close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Вейлево-геодезическое поле конусов в трехмерном римановом пространстве.

код для вставкиСкачать
2004
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 5 (504)
УДК 514.764
О.С. ГЕРМАНОВ
ВЕЙЛЕВО-ГЕОДЕЗИЧЕСКОЕ ПОЛЕ КОНУСОВ В ТРЕХМЕРНОМ
РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В [1] было введено понятие геодезического поля конусов направлений в римановом пространстве. Это поле определяется с помощью симметрического тензора aij (xk ) (xk | координаты
пространства; i; j; k = 1; n; n | размерность пространства) уравнением
aij X i X j = 0;
(1)
где X i | компоненты контрвариантного вектора, характеризующего какое-либо направление.
Поле конусов (1) было названо геодезическим, если все геодезические линии, направления которых совпадают в некоторой точке с направлением, определяемым (1), сохраняют это свойство
на всем своем протяжении. Как показано в [1], критерием того, чтобы поле конусов (1) было
геодезическим, являются равенства r(k aij) = M(k aij) , где Mk | компоненты некоторого вектора, rk | символ ковариантного дифференцирования в рассматриваемой связности, скобки
обозначают симметрирование по индексам, содержащимся в них.
В [2] в римановом пространстве рассматривались поля конусов (1), названные в [3] вейлевогеодезическими, невырожденный тензор которых удовлетворяет с некоторыми векторами Mk и
Rk и метрическим тензором пространства gij уравнению
r(k aij) = M(k aij) + R(k gij) :
(2)
Римановы пространства, допускающие существование вейлево-геодезического поля конусов, порожденного невырожденным тензорным полем aij специального типа, характеристическое уравнение которого
jaij ; gij j = 0
(3)
имеет не менее двух действительных корней, были построены в [4].
Данная работа посвящена построению трехмерных римановых пространств, допускающих
специальное (см. ниже x 2) вейлево-геодезическое поле конусов, характеристическое уравнение
которого имеет пару комплексно-сопряженных корней или один действительный корень кратности 3 (последний случай в [4] исключен).
1. Вейлево-геодезическое поле конусов
Выделим некоторые свойства вейлево-геодезического поля конусов.
Прежде всего отметим следующее: несмотря на то, что тензор этого поля определен с точностью до произвольного функционального множителя, геометрические свойства поля не зависят
от выбора нормирования его тензора.
Действительно, для тензора aeij такого, что aij = aeij ( | некоторая функция координат),
@
f a
e g , где M
f = M ; ;1 @ , R
из (2) следует r(k aeij) = M
(k eij ) + R
(k ij )
k
k
k e k = ;1 Rk , @k @xk . Кроме
того, форма уравнений (2) инвариантна относительно конформных преобразований ([5], с. 161)
связности.
24
Действительно, если пространство Вейля Wn с основным тензором Wg ij и дополнительным
W
W
вектором !k (rk Wg ij = 2!k Wg ij , rk | символ ковариантного дифференцирования в Wn ) конформно риманову пространству Vn , то ([5], с. 161) Wg ij = gij , а вектор !k является вектором конформW
ного преобразования, то r(k aij) = M W(k aij) + RW(k gij) , где MkW = Mk + 4!k , RkW = Rk ; 2!e gej ajk .
Поскольку основной тензор пространства Вейля невырожден ([5], с. 153), то при невырожденности тензора поля (1), (2) уравнения RkW = 0 разрешимы относительно !k . Это означает, что
среди всех пространств Вейля, конформных риманову пространству, допускающему вейлевогеодезическое поле конусов, порожденное невырожденным тензором aij , существует такое, в
котором это поле является геодезическим ([5], с. 186) и объясняет название поля (1), (2).
2. Специальное вейлево-геодезическое поле конусов
Рассмотрим в трехмерном римановом пространстве, допускающем вейлево-геодезическое поле конусов, порожденное невырожденным тензором aij , характеристическое уравнение (3) (далее, если не оговорено противное, i; j; k = 1; 2; 3).
Поскольку тензор поля (2) по предположению невырожден, то все корни уравнения (3) отличны от нуля и один из них (обозначим его 3 ) действительный. Два других корня могут
быть и комплексными. Pимановы пространства, допускающие вейлево-геодезическое поле конусов, характеристическое уравнение которого имеет только действительные корни, среди них
| не менее двух различны, исследованы в [4]. Далее будем считать, что 1;2 | комплексносопряженные корни.
Очевидно, размерности векторных пространств, образованных собственными векторами, соответствующими комплексно-сопряженным корням и действительному, равны соответственно
двум и единице, и эти подпространства ортогональны друг другу. Будем предполагать, что они
неизотропны, а их поля голономны, и называть, следуя [6], такое поле конусов специальным.
Поскольку матрица основного тензора риманова пространства симметрическая, то ее стандартным методом ([7], с. 169) можно привести к каноническому (диагональному) виду gii =
gii (xk ), gij = 0, i 6= j .
Во введенной системе координат компоненты тензора специального вейлево-геодезического
поля конусов будут иметь вид a12 = a12 (xk ), a13 = a23 = 0, a33 = 3 g33 и (так оказывается
удобнее) a11 = U1 g11 , a22 = U2 g22 , где U1 , U2 | некоторые функции. Таким образом, во введенных
координатах
ds2 =
3
X
gii (dxi )2 ;
i=1
aij dxi dxj = U1g11 (dx1 )2 + 2a12 dx1 dx2 + U2 g22 (dx2 )2 + 3 g33 (dx3 )2 ;
(4)
(5)
где gii (i = 1; 3), 3 , a12 | отличные от нуля функции, U1 , U2 |произвольные функции координат, поэтому
s
2
U
U
a212 ; = (xk ):
1 + U2
1 ; U2
1;2 = 2 +
(6)
2
g11 g22 3 3
Последнее показывает, что комплексная сопряженность корней 1 и 2 эквивалентна тому, что
(U1 ; U2 )2 < ;4(g11 g22 );1 a212 :
(7)
Заметим, что при необходимости действительный корень уравнения (3) можно считать равным единице. Это обеспечивается тем, что тензор поля (1) определен с точностью до функционального множителя.
25
3. Специальное вейлево-геодезическое поле конусов
в трехмерном римановом пространстве
Рассмотрим уравнения (2), определяющие специальное вейлево-геодезическое поле конусов
(5) в римановом пространстве с метрикой (4), и положим
Mi = @i ln m2i ;
(8)
где mi | некоторые не равные нулю функции координат.
При i = 1, j = 2, k = 3 из (2) получаем
a12 = m23g11 g22 b;
(9)
где b | отличная от нуля функция переменных x1 и x2 . Эти же уравнения при i = j = k дают
Ui + @ g m2 b; i; j = 1; 2; i 6= j; R = m2@ 3 :
(10)
Ri = m2i @i m
j ii 3
3
3 3 m2
2
3
i
После этого из (2) при i = k = 1; 2; j = 3 выводим
Ui = 3 + m23 gii vi ; i = 1; 2;
(11)
где v1 , v2 | некоторые функции переменных x1 и x2 . Прежде всего рассмотрим случай v1 v2 6= 0
(U1;2 6= 3 ). Уравнения (2) при i = k = 3, j = 1; 2 записываются в виде
2
2
m
m
3 gii
3
@i m g vi = ; m b@j ggii ; i 6= j:
i
33
j
33
Обозначив
; m 2
3
mi
= i ,
gii
g33
= hi , i = 1; 2, перепишем их следующим образом:
ivi @i hi + i b@j hi + 0@3 hj = ;@i (ivi )hi ; i 6= j:
(12)
Методы решения уравнений (12) существенно зависят от того, являются они однородными
(@i (i vi ) = 0) или нет ([8], с. 248). В случае неоднородных уравнений (12) для нахождения их
решений необходимо составить соответствующие им системы обыкновенных дифференциальных
уравнений
dx1 = dx2 = dx3 = ; dh1
dx1 = dx2 = dx3 = ; dh2
и
(13)
1 v1 1b 0
@1(1 v1 )h1 2b 2 v2 0
@2 (2 v2 )h2
и найти их независимые интегралы. Если 'i1 (xk ; h1 ) = const и 'i2 (xk ; h2 ) = const (i = 1; 3) |
искомые интегралы, то общие решения (12) удовлетворяют соотношениям j ('1j ; '2j ; '3j ) = 0,
где 1, 2 | произвольные функции трех переменных ([8], с. 253). Решения (12) получатся в
явном виде, если разрешить эти соотношения относительно h1 и h2 . Если же (12) однородны, то
их общие решения имеют вид hj = j ('2j ; '1j ), j = 1; 2, где j | произвольные функции двух
переменных, а 'i1 , 'i2 (i = 1; 2) | независимые интегралы следующих систем соответственно:
v1;1 dx1 = b;1 dx2 = dx3 : 0 и b;1dx1 = v2;1dx2 = dx3 : 0.
Независимо от того, однородны уравнения (12) или нет, при нахождении их решений приходится одновременно интегрировать уравнения v1;1 dx1 = b;1 dx2 и b;1 dx1 = v2;1 dx2 , которые
показывают, что \постоянные" интегрирования в (9) и (11) связаны соотношением
b2 = v1 v2:
(14)
Это вместе с (11) и (9) дает, что все корни уравнения (3) действительны.
Таким образом, установлена
26
Лемма. Трехмерное риманово пространство не допускает существования специального
вейлево-геодезического поля конусов, порожденного формой, имеющей в специальной системе координат представление (5), характеристическое уравнение которого имеет комплексносопряженные корни (6), если хотя бы одна из функций U1 или U2 не равна 3 .
Однако при v1 v2 6= 0 выделяется случай g11 v1 + g22 v2 = 0, интересный тем, что уравнение
(3) имеет один действительный корень 3 , кратность которого равна размерности пространства
(случай, исключенный в [4]), поэтому прежде всего разберем его. Для этого продолжим решение
уравнений (12).
1) Оба уравнения (12) неоднородны. В силу (14) соответствующие (12) системы (13) имеют
один общий для них независимый интеграл | решение уравнения jv1 j;1=2 dx1 = jv2 j;1=2 dx2 .
Условия его интегрируемости требуют, чтобы jv1 j;1=2 = @1 Q, jv2 j;1=2 = @2 Q, где Q | некоторая функция x1 , x2 , поэтому первый независимый интеграл систем (13), общий для них, имеет
вид Q = const. Второй независимый интеграл этих систем, также общий для них, очевиден
x3 = const. Поэтому для решения уравнений (12) осталосьi найти третьи независимые
интеграi
dhj
лы систем (13), интегрируя соответственно уравнения dxi vi = ; @i (dhi vii )hi или dx
=
;
i b
@j (j vj )hj ,
i; j = 1; 2, i 6= j .
Их условия интегрируемости требуют, во-первых, чтобы @i (i vi ) = ki = const 6= 0, i vi =
fi (xi ), i = 1; 2 (i vi = ki xi + di , di = const, i = 1; 2, по i не суммируется!), и, во-вторых, чтобы
1b, 2 b не зависели от координат x1 и x2 соответственно. Поэтому vi b;1 = (ki xi + di )'i , i; j =
1; 2, i 6= j , '1 (x2 ), '2 (x1 ) | некоторые функции указанных переменных такие, что (см. (14))
(k1 x1 + d1 )(k2 x2 + d2 )'1 '2 = 1. Это дает '2 (k1 x1 + d1 ) = C , '1 (k2 x2 + d2 ) = C1 , C = const 6= 0 и
1b = C (k2 x2 + d2), 2b = C1 (k1 x;1 + d1 ). Как легко проверить, vv21 = C1 kk12 xx12 ++dd12 2 , поэтому (k1 x1 + d1 )@1 Q + C (k2 x2 + d2 )@2 Q = 0, откуда
Q = Q(W ), где Q | некоторая функция переменной W = (k1x1 + d1) k11 =(k2 x2 + d2 ) Ck1 2 .
Итак, уравнения, определяющие третьи
независимые интегралы
систем (13), приводятся к
1
dh2 и
dx2
dh1
виду ki xdxi +i di = ; kdhi hii , i = 1; 2, или k1Cdx
=
;
=
;
x1 +d1
k2 h2
C (k2 x2 +d2 )
k1 h1 . Их интегрирование
k
Ck
дает (ki xi + di )hi = const, i = 1; 2 (h1 (k2 x2 + d2 ) Ck12 = const, h2 (k1 x1 + d1 ) k12 = const). Поэтому
общие решения (12) удовлетворяют
соответственно уравнениям
i (Q; x3 ; hi (ki xi +di )) = 0, i = 1; 2
k
Ck
1
2
(G1 (Q; x3 ; h1 (k2 x2 +d2 ) Ck2 ) = 0, G2(Q; x3 ; h2 (k1 x1 +d1 ) k1 ) = 0), где 1 , 2 , G1 , G2 | произвольные
функции трех переменных.
Разрешив их относительно h1 и h2Ck
, получим h1 = F1 (W; x3 )(k1 x1 +
k
d1 ); 12 (k2 x2 + d2 ); 2Ck1 2 , h2 = F2 (W; x3 )(k2 x2 + d2 ); 12 (k1 x1 + d1 ); 2k21 , где F1 , F2 | произвольные
функции двух переменных.
И, наконец, рассмотрим уравнения (2) при i = j = 1, k = 2 и i = j = 2, k = 1
g
g
ii
ii
2
3
@i i vj ; g vi = j i b @j ( b)2 g ; i 6= j:
jj
j
jj
В силу (14)
и равенства g11 v1 + g22 v2 = 0 эти уравнения совпадают и приводятся к виду
; v 3
1
2
@1 (1 v2 ) = 2 b @2(2 v1 ). Отсюда, учитывая уже определенное, получаем k1 = Ck2 , следовательно, hi = Fi (W; x3 )[(k1 x1 + d1 )(k2 x2 + d2 )]; 12 , i = 1; 2, W = (k1 x1 + d1 )=(k2 x2 + d2 ).
2) Пусть @1 (1 v1 ) = 0, @2 (2 v2 ) 6= 0. При этом первое из уравнений (12) является однородным,
и для его решения достаточно найти два независимых интеграла системы v1;1 dx1 = b;1 dx2 ,
dx3 = 0 ([8], с. 249), а для определения h2 по-прежнему необходимо решить второе уравнение
системы (12).
Исследование полученных уравнений снова приводит к (14), где v1 = (@1 Q);2 , v2 = (@2 Q);2 ,
а Q | произвольная функция переменных x1 , x2 , причем Q = const, x3 = const являются
независимыми интегралами соответствующих (12) систем обыкновенных дифференциальных
уравнений. Знание их позволяет написать решение первого из уравнений (12) h1 = Fe1 (Q; x3 ),
где Fe1 | произвольная функция двух переменных. Общее решение второго из уравнений (12)
27
ищется так же, как и раньше, и имеет вид h2 = Fe2 (Q; x3 )[(kx2 +d2 )ek ];1=2 , где Fe2 | произвольная
функция двух переменных, | некоторая функция x1 , k 6= 0, d2 постоянны. При этом 2 v2 =
kx2 + d2 , 1 b 0 = 1, 1 v1 не зависит от x1 , 2 b не зависит от x2 .
Так как v2 b;1 = bv1;2 = (kx2 + d2 ) 0 и vi = (@i Q);2 , i = 1; 2, то @1 Q +(kx2 + d2 )@2 Q = 0. Отсюда
Q = Q(W ), где W = ; k1 ln jkx2 + d2 j, 1 v1 = kx2q+d2 , 1 b = q 0 , q | произвольная функция x3 .
Последнее из уравнений (2) при i = j 6= k, i; j; k = 1; 2 теперь записывается в виде 2 00 = ;k 0 2
и дает = k1 ln jkx1 + d1 jC , где C 6= 0, d1 постоянны.
3)
p
Таким образом, h1 = F1 (W; x3 ), h2 = (kx1 +Fd21(W;x
.
) kx2 +d2
3) Наконец, решение однородных уравнений (12) имеет вид hj = Fj ( 1j ; 2j ), j = 1; 2, где
Fj | произвольные функции двух переменных, j1 , j2 | независимые интегралы систем (13).
Один из них, общий для этих систем, очевиден x3 = const. Вторые являются решениями уравнений v1;1 dx1 = b;1 dx2 , b;1 dx1 = v2;1 dx2 . Отсюда снова b2 = v1 v2 , vi = (@i Q);2 , i = 1; 2, Q |
произвольная функция x1 , x2 , причем соотношение Q = const является вторым независимым
интегралом систем (13), общим для них.
2
Итак, hj = Fj (Q; x3 ), j = 1; 2. При этом i vi = fi (xj ; x3 ), i; j = 1; 2, i 6= j . Так как dx1 v11 = dx
2 b ,
то 1 b = g1 (x1 ; x3 ). Подобные же рассуждения дают 2 b = g2 (x2 ; x3 ) (g1 , g2 | произвольные
функции указанных переменных). Поскольку v1;1 b = v2 b;1 и обе части этого равенства не зависят от x3 , g1 = f1 (x2 ; x3 ), g2 = ;1 f2(x1 ; x3 ), где | произвольная функция x1 , x2 такая,
что @1 = @1 ln jf2 j, @2 = ;@2 ln jf1 j. Но @3 @1 = @3 @2 = 0, поэтому f1 = p01 (x2 )q1 (x3 ),
f2 = p02(x1 )q2 (x30) (pi , qi, i = 1; 2, | произвольные функции указанных переменных), таким
образом, = C pp012 , C = const 6= 0 и 1 v1 = p01 q1 , 1 b = Cp02q1 , 2 v2 = p02 q2 , 2 b = C1 p01 q2 .
0
Теперь легко получить @@12 QQ = ;C pp201 , откуда Q = Q(W ), гдe W = Cp2 ; p1 , следовательно,
hj = Fj (W1x3 ), j = 1; 2.
; ; Из оставшихся уравнений (2) имеем p002 (p01 )2 = C (p02 )2 p001 , и поэтому p102 0 = C p101 0 = ;k =
const. Отсюда при k = 0 получим p1 = k2 x2 + d2 , p2 = k1 x1 + d1 (ki 6= 0, di , i = 1; 2, постоянны),
следовательно, W = Ck1 x1 ;k2 x2 . Если же k 6= 0, то p2 = k1 ln jkx1 +d2 j+C1, p1 = Ck ln j Ck x2 +d2 j+C2
kx1 +d1 .
(Ci , di постоянны, i = 1; 2) и W = C kx
2 +d2
Итак, доказана
Теорема 1. Если трехмерное риманово пространство допускает специальное вейлево-геодезическое поле конусов, характеристическое уравнение которого имеет один действительный
корень кратности 3, то в специальной системе координат метрическая форма этого пространства и форма, определяющая поле конусов, приводятся соответственно к виду (4), (5),
где U1 , U2 , 3 6= 0 | функции, связанные соотношениями (11), a12 имеет вид (9), а \дополнительные" векторы поля | (8) и (10), где mi 6= 0, i = 1; 3; | произвольные функции координат,
b 6= 0, v1 , v2 | произвольные функции x1 , x2, связанные соотношением (14), vi = (@i Q);2 ,
i = 1; 2; Q | произвольная функция W и
3 )g33
1 d1
kj
i
i
, W = kk12 xx2 +
1) gii = p(k1Fxi1(+W;x
+d2 , i vi = ki x + di , j b = ki (ki x + di ) (i; j = 1; 2, i 6= j ,
d1 )(k2 x2 +d2 )
по i не суммируется!);
3 )g33
1 +d1 )2
q
2
p
2) g11 = F1 (W; x3 )g33 , g22 = (kx1F+2 (dW;x
, W = (kx
2 +d2 , 1 v1 = kx2 +d2 , 2 v2 = kx + d2 ,
kx
2
1 ) kx +d2
1 b = kx12+q d1 , 2 b = kx12+d1 ;
3) gii = Fi (W; x3 )g33 , i = 1; 2; где
а) W = Ck1 x1 ; k2 x2 , 1 v1 = k2 q1 , 1 b = Ck1 q2 , 2 v2 = k1 q2 , 2 b = kx2 +q2Cd2 ,
q2
1 , b = Cq1 , v = q2 , b =
б) W = C kxkx21++Cdd12 , 1 v1 = kx2Cq+Cd
2
kx1 +d1 2 2 kx1 +d1 2
kx2 +Cd2 .
2
При этом во всех случаях g33 | произвольная функция трех, F1 , F2 | двух, q , q1 , q2 | одной
указанных переменных, g11 v1 + g22 v2 = 0, C , k , k1 , k2 | отличны от нуля, d1 , d2 | произвольные
постоянные.
28
Отметим, что во всех случаях \дополнительный" вектор Mk градиентен. Доказательство
этого представлено только для первого случая (остальные доказываются аналогично).
2
Так как m2i = ki (kkjj xmj3+bdj ) , i 6= j , то в силу (14) Mi = @i ln m23 b.
Продолжим построение трехмерных римановых пространств, допускающих специальное
вейлево-геодезическое поле конусов, считая, что характеристическое уравнение этого поля имеет комплексно-сопряженные корни. В этом случае в (11) одна из функций v1 или v2 (\постоянные" интегрирования) обращается в нуль. Не уменьшая общности, можно считать, что v1 = 0,
а v2 = v 6= 0, и записать уравнения (2) при i = j = 3, k = 1, i = j = 3, k = 2, i = j = 2, k = 1 и
i = j = 1, k = 2 соответственно в виде (t = gg1122 = hh21 )
@1h1 = 0;
@2(2 vh2 ) = ;2 b@1 h2;
(15)
(16)
@1(1 v) = 22 1 b3 @2
(17)
1 ;
(2 b)2 t
@2(2 vt) = ;212 b3 @1 ( tb)2 :
1
(18)
Заметим, что при этом (8){(11) остаются в силе, только в (11) необходимо положить v1 = 0.
Из (15) получаем h1 = F1 (x1 ; x3 ), где F1 | произвольная функция указанных переменных,
поэтому (16) принимает вид
@2 (2 vt) = ; F2b @1 (F1 t):
1
2
2
Сравнивая это с (18), заключаем @1 (F1 1 b ) = 0, следовательно, (1 b)2 F1 = p, где p | произвольная функция x2 , x3 .
Обратимся теперь к уравнению (16), переписав его
2b@1h2 + 2 v@2 h2 + 0@3 h2 = ;@2(2v)h2 :
(19)
И здесь приходится различать однородное и неоднородное уравнения.
4) @2 (2 v) 6= 0. В этом случае соответствующая (19) система обыкновенных дифференциальных уравнений записывается в виде (2 b);1 dx1 = (2 v);1 dx2 = dx0 3 = ; @2 (dh2 v2)h2 .
Первый ее независимый интеграл | решение уравнения b;1 dx1 = v;1 dx2 | имеет вид
Q(x1 ; x3 ) = const, где b = (@1 Q);1, v = ;(@2 Q);1 . Второй
очевиден x3 = const, а для опреде2
dx
ления третьего необходимо интегрировать уравнение 2 v = ; @2 (dh2 v2)h2 . Его условия интегрирования требуют, чтобы 2 v являлось такой функцией переменной x2 , для которой @2 @2 (2 v) = 0.
Поэтому 2 v = kx2 + d (k 6= 0, d постоянны) и соотношение (kx2 + d)h2 = const является третьим
независимым интегралом рассматриваемой системы. Таким образом, решение (19) удовлетворяет уравнению G1 (Q; x3 ; (kx2 + d)h2 ) =3 0, где G1 | произвольная функция трех переменных,
2 (Q;x ) , где | произвольная функция двух переменных.
разрешив которое, получим h2 = kx
2
2 +d
1
;1
Однако третий независимый интеграл можно искать из уравнения dx
2 b = ;[@2 (2 v )h2 ] dh2 .
Как легко теперь проверить, его условия интегрируемости выполнены, поэтому можно положить [k2 b];1 = (ln )0 , где | произвольная функция x1 , и записать третий интеграл
h2 = const. Следовательно, решение (19) удовлетворяет уравнению
G2(Q; x3 ; h2 ) = 0 (G2
3
| произвольная функция трех переменных), откуда h2 = 2 (Q;x ) (Q | произвольная функция
3)
трех переменных). Таким образом, решение (19) окончательно записывается h2 = p((Q;x
(
2
kx +d)
| произвольная функция двух переменных).
29
0
2
1
Как легко получить, @1 Q=@2 Q = ; (kx +dk)(ln ) , поэтому Q = Q(W ), где W = pkx(x2 +) d ,
3)
h2 = pF2 ((W;x
и F2 | произвольная функция двух переменных. Непосредственная проверка
kx2 +d)
показывает, что при этом (18) обращается в тождество.
Рассмотрим оставшееся уравнение (17). Подставив в него уже определенные параметры,
приведем его к виду
p 2
0
1
(ln
)
1
kx
+
d
p
k F1 @1 F1 = kx2 + d @2 F2 :
Левая часть ;этого
не зависит от x2 . Потребовав того же от правой
придем
уравнения
; части,
; к
2
1
3
k
1
условию @2 @2 F2 ; 4 (kx2 +d)2 F2 = 0 или (поскольку F2 = F2 (W; x3 )) W 2 @W @W F12 + 2W@W F12 ;
3 1
1 = q (x3 )pW + qp2 (x3 ) , где q , q | произвольные функции x3 , и
1 2
1
4 F2 = 0. Отсюда ([9], с. 406)
F
W3
(ln )0 2
1
1
2
(17) принимает вид F1 @1 F1 = 2k q2 . После интегрирования получим F1 = ; 0 2 [4(k2 q2 +
q3 2 )];1 , где q3 | произвольная функция x3 .
Если же (19) однородны, то (15) и (17) не меняются, а (16) и (18) записываются соответственно
b@1 h2 + v@2 h2 = 0;
(20)
2
2
2
(1 b) @1 t + 1 bv@2 t = @1 (1 b) t:
(21)
И здесь выделяются однородное и неоднородное уравнения (21).
5) @2 (2 v) = 0, @1 (1 b) 6= 0. B этом случае из (15) и (17) следует h1 = F1 (x1 ; x3 ), (1 b)2 =
p(x2; x3 )F1 , где p и F1 | произвольные функции указанных переменных, а (20) дает h2 =
h2 (Q; x3), где h2 | произвольная функция двух переменных, Q | функция переменных x1
и x2 такая, что b@1 Q = ;v@2 Q = 1.
Переписав (21) следующим образом:
1b@1 t + 1 v@2 t + 0@3 t = 2@1 (1 b)t;
как и раньше найдем, что 1 b = k1 x1 + d1 (k1 6= 0, d1pпостоянны), 1 v = (ln2k1)0 , | произвольная
функция x2 , 1 не зависит от x3 и t = (k1 x1 + d1 ) T (; x3 ), где T | произвольная функция
двух переменных. Сравнив найденные значения 1 b с ранее определенными, выводим p = p(x3 ),
а F1 = (k1 x1p+d1)2 .
Поскольку теперь @1 Q=@2 Q = ; (k1 x1 +2dk11)(ln )0 , то Q = Q(W ), где W = k1 x(1x+2 )d1 , следовательно,
h2 = F2 (W; x3 ), где F2 | произвольная функция двух переменных и t = k1px(1x+3 )d1 F2 (W; x3 ). Теперь
;
(17) записывается в виде уравнения W@W F2 + 2 1 ; 000 2 F2 = 0, которое определяет F2 как
функцию W и x3 , если 00 j j2 = k = const. Оно имеет следующие1решения:
2
а) при k = 1 ( (x2 ) = ek2 x2 +d2 , k2 6= 0, d постоянны, W = (ke1kx2 x+2 +dd12) ) h2 = F2 (x3 ), где F2 |
произвольная функция x3 ;
б)1 при k 6= 1 ( = [(1 ; k)(k2 x2 + d2 )] 1;1 k , k2 6= 0, d постоянны, W = (k1 x1 + d1 )[(1 ; k)(k2 x2 +
d2 )] 1;k ), h2 = qW 2(k;1) , q | произвольная функция x3.
Заметим, что условие @2 (2 v) = 0 дает m21 = (ln )0 M22 , где | произвольная функция
переменных x1 , x2 , поэтому Mi = grad.
6) При @2 (2 v) = @1 (1 b) = 0 уравнения (15), (17) и (20) остаются в силе, а (21) переписывается в виде b@1 t + v@2 t = 0. Поэтому h1 = F1 (x3 ), h2 = F2 (Q; x3 ), T = T (Q; x3 ),
1b = f1 (x2 ; x3), 2v = f2(x1; x3 ), где F1 , T , f1 , f2 | произвольные функции указанных переменных, F2 = TF1 , а Q(x1 ; x2 ) такова, что b@1 Q = ;v2 @2 Q = 1. Таким образом, (17) принимает вид
@1 ( vb ) = ( vb )2 @2 [( vb )2 1t ]. Поскольку vb не зависит от x3 , то 1t = ( vb )2 [A(x1 ; x2 )+ B (x1; x3 )], где A и B |
произвольные функции указанных переменных, и (17) переписывается в виде @1 ( vb ) = ( vb )2 @2 A.
30
Отсюда, положив A = 31 @1 a(x1 ; x2 ), выводим ( vb )3 = @2 a + C (x2 ), где C | произвольная
функция x2 . Полученное представляет собой следующее условие для определения функции Q:
@1 Q = ;p3 @ a + C;
(22)
2
@2 Q
и в силу неопределяемости функций a и C не позволяет найти ее общий вид.
Поэтому ниже покажем лишь существование трехмерных римановых пространств, допускающих существование вейлево-геодезического поля конусов рассматриваемого вида, построив
соответствующий
пример. Для этого, пользуясь произволом функций a2 и C , положим C (x2 ) = 0,
2 +d2 3
kx
@2 a = ;( ;kx1 +d1 ) , где k 6= 0, d1 , d2 постоянны. Тогда @1 Q=@2 Q = ;kxkx1++dd21 , откуда Q = Q(W ),
1 3
где W = ;kxkx21++dd21 и 1t = ; W42 + B(xW ;x2 ) (заметим, что\постоянную" интегрирования, определяя
функцию a, положили равной нулю).2
Итак, g11 = F1 g33 , g22 = [ WB2 ; W4 ];1 g33 , где g33 | произвольная функция координат; B |
функция x1 , x3 ; F1 | функция только x3 .
7) Наконец, рассмотрим последний случай v1 = v2 = 0. Оставшиеся уравнения (2) приводятся
к виду @i hj = @i [ (itb)2 ] = 0, i; j = 1; 2, i 6= j . Отсюда h1 = F1 (x1 ; x3 ), h2 = F2 (x2 ; x3 ), где F1 , F2
| такие функции, для которых @i [(i b)2 Fi ] = 0, i = 1; 2. Это дает m4i = (m23 b)2 Fi Hi , i = 1; 2, где
H1 (x2 ; x3 ), H2 (x1; x3 ) | произвольные функции указанных переменных.
Итак, получена
Теорема 2. Если трехмерное риманово пространство допускает специальное вейлево-геодезическое поле конусов, характеристическое уравнение которого имеет один простой действительный корень, то в специальной системе координат метрическая форма этого пространства и форма, определяющая поле конусов, приводятся соответственно к виду (4), (5),
где U1 , U2 , 3 6= 0 | произвольные функции координат, связанные соотношениями (11) при
v1 = 0, v2 = v 6= 0, a12 имеет вид (9), где b 6= 0 | произвольная функция x1 , x2 , \дополнительные" векторы поля | соответственно (8) и (10), где mi 6= 0 (i = 1; 2; 3) | произвольные
функции координат, b@1 Q = ;v@2 Q = 1, Q | некоторая функция W и
p
4. g11 = F1 g33 , g22 = p (Fk22gx332 +d2 ) , F1 = ; 4(k2 q2 0+2 q3 2 ) , F2 = [q1 W + pqW2 3 ];1 , W = kx2 +d ,
2 v = kx2 + d, (; b)2 = Fp1 , p2b = (lnk )0 ; = (x1 ), p = p(x2 ; x3 ) | произвольные функции,
k 6= 0;
1
2
5. q11 = (k1 xpg1 +33d1 )2 , g22 = F2 (W; x3 )g33 , W = (k1 x +d1 ) , p1 b = k1 x1 + d1 , 2 b = (ln2k1)0 , m21 =
(ln )0 m22 , где p =2 p(x3 ), = (x1 ; x3 ) произвольны и
а) при = ek2 x +d2 F2 = F2 (x3 )1,
б) при = [(1 ; k)(k2 x2 + d2 )] 1;k (k 6= 1 постоянна) F2 = qW 2(k;1) .
6. g11 = F1 (x3 )g33 , g22 = F2 (Q; x3 )g33 , где функция Q(x1 ; x2 ) удовлетворяет уравнению (22);
7. g11 = F1 g33 , g22 = F2 g33 , m41 = (m23 b)2 F1 H1 , m42 = (m23 b)2 F2 H2 , где F1 (x1 ; x3 ), F2 (x2 ; x3 ),
H1 (x2 ; x3 ), H2(x1 ; x3 ) произвольны.
При этом во всех случаях g33 , mi (i = 1; 2; 3) | произвольные функции трех переменных ; F1 ,
F2 , , H1 , H2; b, v | функции двух переменных ; , q, q1 , q2, q3 | функции одной переменной ;
k; k1 , k2 | отличные от нуля постоянные; d, d1 , d2 | произвольные постоянные.
Литература
1. Шапиро Я.Л. О некоторых полях геодезических конусов // ДАН СССР. { 1943. { Т. 39. { Є 1.
{ С. 6{10.
2. Германов О.С. Поля конусов 2-го порядка и порождаемые ими связности // Изв. вузов. Математика. { 1986. { Є 6. { С. 52{54.
3. Германов О.С. Псевдолиувиллевы поверхности // Изв. вузов. Математика. { 1999. { Є 9. {
С. 3{11.
31
4. Германов О.С. Поля конусов 2-го порядка и порождаемые ими связности. III. Первые интегралы геодезических // Изв. вузов. Математика. { 1996. { Є 8. { С. 25{32.
5. Норден А.П. Пространства аффинной связности. { 2-е изд. { М.: Наука, 1976. { 432 с.
6. Шапиро Я.Л. Об одном классе римановых пространств // Тр. семин. по векторн. и тензорн.
анализу. { М., 1963. { Вып. 12. { С. 203{212.
7. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. { 9-е изд. { М.: Наука, 1968. { 432 с.
8. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. { 2-е изд. { М.:
Наука, 1969. { 424 с.
9. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. { 4-е изд. { М.: Наука, 1971. { 576 с.
Нижегородский государственный
педагогический университет
Поступили
первый вариант 05:02:2002
окончательный вариант 08:01:2003
32
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
180 Кб
Теги
поле, пространство, трехмерная, римановой, геодезических, вейлево, конусов
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа