close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Асимптотическое моделирование неавтономных квазилинейных систем с помощью интегральных многообразий в резонансных случаях.

код для вставкиСкачать
Уфа : УГАТУ, 2009
Т. 12, № 1(30). С. 166–171
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ
УДК 519.7
Р. Р. ИСЛАМОВ
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
НЕАВТОНОМНЫХ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛЬНЫХ МНОГООБРАЗИЙ
В РЕЗОНАНСНЫХ СЛУЧАЯХ
Исследуется математическая модель динамической системы, которая описывается неавтономными квазилинейными дифференциальными уравнениями. Предполагается, что
между частотами собственных колебаний системы и частотами возмущающих сил имеют
место соотношения с рациональными коэффициентами. Для исследования таких систем
применяются интегральные многообразия в специальной форме. Указывается способ выбора полиномиально независимых интегралов порождающей системы в резонансных
случаях. Квазилинейная система ; интегральное многообразие ; резонанс ; полиномиальные интегралы
Рассматриваются неавтономные квазилинейные системы. Предполагается, что характеристическое уравнение порождающей системы
имеет l нулевых, 2p чисто мнимых корней и 2m
комплексных корней с отрицательными вещественными частями, причем кратным корням соответствуют простые элементарные делители.
Предполагается также, что между частотами
собственных колебаний системы и частотами
возмущающих сил имеют место соотношения с
рациональными коэффициентами. Для исследования таких систем применяются интегральные
многообразия в специальной форме [1]. При
этом исследование исходной системы порядка n
сводится с помощью уравнений интегрального
многообразия к исследованию вспомогательной
автономной системы порядка N. Число N определяется количеством полиномиально независимых алгебраических интегралов порождающей системы. Указывается способ выбора полиномиально независимых интегралов.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть математическая модель движения динамической системы описывается неавтономными квазилинейными дифференциальными
уравнениями вида
dX
= JX + εF1 (t , X ) + ε 2 F2 (t , X ) + K , (1)
dt
Контактная информация: (347)273-77-35
где X = {x1,…,xn} – n-мерный вектор, ε > 0 – малый параметр, J – диагональная матрица с собственными
числами
λ1,…,λn;
проекции
вектор-функции Fj(t,X) являются полиномами
относительно проекций вектора X с коэффициентами, квазипериодически зависящими от t
F j (t , X ) = ∑ ∑ F js( h ) ( X ) exp(isν h t );
s
(F (t ,0) ≡ 0).
(2)
h
j
Здесь суммы являются конечными, векторы
( X ) – полиномами; vh > 0 (h = 1, 2,…,σ) –
F js( h )
несоизмеримыми между собой числами.
Предполагается, что собственные числа
λ1,…,λn матрицы J допускают представление
λ s = 0,K, λ l + α −1 = 0,
(
)
λ l + α = iωα ,K, λ ν + α = −iωα i = − 1 ;
Re λβ = Re λ m + β < 0;
(3)
 β = l + 2 p + 1,K, l + 2 p + m; s = 1,K, l ; 

,
 α = 1,K, p; ν = l + p

т. е. считается, что характеристическое уравнение системы
dX
= JX
(4)
dt
имеет l нулевых, 2p чисто мнимых корней и 2m
комплексных корней с отрицательными вещественными частями, так что n = l + 2p +2m. Пусть
числа ω1,…, ωp и v1,…, vσ удовлетворяют условию
167
Р . Р . И с л а м о в • Асимптотическое моделирование неавтономных квазилинейных систем с помощью…
k1ω1 + K + k p ω p + k p+1ν1 + K + k p+σ ν σ = 0 , (5)
где ki – целые числа.
Далее исследуется устойчивость нулевого
решения системы (1) при наличии резонансных
соотношений вида (5). Для исследования устойчивости решения системы (1) применяются интегральные многообразия в специальной форме
[1]. При этом исследование исходной системы
(1) порядка n сводится с помощью уравнений
интегрального многообразия к исследованию
вспомогательной системы порядка N. Число N
определяется количеством полиномиально независимых алгебраических интегралов порождающей системы (4).
2. ПОСТРОЕНИЕ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ МНОГООБРАЗИЙ
ально. Тогда вектор Gk(V) будет полиномиальный относительно V1, …,Vn, а проекции вектора
Фk(t, X) будут полиномами относительно x1,…,xn
с коэффициентами, квазипериодически зависящими от t (аналогично свойствам векторов Fj(t,
X) (2)). Итак, при указанном выборе проекция
вектора V(t, X), векторы Gk(V) и Фk(t, X) последовательно определяются из уравнения (9) с отмеченными выше свойствами, тем самым строятся система (6) и уравнение (7). При этом порядок вспомогательной системы (6) зависит от
числа полиномиально независимых интегралов
системы (4). Число последних в свою очередь
зависит от свойств характеристических чисел
λ1,…,λn матрицы J и соотношений вида (5). Таким образом, важно указать способ выбора проекций вектора V(t, X). Переходя к этому вопросу, отметим, что выбор V(t, X) неоднозначен.
Наряду с системой (1) рассмотрим вспомогательную систему порядка N
dζ
(6)
= εG1 (ζ ) + ε 2G2 (ζ ) + K .
dt
Ищем уравнение интегральных многообразий системы (1) и (6) в форме
ζ = V (t , X ) + εΦ1 (t , X ) + ε 2 Φ 2 (t , X ) + K .
(7)
Для определения вектор-функций V(t, X),
Gk(ζ), Фk(t, X) дифференцируем соотношение (7)
по t в силу уравнений (1) и (6). Затем, исключая
из результата дифференцирования вектор ζ с
помощью равенств (4) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ε, получим
уравнения с частными производными
∂V DV
+
JX = 0 ,
(8)
∂t DX
∂Φ k DΦ k
+
JX = U k (t , X ) + Gk (V ) , (9)
∂t
DX
DV
DΦ k
где
,
– матрицы Якоби, а
DX
DX
 F1 ,K , Fk ,K, G1 , K, Gk −1 ,V , 
 – изU k (t , x ) ≡ U k 
 Φ1 ,K, Φ k −1

вестная
вектор-функция
при
известных
G1(t, X),…,Gk-1(t, X) и V(t, X), Ф1(t, X),…, Фk-1(t,
X) (F1, …,Fk – известные векторы (1)). Из уравнения (8) вытекает, что интегралы порождающей системы (4) при ε = 0 являются проекциями вектора V(t, X). При этом интегралы следует
взять такие, чтобы с помощью выбора вектора
Gk(V) можно было найти решение Фk(t, X) системы (8). Допустим, что в качестве проекций
вектора V(t, X) выбраны полиномиально независимые интегралы V1, …,Vn системы (4), через
которые все интегралы выражаются полиноми-
3. НАХОЖДЕНИЕ
ПОЛИНОМИАЛЬНО НЕЗАВИСИМЫХ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ
ПОРОЖДАЮЩЕЙ СИСТЕМЫ
Предварительно рассмотрим p + σ-мерный
вектор K, проекции k1,…,kp+σ которого представляют собой коэффициенты равенства (5).
Затем введем 2p + σ-мерный вектор M =
= {m1,…,m2p+σ}, где его проекции определяются
через проекции вектора K следующим образом:
1) m j = m p+ j = 0
(k j = 0; j ≤ p );
2) m j = k j ; m p + j = 0
(k j > 0; j ≤ p );
3) m j = 0; m p+ j = k j
(k j < 0; j ≤ p );
(10)
4) m2 p + s = k p + s ( s = 1, K σ).
Тогда, учитывая
имеем, что функция
соотношения (5) и (10),
(
)
V = xlm+11 L xl +22pp exp i m2 p +1ν1 + K m2 p +σ ν σ t , (11)
m
соответствующая вектору M, является интегралом порождающей системы (4). Функции вида
V1 = x1 ,K, Vl = xl ,
(12)
Vl + α = xl + α xν + α (ν = l + p; α = 1,K, p )
(13)
и
с учетом (3) будут также интегралами порождающей системы (4). Обозначим через M α° вектор, соответствующий интегралу Vl+α (13), причем его проекции mα° 1 ,K, mα° , 2 p + σ допускают
представление
(s ≠ 0, p + α )
(α = 1,K, p; s = 1,K,2 p + σ ).
°
mαα
= mα° , p+α = 1; mα° s = 0
(14)
168
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ
Пусть {K} – множество всех отличных от
нуля векторов K, для которых справедливы равенства (5), и пусть r – размерность этого множества. Тогда найдется такая система r линейно
независимых векторов Kγ (γ = 1,…,r) из {K}, в
которой наибольший делитель целочисленных
проекций каждого из векторов равен I. При этом
любой вектор K ∈ {K} может быть единственным образом представлен через K1,…,Kr в виде
линейных комбинаций
(cγ = 0,±1,±2,K) .
r
K = ∑ cγ K γ
γ =1
(15)
Обозначая проекции вектора Kγ через kγ1, …,
kγ p+σ, можно написать равенства
k γ1ω1 + K + k γp ω p + k γp+1ν1 + K + k γp +σ ν σ = 0, (16)
и выражения
r
( j = 1,K , p + σ ) ,
k j = ∑ cγ k γj
γ =1
(17)
для проекций вектора K, вытекающие из соотношений (15). Введем в рассмотрение 2p+σмерные векторы Mγ и Mγ* соответственно с проекциями mγ1, …, mγ 2p+σ и m*γ1, …, m*γ 2p+σ, составленными из проекций kγ1, …, kγ 2p+σ вектора
K аналогично правилу (10), а именно:
1) mγ j = mγ p + j = mγ* j = mγ* p + j = 0; (k γ j = 0);
(18)
(k γ j < 0; );
4) mγ 2 p + s = k γ p + s ; mγ* 2 p + s = − k γ p + s ;
( s = 1, K σ).
Из равенств (16) и (18) следует, что функции
Vν+ γ = xl +1γ 1 L xl +γ22pp ×
m
m
{
}
× exp i mγ 2 p+1ν1 + K + mγ 2 p +σ ν σ t ,
m*
m*
Vν+ r + γ = xl +1γ 1 L xl +γ22pp ×
{
(19)
}
× exp i m*γ 2 p +1ν1 + K + mγ* 2 p +σ ν σ t ,
соответствующие векторам Mγ и Mγ* являются
интегралами порождающей системы (4). Принимая во внимание соотношения (13), (18), (19),
находим, что существуют зависимости
Vν + γVν + r + γ = Vl +1γ 1 LVl + γpp (γ = 1,K, r ) , (20)
k
Принимая во внимание соотношения (10),
(17), (18), найдем для вектора M ∈ {M} выражение
r
~
M = ∑ cγ M γ .
(21)
γ =1
Здесь cγ – коэффициенты в равенстве (15);
~
M γ – векторы вида
при
cγ > 0;
~
M γ
(22)
Mγ = *
при
c γ < 0.
M γ
Таким образом, интеграл (11) порождающей
системы (4), соответствующий вектору M ∈
∈{M}, выражается в виде
~c
~c
V = V1 1 LVr r ,
(23)
~
где Vγ – интеграл, принимающий значения:
при
cγ > 0;
~ Vν + γ
Vγ = 
cγ < 0;
Vν + r + γ при
(ν = l + p, γ = 1,..., r ),
(24)
где Vν+ γ , Vν+ r + γ – функции (19).
4. ИССЛЕДОВАНИЕ
УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ
2) mγ j = mγ j = mγ* p + j ; mγ p + j = mγ* j ; (k γ j > 0);
3) mγ j = mγ* p + j = 0; mγ p + j = mγ* j = k γ j
(10). Любой вектор M ∈ {M} можно выразить с
помощью введенных векторов M αo , M γ , M γ* .
k
где kγ1, …, kγ p – коэффициенты в равенстве (16).
Пусть {M} – совокупность векторов M =
= {m1, …, m2p+σ }, где его проекции образуются
из проекций вектора K ∈ {K} согласно правилу
Итак, учитывая соотношение (23), приходим
к выводу о том, что любой интеграл системы
(4), полиномиальный относительно x1, …,xl+2p и
квазипериодически зависящий от t, выражается
через систему l+p+2r функций (12), (13) и (19).
Здесь указанный интеграл выражается полиномиально через эти l+p+2r функций. Тогда, принимая функции (12), (13), (19) в качестве проекции вектора V(t, X), с помощью уравнения (7)
приходим к вспомогательной системе (6) порядка l+p+2, где переменные ζ1,…, ζl+2p+2r связаны
соотношениями
k
k
ζ ν + γ ζ ν + r + γ = ζ l +γ11 Lζ l +γ pp
(ν = l + p, γ = 1,..., r ),
(25)
вытекающими из тождеств (20). Так как ζv+γ и
ζv+r+γ комплексно-сопряженные переменные, то,
полагая
~
~
ζ s = ζ s ; ζ l + α = ζl + α
(s = 1,K, l; α = 1,K, p )
~
~
~
~
ζ ν + γ = ζν + γ + i ζ ν + r + γ ; ζ ν + r + γ = ζν + γ − i ζν + r + γ ,
получим соотношения (25) в форме
(26)
Р . Р . И с л а м о в • Асимптотическое моделирование неавтономных квазилинейных систем с помощью…
~2
~
~k
~k
ζ ν+ γ + ζ ν2+ r + γ = ζ l +γ11 L ζ l +γpp
(γ = 1,..., r ).
(27)
Заменяя проекции вектора ζ в уравнении (6)
согласно формуле (26) и исключая переменные
~
ζ ν + r + γ с помощью соотношений (27), приходим
окончательно к системе порядка l+p+r
~
~ ~
~ ~
dζ
= εG1 ζ + ε 2G2 ζ + K .
(28)
dt
~ ~
~
~ ~
Здесь ζ = ζ1 , K ζl + p + r – вектор; G j ζ –
()
{
()
}
()
вектор-функция, проекции которого являются
непрерывными функциями от переменных
~
~
ζ1 , K ζl + p + r .
Теорема 1. Если устойчиво (неустойчиво)
нулевое решение системы (28), то устойчиво
(неустойчиво) нулевое решение системы (1) при
достаточно малых значениях ε > 0.
Доказательство. Пусть нулевое решение
системы (28) устойчиво (неустойчиво). Тогда на
основании равенств (25–27) вытекает устойчивость (неустойчивость) нулевого решения системы (6). Согласно уравнению интегрального
многообразия (7) систем (1) и (6) следует устойчивость (неустойчивость) нулевого решения
системы (1). Теорема доказана.
Исследование стационарных режимов в системе (1) приводит к исследованию постоянных
решений системы (28). Система (28) пригодна
для исследования устойчивости нулевого решения системы (1).
5. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
ГИРОМАЯТНИКА ПРИ ВИБРАЦИИ
ОСНОВАНИЯ С ПОМОЩЬЮ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ МНОГООБРАЗИЙ
Для составления уравнений движения гиромаятника выберем систему координат Oξηξ,
начало которой совпадает с точкой опоры, причем ось ζ направлена по вертикали, а оси ξ, η
находятся в горизонтальной плоскости. С внутренней рамкой (кожухом) свяжем оси Резаля
Oxyz. При этом ось z направим по оси собственного вращения гироскопа, ось y – по оси подвеса внутренней рамки, а ось x – перпендикулярно к двум первым осям в соответствии с
правой системой координат. Положение осей
Резаля Oxyz относительно трехгранника Oξηξ
определим следующим образом: углом α поворота вокруг оси ξ и углом β поворота вокруг оси
y. Обозначим через φ угол поворота ротора гироскопа относительно кожуха. Считается, что
169
центр тяжести гиромаятника расположен на оси
z на расстоянии z0 от начала координат.
Пусть основание прибора совершает вибрации в вертикальном направлении по закону ζ =
= N1cosθt, где N1 и θ – амплитуда и частота вибрации. Тогда нелинейные уравнения движения
гиромаятника при вибрации основания в вертикальном направлении с учетом вязкого трения в
опорах подвесов можно записать в виде
 I (β)α
&& + Hβ& cos β − K1α& β& sin 2β =

2
= − z0 P − mN1θ cos θt sin α cos β − n1α& ;

&& − Hα& cos β − K1 α& 2 sin 2β =
(29)
 Fβ
2

= − z0 P − mN1θ 2 cos θt cos α sin β − n2β& ;

 H = C (ϕ& + α& sin β ) = const ,
где
(
)
(
)
(
)
I (β ) = I1 1 − σ1 sin 2 β ;
I1 = mz02 + A0 + A1 + A2 ;
σ1 =
K1
;
I1
(30)
K1 = mz02 + A0 + A1 − C1;
F = mz02 + A0 + B1.
Здесь A0 и C – экваториальный и осевой моменты инерции ротора; A1, B1, C1 – моменты
инерции внутренней рамки относительно осей x,
y, z; A2 – момент инерции наружной рамки относительно оси ξ; m, P – масса и вес ротора гиромаятника. Переходя к безразмерному времени
H
τ=
t и вводя безразмерные параметры
I1 F
Ω1 =
F
; Ω2 =
I1
I1
K
; σ1 = 1 ;
F
I1
K1
z PF
z PI
; µ1 = 0 2 ; µ 2 = 0 2 1 ;
F
H
H
(31)
2
θ I1 F
z0 mN1υ
; χ1 =
; χ 2 = χ1Ω 22 ;
υ=
H
I1
σ2 =
µ1Ω1
µ Ω
; h2 = 2 2 ,
H
H
а также новые обозначения переменных
h1 =
q1 = α, q2 = β
(32)
и разлагая тригонометрические функции в ряд
Маклорена, представим систему (29) в виде
170
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ
 d 2 q1
dq2
dq
+ µ1q1 = ε Q1 (τ, q, );
 2 + Ω1
 dτ
dτ
dτ
(33)
 2
 d q2 − Ω dq1 + µ q = ε Q (τ, q, dq ),
2
2 2
2
 dτ 2
dτ
dτ
 dxk
= iωk xk + εf k (τ, x ),
 dτ
(k = 1,2) (39)

 dx2+ k = −iω x + εf (τ, x ).
k 2+ k
2+ k
 dτ
Здесь
где используются обозначения
dq
dq
) ≡ α1q1 − β1 2 + χ1 cos υτq1 −
dτ
dτ
1  dq
dq

− h1 1 − Ω1  σ1 −  q22 1 +
dτ
2  dτ

dq dq
+ 2σ1q2 1 2 ,
dτ dτ
dq
dq
Q2 (τ, q, ) ≡ α 2 q2 − β 2 1 + χ 2 cos υτq2 −
dτ
dτ
Q1 (τ, q,
f1 (τ, x ) ≡
(34)
2
− h2
dq2 Ω 2 2 dq1
 dq 
−
q2
− σ 2 q2  1  .
2
dτ
dτ
 dτ 
2ω12, 2 = 1 + µ1 + µ 2 ± (1 + µ1 + µ 2 ) − 4µ1µ 2 , (35)
где значения параметров µ1, µ2 приведены в (31).
Применяя вышеизложенные результаты, исследуем устойчивость нулевого решения системы (33) в случае, когда между частотой собственных колебаний ω1 (35) и частотой υ (31) возмущающих сил имеет место соотношение вида
(16):
2
2ω1 − υ = 0 .
(36)
Предварительно, используя преобразования
q1 = − a( x1 + x3 ) + b(x2 + x4 );

q2 = iΩ 2 (ω1 (x1 − x3 ) + ω2 ( x2 − x4 ));
 dq1

= i(ω1a( x1 − x3 ) + ω2b(x2 − x4 ));
(37)
 dτ
 dq2
= −Ω 2 ω12 (x1 + x3 ) + ω22 (x2 + x4 ) ;

 dτ
)
где
a = ω12 − µ 2 , b = µ 2 − ω22 ,
приведем систему к виду (1):
ω  i ) Ω1 ) 

Q1 +
Q2 ;
b
2  ω2

f 3 (τ, x ) ≡ −
ω  i ) Ω1 ) 
 Q1 +
Q2 ;
2  ω1
a

причем
(38)
(40)
ω  i ) Ω1 ) 

Q1 −
Q2 ,
2  ω2
b

(
ω = ω12 − ω22
)
−2
>0.
(41)
Величины a и b определены выше (38);
)
dq
Qk (k = 1,2 ) – функции Qk (τ, q, ) (34), в котоdτ
рых переменные qk ,
dqk
заменены по формулам
dτ
(37). При исследовании устойчивости нулевого
решения системы (39) в случае равенства (36)
интегралы порождающей системы возьмем в
виде
V1 = x1e − iω1τ , V2 = x3eiω1τ , V3 = x2 x4 .
(42)
В данном случае вспомогательная система
(6) будет порядка N = 3:
dς s
(ς = {ς1 , ς 2 , ς 2 }) . (43)
= εg s (ς ) + ...
dτ
Ищем уравнение интегрального многообразия системы (39) и (43) в форме (7):
ς s = Vs + εϕ s (τ, x ) + ...
(s = 1,2,3) .
(44)
Дифференцируя уравнения (44) по τ в силу
систем (39) и (43) и исключая ζ согласно (44),
придем к уравнениям вида (9), из которых определим функции gs(ζ), φs(τ, x) (s = 1, 2, 3). Окончательно получим систему (43) в первом приближении:
(
(
))
ω
 dς1
2
 dτ = ε 2 iγ 0ς1 + iN0ς 2 − M 0ς1 + i r1ς1 ς2 − r2ς1ς3 ,

ω
 dς2
= ε − iγ 0ς2 − iN0ς1 − M 0ς 2 − i r1ς1ς 22 − r2ς 2ς3 ,

d
τ
2

 dς3
 dτ = −ε r2ς1 ,

(
i = −1
ω  i ) Ω1 ) 
 Q1 −
Q2 ;
a
2  ω1

f 2 (τ, x ) ≡ −
f 4 (τ, x ) ≡
Здесь α1, α2, β1, β2 – малые расстройки частот, причем в выражениях для Q1, Q2 (34) не
учитываются нелинейные члены, коэффициенты которых содержат безразмерные параметры
µ1, µ2, χ1, χ2 (31), которые предполагаются малыми, параметры h1, h2 (31) также считаются
малыми (слабая диссипация). В правых частях
уравнения (33) формально вводится малый параметр ε, отражающий малость членов вида
(34). Квадраты частот собственных колебаний
системы (33) при ε = 0 определяются из формулы
(
X = {x1 , x2 , x3 , x4 },
(
))
(45)
Р . Р . И с л а м о в • Асимптотическое моделирование неавтономных квазилинейных систем с помощью…
где
γ0 =
ω
a
α1 − 2 α 2 + ω1 (Ω2β1 + Ω1β2 ),
ω1
a
ω2
a 
1ω
N 0 =  1 χ 2 − χ1 , M 0 = ah1 + 1 h2 ,
2 a
ω1 
a

Ω2 
1


r1 = Ω22 ω13  2σ1a − + σ1  + 3ω13  σ2 a − 1 ,
2
a 



(46)
1

r2 = ω1ω22 Ω 22  − σ1 + 2σ1b  + ω1ω22 ×
2

2



ω2 
b
×  Ω22 − 2σ 2 + 4σ2b , r3 = ω h1b + 2 h2  > 0.
a
b 



Переходя к вещественным переменным ξ1 и
η1по формуле
ς1 = ξ1 + iη1 , ς 2 = ξ1 − iη1 ,
(47)
систему (45) можно представить в форме
ω
 dξ1
 dτ = ε 2 ×

2
2
× − γ0η1 + N0η1 − M0ξ1 − r1η1 ξ1 + η1 + r2ς3η1 ,

ω
 dη1
(48)
=ε ×

τ
d
2

× γ0ξ1 + N0ξ1 − M0η1 + r1ξ1 ξ12 + η12 − r2ς3ξ1 ,

 dς3 = −εr ς (r > 0).
3 3 3
 dτ
(
(
(
(
)
)
)
)
Стационарное решение системы (48) или
(33) находим, приравнивая нулю правые части
уравнений (48). Тогда получим условие существования стационарного решения
r12ρ4 + 2 γ 0 r1ρ 2 + M 02 − N 02 + γ 02 = 0 ,
(49)
ρ2 = ξ12 + η12 .
(50)
где
Условие устойчивости нулевого решения
системы (48), а следовательно, систем (39), (33)
и (29) принимают вид
γ 02 + M 02 − N 02 > 0 .
(51)
171
многообразий исследование системы (1) порядка l+2p+2m приводится к исследованию вспомогательной системы порядка N, причем N =
= l+p+r. Вспомогательная система позволяет
построить и исследовать устойчивость стационарных режимов исходной системы, а также
изучить процесс их установления.
Показано, что исследование устойчивости
решений квазилинейной неавтономной системы
дифференциальных
уравнений
порядка
l+2p+2m в сложном резонансном случае можно
свести к исследованию устойчивости вспомогательной автономной системы порядка N, где N =
= l+p+r. В качестве примера приводится исследование устойчивости гиромаятника при вибрации основания с помощью интегральных многообразий. Заметим, что в частных случаях данная схема исследования устойчивости приводится в работах [2–6].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Валеев, К. Г. Об одной теореме Ляпунова / К.
Г. Валеев // Сб. «Математическая физика». Киев,
1971. Вып. 9. С. 17–23.
2. Ляпунов, А. М. Общая задача об устойчивости движения / А. М, Ляпунов. М. : Гостехиздат,
1950.
3. Малкин, И. Г. Теория устойчивости и движения / И. Г. Малкин. М. : Наука, 1966.
4. Каменков, Г. В. Исследование нелинейных
колебаний с помощью функции Ляпунова / Г. В. Каменков // Тр. ун-та дружбы народов им. П. Лумумбы.
Сер. теор. механ. 1966. Вып. 3. Т. 15.
5. Мельников, Г. И. Об определении переходных процессов в нелинейных автоматических системах / Г. И. Мельников // Автоматика и телемеханика.
1955. Т. 26, № 1.
6. Хапаев, М. М. Обобщение второго метода
Ляпунова и исследование на устойчивость некоторых резонансных задач / М. М. Хапаев // ДАН СССР.
1970. Т. 193, № 1.
ОБ АВТОРЕ
ВЫВОДЫ
Итак, указаны способы выбора полиномиально независимых алгебраических интегралов
порождающей системы (4) в случае l нулевых,
2p чисто мнимых корней и 2m комплексных
корней с отрицательными вещественными частями при наличии r резонансных отношений
(16). Эти интегралы используются затем при
построении уравнения интегральных многообразий. С помощью уравнений интегральных
Исламов Роберт Рахимович, доц.
каф. математики. Дипл. инж.-мех.
(УАИ, 1966). Канд. физ.-мат. наук
по диф. и интегр. уравнениям.
(Ин-т мат. АН УССР, 1973). Иссл.
в обл. устойчивости решений
обыкн. диф. ур-й.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа