close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Видоизмененная обратная краевая задача для крылового профиля расположенного вблизи прямолинейного экрана.

код для вставкиСкачать
2008
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 2 (549)
УДК 533.692
А.Г. ЛАБУТКИН, Р.Б. САЛИМОВ
ВИДОИЗМЕНЕННАЯ ОБРАТНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ
КРЫЛОВОГО ПРОФИЛЯ, РАСПОЛОЖЕННОГО ВБЛИЗИ
ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ЭКРАНА
В работе рассматривается обратная краевая задача для крылового профиля, расположенного вблизи твердой прямолинейной границы. Получены формулы, дающие решение поставленной
задачи, и указан простой прием, позволяющий добиться выполнения условий замкнутости искомого профиля. Рассмотрены вопросы, связанные с нахождением параметров функции, реализующей конформное отображение образа области течения в плоскости комплексного потенциала
на каноническую.
1. Пусть профиль Lz , расположенный в плоскости z = x + iy , обтекается установившимся
потоком невязкой несжимаемой жидкости, ограниченным прямой y = ;p, p = const > 0, и
имеющим на бесконечности скорость, равную v1 ei , v1 > 0.
Обозначим через s дуговую абсциссу точки Lz , отсчитываемую от точки разветвления потока
A на профиле Lz в направлении, при котором область течения остается справа. Пусть l |
периметр профиля Lz ; s = sB | дуговая абсцисса точки схода потока B на профиле Lz , 0 <
sB < l; M и N | точки профиля Lz , отвечающие некоторым значениям соответственно s = sM
и s = sN ; 0 < sM < sB , sB < sN < l (M | точка верхней поверхности Lz ); точка A профиля Lz
совпадает с точкой z = 0.
Пусть w(z ) = ' + i | комплексный потенциал течения вокруг Lz . Обозначая через v
модуль скорости в точке z , через угол наклона этой скорости к действительной оси, будем
иметь w0 (z ) = ve;i . Область течения обозначим Dz . Примем = 0 на прямой y = ;p, =
;Q = const < 0 на профиле Lz .
На дуге AMB профиля Lz имеем '0s = v, на остальной части профиля '0s = ;v. Поэтому
Rs
для точек дуги AMB профиля Lz будем иметь ' = '(s) = v ds, 0 s sB . Пусть 'B =
0
sRB
Rl
'(sB ) = v ds. Для значений модуля скорости v на дуге BNA обозначим 'H = v ds. Пусть
sB
0
sRM
sRN
'
'
B
H
точки M и N профиля Lz выбраны так, что v ds = 2 , v ds = 2 . В силу последнего имеем
sB
0
Rl
'
H
v ds = 2 .
sN
Функцию ' = '(s) на участке BNA профиля Lz определим следующим образом: ' = '(s) =
Rs
Rl
'B ; v ds, sB s < sN ; ' = '(s) = v ds, sN s l. Тогда функция ' = '(s) будет
sB
s
sRN
Rl
непрерывной всюду на Lz , исключая точку N , причем '(sN ;0);'(sN +0) = 'B ; v ds; v ds =
sB
sN
'B ; 'H = ; | циркуляция скорости по профилю Lz .
Рассмотрим решение следующей видоизмененной обратной краевой задачи, аналогичной изученным в ([1], сс. 97{110, 292{299). Распределение величины скорости v вдоль профиля Lz на
участке AMB задано в виде v = v(s), 0 s sB , а на участке BNA | как функция v =
32
v('), s0 ' 'H =2, на части AN ; v = v('), 'B ; 'H =2 ' 'B , на части NB . Здесь
RB
'B = v(s)ds, 'H | заданное число, 0 < 'H 'B , v ('H =2) = v('B ; 'H =2), v(0) = v(0),
v(sB ) = v('B ); кроме того, заданы значения функции тока = ;Q < 0 на профиле Lz и = 0
на прямолинейной границе y = ;p. Требуется найти форму профиля Lz (точка A которого
совпадает с точкой z = 0), число p и значение величины скорости v1 невозмущенного потока.
Так как на участке BNA профиля Lz имеем '0s = ;v, т. е. s0' = ; v , то на участке BN этого
0
1
профиля будем иметь
s=;
Z'
1 d' + s ; ' ' > ' ; ' =2;
B
B
B
H
v
(
'B ')
(1)
'B ;R'H =2
1
d' + sB найдем значение sN | дуговой абсциссы точки
поэтому по формуле sN = ;
'B v (')
N ; аналогично для точек участка NA профиля Lz получим
Z'
1 d' + s ; 'H ' 0;
s=;
(2)
N
2
'H =2 v (')
R0 1
отсюда при ' = 0 найдем периметр профиля Lz : l = ;
d' + sN . Пусть ' = '(s) |
'H =2 v (')
функция, обратная для функции s = s ('), определяемой формулами (1), (2), тогда v = v [' (s)]
выражает зависимость v от дуговой абсциссы s точки профиля Lz на участке ANB .
Область течения Dz разрежем по линии, соединяющей точку N профиля Lz с точкой P
прямой y = ;p, на берегах разреза которой потенциал скорости ' принимает постоянные значения. Правый и левый берега этого разреза (при движении от точки N к точке P ) обозначим
соответственно N 00 P 00 и N 0 P 0 . Ясно, что ' = 'B ; 'H =2 на N 00 P 00 и ' = 'H =2 на N 0 P 0 .
Область Dz с указанным разрезом функцией w = w(z ) отображается конформно на область
Dw в плоскости w = ' + i , причем область Dw представляет собой полуплоскость < 0, из
которой исключены точки отрезка AB : w = ' ; iQ, 0 ' 'B , и точки прямоугольника
P 0N 0N 00P 00: w = ' + i , 'H =2 ' 'B ; 'H =2, ;Q < < 0. Здесь и всюду в дальнейшем
соответствующие точки в различных плоскостях обозначаются одними и теми же буквами.
2. Следуя ([2], с. 229{234), введем плоскость комплексного переменного u = u1 + iu2 и в ней
возьмем прямоугольник Du : ;!1 < u1 < !1, 0 < u2 < !3 =i, задавая заранее значение !1 . Отобразим конформно область Du на область Dw так, чтобы части границы области Dw , лежащей на
действительной оси, отвечало верхнее основание прямоугольника Du , а соответствующий профилю Lz участок N 0 AMBN 00 границы области Dw переходил в нижнее основание Du , точкам
области Dw , для которых ' = 'B =2, ;Q, отвечали соответствующие точки мнимой оси u2 ,
для которых 0 u2 < !3 =i (при этом боковые стороны вышеуказанного прямоугольника в плоскости w переходят в соответствующие боковые стороны Du ). Это отображение осуществляется
функцией w = w1 (u) B2 (u ; !3 ) + B1 (u ; !3 ) + B0 , если действительные числа B2 , B1 , B0 ,
!3=i удовлетворяют уравнениям
;B P(u A ; ! ) + B = 0;
B (! ) + B ! + B = 'H =2;
(3)
B (;! ) + B (;! ) + B = 'B =2 ; iQ;
B (! ; ! ) + B (! ; ! ) + B ; B (u A ; ! ) ; B (u A ; ! ) ; B = 'H =2;
где u A | абсцисса точки A в плоскости u, 0 < u A < ! , P(u) = P(u; 2! ; 2! ), (u) =
(u; 2! ; 2! ) | функции Вейерштрасса, построенные для периодов 2! , 2! (здесь и в дальней2
2
2
2
1
3
1
1
1
1
1
3
3
3
1
0
1
0
3
2
1
0
1
1
3
1
1
3
1
1
3
0
1
1
1
3
3
шем для функций Вейерштрасса будем использовать обозначения, принятые в [3], с. 337{406).
33
Система уравнений (3) служит для определения неизвестных B2 , B1 , B0 , !3 =i, u1A при известных 'B , 'H , Q, !1 . В дальнейшем для удобства будем считать !3 =i > 0 заданной величиной,
Q | искомой, это удобнее прежде всего в практических расчетах.
Учитывая, что (;!3 ) = ; (!3) | чисто мнимая величина, (!1) и P(u1A ; !3 ) | действительные величины, из первых трех уравнений системы (3) получим
B = 'B =2;
Q = B (! )=i + B ! =i;
B = B P(u A ; ! );
B = ; 2[ (! ) +'B! ;P'(uH ; ! )] :
0
2
3
1
1
2
2
1
1
(4)
3
3
A
1
1
(5)
3
Замечая, что B1 = B2 P(u1A ; !3 ), четвертое уравнение системы (3) запишем так:
B [; (u A ; ! ) + (! ; ! ) ; (u A ; ! )P(u A ; ! )] = 'H =2:
Выражая отсюда B и подставляя в (5), придем к уравнению
2
1
3
1
3
1
1
1
(6)
3
2
(! ) + ! P(u A ; ! ) = [ (u A ; ! ) ; (! ; ! ) ; (! ; u A )P(u A ; ! )] 'B '; 'H :
1
1
1
3
1
3
1
3
1
1
1
3
H
(7)
Найдем решение u1A этого уравнения, удовлетворяющее условию 0 < u1A < !1 . Определив
отсюда u1A , по формулам (4), (6) вычислим B2 , B1 , Q, B0 . В силу симметрии координата точки
B в плоскости u равна u1B = ;u1A.
Отобразим конформно прямоугольник Du на кольцо q < j j < 1, расположенное в плоскости
= ei , = j j, и разрезанное по отрезку действительной оси, функцией u = u( ) !1 ;
!1 (ln ; ln q), причем q определяется из соотношения !1 ln q = !3 , т. е. q = ei!3 =!1 , ln есть
i
i
однозначная ветвь ln = ln + i , 0 2. Точкам A и B отвечают соответственно точки
= qeiA и = qeiB , B = 2 ; A, причем A = !1 (!1 ; u1A), т. е. 0 < A < . Обозначим
!( ) = w1 [u( )]. Функция
w = !( ) B2 !1 ; !i1 ln + B1 !1 ; !i1 ln + B0
отображает конформно вышеуказанное кольцо с разрезом в плоскости на область Dw . Ясно,
что производная w0 = !0 ( ) аналитична в области D { кольце q < j j < 1, т. к. в совпадающих
точках берегов вышеуказанного разреза кольца она имеет одинаковые значения. Обозначим
'1( ) = < !(qei ) = < B2 !1 ; !1 ; !3 + B1 !1 ; !1 ; !3 + B0 :
(8)
Функция z = z ( ), определяемая соотношением w(z ) = !( ), осуществляет конформное
отображение области D на Dz .
3. Для решения поставленной в п. 1 задачи при заданных !1 , !3 =i определим, как указано
в п. 2, величину u1A , затем вычислим постоянныеs B0 , B2 , B1 , Q и найдем величину A . Из
R
равенства '(s) = '1 ( ), A B , где '(s) = v(s)ds, 0 s sB , '1 ( ) | функция (8),
0
определим зависимость s = s( ), A B . Тогда будут известны значения v = jwz0 j на
окружности j j = q:
(
v = v1 ( ) = vv[s['( )](;)]; 0A ;B ; 2:
1
A
B
34
На окружности j j = 1 имеем arg wz0 = ;1 = ;. Следовательно, для граничных значений
функции
F ( ) = i + ln wz0 [z( )];
(9)
аналитической и однозначной в кольце q < j j < 1, имеем
<F (qei ) = ln v1 ( );
(10)
i
=F (e ) = 0:
(11)
В силу условия (11) согласно принципу симметрии (напр., [3], с. 543) функцию F ( ) можно аналитически продолжить в область 1 < j j < 1=q, полученная при этом аналитическая в
кольце q < j j < 1=q функция F ( ) будет удовлетворять условию <F (ei =q) = ln v1 ( ), аналогичному (10), следовательно, эта функция может быть найдена по формуле Вилля ([4], с. 238)
!
Z 2
i!
!
1
1
1
F ( ) = 2
(ln v1 ( )) i ln(q ) ; ; 2!1 ; 4!3 ;
0
; !i1 ln(q ) ; !1 ; 2!3; 2!1 ; 4!3 ; (2!3; 2!1 ; 4!3) d: (12)
Здесь, как и выше,
e i!3 =!1 = q ;
2
кроме того,
2
(13)
z;
(u; 2! ; 4! ) = (! ; 2! ; 4! )u=! + 2i! zz +
; z; +
1
1
3
1
1
3
1
1
!
4k 2
4k ;2
iu
2
q
z
2
q
z
2!1 : (14)
;
;
z
=
e
+
4
k
;
2
4
k
2
1;q z
k=1 1 ; q z
Замечая, что согласно (9) =F (qei0 ) = ; (0 ), F (ei0 ) = <F (ei0 ) = ln v2 (0 ), где (0 )
| угол наклона к действительной оси вектора скорости в точке z (qei0 ) профиля Lz , v2 (0 ) |
модуль скорости в точке z (ei0 ) прямой y = ;p, на основании (12) находим
Z 2
!
!
1
1
; (0 ) = 2 (ln v1( )) 2!3 ; ( ; 0); 2!1 ; 4!3 ;
0
; (2!3; 2!1 ; 4!3 ) + !1 ( ; 0 ); 2!1 ; 4!3 d; (15)
1
1
X
затем ln v2 (0 ), 0 0 2, причем v1 = v2 (). В силу (9) имеем z 0 ( ) = ;e;F ( ) !0 ( ).
Координаты точек контура Lz определяются по формуле
Z
Z
0
i
;
F
(qei ) 0
z(qe ) = ; e
'1( )d = ei() 'v 1(()) d; 0 2:
A
A
1
Контур Lz будет замкнутым, если выполняется условие
Z 2
0
ei() 'v 1(()) d = 0:
0
1
Искомое число p находится по формуле
Z1
p = = e;F (eiA )!0 (eiA )d:
q
(16)
(17)
(18)
Формулы (14), (15) удобно использовать при малых значениях q, когда согласно (13) при
заданном !1 величина !3=i > 0 принимает большие значения. При значениях q, близких к
35
единице, когда величина !3 =i принимает малые значения, целесообразно использовать другие
формулы. Рассмотрим их. Для удобства введем обозначение !3 = i!e 3 , !e 3 > 0.
Для произвольного числа 6= 0 имеем ([5], с. 184)
2P(u; 2!1 ; 2!e3 i) = P(u; 2!1 ; 2!e3 i);
(u; 2!1; 2!e3 i) = (u; 2!1; 2!e3 i);
(19)
кроме того ([5], сс. 185, 186, 223),
P(u; 2!1 ; 2!e3 i) = P(u; 2!e3 i; ;2!1 );
(u; 2!1 ; 2!e3 i) = (u; 2!e3 i; ;2!1 ):
(20)
При = 2~!!13 i согласно (19) и (20) имеем
2 (21)
(u; 2!1; 4!e3 i) = 2!!e1 i u 2!!e1 i; 2!1 ; !!e1 i :
3
3
3
Отношение периодов, для которых построена функция правой части последней формулы, равно
= !!e i=(2! ) = 2!!e i;
1
поэтому
2
1
1
3
1
3
; !1
ei1 = e 2e!3 = q= ; ln q = ln q ;
1 2
2
где q = e;e!3 =!1 | вышеуказанное число (формулы (13)). Для фиксированного !1 при !e 3 ! 0
имеем q ! 0 и q ! 1.
Замечая, что 2!e!13 = 21 ln q , согласно (21) получим ( = 2!e!13 i)
i!
2 i
ln
q
!
1
1
(u; 2!1 ; 4!e3i) = ; 2 u 2!e ; 2!1; !e i :
(22)
3
3
Поступая аналогично, будем иметь (при = e!!13 i)
i2!
2 2
(ln
q
)
2
!
1
1
(23)
P(u; 2!1 ; 2!e3 i) = ; 2 P u 2!e ; 2!1 ; !e i ;
3
3
причем здесь
2
; !1
2 = 2!e!1 i=(2!1 ) = !!e1 i; ei2 = e e!3 = q:
3
3
Отметим, что
!i
2 i
ln
q
2
!
1
1
(u; 2!1 ; 2!e3 i) = ; u !e ; 2!1 ; !e i :
(24)
3
3
Принимая во внимание (22), формулы (12), (15) запишем соответственно в виде
!
i!
Z 2
2 !
!
!
1
1
1
1
1
F ( ) = 23 (ln q) (ln v1 ( )) i ln(q ) ; 2!e ; 2!1; !e i ;
3
3
! 0
2 2 (25)
; i1 ln(q ) ; !1 ; 2!e3i 2i!!e1 ; 2!1 ; !!e1 i + !1; 2!1 ; !!e1 i d;
3
3
3
Z 2
2
!12 i +
1
; (0 ) = ; i!21 ln3 q (ln v1( )) ; !1 ; 2i!
(
;
);
2
!
;
0
1
!e 3
!e3
i!2 0
2
2
(26)
+ 2!e1 ( ; 0 ); 2!1 ; !!e1 i + !1 ; 2!1 ; !!e1 i d; 0 0 2:
3
3
3
Таким образом, имеет место
36
Теорема 1. Если выполняются условия
(17), то решение изучаемой задачи (при заданной
!e ) существует и задается формулами (16), (18), в которых F ( ), ( ) суть функции, определяемые формулами (12), (15) или формулами (25) , (26) в случае малых q (малых
!e ).
величине
3
3
Для того чтобы добиться выполнения условий (17), можно использовать простой прием:
задавать функцию v (') в виде линейной комбинации некоторого (конечного) числа неопределенных постоянных и заданных функций и выбрать эти постоянные так, чтобы выполнялись
условия, налагаемые на v ('), и условия (17).
4. Остановимся теперь на методе нахождения решения u1A уравнения (7) при заданном
значении !3=i = !e 3 = ; !1 ln q. С этой целью преобразуем указанное уравнение.
По аналогии с соотношением (14) имеем
z + z ;1
i
(u; 2!1 ; 2!e3i) = (!1; 2!1; 2!e3 i) u=!1 + 2! z ; z;1 +
1
1 2q2k z ;2
2k 2 X
2
q
; 1 ; q2zk z2 ; z = e 2ui!1 : (27)
+
2k z ;2
1
;
q
k=1
0
Отсюда для P(u) = ; (u) получим
2
P(u; 2!1 ; 2!e3 i) = ; !1 (!1; 2!1 ; 2!e3i) ; ! 2 (z ; 1z;1 )2 +
1
1
1 q2k z ;2
X
q2k z2 ; (28)
+
+
2k ;2 2
(1 ; q2k z 2 )2
k=1 (1 ; q z )
причем имеем ([5], с. 211)
1
2 2k X
(!1; 2!1; 2!e3 i) = 12! 1 ; 24 1 kq
:
(29)
2k
1
k=1 ; q
Используя эти формулы, уравнение (7) запишем так:
' ;'
1
iu1A =!1
2k iu1A =!1
X
1 + B ' H (!1 ; u1A ) ! < (1 ;eqeiu1A =!1 )2 + (1 ;qq2ke+1 eiu1A =!1 )2 =
H
1
k=1
1 2q2k e;iu1A =!1 ;iu1A =!1
X
'
;
'
2
e
B
H
= 2' = 1 ; qe;iu1A =!1 + 1 ; q2k+1 e;iu1A =!1 : (30)
H
k=1
Легко проверить, что решение u1A = u1A (q) этого уравнения при достаточно малых q (т. е.
достаточно больших !e 3 ) может быть представлено в виде суммы степенного ряда ([6], с. 524)
u1A = u1A(q) = u1A(0) + a1q + a2 q2 + ;
(31)
где u1A (0) | решение получаемого из (30) при q = 0 уравнения
'
u
u
1A
1A
H
tg ! = ! ; ! ' ; ' + !1 ;
(32)
1
1
1
B
H
удовлетворяющее условию 0 < u1A (0) < !1 (отметим, в частности, что при 'B = 'H имеем
u1A(0) = !1=2).
Следовательно, справедлива
;e!3 =!1 ) для достаточно малых
Теорема 2. Решение уравнения (7) (при заданном q = e
значений q определяется как сумма степенного ряда вида (31), в котором u1A (0) есть решение
уравнения (32), удовлетворяющее условию 0 < u1A (0) < !1 (в частности, равное !1 =2 в случае
'B = 'H и превосходящее !1=2 в случае 'B > 'H ).
37
Для нахождения решения u1A уравнения (7) при заданном значении !3 =i = !e 3 в случае,
когда величина q = e;!1 =e!3 достаточно мала (т. е. достаточно мала величина !e 3 ), поступим
следующим образом.
Заменив в формулах (27), (28), (29) 2!e 3 i на 2!12 i=!e 3 и в соответствии с этим заменив в
них q на q , придем к формулам для (u; 2!1 ; 2!12 i=!e 3 ), P(u; 2!1 ; 2!12 i=!e 3 ), (!1 ; 2!1 ; 2!12 i=!e 3 ),
содержащим степени q . Далее в первых двух из этих трех формул аргумент u заменим на
ui!1=!e3 и найденные выражения подставим в формулы (24), (23), тем самым придем к формулам
для (u; 2!1 ; 2!e 3 i), P(u; 2!1 ; 2!e 3 i), выраженным через степени q.
Используя эти формулы и обозначая
qu1A =!1 = ueA;
(33)
уравнение (7) запишем так
1 ;q2k =ue
2k
X
eA
eA 1
u
q
u
1
A
; (1 + q2k ue )2 =
; 2! ln q + ! ; (1 + ue )2 +
2k
2
1
1
A
A
k=1 (1 + q =ueA )
1
2
k
2k
eA X ;2q =ueA
eA '
;
'
2
u
2
q
u
B
H
= ' 2! ln q 1 + ue +
+
+
H 1
A k=1 1 + q2k =ueA 1 + q2k ueA
e
ue
1 ;q2k =ue
q2k ueA : (34)
A +X
A ;
+ 'B' ;!'H lnlnuqA ; 1 (1 ;
+ ueA )2 k=1 (1 + q2k =ueA )2 (1 + q2k ueA )2
H 1
Получили уравнение для неизвестной величины
ueA = ueA(q):
Так как считаем выполненным условие 0 < u1A < !1 , т. е. условие 0 <u1A =!1 < 1, и 0 < q < 1,
то q0 > qu1A =!1 > q, т. е. 1 > ueA > q и
ueA < 1:
0 < ln
ln q
Умножая соотношение (34) на ueA и переходя затем к пределу в полученном соотношении
при q ! 0, будем иметь
ue2 ' ; ' ln ue 0
1 + B ' H 1 ; ln qA
= 0:
lim
q !0 (1 + ueA )2
H
Отсюда видно, что qlim
ueA = 0 при 'B ; 'H 0. Замечая, что 0 < euqA < 1, заключаем
!0
lim q = 0; c = const > 1:
q !0 ue
c
A
Уравнение (34) запишем следующим образом:
f
ueA = Me (ueA) ;
N (ueA)
38
(35)
где
1 ;q k =ue
qk ueA ;
;1 + 1 X
A ;
2! ln q ! k (1 + qk =ueA ) (1 + qk ueA )
1 ;2q k =ue
k
X
A + 2q ueA ;
; 2''B !; 'lnHq
1 + qk =ueA 1 + qk ueA
H
k
ln ue
X
1 ;q k =ue
k ueA '
;
'
q
B
H
A
A
; ' ! ln q ; 1
(1 + qk =ueA ) ; (1 + qk ueA ) ;
H
k
ln ue
1
'
;
'
'
;
'
B
H
B
H
A
e
N (ueA ) = ! (1 + ue ) + ' ! (1 + ue ) ln q ; ' ! (1 + ue ) ln q ; 1 :
2
f(ueA ) =
M
1
1
2
2
=1
2
2
1
2
2
1
1
2
=1
A
2
H
На основании (35) заключаем, что
1
2
2
2
=1
2
A
2
2
H
2
1
A
2
2
ueA = ; 2 ln1 q Ae(q);
где Ae(q ) | положительная ограниченная функция при q ! 0, поэтому
ln ueA = 0
lim
q !0 ln q
и
1
ueA = 1
:
(36)
lim
'
q !0 ;1= ln q 2 1 + B';'H
H
Согласно (33) при q ! 0 имеем u!11A = lnlneuqA ! 0.
f(ueA )=Ne (ueA ), уравнение (35) запишем так:
Обозначая (ueA ) = M
ueA = (ueA):
(37)
Легко проверить, что при достаточно малых ueA (т. е. малых q ) имеем j0 (ueA )j < 1. Следовательно, согласно принципу сжимающих отображений ([7], сс. 70, 71) решение уравнения (37) может
быть получено методом последовательных приближений
ueAn = (ueA(n;1)); n = 1; 2; 3; : : : ;
(38)
причем в качестве uA0 может быть взята, с учетом (36), функция
ueA0 = 12 ''H ; ln1 q :
(39)
B
Таким образом, справедлива
eA = qu1A =!1 для заданных доТеорема 3. Решение уравнения (37) , равносильного (7) при u
статочно малых значений
q, может быть получено методом последовательных приближе-
(38), (39).
5. Пусть заданная на некотором контуре Lz величина скорости мало отличается от v1 в том
смысле, что разности
v(s) ; v1; 0 s sB ;
v(') ; v1 ; 0 ' 'H =2; 'B ; 'H =2 ' 'B ;
являются величинами порядка ", где " | малая положительная величина. Их первые производные также являются малыми порядка ". Легко проверить, что в таком случае определяемая
по формуле (15) разность ; (0 ) также будет малой порядка ".
ний по формулам
39
Пренебрегая малыми порядка "2 , на основании формулы Блазиуса{Чаплыгина ([2], с. 239)
Z dw 2
1
X ; iY = 2 i
dz;
Lz dz
где | плотность жидкости, для подъемной силы Y профиля Lz получим формулу
Z sB
Zl
Y = v1
(v(s) ; v1 )ds ; (v [' (s)] ; v1 )ds :
sB
0
Отсюда видно, что Y не зависит от расстояния профиля Lz до прямой y = ;p. Таким образом,
в рамках принятой точности получена
Теорема 4. Подъемная сила профиля, на котором величины скорости v (s), v (') близки к
постоянной
v1, не зависит от расстояния профиля до прямолинейной границы.
Литература
1. Тумашев Г.Г., Нужин М.Т. Обратные краевые задачи и их приложения. { Казань: Изд-во
Казанск. ун-та, 1965. { 333 с.
2. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. { М.: Наука, 1980. { 448 с.
3. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Т. 2. { М.: Наука, 1968. { 624 с.
4. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. { М.: Наука, 1970. { 304 с.
5. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. { М.: Наука, 1968. { 618 с.
6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. { М.{Л.: Гостехиздат, 1948. { 860 с.
7. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. { М.:
Наука, 1972. { 496 с.
Казанский государственный
Поступила
06.10.2006
архитектурно-строительный
университет
40
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
161 Кб
Теги
краевая, расположенного, обратная, экран, видоизмененным, профиль, вблизи, крылового, задачи, прямолинейное
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа