close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Бифуркация ограниченных решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

код для вставкиСкачать
2002
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 7 (482)
УДК 517.925

Ю.В. УСАЧЕВ
БИФУРКАЦИЯ ОГРАНИЧЕННЫХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим в Rn обыкновенное дифференциальное уравнение
x_ = A(")x + F (x; ");
(1)
m
+2
m
+2
где " | параметр, A(") 2 C , F (x; ") 2 C , kxk 0 , j"j 0 . Здесь и ниже kk | евклидова
норма в Rn , m 1, F (0; ") = 0, Fx0 (0; ") = 0. Пусть матрица A(") имеет собственные числа
k (") = k (") + ik ("); k (") = k (") ; ik ("); r (") = r ("); k = 1; l; r = l + 1; n ; l; l 1;
такие, что
s (") = O("s ) при " ! 0; s > 0; s = 1; n ; l; k (0) 6= 0; rang A(0) = 2l:
Предположим также, что выполняется условие
l
X
j =1
qj j (0) 6= 0; где целые числа qj такие, что 0 <
l
X
j =1
jqj j m + 2:
Определение. Значение "0 параметра " называется точкой бифуркации ограниченных решений уравнения (1), если для любого > 0 существует такое " , что 0 < j" ;"0 j и уравнение
(1) имеет ненулевое ограниченное решение x(t; " ), удовлетворяющее неравенству kx(t; " )k для любых t 2 R.
Исследуется проблема бифуркации ограниченных решений дифференциального уравнения
(1) из положения равновесия x = 0 при " = 0. Задача бифуркации (рождения) периодических
решений для случая n = 2l рассматривалaсь в [1], [2]. Бифуркация квазипериодических решений
для того же случая изучена в ([3], с. 62). В данной статье исследуется ситуация, когда n 2l.
Выполним нормализацию уравнения (1) до членов порядка m + 1 включительно ([4], с. 150).
Тогда, предполагая, что первые отличные от нуля члены нормализованной системы имеют порядок m0 + 1, 1 m0 m, можем записать
X
l+1
z_k = k (")zk + zk Akq (")jz1 j2q1 : : : jzl j2ql zlq+1
: : : znqn;;ll + Zk (z ; ");
(2)
z_r = r (") + zr
q
X r
a (")jz
q
q
1
j q1 : : : jzl j ql zlql+1 : : : znqn;;ll + Zr (z ; ");
2
2
+1
(3)
где k = 1; l, r =Pl + 1; n ; l, q = (q1 ; : : : ; qn;l ), z = (z1 ; z 1 ; : : : ; zl ; z l ; zl+1 ; : : : ; zn;l ), Akq (") = akq (") +
ibkq ("); символ означает, что суммирование ведется по индексам q, удовлетворяющим условию
q
2
l
X
j =1
qj +
n;l
X
j =l+1
qj = m ;
0
функции Zk (z ; "), Zr (z ; ") имеют в нуле по z порядок малости m0 +2. Отметим, что уравнения
для z k , k = 1; l, являются комплексно-сопряженными к (2).
50
Положим zk = k exp ik , k = 1; l, и перепишем систему (2), (3) в координатах k , k , zr ,
r = l + 1; n ; l. В результате получим
X
_k = k (")k + k akq (") q1 : : : l ql zlql+1 : : : znqn;;ll + k (; ze; ");
(4)
2
1
q
_k = k (") +
2
+1
X k
b (")2q1 : : : 2ql z ql+1 : : : zqn;l
q
q
z_r = r (")zr + zr
l
1
n;l
l+1
+ 1 Tk (; ze; ");
k
X r
a (")2q1 : : : 2ql zql+1 : : : z qn;l
q
q
l
1
l+1
n;l
+ Zer (; ze; ");
(5)
(6)
здесь k = 1; l, r = l + 1; n ; l, ze = (1 ; : : : ; l ; zl+1 ; : : : ; zn;l ), = (1 ; : : : ; l ); k (; ze; "), Tk (; ze; "),
Zer (; ze; ") | 2-периодические по функции, имеющие порядок малости по ze в нуле, равный
m0 + 2.
Пусть m0 нечетно, и предположим, что существует число p, 1 p n ; l, удовлетворяющее
условию
p (") = 0; s = 1; n ; l; p 6= s; ap
lim
(q1 ;:::;qp;1 ;m0 ;qp+1 ;:::;qn;l ) (0) 6= 0:
"!0 s (")
Тогда, как показано в [5], система уравнений
X
l+1
_k = k (")k + k akq (")12q1 : : : l2ql zlq+1
: : : znqn;;ll ;
z_r = r (")zr + zr
q
X r
a (")2q1 : : : 2ql zql+1 : : : zqn;l ;
q
q
l
1
l+1
n;l
k = 1; l; r = l + 1; n ; l;
имеет ненулевое состояние равновесия вида
ze0(") = O(" ) при " ! 0; где = (1 ; : : : ; n;l ); min fj g = 0 > 0:
j =1;n;l
Выполним в (4), (5), (6) замену
ze = ze0 (") + "30 =2 y; y = (y1 ; : : : ; yn;l):
(7)
В результате в координатах y, получим систему
y_ = C (")y + "m0 0 H (; y; ");
(8)
m
0
0
_ = B (") + " R(; y; ");
(9)
в которой C (") = diag(1 ("); : : : ; l ("); l+1 ("); : : : ; n;l (")), B (") = diag(1 ("); : : : ; l (")); H (; y; "),
R(; y; ") | 2-периодические по функции.
Обозначим max fj g = .
j =1;n;l
Теорема. Если
m > p
0 0
и
< 3 =2,
0
то
"=0
| точка бифуркации ограниченных
(1).
Доказательство. Рассмотрим множество Tn непрерывных n-периодических функций fn (t),
удовлетворяющих неравенствам
kfn(t)k M; kfn(t1) ; fn(t2 )k K jt1 ; t2j
для любых t; t1 ; t2 2 R; M; K 2 R+ , n 2 N. Покажем, что в Tn существует функция fn (t) такая,
что на множестве R n Rn , Rn = ft : t = n=2 + kn; k 2 Zg, при малых " выполнено тождество
f_n(t) C (")fn (t) + "m0 0 Hn (n (t); fn(t); ");
(10)
где = n (t) | решение уравнения (9) при подстановке в правую часть вместо y функции fn (t),
продолжимое на R (указанное решение существует в силу условия < 30 =2); Hn (n (t); fn (t); ")
| функция на промежутке ] ; n=2; n=2], совпадающая с H (n (t); fn (t); "), а вне этого промежутка
решений дифференциального уравнения
51
определена по периодическому закону. Зависимость функций fn (t) и n (t) от " не отмечается,
т. к. " считается фиксированным в промежутке j"j 0 . Нахождение функции fn (t), удовлетворяющей при t 2 R n Rn и малых " тождеству (10), сведем к нахождению на множестве Tn
неподвижной точки оператора Ln , определенного равенством
(Ln fn )(t) =
Z +1
;1
G(t ; t ; ")"m0 0 Hn(n(t ); fn(t ); ")dt ;
1
1
1
1
где G(t; ") | квадратная матрица порядка n ; l, обладающая свойствами ([3], с. 358)
1) G(t; ") 2 C 1 (R0 ), R0 = R n f0g,
2) G(+0; ") ; G(;0; ") = E ,
3) kG(t; ")k exp(;jp (")j jtj) при t 2 R0 ,
4) G_ (t; ") = C (")G(t; ") при t 2 R0 .
Докажем непрерывность оператора Ln . Пусть fn1 (t); fn2 (t) 2 Tn , = n1 (t), = n2 (t) | решения
уравнения (9) при подстановке в правую часть вместо y соответственно функций fn1(t), fn2 (t).
Тогда
k(Ln fn2)(t) ; (Ln fn1)(t)k =
Z +1
m
2
2
1
1
0
0
=
G(t ; t1; ")" (Hn (n (t1 ); fn (t1 ); ") ; Hn(n (t1 ); fn (t1 ); "))dt1 ;1
2jj"j (")j
m0 0
p
sup
t2 ];n=2;n=2]
kHn(n (t ); fn (t ); ") ; Hn(n (t ); fn (t ); ")k: (11)
2
1
2
1
1
1
1
1
В силу определения функция Hn (n (t); fn (t); ") совпадает на промежутке ] ; n=2; n=2] с функцией
H (n(t); fn (t); "). Но H (n (t); fn (t); ") непрерывно зависит от n(t) и fn(t), функция n(t) в свою
очередь непрерывно зависит от fn (t) при любом t 2 ] ; n=2; n=2]. Тогда, учитывая неравенство
(11), можем заключить, что оператор Ln непрерывен на множестве Tn , а
m0 0
k(Ln fn)(t)k 2jj"j(")j sup kH (n(t1 ); fn(t1 ); ")k:
t1 2R
p
По условию m0 0 > p , поэтому оператор Ln отображает множество Tn в себя при малых ".
Множество функций Tn равномерно ограничено и равностепенно непрерывно, следовательно,
оно компактно в силу теоремы Арцела ([6], с. 324). Таким образом, существует , 0 < 0, такое, что при любом ", 0 < j"j , для оператора Ln на множестве Tn выполнены все
условия теоремы Шаудера ([7], с. 623). Следовательно, в Tn существует неподвижная точка fn (t)
оператора Ln .
Получили некоторую последовательность функций fn (t), равномерно ограниченную и равностепенно непрерывную при t 2 R. Рассмотрим последовательность fn (t) на [;1; 1]. По теореме Арцела существует подпоследовательность fn1k (t) последовательности fn (t), равномерно
сходящаяся на [;1; 1]. Аналогично в силу компактности fn1k (t) на [;2; 2] существует подпоследовательность fn2k (t) последовательности fn1k (t), равномерно сходящаяся на [;2; 2]. Продолжая
рассуждать аналогичным образом, получим счетное множество последовательностей
fn11 (t); fn12 (t); fn13 (t); : : : ;
fn21 (t); fn22 (t); fn23 (t); : : : ;
fn31 (t); fn32 (t); fn33 (t); : : : ;
::::::::::::::::::::::::
Рассмотрим диагональную последовательность fnkk (t). В силу построения она сходится при
любом t 2 R, причем равномерно на любом конечном промежутке. Определим функцию f (t)
52
для любого t 2 R равенством
f (t) = k!lim1 fnkk (t):
+
Пусть = (t) | решение уравнения (9) при подстановке в правую часть вместо y функции
f (t). Покажем теперь, что функции f (t), (t) удовлетворяют системе (8), (9) при всех t 2 R.
Как следует из построения последовательности fnkk (t) при любом ", 0 < j"j , на множестве
R n Rnk справедливо тождество
fnkk (t) fnkk (t0 ) +
Z t
t0
(C (")fnkk () + "m0 0 Hnk (nkk (); fnkk (); "))d:
(12)
Зафиксируем произвольно t, выберем k так, чтобы t 2 ] ; nk =2; nk =2[ и перейдем в тождестве (12)
к пределу при k ! +1. Поскольку на промежутке [t0 ; t] последовательность fnkk () равномерно
сходится к f (), то в результате предельного перехода получим
f (t) f (t0) +
Z t
t0
(C (")f () + H ( (); f (); "))d
или, выполняя дифференцирование,
f_ (t) C (")f (t) + H ( (t); f (t); "):
Учитывая замену (7), можем заключить, что для любого числа , 0 < , существует
" такое, что 0 < j" j и дифференциальное уравнение (1) имеет ненулевое ограниченное
решение x(t; " ), удовлетворяющее условию kx(t; " )k при любых t 2 R, т. е. " = 0 | точка
бифуркации ограниченных решений уравнения (1).
Литература
1. Кубышкин Е.П. Бифуркация периодических решений в критическом случае двух пар чисто
мнимых корней при наличии старших резонансов // Дифференц. уравнения. { 1986. { Т. 22.
{ Є 10. { С. 1693{1697.
2. Самойленко А.М., Полеся И.В. Рождение инвариантных множеств в окрестности положения равновесия // Дифференц. уравнения. { 1975. { Т. 11. { Є 8. { С. 1409{1415.
3. Бибиков Ю.Н. Многочастотные нелинейные колебания и их бифуркации. { Л.: Изд-во Ленинградск. ун-та, 1991. { 143 с.
4. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. { М.: Наука, 1979. { 255 с.
5. Усачев Ю.В. О наличии ненулевого состояния равновесия системы дифференциальных уравнений. { Рязанск. гос. пед. ин-т. { Рязань, 1990. { 10 с. { Деп. в ВИНИТИ 02.04.90, Є 1740-B90.
6. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. { М.: Наука, 1967. {
472 с.
7. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. { М.: Наука, 1984. { 752 с.
Рязанский государственный
Поступили
педагогический университет
первый вариант
02:07:1997
31:05:2001
окончательный вариант
53
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
136 Кб
Теги
обыкновенное, решение, ограниченными, уравнения, дифференциальной, бифуркация, система
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа