close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Асимптотические оценки линейных функционалов для ограниченных функций не принимающих нулевого значения.

код для вставкиСкачать
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 11 (486)
2002
УДК 517.546
С.В. РОМАНОВА
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ
ДЛЯ ОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ,
НЕ ПРИНИМАЮЩИХ НУЛЕВОГО ЗНАЧЕНИЯ
Введение
Пусть B | класс всех функций f (z ) = a0 + a1 z + , аналитических в единичном круге
D = fz : jz j < 1g и удовлетворяющих в D условиям 0 < jf (z)j 1.
Кшиж [1] высказал гипотезу, что для любых n 1 sup jan j = 2=e с экстремальными функf 2B
циями F (kz n ), jj = jkj = 1, где F (z ) = exp[(z ; 1)=(z + 1)]. Эта гипотеза была доказана для
n = 1; 4. Проблема оценки коэффициентов в классе B обсуждалась во многих работах (см. напр., [1]{[4]). В [3] были получены асимптотические оценки для jan j при ja0 j, близкиe к 0 или 1. В
данной статье получены асимптотические оценки линейных непрерывных функционалов вида
L(f ) = Re(an + n;1an;1 + n;2an;2 + + 1 a1 ), 1 ; : : : ; n;1 2 C .
Обозначим через B (t) класс функций f 2 B , для которых a0 = e;t , t > 0 и Ft (z ) =
1
P
exp[;t(1 ; z )=(1 + z ) = An (t)z n .
n=0
Сформулируем основные результаты.
Теорема 1. Для всякого n 1 найдется t0 > 0 такое, что max jan j = A1 (t) 8t 2 [0; t0 ].
f 2B (t)
(a) Для всякого n 1 найдется t0 > 0 такое, что экстремальная функция для
функционала L(f ) будет отличной от функции Ft (z n ) 8t 2 [0; t0 ];
(b) для всякого n 1 найдется t1 > 0 такое, что экстремальными функциями для функционала L(f ) будут вращения функции Ft (z ) 8t t1 .
Следствие. Для всякого n 1 найдется t1 > 0 такое, что max jan j = An (t) 8t t1 .
f 2B (t)
Теорема 2.
1. Предварительные результаты
В [2] показано, что любую функцию f 2 B (t ), t > 0, можно представить в виде f (z ) =
f (z; t ), где f (z; t) является интегралом дифференциального уравнения типа Левнера
@f (z; t) = ;f (z; t)(1 + e;iu t z )=(1 ; e;iu t z); 0 t t ; z 2 D; f (z; 0) = 1;
(1)
@t
u(t) | вещественнозначная, непрерывная на [0; t ] функция, называемая управлением.
0
0
0
( )
( )
0
0
Наряду с этим уравнением понадобится обобщенное дифференциальное уравнение типа Левнера, представляющее класс B (t0 )
m
@f (z; t) = ;f (z; t) X
[(1 + e;iuk (t) z)=(1 ; e;iuk (t) z)];
(2)
@t
0; : : : ; m 0,
1
m
P
k=1
k=1
k
k = 1, uk (t) | вещественнозначные непрерывные управления.
83
Пусть f (z; t) имеет разложение f (z; t) = a0 (t) + a1 (t)z + и является решением дифференциального уравнения (1). Введем вектор a = a(t) = (a1 ; : : : ; an )T . Из уравнения (1) получаем
систему дифференциальных уравнений для вектора a(t)
a_ 0 = ;a0 (t); a0 (0) = 1;
(3)
a_ k = ;ak (t) ; 2ak;1 (t)e;iu(t) ; ; 2a0 (t)e;iku(t) = Gk (t; a; u); ak (0) = 0; k = 1; : : : ; n:
Из первого уравнения системы (3) следует a0 =e;t . Положим G(t; a; u)=(G1 (t; a; u); :::; Gn (t; a; u))T ,
a(0) = a0 = 0.
Для нахождения области значений функционала L(f ) в классе B (t) используем принцип
максимума Понтрягина ([5], с. 25{26). Введем множители Лагранжа k , k = 1; : : : ; n, которые
образуют сопряженный комплекснозначный n-мерный вектор = ( 1 ; 2 ; : : : ; n )T . Запишем
n
P
функцию Гамильтона в комплексной форме H (t; a; ; u) = Re(G(t; a; u) ) = Re Gk (t; a; u) k .
k=1
Для произвольного фиксированного управления u и для соответствующего фазового
вектора a
; @G(t;a;u) T
d
функция должна удовлетворять сопряженной гамильтоновой системе dt = ; @a
, где
@G(t;a;u) | якобиева матрица.
@a
Обозначим через U (t; a; ) множество abs umax H (t; a; ; u) точек абсолютного максимума
функции Гамильтона. Для нахождения множества значений функционала L(f ) достаточно исследовать семейство гамильтоновых систем
m
da = X
dt k k G(t; a; uk ); a(0) = a ;
m @G(t; a; u ) T
d = ;X
k
k
; (0) = ;
dt
@a
k
0
=1
(4)
=1
где m n, = (1 ; : : : ; m ) | произвольный постоянный вектор с неотрицательными координаm
P
тами, k = 1, uk 2 U (t; a; ), 0 u1 < < um < 2. Вектор начальных данных сопряженной
k=1
системы = (1 ; : : : ; n ) считаем произвольным.
Можно показать, используя ([6], с. 124{126), что справедлива
Лемма. Максимум функционала L(f ) в классе B (t) достигается на таких функциях, которые представимы интегралами обобщенного дифференциального уравнения (2) с постоянными
управлениями.
Если 0 t T , то сопряженный вектор (t) удовлетворяет условию трансверсальности на
правом конце T : (T ) = (0; : : : ; 0; 1).
2. Схема доказательств теорем 1 и 2
1. Используя условия трансверсальности, положим = 0 + o(1), где 0 = (0; : : : ; 0; 1). Функция Гамильтона будет иметь точки максимума uk = u0k + o(1), 1 k m, m n, где u01 = =n,
u02 = 3=n; : : : , u0n = (2n ;
1)=n.
m
P
Обозначим Cp () = k e;ipuk . Перепишем систему (4) в виде
k=1
a_ = ;a ; 2e;t C (); a (0) = 0;
::::::::::::
a_ n = ;an ; 2an; C () ; ; 2a Cn; () ; 2e;t Cn (); an(0) = 0:
1
1
1
1
1
1
1
1
Интегрирование системы (5) приводит к формуле
an = ;2te;tCn () + 2t2 e;t n () + t2Bn (; t)e;t ; n > 1;
84
(5)
(6)
где n () = C1 ()Cn;1 ()+ C2 ()Cn;2 ()+ + Cn;1()C1 (), Bn (; t) | многочлен вида b1 ()t +
b2()t2 + + bn;2()tn;2 . Легко показать, что n() = eio(1) n (), n () 0.
Теперь из формулы (6) получим
an = 2te;t eio(1) + 2t2 e;t eio(1) n() + e;t t2 Bn(; t):
(7)
2 ;t Из формулы (7) следует, что справедливо неравенство Re an A1 (t) + t e n () A1 (t), где
A1 (t) = 2te;t . Это неравенство точно, равенство достигается для 1 = = n = 1=n, uk =
u0k . 2. (a) При малых t > 0 будем рассматривать = 0 + o(1), где 0 = (1 ; 2 ; : : : ; n;1 ; 1).
Функция Гамильтона имеет вид
H (0; a0 ; ; u) = ; Re[1e;iu + 2e;2iu + + n;1 e;i(n;1)u + einu ]:
0
Пусть max
u H (0; a ; ; u) достигается в точках u1 ; u2 ; : : : ; um . Интегрируя систему (5), получим
an = ;2te;t Cn() + o(t). Следовательно, справедливо неравенство
Re(an + n;1 an;1 + + 1 a1 ) ;2te;t Re(Cn () + n;1 Cn;1 () + + 1 C1 ()) + o(t): (8)
Выражение в правой части неравенства (8) может быть равно A1 (t) только в том случае, если
; Re[Cn () + n;1 Cn;1() + + 1 C1()] = 1. В этом случае максимум функции Гамильтона
равен 1. Следовательно, экстремальная функция будет отличной от функции Ft (z n ).
(b) Пусть при фиксированном функция Гамильтона имеет m точек максимума u1 ; u2 ; : : : ; um
на [0; 2). Интегрирование системы (5) приводит к формуле an = (tn (;1)n 2n C1n()=n! + ;
2tCn ())e;t , где коэффициент при tn равен e;t (;1)n 2n C1n ()=n!.
Траектория an (t) может быть оптимальной при достаточно больших t, если число m в обобщенном уравнении Левнера (2) равно 1. Это означает, что an = An (t), an;1 = An;1 (t)kn;1 ; : : : ,
a1 = A1 (t)k, где jkj = 1. Литература
1. Krzyz J. The coecient problem for bounded nonvanishing functions // Ann. Polon. Math. { 1968.
{ V. 20. { P. 314.
2. Hummel J.A., Scheinberg S., Zalcman L. The coecient problem for bounded nonvanishing
functions // J. Anal. Math. { 1977. { V. 34. { P. 169{190.
3. Peretz R. Applications of subordination theory to the class of bounded nonvanishing functions //
Complex Variables. { 1992. { V. 17. { P. 213{222.
4. Szapiel W. A new approach to the Krzyz conjecture // Ann. Univ. M. Curie-Sklodowska. { 1994. {
V. 48. { P. 169{192.
5. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе В.В., Мищенко В.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. { М.: Наука, 1976. { 392 с.
6. Александров И.А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. { М.:
Наука, 1976. { 344 с.
Саратовский государственный
университет
Поступили
полный текст 31:07:2000
краткое сообщение 28:06:2002
85
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
137 Кб
Теги
асимптотическое, нулевого, ограниченными, оценки, функционал, функции, линейный, значение, принимающих
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа