close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Асимптотическое решение одной сингулярно-возмущенной задачи оптимального управления методом интегрального многообразия.

код для вставкиСкачать
Вычислительные технологии
Том 16, ќ 5, 2011
Асимптотическое решение одной
сингулярно-возмущенной задачи оптимального
управления методом интегрального многообразия
1
2
А. Ж. Жайнаков , Б. Ы. Аширбаев
1
2
Национальная Академия Наук, Бишкек, Кыргызская еспублика
Кыргызский государственный технический университет им. И. аззакова, Бишкек
e-mail: Jainakov-41mail.ru,
Ashirbaev-58mail.ru
Предложен приближенный способ определения оптимального управления, основанный на разделении медленных и быстрых координат вектора состояния методом интегрального многообразия, что позволяет вместо исходной системы, имеющей более высокий порядок, ограничиваться рассмотрением укороченной системы меньшей размерности.
Ключевые слова : сингулярно-возмущенная задача, интегральное многообразие,
гамильтониан, сопряженная система, пограничный слой, быстрые и медленные
движения.
Исследуемая задача оптимального управления состоит в следующем: требуется найти r-мерную непрерывную вектор-ункцию u(t), доставляющую минимум ункционалу
1
J(u) = d? x(T, µ) + c? z(T, µ) +
2
ZT
u? (t)Ru(t)dt
(1)
0
на траекториях системы
y? = A(µ)y + B(µ)u, y(0) = y0 ,
(2)
?
?
?
?
A1
A2
B1
где y = xz , A(µ) = ? 1 A3 1 A4 ? , B(µ) = ? 1 B2 ? , x ? Rn, z ? Rm, µ > 0 µ
µ
µ
малый параметр, T > 0 иксированное число, ? знак транспонирования, d, c векторы с размерностью n, m, R положительно определенная постоянная матрица с размерностью m Ч n, A1 ? (n Ч n), A2 ? (n Ч m), A3 ? (m Ч n), A4 ? (m Ч m),
B1 ? (n Ч r), B2 ? (m Ч r) постоянные матрицы. Интеграл в ормуле (1) оценива-
ет энергии управляющего воздействия, затрачиваемого в процессе управления.
Предположим, что вещественные части корней матрицы A4 отрицательные. Систему (2) можно переписать в виде
x? = A1 x + A2 z + B1 u,
x(0) = x0 ,
x ? Rn ,
µz? = A3 x + A4 z + B2 u,
z(0) = z0 ,
z ? Rm .
50
(3)
Асимптотическое решение одной сингулярно-возмущенной задачи...
51
амильтониан для оптимальной задачи (1), (3) определяется как
1
H = (u, Ru) + (p, A1 x + A2 z + B1 u) + (q, A3 x + A4 z + B2 u),
2
(4)
где векторы p и q являются решениями сопряженной системы
p? = ?A?1 p ? A?3 q,
(5)
µq? = ?A?2 p ? A?4 q
и удовлетворяют граничным условиям
p(T, µ) = ?d,
Условие
c
q(T, µ) = ? .
µ
?H
=0
?u
должно быть выполнено вдоль оптимальной траектории и означает [1?
(6)
(7)
(8)
По предположению корни характеристического уравнения матрицы A4 имеют отрицательные вещественные части. Тогда система (5) имеет пограничный слой и для нее
существует интегральное многообразие [2? q = h(µ)p, где h(µ) ? m Ч n-мерная матрица, элементы которой обычно зависят от µ. Матрица h(µ) удовлетворяет матричному
уравнению
µh(A?1 + A?3 h) = A?2 + A?4 h.
(9)
ешение уравнения (9) можно построить в виде сходящегося степенного ряда [2?
h(µ) = h0 + h1 µ + h2 µ2 + . . . ,
(10)
где
??1 ?
??1
?
?
?H
= Ru + B1? p + B2? q = 0.
?u
h0 = ?A4 A2 ,
hi = A??1
4
h1 = A4 h0 (A1 + A3 h0 ), . . . ,
!
i?1
X
hi?1 A?1 +
hj A?3 h?j?1+i , . . . , i = 1, 2, . . .
j=0
Замена [3? q = ? + hp приводит систему (5) к виду
p? = ?(A?1 + A?3 h)p ? A?3 ?,
µ?? = ?(A?4 ? µhA?3 )?,
p(T, µ) = ?d,
?(T, µ) = ?
c
+ hd = ?0 .
µ
(11)
Тогда решения системы (11) с начальными условиями (6) записываются как
p(t) = p?(t) + m1 (? ),
q(t) = h(µ)p?(t) + m2 (? ),
(12)
где p?(t) = e?(A +A h)(t?T ) (?d + ?p0) решение системы
?
1
?
3
p?? = ?(A?1 + A?3 h)p?,
p?(T, µ) = ?d + ?p0 ,
(13)
52
А. Ж. Жайнаков, Б. Ы. Аширбаев
?p0 =
ZT
? s?T
µ
e?(A1 +A3 h)(T ?s) A?3 e?(A4 ?µhA3 )
?
?
?
?0 ds,
??
m1 = µ
ZT
e?(A1 +A3 h)(? ??) A?3 e?(A4 ?µhA3 )? ?0 d?,
?
?
?
?
m2 = e?(A4 ?µhA3 )? ?0 .
?
?
??
Функции m1 и m2 удовлетворяют неравенствам
km1 k ? µC1 k?0 k e?? ,
(14)
km2 k ? C2 k?0 k e?? ,
где C1 , C2, ? onst, ? = t ?µ T
? 0.
c
Если выбрать начальную точку ?d, ? µ , принадлежащую интегральному многообразию q = h(µ)p, то ?0 = 0, m1 = 0, m2 = 0 и, следовательно, p = p?, q = h(µ)p? решение системы (5), траектория которого лежит на этом многообразии.
Таким образом, для произвольной точки (p0, q0) указана такая точка (p0 = p?0 + ?p0,
q?0 = h(µ)p?0 ), лежащая на интегральном многообразии q = h(µ)p, что решение системы
(5), выходящее из точки (p0, q0) при t = T (? = 0), при ? ? ?? неограниченно приближается к решению p = p?, q = h(µ)p?, p(T ) = p0, лежащему на данном многообразии.
С учетом соотношений (12) ормула (8) записывается в виде
u(t, µ) = ?R
где
B?1? = B1? + B2? h,
?1
B?2? = B2? + µB1? A?3 (A?4 ? µhA?3 )?1 + O µ2 e??
?1 = ?1 (µ) = ?d + ?p0 ,
?2 = ?C + µhd, A??1 = A?1 + A?3 h,
При µ ? 0 имеем следующие предельные соотношения:
lim B?1 = B0 = B1 ? A2 A?1
4 B2 ,
lim A?4 = A4 ,
(15)
1 ? ?A?4 ?
? ?A?0 (t?T )
B?1 e
?1 + B?2 e
?2 = ?(t, µ),
µ
lim B?2 = B2 ,
x? = A1 x + A2 z + ?1 ,
(? > 0),
A??4 = A?4 ? µhA?3 .
(16)
lim A?0 = A0 = A1 ? A2 A?1
4 A3 ,
lim ?1 = ?d + A?3 A??1
4 C,
С учетом (15) система (3) примет вид
lim ?2 = C.
x(0, µ) = x0 ,
(17)
где ?1 = B1?, ?2 = B2?, ?(t, µ) известная ункция, определенная ормулой (15).
В отличие от (5) система (17) имеет интегральное многообразие
z = K(µ)x + ?(t, µ),
(18)
движение по которому описывается системой
x? = (A1 + A2 K)x + A3 ? + ?1 .
(19)
µz? = A3 x + A4 z + ?2 ,
z(0, µ) = z0 ,
Асимптотическое решение одной сингулярно-возмущенной задачи...
53
Матрица K и вектор ? являются решениями уравнений
µK(A1 + A2 K) = A3 + A4 K,
µ
??
+ µK(A2 ? + ?1 ) = A4 ? + ?2 .
?t
(20)
Аналогично вышеуказанному уравнения (20) также имеют решения, которые могут
быть представлены в виде сходящихся степенных рядов
K = K0 + µK1 + . . . + µn Kn + . . . ,
?(t, µ) = ?0 (t) + µ?1 (t) + . . . + µn ?n (t) + . . .
Для ункций, входящих в правые части системы (17), можно записать конечные
асимптотические разложения по степеням µ, коэициенты которых однозначно определяются из соотношения (20) путем приравнивания их при одинаковых степенях µ.
Произведя в системе (17) замену [4?
z = K(µ)x + ?(t, µ) + y,
(21)
быстрые и медленные движения можно разделить, перейдя к системе
x? = (A1 + A2 K)x + A2 ? + ?1 + A2 y,
x(0, µ) = x0 ,
(22)
Аналогично, как это делалось выше для системы (5), решение системы (22) можно
записать в орме (12).
. Объект управления описывается уравнением
µy? = (A4 ? µKA2 )y,
y(0µ) = z0 ? Kx0 ? ?(0) = y0 .
Пример
T1 T2
d3 x
d2 x dx
+
(T
+
T
)
+
= ku.
1
2
dt3
dt2
dt
(23)
Обозначив x? = x2, уравнение (23) запишем в виде системы
s? = A1 s + A2 z + B1 u, s (0) = s0 ,
T2 z? = A3 y + A4 z, z (0) = z0 ,
(24)
?
?
0
0
0
где A1 = ? 0 ? 1 ?, A2 = 10 , A3 = 0, 1 , A4 = ?1, B1 = ? k ?,
T1
T1
x
s =
, z = x2, 0 ? T1 ? T2 ? 1. Требуется найти алгоритм управления u(t),
x1
?
?
доставляющий минимум ункционалу
1
J (u) = d1 x (T ) + d2 x1 (T ) + Ax2 (T ) +
2
ZT
u2 (t) dt
(25)
0
на траекториях системы (24), где d1, d2, c, k постоянные, T ? [0, 1] время.
В системе (24) введем следующие обозначения:
x? = x2 = f1 ,
x?1 = ?
1
k
x1 + u = f2 ,
T1
T1
x?2 =
1
1
x1 ? x2 = f3 .
T2
T2
(26)
54
А. Ж. Жайнаков, Б. Ы. Аширбаев
Тогда уравнения для сопряженных переменных ? имеют вид [1?
?f2
?f3
?f1
??1 = ?
?1 +
?2 +
?3 = 0,
?x
?x
?x
?f1
?f2
?f3
1
1
??2 = ?
?1 +
?2 +
?3 = ?2 ? ?3 ,
?x1
?x1
?x1
T1
T2
?f1
?f2
?f3
1
??3 = ?
?1 +
?2 +
?3 = ??1 + ?3 .
?x2
?x2
?x2
T2
(27)
Систему (27) перепишем как
p? = ?A?1 p ? A?3 g,
где
p=
?1
?2
(28)
q? = ?A?2 p ? A?4 q,
?
0
1
1 ?,
, q = ? ?3 , A?1 = ?
0 ?
T2
T1
0
1, 0 , A?3 =
, A?4 = ?1.
1
?
A?2 =
0
(29)
Уравнения системы (28) удовлетворяют граничным условиям
p (T, T2 ) = ?
d1
d2
,
q (T, T2 ) = ?
c
.
T2
(30)
раничные условия (30) получены согласно условиям (6), где T2 = µ. Введем замену
в виде q = ? + hp, где матрица h удовлетворяет уравнению
T2 hA?1 + T2 hA?3 h = A?2 + A?4 h.
(31)
Это приводит систему (28) к виду
p? = ? (A?1 + A?3 h) p ? A?3 ?,
T2 ?? = ? (A?4 ? T2 hA?3 ) ?,
? (T, T2 ) = ?
ешения системы (32) записываются как
p (t) = p? (t) + m1 (? ) ,
p (T, T2 ) = ?d,
c
+ hd = ?0 .
T2
q (t) = h (T2 ) p? (t) + m2 (? ) ,
(32)
(33)
где p? (t) = e?(A +A h)(t?T ) (?d + ?p0) решение системы
?
1
?
3
p?? = ? (A?1 + A?3 ) p?,
здесь
?p0 =
ZT
??
p? (T, T2 ) = ?d + ?p0 ,
?(A?1 +A?3 h)(T ?s)
e
? A? ?T hA?
A?3 e ( 4 2 3 )
s?T
T2
?0 ds.
(34)
55
Асимптотическое решение одной сингулярно-возмущенной задачи...
При T1 = 0.1, T2 = 0.5 получаем
?p0 =
ZT
??
0
e2(T ?s)
6(s?T )
·e
?
?
0
?
?
ZT
?=
· 15.2ds = ?
?4T
+4s
? 15.2
e
ds ?
0
3.8
,
??
Z?
m1 = ?T2
e?(A1 +A3 h)(? ??) A?3 e?(A4 ?T2 hA3 )? ?0 d? =
?
?
?
?
??
= ?0.5
Z?
??
0
e2(? ??)
3?
e
?
?
0
?
Z?
?
?=
· 15.2d? = ?
2?
+?
? ?7.6
e
d? ?
0
?7.6e6(t?T )
,
??
! 1
0
?1
1
1
p? (t) =
·
=
(t?T )
(t?T )
1.8
T1 ? T1 e T2
e T2
! ?1
1
1
1
=
=
,
(t?T )
(t?T )
?0.1 + 2.3e2(t?T )
?T1 + T2 e T2
+ 1.8e T2
1
p (t) = p? (t) + m1 (? ) =
,
?0.1 + 2.3e2(t?T ) ? 7.6e6(t?T )
m2 (? ) = e?(A4 ?T2 hA3 )? ?0 = 15.2e6(t?T ) ,
1
q (t) = hp? (t) + m2 (? ) = 0.2, 8
+ 15.2e6(t?T ) =
?0.1 + 2.3e2(t?T )
?
= 0.2 ? 0.8 + 18.4e2(t?T ) + 15.2e6 (t ? T ).
Из условия (8) получим
U=
?B1? p
Теперь (24) примет вид
=
k
0, ?
T1
1
?0.1 + 2.3e2(t?T ) ? 7.6e6(t?T )
= ?1 + 23e2(t?T ) ? 76e6(t?T ) .
(35)
=
(36)
s? = A1 s + A2 z ? B1 B1? p,s (0, T2 ) = s0 ,
(37)
Система (37) имеет интегральное многообразие z = K (T2) s + ? (t, T2), движение по
которому описывается системой
T2 z? = A3 y + A4 z,z (0, T2 ) = z0 .
s? = (A1 + A2 k) s + A2 ? ? B1 B1? P,
где матрицы K и ? являются решениями уравнений
T2 K (A1 + A2 K) = A3 + A4 K,
T2 ?? + T2 KA2 ? ? T2 KB1 B1? p = A4 ?.
(38)
(39)
56
А. Ж. Жайнаков, Б. Ы. Аширбаев
Нас интересуют те решения уравнения (38), которые при T2 ? 0 стремятся к K =
Произведя в системе (37) замену
z = k (T2 ) s + ? (t, T2 ) + ?,
(40)
получим систему с разделенными переменными состояния
?A?1
4 A3 .
s? = (A1 + A2 K) s + A2 ? ? B1 B1? p + A2 ?, s (0, T2 ) = s0 ,
T2 ?? = (A4 ? T2 KA2 ) ?, ? (0, T2 ) = z0 ? Ks0 ? ? (0) = ?0 .
ешения уравнений (38) и (39) имеют вид
(41)
K = (K1 K2 ) = (0, 6) ,
? (t, T2 ) = e
A4 ?T2 KA2
t
T2
? (0) +
Zt
e
A4 ?T2 KA2
T2
(t?S)
T2 KB1 B1? p (S) dS =
0
= ?15 1 ? e
?2t
+ 172.5 1 ? e?4t + 285e?2t?6t 1 ? e8t .
С учетом (42) получим решение второго уравнения системы (41)
? (t, T2 ) = e
A4 ?T2 kA2
t
T2
(42)
?0 = 7e?2t .
Тогда
x (t, T ) = ?0.525 + 163.5t ? 45.6e?10t + 4e?2t + 43.125e?4t + 285.5e?2t?6t t?
?36.625 e?2t?6t ? e?8t?2t ? 138e2(t?T ) t+
+13.8 e2(t?T ) ? e?8t?2t ? 45.6 e6(t?T ) ? e?4t?6t ,
x1 (t, T ) = 1 ? 23 e?2(t?T ) ? e?8t?2t + 76(e6(t?T ) ? e?4t?6t ).
(43)
Таким образом, оптимальные траектории системы (24), доставляющие минимум
ункционалу (25), определяются ункциями в (43).
Список литературы
[1? ойтенберг Я.Н. Автоматическое упрвление. М.: Наука, 1978. 552 с.
[2? Иманалиев З.К. Метод интегральных многообразий в линейной сингулярно-возмущенной задаче оптимального управления с квадратичным ункционалом // Компьютеры в
учебном процессе и современные проблемы математики. Материалы IV еспубл. научнометод. кон. Бишкек, 1996. Ч. 2. С. 191196.
[3? Стрыгин В.В., Соболев В.А. азделение движений методом интегральных многообразий. М.: Наука, 1988. 256 с.
[4? еращенко Е.И., еращенко С.И. Метод разделения движений и оптимизация нелинейных систем. М.: Наука, 1975. 295 с.
Поступила в редакцию 23 июня 2011 г.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа