close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Базисы перестановочно-инвариантных пространств.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2008, № 5, c. 48–54
http://www.ksu.ru/journals/izv_vuz/
e-mail: izvuz.matem@ksu.ru
Памяти академика Петра Лаврентьевича Ульянова
К.С. КАЗАРЯН, E.М. СЕМЕНОВ, С.Н. УКСУСОВ
БАЗИСЫ ПЕРЕСТАНОВОЧНО-ИНВАРИАНТНЫХ ПРОСТРАНСТВ
Аннотация. Доказано, что если E — перестановочно-инвариантное пространство, то в E существует ограниченно полный базис тогда и только тогда, когда выполнено одно из условий:
1) E максимально и E = L1 [0, 1]; 2) некоторая (всякая) ортонормированная система функций
из L∞ [0, 1], обладающих свойствами базиса Шаудера для пространства непрерывных на [0, 1]
функций с нормой L∞ , образует ограниченно полный базис в E. Как следствие получено
утверждение: любая (некоторая) ортонормированная система функций из L∞ [0, 1], обладающих свойствами базиса Шаудера для пространства непрерывных на [0, 1] функций с нормой
L∞ , образует натягивающий базис в сепарабельном перестановочно-инвариантном пространстве E тогда и только тогда, когда сопряженное пространство E ∗ сепарабельно. Доказано,
что в любом сепарабельном перестановочно-инвариантном пространстве E система Хаара
образует либо безусловный, либо усиленно условный базис. Для того чтобы система Хаара
была усиленно условным базисом в сепарабельном перестановочно-инвариантном пространстве, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из индексов Бойда этого пространства
был тривиальным.
Ключевые слова: перестановочно-инвариантные пространства, система Хаара, ограниченно
полные базисы, безусловный базис, усиленно условный базис, натягивающий базис.
УДК: 517.592
Abstract. We prove that if E is a permutation-invariant space, then a boundedly complete basis
exists in E, if and only if one of the following conditions holds: 1) E is maximal and E = L1 [0, 1];
2) a certain (any) orthonormal system of functions from L∞ [0, 1], possessing the properties of
the Schauder basis for the space of continuous on [0, 1] functions with the norm L∞ , represents
a boundedly complete basis in E. As a corollary, we state the following assertion: any (certain)
orthonormal system of functions from L∞ [0, 1], possessing the properties of the Schauder basis
for the space of continuous on [0, 1] functions with the norm L∞ , represents a spanning basis in a
separable permutation-invariant space E, if and only if the adjoint space E ∗ is separable. We prove
that in any separable permutation-invariant space E the Haar system either forms an unconditional
basis, or a strongly conditional one. The Haar system represents a strongly conditional basis in a
separable permutation-invariant space, if and only if at least one of the Boyd indices of this space
is trivial.
Keywords: permutation-invariant spaces, the Haar system, boundedly complete bases, an unconditional basis, a strongly conditional basis, a spanning basis.
Поступила 17.04.2007
Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки Испании, гранты MTM
2004-00678, HH 2004-0002 (первый автор) и финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант 05-01-00629 (второй и третий авторы).
48
БАЗИСЫ ПЕРЕСТАНОВОЧНО-ИНВАРИАНТНЫХ ПРОСТРАНСТВ
49
1. Введение
Банахово функциональное пространство E на [0, 1] с мерой Лебега называется перестановочно-инвариантным (r. i.) или симметричным, если
1) из |x(t)| ≤ |y(t)| и y ∈ E вытекает x ∈ E и xE ≤ yE ;
2) из равноизмеримости x(t), y(t) и y ∈ E следует x ∈ E и xE = yE .
Всюду в дальнейшем будем предполагать, что E сепарабельно или сопряжено к сепарабельному пространству. Обозначим через κe (t) характеристическую функцию измеримого
множества e ⊂ [0, 1].
Для любого τ > 0 оператор растяжения
x( τt ), 0 ≤ t ≤ min(τ, 1);
στ x(t) =
0,
min(τ, 1) < t ≤ 1,
ограничен в r. i. пространстве E и στ E→E ≤ max(1, τ ). Числа
ln στ E
ln στ E
, βE = lim
τ →∞
ln τ
ln τ
называются индексами Бойда пространства E. Всегда 0 ≤ αE ≤ βE ≤ 1. Без ограничения
общности можно считать, что κ(0,1) E = 1.
Eсли E — r. i. пространство, то через E обозначается множество измеримых на [0, 1]
функций, для которых
1
xE = sup
x(t)y(t)dt < ∞.
αE = lim
τ →0
yE ≤1 0
E,
Пространство
ассоциированное к r. i. пространству E, само является r. i. пространством. Eсли E сепарабельно, то E совпадает с сопряженным пространством E ∗ и их нормы
равны. Eсли E сепарабельно, то вложение E ⊂ E изометрично.
Eсли E, F — r. i. пространства, то равенство E = F означает совпадение этих пространств
как множеств. В этом случае их нормы эквивалентны по теореме о замкнутом графике.
R. i. пространство E называется максимальным, если E совпадает с E . Таковым является, например, пространство L1 . Eсли E максимально и E = L1 , то E изоморфно сопряженному пространству. А именно, E изоморфно пространству ((E )0 )∗ , где через E0
обозначается замыкание L∞ в E. Пространство E0 сепарабельно, за исключением случая
E = L∞ .
Система функций
 n
1 −n
−n

2 2 ,n (k − 1)2 < t < (k − 2 )2 ;
χ00 (t) = 1, χkn (t) = −2 2 , (k − 12 )2−n < t < k2−n ;

0
для остальных t ∈ [0, 1],
где 1 ≤ k ≤ 2n , n = 0, 1, . . . , называется системой Хаара (сокращенно с. Х.). Множество
индексов (n, k), соответствующих функциям Хаара, будем обозначать через Ω. Формула
m = 2n + k устанавливает взаимно однозначное соответствие между Ω и множеством натуральных чисел N и позволяет использовать одноиндексную с. Х. {χm }.
Всякая последовательность λ = (λ1 , λ2 , . . .) порождает мультипликатор Λ, который на
полиномах по с.Х. определяется следующим образом:
cm χm =
λm cm χm .
Λ
m
m
С. Х. образует монотонный базис в любом сепарабельном r. i. пространстве.
50
К.С. КАЗАРЯН, E.М. СЕМЕНОВ, С.Н. УКСУСОВ
Все изложенные выше сведения о r. i. пространствах и с. Х. можно найти в монографиях
[1]–[4]. Изложению основных свойств рядов Фурье–Хаара посвящены обзоры [5], [6].
В данной работе даются полные ответы на следующие два вопроса: когда с. Х. образует
ограниченно полный (раздел 2) и усиленно условный (раздел 3) базис в сепарабельном r. i.
пространстве? Определения см. в разделах 2 и 3.
2. Ограниченно полные базисы
Напомним определение ограниченно полного базиса ([7], 1.b.3).
ограниченно полным, если для любой
Базис {xi }∞
i=1 банахова пространства E называется
n
∞
такой,
что
sup
a
x
<
∞,
ряд
ai xi сходится в E.
последовательности чисел {ai }∞
i
i
i=1
E
n∈N i=1
i=1
Обозначим через F множество ортонормированных систем функций f = {f1 , f2 , . . .} из
L∞ [0, 1], обладающих свойствами базиса Шаудера для пространства непрерывных функций
n
ck (x)fk
на [0, 1] с нормой L∞ . Это означает, что для любой функции x ∈ C[0, 1] ряд
k=1
сходится к x по норме L∞ , где {ck (x)}∞
k=1 — коэффициенты Фурье функции x по системе f .
Хорошо известно, что с. Х. принадлежит множеству F .
Лемма. Всякая система f ∈ F образует ограниченно полный базис в любом сепарабельном
максимальном r. i. пространстве E = L1 .
Доказательство. Согласно предположению последовательность частичных сумм
(Sn x)(t) =
n
ck (x)fk (t)
k=1
равномерно ограничена как последовательность операторов из C в L∞ . Отсюда вытекает
sup Sn L∞ = sup Sn C,L∞ < ∞.
n
n
Ясно, что Sn есть интегральный оператор с симметричным ядром
Kn (t, s) =
n
fk (t)fk (s).
k=1
Для таких операторов
Sn L1 = sup
1
0≤s≤1 0
|Kn (t, s)|dt = sup
0≤t≤1 0
1
|Kn (t, s)|ds = Sn L∞ .
Отсюда
sup Sn L1 = sup Sn L∞ < ∞.
n
n
Применяя к каждому оператору Sn интерполяционную теорему Кальдерона–Митягина ([1],
2.a.10 или [2], 2.4.3), получаем sup Sn E < ∞. Из плотности span{fk } в C относительно
n
L∞ и сепарабельности E вытекает плотность span{fk } в E. Это означает, что система f
образует базис в E.
Предположим, что для некоторой последовательности {ak }∞
k=1 и некоторого C > 0
n
ak fk ≤C
k=1
E
БАЗИСЫ ПЕРЕСТАНОВОЧНО-ИНВАРИАНТНЫХ ПРОСТРАНСТВ
51
для всех n ∈ N. Как отмечалось во введении, E изометрично сопряженному пространству
((E )0 )∗ . В силу компактности в ∗-слабой топологии замкнутого шара пространства E существует функция g ∈ E и возрастающая последовательность nj ∈ N такие, что
nj
1
1
lim
z(t)
ak fk (t)dt =
z(t)g(t), dt
j→∞ 0
для всех z ∈ L∞ . Так как
0
k=1
1
0
fm (t)
nj
ak fk (t)dt = am
k=1
для всех nj ≥ m, то ck (g) = ak для всех k ∈ N, и из сходимости ряда
вытекает, что
n
k=1
ak fk сходится к g в E.
n
k=1
ck (g)fk к g в E
Теорема 1. Пусть E — сепарабельное r. i. пространство. Следующие условия эквивалентны:
(i) существует ограниченно полный базис в E,
(ii) некоторая система f ∈ F образует ограниченно полный базис в E,
(iii) всякая система f ∈ F образует ограниченно полный базис в E,
(iv) E максимально и E = L1 .
Доказательство. Импликация (iv) → (iii) доказана в лемме. Импликации (iii) → (ii) → (i)
тривиальны. Eсли выполнено (i), то в силу ([7], 1.b.4) E изоморфно сопряженному пространству. Как отмечалось в разделе 1, это означает максимальность E. Хорошо известно,
что L1 не изоморфно никакому сопряженному пространству. Например, это следует из пустоты множества экстремальных точек единичного шара пространства L1 . Поэтому E = L1 .
Этим доказано, что (i) влечет (iv).
Таким образом, в сепарабельном r. i. пространстве E существует ограниченно полный
базис тогда и только тогда, когда с. Х. образует ограниченно полный базис в E. Ранее аналогичное свойство с. Х. было известно для безусловных базисов. А именно, А.М. Олевский
доказал, что в сепарабельном r. i. пространстве E существует безусловный базис тогда и
только тогда, когда с. Х. образует безусловный базис в E ([8] или [1], c. 8).
Нетрудно привести конкретный пример, показывающий, что с. Х. не является ограниченно полным базисом в L1 . Действительно,
χ00 L1 = 2i/2 χ1i L1 = 1 для всех I = 0, 1, . . .
и
n
0 i/2 1 χ0 +
2 χi L1
i=0
Однако последовательность χ00 +
n
i=0
= 1 для всех n ∈ N.
2i/2 χ1i не имеет предела в L1 .
Понятие ограничено полного базиса является двойственным понятию натягивающего базиса ([7], 1.b.1 и 1.b.4). Eсли E — сепарабельное r. i. пространство, то E ∗ удовлетворяет
условию (iv) теоремы 1.
Следствие. Любая (некоторая) система f ∈ F образует натягивающий базис в сепарабельном r. i. пространстве E тогда и только тогда, когда E ∗ сепарабельно.
52
К.С. КАЗАРЯН, E.М. СЕМЕНОВ, С.Н. УКСУСОВ
3. Усиленно условные базисы
∗ ∞
Пусть E — банахово пространство с базисом {ek }∞
1 и {ek }1 — система координатных
∞
функционалов. Гипероктантом Γ({θk }1 ), соответствующим данному набору знаков
∞
θk = ±1, будем называть множество элементов x ∈ E, представимых в виде x =
ai θi ei ,
i=1
где все ai неотрицательны.
∞
Гипероктант Γ({θk }∞
1 ) будем называть безусловным для базиса {ek }1 , если для любого
∞
∗
ei (x)ei (разложение x по базису {ek }∞
x ∈ Γ({θk }∞
1 ) ряд x =
1 ) сходится безусловно.
i=1
Гипероктант, не являющийся безусловным для данного базиса, называется условным. В [9]
было введено понятие усиленного условного базиса.
Базис в банаховом пространстве называется усиленно условным, если для этого базиса все гипероктанты условны. По определению всякий усиленно условный базис является
условным. В [9] приведены примеры условных, но не усиленно условных базисов, и было
доказано, что с. Х. образует усиленно условный базис в пространстве L1 .
Теорема 2. В любом сепарабельном r. i. пространстве E с. Х. образует либо безусловный,
либо усиленно условный базис.
Доказательство. Нам нужно доказать следующее утверждение. Eсли с. Х. есть условный
базис в E, то с. Х. образует усиленно условный базис в E.
Обозначим через Λ мультипликатор по с. Х., определяемый последовательностью
(−1)n , k = 1;
λn,k =
0,
k = 1.
В ([10], теорема 1) доказано, что из ограниченности в E мультипликатора Λ0 , определяемого
последовательностью λn = (−1)n , вытекает, что с. Х. есть безусловный базис в E. Для
мультипликатора Λ то же самое доказательство проходит без всяких изменений. Поэтому,
предполагая противное, мы получаем утверждение о неограниченности Λ в E.
Более того, как видно из доказательства теоремы 1 [10], норму мультипликатора Λ доm
статочно оценивать лишь на функциях вида
cn χ1n , m ∈ N. Поэтому
n=0
lim
m
m
n
1
1
sup (−1) cn χn cn χn = ∞.
m→∞ {c }=0
n
E
n=0
E
n=0
Следовательно, существуют такие последовательности bm → ∞ и cn = cm,n , 0 ≤ n ≤ m, что
m
m
n
1
1
(−1) cn χn cn χn > bm .
n=0
E
n=0
E
Докажем теперь, что для любого набора знаков θn,k = ±1, 1 ≤ k ≤ 2n , 0 ≤ n ≤ m,
существуют такие числа θ = ±1 и 1 ≤ kn ≤ 2n , что равноизмеримы следующие пары
функций:
m
n=0
m
n=0
cn χ1n (t)
и θ
(−1)n cn χ1n (t) и θ
m
n=0
m
n=0
θn,kn |cn |χknn (t),
(1)
(−1)n θn,kn |cn |χknn (t).
(2)
БАЗИСЫ ПЕРЕСТАНОВОЧНО-ИНВАРИАНТНЫХ ПРОСТРАНСТВ
53
Положим k1 =1 и θ = θ0,1 sign c0 . Ради простоты обозначений будем предполагать, что θ = 1.
Числа kn будем строить по индукции. Предположим, что 0 ≤ j < m и функции
j
n=0
j
n=0
cn χ1n (t)
j
и
n=0
j
(−1)n cn χ1n (t) и
равноизмеримы. Положим
kj+1
n=0
θn,kn |cn |χknn (t),
(3)
(−1)n θn,kn |cn |χknn (t)
(4)
2kj − 1, если θj,kj sign cj = 1;
=
если θj,kj sign cj = −1.
2kj ,
При таком выборе переход от j к j+1 в обеих функциях (3) осуществляется заменой значе
j
j
cn на множестве меры 2−j−1 на два значения
cn ± cj+1 на множествах меры
ния
n=0
n=0
2−j−2 . Аналогичные рассуждения можно провести и для функций (4).
Равноизмеримость пар функций (1) и (2) влечет равенство их норм. Поэтому
m
m
(−1)n θn,kn |cn |χknn (−1)n cn χ1n E
E
n=0
= n=0
≥ bm .
m
m
kn
1
θn,kn |cn |χn cn χn E
n=0
E
n=0
Это означает, что для любого набора знаков θn,k = ±1, 1 ≤ k ≤ 2n , 0 ≤ n ≤ m, выполнено
неравенство
2n
2n
m m k
k
max νn,k cn,k χn θ
c
χ
n,k
n,k
n
≥ bm .
νn,k =±1
cn,k ≥0
Следовательно,
lim
min
m→∞ θn,k =±1
E
n=0 k=1
E
n=0 k=1
2n
2n
m m k
k
max νn,k cn,k χn θn,k cn,k χn = ∞.
νn,k =±1
cn,k ≥0
E
n=0 k=1
n=0 k=1
E
(5)
В [9] доказана лемма, согласно которой базис {ek }∞
k=1 в банаховом пространстве X является
усиленно условным базисом в том и только том случае, когда числа
n
n
ak νk ek ak θk ek Cn = inf sup sup θk =±1 a >0 ν =±1
j
j
k=1
k=1
образуют неограниченную последовательность.
В силу упомянутой леммы, равенство (5) означает, что с. Х. образует усиленно условный
базис в E.
Хорошо известно ([1], c. 6 или [2], 2.9.6), что с. Х. образует безусловный базис в сепарабельном r. i. пространстве E тогда и только тогда, когда 0 < αE ≤ βE < 1, где αE и βE —
индексы Бойда пространства E. Отсюда и из теоремы 2 вытекает
Теорема 3. Для того чтобы с. Х. была усиленно условным базисом в сепарабельном r. i.
пространстве E необходимо и достаточно, чтобы αE = 0 или βE = 1.
54
К.С. КАЗАРЯН, E.М. СЕМЕНОВ, С.Н. УКСУСОВ
Литература
[1] Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach spaces II. Function spaces. – Berlin: Springer-Verlag, 1979. –
243 p.
[2] Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семенов E.М. Интерполяция линейных операторов. – М.: Наука, 1978. –
400 с.
[3] Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды. – М.: Наука, 1984. – 496 с.
[4] Novikov I., Semenov E. Haar series and linear operators. – Dordrecht: Kluver Acad. Publ., 1997. – 218 p.
[5] Uljanov P.L. Haar series and related questions / Alfred Haar Mem. Conf.: Budapest, 1985. – V. 49. – P. 57–95.
[6] Голубов Б.И. Ряды по системе Хаара // Итоги науки и техн. Матем. анализ. – М.: ВИНИТИ, 1971. –
С. 109–146.
[7] Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach spaces I. Sequence spaces. – Berlin: Springer-Verlag, 1977. –
190 p.
[8] Олевский А.М. Ряды Фурье и функции Лебега // УМН. – 1967. – Т. 22. – С. 236–239.
[9] Кадец В.М., Попов М.М. О базисах Шаудера, условных в каждом гипероктанте // Сиб. матем. журн.
– 1987. – Т. 28. – № 1. – С. 115–118.
[10] Лелонд О.В., Семенов E.М., Уксусов С.Н. Пространство мультипликаторов Фурье– Хаара // Сиб.
матем. журн. – 2005. – Т. 46. – № 1. – С. 130–138.
К.С. Казарян
профессор, департамент математики, C-XV,
Автономный университет Мадрида, 28049, г. Мадрид, Испания,
e-mail: kazaros.kazarian@uam.es
E.М. Семенов
профессор, кафедра теории функций и геометрии,
математический факультет,
Воронежский государственный университет,
394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1,
e-mail: nadezhka_ssm@geophys.vsu.ru
С.Н. Уксусов
старший преподаватель, кафедра теории функций и геометрии,
математический факультет,
Воронежский государственный университет,
394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1
Kazaros Kazarian
Depto de Matematicas, C-XV, Universidad Autonoma de Madrid, Madrid, 28049, Spain,
e-mail: kazaros.kazarian@uam.es
E.M. Semenov
Professor, Chair of Theory of Functions and Geometry,
Mathematical Faculty, Voronezh State University,
1 Universitetskaya sq., Voronezh, 394006 Russia,
e-mail: nadezhka_ssm@geophys.vsu.ru
S.N. Uksusov
Senior lecturer, Senior lecturer, Chair of Theory of Functions and Geometry,
Mathematical Faculty, Voronezh State University,
1 Universitetskaya sq., Voronezh, 394006 Russia,
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
167 Кб
Теги
инвариантная, пространство, перестановочной, базиса
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа