 . Для этого случая коэффициент k в (4) (при n = q = 2) выражается
R
R
dy
1
p1;kd2 sin2 | эллиптический интеграл
интегралом k = 2 x4 +xdx
2 y 2 +y 4 +1 = F (; 2 ), где F ( ; k ) =
2
0
R
первого рода (см. равенство 3.138.7 из [7]). Тогда по формуле (3)
V (f (x) < R4 ) = F (; 12 )R4 :
Пример 1.
21
Рассмотрим фигуры 0 и 00 на плоскости, ограниченные кривыми x4 + y4 + x2 =
R и x y ; x = R4 соответственно.
; 1 2
;( )
0
00
Согласно теореме 3 главный член асимптотики для V ( ), V ( ) будет 2p4 R2 , и тогда
4
Пример 3.
4+ 4
2
;
;
1 2
;(p14 ) 2 2
2 ); V (00 ) = ;(p4 ) R2 + o (R2 ):
R
+
o
(
R
2 2 Этот результат можно получить, непосредственно вычислив интегралы
V (0 ) =
ZZ
I1 =
dx dy; I2 =
x y x <R
V (00). Используем
V (0),
4+ 4+ 2
ZZ
4
dx dy;
x y ;x <R
4+ 4
2
4
равные соответственно
при этом обобщенную полярную замену коp
p
интеграл I1 можно представить в
ординат x = r cos ', y = r sin ', где 0 6 ' 6 2 . Тогда
r
виде повторного интеграла 2
дем иметь
=
R2
0
RA
pcosd'
' sin ' r dr ,
0
где A =
=2
pcos
2
'+4R4 ;cos '
2
. Таким образом, бу-
=2s
Z
cos 'd' + 1 Z cos2 ' + 4R4 d':
I1 = ; 12 pcos
cos ' sin '
' sin ' 2 0
0
Первый интеграл в этой сумме равен ; 2p 2 . Второе слагаемое можно представить следующим
образом, полагая cos ' = t,
2 Z
p 2Z
R
t
+
1
2
;
3
=
4
p (1 ; t )
1 + 8R4 dt = 2R (1 ; t2 );3=4 dt +
1
1
r
2 ;1
0
Z1
1
Z
+ 21 p (t + 1)(1 ; t2 );3=4 dt ; 2 61 p (t + 1)2 (1 ; t2 );3=4 dt + +
8R 2 2 ;1
8 R 8 2 ;1
1
n;1 (2n ; 3)!! Z
(
;
1)
+ p 4n;2
(t + 1)n (1 ; t2 );3=4 dt + 2R (2n)!!8n ;1
для всех
t 2 (;8R4 ; 1; 8R4 ; 1). Заметим, что коэффициент при R2 в точности равен
2 sin R dx dy . Возвращаясь к первоначальному интегралу, получим
2 n x4 +y4 +1
R
V (0 ) = R2
;
p
1
;(p14 ) 2 2
1 p Z (t + 1)(1 ; t2 );3=4 dt +
;
+
2 4
8R2 2 2 ;1
+
1
X
(;1)n;1
n=2
Проводя аналогичные вычисления для интеграла I2 , будем иметь
V (00) =
1
2
=2
Z
0
cos 'd' + 1
pcos
' sin ' 2
0 , 00
=2s
Z
0
1
(2n ; 3)!! p Z (t + 1)n (1 ; t2 );3=4 dt:
R4n;2 (2n)!!8n 2 ;1
p
cos2 ' + 4R4 d' = V (0 ) + 2 :
cos ' sin '
2
Итак, площади фигур
отличны от площади фигуры 1 , рассмотренной в примере 1 при
q = 2 и n = 2, на бесконечно малую величину относительно R при достаточно больших R, а
сами объемы V (0 ) и V (00 ) отличаются на постоянную.
22
В заключениe автор выражает благодарность рецензенту за рекомендации по устранению
некоторых неточностей.
Литература
1. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. (Монодромия и асимптотики интегралов.) { М.: Наука, 1989. { 335 c.
2. Цих А.К. Интегралы рациональных функций по пространству Rn // ДАН СССР. { 1989. {
Т. 307. { Є 6. { С. 1325-1329.
3. Ермолаева Т.О., Цих А.К. Интегрирование рациональных функций по Rn с помощью торических компактификаций и многомерных вычетов // Матем. сб. { 1996. { Т. 187. { Є 9. {
С. 45{64.
4. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. { 3-e изд. { Т. 3. {
М.: Физматгиз, 1960. { 656 c.
5. Чеботарев Н.Г. Теория алгебраических функций. { М.{Л.: ГИТТЛ, 1948. { 369 c.
6. Алякринский А.А., Цих А.К. Интегрирование некоторых рациональных функций по Rn //
Комплексн. анализ и дифференц. уравнения. { Красноярск, 1996. { С. 3{15.
7. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. { 4-e изд.
{ М.: Наука, 1962. { 1100 c.
Красноярский государственный
Поступила
05.11.1998
университет
23
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
177 Кб
Теги
полином, меньших, множества, функции, объем, асимптотики, значение
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа