close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Вариационная задача для крыла обладающего минимальным волновым сопротивлением при заданном объеме.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ
Том
УДК
ЗАПИСКИ
1
ЦАГИ
Мб
1970
533.6.011.5:629.7.025.1
ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КРЫЛА, ОБЛАДАЮЩЕГО
МИНИМАЛЬНЫМ
ВОЛНОВЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ
ПРИ ЗАДАННОМ ОБЪЕМЕ
И. И. Бураков
Рассматривается вариационная задача определения оптимального
распределения толщины крыла заданного объема, имеющего мини­
мальное
волновое
сопротивление.
Формула для давления, действующего на крыло, представлена
в виде двух слагаемых, учитывающих плоский и пространственный
характер
крыльев
течения.
и
Это
получить
позволило
простые
выделить
суммарные
определенный
характеристики
в
класс
случае,
когда
поверхность
крыла
задается в виде
двойного
полинома.
Вариационная
задача
решается методом Ритца. Пример расчета
дан
в
для
треугольного
линейной
определению
крыла.
постановке
оптимального
рассмотрена
вариационная
задача по
распределения толщины крыла симмет­
ричного профиля, установленного под нулевым углом атаки и
имеющего заданный объем. Задача решается методом Ритца путем
выбора координатных функций.
Подобная задача
рассматривалась,
например, в работе
од­
[1],
нако численное трехкратное интегрирование и плохая устойчивость
процесса Ритца [2] сильно ограничивают возможности этого метода.
В работе [3] поставленная задача рассматривается в классе обоб­
щенных конических течений. Если же крыло со сверхзвуковыми
кромками
имеет
прямую
заднюю
кромку
и
распределение
толщин
задано двойным полиномом, то волновое сопротивл~ние такого
крыла может быть достаточно просто выражено через уравнение
передней кромки. Тем самым имеется ВОЗМОжность существенно
повысить эффективность метода Ритца.
Расчеты
проведены
для
треугольного
крыла
со
звуковой и
сверхзвуковой кромками.
1.
ком
Рассмотрим обтекание установившимся сверхзвуковым пото­
идеального
газа
произвольного
крыла,
установленного
под
нулевым углом атаки сх и имеющего симметричный црофиль (фиг.
--<
1).
Распределение толщины крыла при z=> О и z
О зададим соответ­
ственно в виде z=Цх, у) и z=-Цх, у). Известно, что коэффи-
циент волнового
сопротивления
ставлен следующей формулой:
---±- 55 lX(х, у)
Х
и~
сх =
РОО
_
-- 7tS
2
S
такого
крыла может быть пред­
J' r
д
а (Е,
дх .; у- (х _ ~)2
1j)
_
d~d'fj
~2(y
_1j)2
dxdy, (1.1)
~
D
где
-
Роо, и оо
соответственно
плотность
скорость
и
невоз­
мущенного
по­
тока;
Х-
волновое
со-
цроТивление.
крыла;
а)
D ~=
't -
_
IX (х, У ) -
Фиг.
S-
6)
1
область плоскости х, у,
11M~ -
площадь крыла;
;
ограниченная крылом;
1 (М ОО - число М набегающего потока);
область крыла, ограниченная обратным конусом Маха,
проведенным из точки (х, у) (см. фиг. 1, а);
дС (х, у)
дх
Далее нетрудно непосредственной проверкой убедиться в спра­
ведливости следующего тождества:
д
дх.
f5 у (х
IX
.
(~,
1j) d~d1j
~)2 _ ~2 (у _1j)2
_
.
==
~
Второе слагаемое в правой части формулы (1.2) учитывает
пространственный характер течения. Соотношени~ для коэффици­
ента волнового
сопротивления
сх =
:s 55
можно
IX
2
теперь переписать
в
виде
(х, у) dxdy -
D
-~
J' r ~
fJ"
7tS ~
ду. 11 (х _
D
Наложим
(Е,
1j)
У-
в
плане
~)2 _ ~2 (у __ 'fj)2 Х - ~
IX
IX
'fj
d~d 1jdxdу.
(1 3)
.
~
на
форму
крыла
некоторые
ограничения:
передняя кромка должна быть сверхзвуковой, а задняя -прямой,
перпендикулярной набегающему потоку. При этих предположениях
форму лу
(1.3)
можно преобразовать,
если
поменять местами инте­
грирование по переменной у и по области
С Х = ;~
[5 f
IX
2
(х,
y)dxdy
+1
+~;7tJdx 55 IX(~, 1j)(X-Е)dЕd1jJ
2
Получаем:
+
D
х.
о
't.
.. (х)
-1
:;:1Il-t2dt] ,
(1.4)
где
't
(х)
(см. фиг.
- часть крыла, расположенная впереди прямой х = const
б); хо-корневая хорда; t=~(У-е"fj).
1,
х-
Некоторые частные случаи формулы (1.4) можно найти в рабо­
тах [4] и [5].
2. Представим функцию местных углов атаки а(х, у) в сле­
дующем
виде:
а(х, у)= s~ а 1 (х"
Yl)=
о
здесь
s~
м
L fm(x,)yiт ,
(2.1)
о m=О
объем крыла; х, = ~; У! -:- L ; Уо - полуразмах крыла.
Q-
Хо
Уо
С учетом (2.1) формулу для коэффициента волнового сопро­
тивления (1.4) можно преобразовать в двукратный интеграл по
переменным х"
l :
e
2
СО>: ~S2 ~O
Ы2
х
м
т
S,
,
m,j=O
k=O
2k
L [L _1_ (2 k -
~
=
f f (х 1) р2
j
1)!! -:-o:-_~C-:-2_m---=-:--;-~
~~k (~k)1I
m+2j-2 k+ I
(х ,) dx, д:, j f т (~,) (е 1 -
О
Здесь
(2m+2j-2k+l)
Х
~
x 1)2 k
d~l]'
(2.2)
1
S
1
=~. ~1 = ~Yo; У!
ХоУо'
х
о
>
=
Р (х,) -- уравнение передней
кромки крыла при Уl
О.
Объем крыла представим следующим образом:
Q=
-2 SS а(х, y)xdxdy.
(2.3)
D
С учетом
получаем:
(2.1)
м
2
S1
JJalxldXldYl=S~L
1
m=О
1
2 4
т
D
+
ljXlfm(Xl)p2m+l(Xl)dXl=-I. (2.4)
О
в формулах (2.3) и (2.4) предполагается, что толщина крыла
на кромках обращается в нуль. Соотношения (2.2) и (2.4) пОЗволяют
решить поставленную вариационную задачу методом Ритца. Опти­
мальную поверхность крыла, обеспечивающую
минимум волнового
сопротивления при заданном объеме, будем искать в классе функ­
ций, заданных в виде
Z =
Q
S
Z, (х, у) =
s
Q
[р2 (х 1 ) -
2
Уl] (1 -
х1 ) х
MN
Х
L
т, n=О
а mn x~yi т (О -< т -< М, 0<; n <, N).
(2.5)
Функцию ~ (х, У) получаем из (2.5) путем дифференцирования
по
х:
Q М+l ~~
а
L L {а mn -а
[р2 (х 1 )(1 ХОm=Оn=О
Х1
a=-s
1*
n
д
х,) хl ] + а m -l, n а- [(Х 1 Х,
n
1) Х1 J}. (2.6)
3
КОЭффИIJ,иент волнового сопротивления сх с учетом
быть записан так:
.
2
cx~S2XO
22
(2;6) может
MN
~
~
=
т.j.
А mn ,
(2.7)
ji amna ji ,
n, i=O
где
А
.. =
mn. "
~ ~ c~~
"-'
k=O
S
1
1
J~ ~[p2(x
(2k - 1)!!
'2 k)II
R2 k
1'1
\
•
О
dX 1
~Х
)(l-x )xn]dx
!!
1
1
dX 1
Соответствующим образом преобразуется и формула
(2.4):
(2.9)
где
Таким
. образом,
поставле.пная
вариационная
к определению минимума выражения
(2.7)
задача
свелась
при изопериметрическом
условии (2.9). Применяя метод неопределенных множителей Лаг­
ранжа, получаем следующую систему линейных алгебраических
уравнений
для
множителя л:
определения
коэффициентов
а тn
и
неизвестного
+ лQоо = О;
+ ВОО.Оl аОl + . . + Воо ,
ВО!, а оо + В 01 , а О1 + ... + Во!,
+
О;
1
. . . . . . . . . . . . . .- . . . . . . . . . . . . . . . . . .}
в
ао о +
а О1 + ... +- В
+ ),,2 = О;
В оо , 00 ао о
MN aMN
00
01
MN, 00
B.ViN, 01
Qooaoo
здесь В mn ,
4
ji
= А mn ,
jl
+ QOlaOl +
+ Ал, mn •
MN aMN
MN, MN aMN
),,201 =
MN
+ QMNaMN=-l,
I
.
(2.10)
При этом коэффициент волнового сопротивления определяется
по формуле
(2.11 )
3.
Приведенный метод расчета оптимальных крыльев проиллю­
стрируем
на примере
толщины
треугольного
представим
в
крыла, при этом ра~ПЕеделение
относительных
координатах
z,
х
опреде­
ляемых следующим образом:
-
х=
;r де
х-ф(у)
Ь (у)
;
'f (у) -
уравнение передней кромки при у
Ь (у)
местная хорда крыла в сечении у
-
Для треугольного крыла Р
проводится особенно просто.
на
то,
что
при
нашем
>- О;
=
coost.
=
X 1, и вычислени:е интеграла ,(2.8)
Однако следует обратить ВНИЩlНие
(X 1)
выборе
координатных
функций
процесс
Ритца является в общем неустойчивым, следовательно,
особая точность при вычислении коэффициентов А тn • ji.
.z
g2..=~2
v'i
f
...~
7 17 r7
ГГJ J
/1/
Г])
r7 v
~ j;;?
W, =о
) ....-- 0,2 f'.
О.;:,
~
l/ ~ 1"--.. ~
~~
с;::::;;: f-..
/'
r-.... ~
~
11,0
~
//
~O .х
/
1#
)r/
wv
)v
~
........
~
O,d
V/ j.-'"
J
Il,~
1/
нужна
.,
- IIJ
0,<-
'"
o,d
~~
'"
1\."
t-....
J--
О
l'\
'\ 1\
~
"\ ~
.........
OJ
~
,
/
'\
.Z',
Фиг.
2
Фиг.
3
для случаев, показанных \Ш фиг. 2 и 3, коэффициенты А mn . ji
были вычислены на ЭЦВМ М-20 с двойной точностью. Видно, что
в
центральных
сечениях
относительная
толщина
крыла
z
имеет
значительно б6льшую величину, чем в концевых сечениях, и в слу­
чае звуковой передней кромки на концах крыла появляются области
с отрицательной толщиной. Эти области физически нереальны,
однако
толщина
вследствие
там
равна
их
малости
можно
практически
считать,
что
нулю.
5
Изменение
коэффициента
минимального
ления в зависимости от чисел М и
волнового
сопротив­
N приведено в таблице.
Зиачение
сХ ~S2X5
Q2
при
M=N
~1 =
~1 = 1
О
1
2
3
4
Таким образом,
щины
крыла
можно
31,25
27,1388
26,3305
26,0234
25,8916
35,0
29,0216
27,8023
27,1635
26,8020
за счет оптимального
существенно
2
перераспреде,1Iения тол­
уменьшить
его
волновое
сопро­
тивление.
ЛИТЕРАТУРА
1. К а в а с а к и Т. В сб . • Ракетная техника и космонавтика",
5, N! 3, 1967, стр. 68-74.
2. М и х л и н С. Г. Численная реализация вариационных мето­
дов. М., .Наука", 1966.
3. F е па j n М. о V а 11 е е о. Application de 1а theorie des есои1е­
ments homogenes а 1а recherche de ladaptation de certaines ailes еп regime
supersonige. ONERA, Мето Technlque N! 14, 1959.
4. Б У л ы г и н а Е. В. Крыло переменной стреловидности с задан­
т.
ным объемом и минимальным волновым сопротивлением. М., ГКАТ,
1960.
5.
К о г а н
М.
Н.
Некоторые
ковых течений. Труды ЦАГИ, выи.
интегральные
свойства сверхзву­
687, 1955.
Рукопись поступила 29/Х/I
1969 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
202 Кб
Теги
крыла, сопротивления, волновые, вариационных, заданной, объем, обладающей, задачи, минимальное
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа